湖南省永州市祁阳县羊角塘镇中心学校2024-2025学年下学期期中检测八年级下册数学试卷（含答案）

祁阳市羊角塘镇中心学校2025年上期期中检测八年级下册《数学》试卷
一．选择题（共10小题，满分27分）
1．公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　）
A．B． C． D．
2．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角的度数之比为3：4：5 B．在△ABC中，a2﹣b2＝c2
C．三边长的平方之比为1：2：3
D．三边长分别为a，b，c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1）
3．在如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．矩形具备的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．对角线平分一组对角
5．如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝8，则OE的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝10，AB∥CD，AC平分∠DAB．AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．
第5题图 第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（　　）
A．添加“∠BAD＝90°”，则四边形ABCD是矩形
B．添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形
C．添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形
D．添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形
10．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，其中∠AFB＝∠BEC＝∠AGD＝∠CHD＝90°，连结AE，DE，若∠AED＝∠ADE，，则正方形ABCD的边长是（　　）
A． B．2 C． D．
第10题图 第12题图 第14题图 第15题图
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．某多边形内角和是外角和的2倍，则该多边形的边数 　 　 ．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为 ．
13．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是5cm，6cm，则它的面积是　 　 cm2．
14．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为 　 　 ．
15．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，E，F为垂足，AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为 　 　 ．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ADC＝60°，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作DM⊥EF于点M，连接CM，则线段CM的最大值为 　 　 ．
17．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点．若，∠CAD＝15°，则AB的长为 　 　 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，BC＝10，在边AB上取点D使∠ACD＝30°，点M为射线CD上任意一点，以AB，BM为邻边做 ABMN，则线段BN的最小值为 　 　 ．
第16题图 第17题图 第18题图
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（7分）（1）计算：．
（2）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DCF．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．
求证：AD平分∠BAC．
21．（7分）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D是BC的中点．DE⊥MN于点E．
（1）求证：点E是MN的中点；
（2）若BC＝12，MN＝8，则DE＝　 　 ．
22．（8分）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点，作OF∥AB，交BE延长于点F，连接AF．
（1）求证：△AEB≌△OEF；
（2）连接DF，当∠BAD＝　 　 °时，四边形AODF是菱形．
23．（10分）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣3，4）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与y轴、x轴分别交于点D、F．
（1）BO＝　 　 ；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在x轴上，则在直线BD上是否存在点N，使得以M、N、A、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
25．（10分）如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AD、BC、BE、CE的中点．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（3）连接EF,当四边形EGFH是正方形时，线段EF与BC有什么数量关系？请说明理由．
26．（10分）小明学习了特殊的四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 　 　 ．
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两条对角线AC、BD之间的数量关系：　 　 ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BG、CE交于点N，CE交AB于点M，连结GE．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②已知AC＝4，AB＝5，则四边形BCGE的面积为 　 　 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B A C D B A A A
7.解析：如图，过C作CH⊥AB，连接DH；因ABCD是菱形，∠B=60°，可判定△ABC为等边三角形；所以AH=HB=4；再由BP=3，可得HP=1．要使CA′的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A′应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQ∥DH；由作图知，DHPQ为平行四边形，可得DQ=HP= 1，CQ=CD-DQ=8-1=7．
8．解析：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠FAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ADF和△ADC中，，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AF＝AC，CD＝FD，
∴BF＝AB﹣AF＝8﹣6＝2cm，
又∵点E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴．
9．解析：当添加“∠BAD＝90°”，无法证明四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
∵AB＝AD，BC＝DC，
∴AC垂直平分BD，
当添加：“AB∥CD”，则∠ABD＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠DBC，
∴∠ABO＝∠CBO，
又∵BO＝BO，∠BOA＝∠BOC，
∴△ABO≌△CBO（ASA），
∴BA＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
当添加条件“OA＝OC”时，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
当添加条件“∠ABC＝∠BCD＝90°”时，则∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，
由证选项A可知四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，故选项D不符合题意；
10．解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴AB＝AE，
∵∠AFB＝90°，
∴AF⊥BE，
∴EF＝BF，
∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，
∴BE＝CH，EF＝BF＝DH＝CE，
∴EF＝BE﹣BF＝CH﹣CE＝EH，
∴EH＝DH＝CE，
∵∠CHD＝90°，DE，
∴DEDH，
∴EH＝DH＝CE＝1，
∴CH＝2EH＝2，
∴CD，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．6．
12.
13．30．
14．49．
15．．
16．．解析：如图，连接BD交AC于点O．取OD的中点T，连接TM，TC，
∵直线EF将菱形分成面积相等的两部分，
∴直线EF经过点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ADC＝∠ABC＝60°，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，OA＝OC＝3，
，
∵，
∴，
∵D M⊥E F，∴∠DMO＝90°，∵O T＝T D，∴，∴，∴CM的最大值为．
17．2．解析：过点A作AE⊥BC于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠CAD＝15°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°+15°＝45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
设CE＝x，
∵∠CAE＝30°，AE⊥BC，
∴AC＝2CE＝2x，
由勾股定理得，AE，
∴DE＝AE，
由勾股定理得，AE2+DE2＝AD2，
∴，
解得x＝1，
∴AC＝2x＝2，
∴AB＝AC＝2，
18．．解析：连接BN，AM，BN与AM交于点O，取AC的中点E，AD的中点F，作射线EF，过点B作BH⊥EF，垂足为H，如图所示：
在平行四边形ABMN中，OB＝ON，AO＝MO，
∵点M为射线CD上任意一点，
∴点O在射线EF上，
当OB取得最小值时，BN取得最小值，
即当点O与点H重合时，BN取得最小值，
此时BN＝2BH，
∵∠ACD＝30°，∠BAC＝90°，AC＝6，
设AD＝x，
则CD＝2x，
根据勾股定理，得x2+62＝（2x）2，
解得x，
∴AD，
∵E为AC的中点，F为AD的中点，
∴EF为△ADC的中位线，AF，
∴EF∥CD，
∴∠AEF＝∠ACD＝30°，
∴∠AFE＝60°，
∴∠BFH＝∠AFE＝60°，
∵∠BHF＝90°，
∴∠HBF＝30°，
∵AC＝6，BC＝10，∠BAC＝90°，
根据勾股定理，得AB8，
∴BF＝8，
∴FH，
在Rt△FHB中，根据勾股定理，得BH，
∴BN的最小值为2，
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解：（1）原式＝431＝2+；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
在△BAE与△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（SAS），
∴∠BAE＝∠DCF．
20．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
21．（1）证明：如图，连接DM，DN．∵BN，CM分别是△ABC的两条高，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°．
∵D是BC的中点，
∴，．
∴DM＝DN．
∵DE⊥MN，
∴点E是MN的中点．
（2）解；∵BC＝12，
∴，
∵点E是MN的中点，MN＝8，
∴，
在Rt△DEN，由勾股定理得DN2＝DE2+EN2，
∴．
故答案为：2．
22．（1）证明：∵AB∥OF，
∴∠ABF＝∠OFB，
∵E为OA的中点，
∴AE＝OE，
在△AEB与△OEF中，
，
∴△AEB≌△OEF（AAS），
（2）解：若∠BAD＝90°，则四边形AODF是菱形，
证明：在 ABCD中，∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AOAC，ODBD，
∴AO＝OD，
∵△AEB≌△OEF，
∴AB＝OF，
∵AB∥OF，
∴四边形ABOF是平行四边形，
∴AF∥OB，AF＝OB，
∴AF＝OD，
∴四边形AODF是平行四边形，
∵AO＝OD，
∴四边形AODF是菱形．
故答案为：90．
23．解：（1）由B（﹣3，4）可得OC＝3，BC＝4．
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠BCO＝90°，
由勾股定理可得：BO5，
故答案为：5；
（2）设D（0，t），则由题意可得：∠DEO＝90°，DE＝DA＝4﹣t，BE＝BA＝3，EO＝2．
在Rt△DEO中，由勾股定理可得：OE2+DE2＝DO2，
即22+（4﹣t）2＝t2，
解得t，
∴D（0，）；
（3）存在符合条件的点N（2，）或（8，）或（﹣8，）．理由如下：
由（2）知：DE＝DA＝4﹣b，b，
∴AD＝4，
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵B（﹣3，4），D（0，），
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为：yx，
∵点M在x轴上，点N在直线BD上，
∴设M（m，0），N（n，n），
又A（0，4），D（0，），
当AM、DN为 ADMN的对角线时，AM与DN的中点重合，
∴，
解得：
∴N（2，）；
当AN、DM为 ADNM的对角线时，AN与DM的中点重合，
∴，
解得：，
∴N（8，）；
当AD、MN为 AMDN的对角线时，AD与MN的中点重合，
∴，
解得：，
∴N（﹣8，）；
∴N（2，）或（8，）或（﹣8，）．
24．（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP，
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝10，CD＝24，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，且，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在Rt△EPF中，由勾股定理得：，
即EF的长为13；
（2）证明：由（1）可知，PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，
∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴，
∴AB2+CD2＝4EF2．
25．25.（1）证明：由题意可得ABCD是等腰梯形，∴∠A=∠D，
在△ABE和△DCE中，AE=ED，∠A=∠D， AB=DC，∴△ABE≌△DCE．
（2）四边形EGFH是菱形．证明：∵GF、FH是△EBC的中位线，且由（1）得EB=EC，
∴GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，∴四边形EGFH是菱形．
（3）EF⊥BC，且EF=BC．证明：连接EF，∵EFGH是正方形，
∴∠GEH=90°，即△BEC是等腰直角三角形，∴EF⊥BC，且EF=BC．
26．（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，∴菱形和正方形一定是垂美四边形；故答案为：菱形、正方形；
（2）解：如图1所示：
∵四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积AC BOAC DOAC BD；
故答案为：AC BD；
（3）①证明：连接CG、BE，如图2所示：
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴∠F＝∠CAG＝∠BAE＝90°，FG＝AG＝AC＝CF，AB＝AE，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE （SAS），∴BG＝CE，∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG十∠BMN＝90°，∴∠BNM＝90°，∴BG⊥CE，∴四边形BCGE为垂美四边形；②解：∵FG＝CF＝AC＝4，∠ACB＝90°，AB＝5，
∴BC3，∴BF＝BC+CF＝7，在Rt△BFG中，
BG，∴CE＝BG，∵四边形BCGE为垂美四边形，
∴四边形BCGE的面积BG CE，
第15页