人教新课标A版必修2数学1.3 空间几何体的表面积与体积同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版必修2数学1.3 空间几何体的表面积与体积同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 281.5KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-06 10:34:28 | ||
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文档简介
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1.3 空间几何体的表面积与体积同步检测
1、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）
A、1：2：3 B、1：3：5
C、1：2：4 D、1：3：9
答案：B
解析：解答：由此可得到三个圆锥，
根据题意则有：
底面半径之比：r1：r2：r3=1：2：3，
母线长之比：l1：l2：l3=1：2：3，
侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9，
所以三部分侧面面积之比：S1：（S2﹣S1）：（S3﹣S2）=1：3：5
故选B
分析：先从得到的三个圆锥入手，根据“过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面”，结合相似比：可知底面半径之比：r1：r2：r3=1：2：3，母线长之比：l1：l2：l3=1：2：3，侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9，从而得到结论．
2. 将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积为（ ）
A、7 B、6
C、3 D、9
答案：A
解析：解答：原正四面体的表面积为4×=9，每截去一个小正四面体，
表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，
故表面积减少4×2×=2，故所得几何体的表面积为7．
故选A．
分析：先计算出原正四面体的表面积，再计算每截去一个小正四面体时，减少的表面积，然后求得结果．
3. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：由设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，
全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2
=．
故选A．
分析：设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．
4. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：因为四个面是全等的正三角形，
则．
故选A
分析：棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．
5. 已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（ ）
A、 B、2a2
C、 D、
答案：B
解析：解答：设正方体的棱长为x，则有：a2=3x2，所以正方体的表面积是6x2=2a2．
故选B．
分析：先求正方体的棱长，然后求全面积．
6. 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F在线段AB上，点M在线段B1C1上，点N在线段C1D1上，且EF=1，D1N=x，AE=y，M是B1C1的中点，则四面体MNEF的体积（ ）
A、与x有关，与y无关 B、与x无关，与y无关
C、与x无关，与y有关 D、与x有关，与y有关
答案：B
解析：解答：连接MA，则MA到为M点到AB的距离，
又∵EF=1，故S△MEF为定值，
又∵C1D1∥AB，则由线面平行的判定定理易得
C1D1∥面MEF，
又由N是棱C1D1上动点，故N点到平面MEF的距离也为定值，
即四面体MNEF的底面积和高均为定值
故四面体MNEF的体积为定值，与x无关，与y无关．
故选B．
分析：由棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=1，M是B1C1的中点，点N是棱C1D1上动点，由于M点到EF的距离固定，故底面积S△MEF的大小于EF点的位置没有关系，又根据C1D1∥EF得到C1D1与面MEF平行，则点N的位置对四面体MNEF的体积的没有影响，进而我们易判断四面体MNEF的体积所具有的性质．
7. 正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（ ）
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A、1：4 B、3：8
C、1：2 D、2：3
答案：A
解析：解答：如图，棱锥A﹣B1CD1，的体积可以看成是
正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，
因为B1为PB的中点，D1为PD的中点，
∴棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD，的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，
棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，
则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积
=正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3×个正四棱锥P﹣ABCD的体积
=个正四棱锥P﹣ABCD的体积
则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．
故选A．
分析：如图，棱锥A﹣B1CD1，的体积可以看成正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，利用底面与高之间的关系得出棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD，的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积=正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3×个正四棱锥P﹣ABCD的体积，最终得到则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比．
8. 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：C
解析：解答：由题意正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，
可知：侧棱长为，三条侧棱两两垂直，
所以此三棱锥的体积为
故选C．
分析：先求正三棱锥的侧棱长，然后求出体积．
9. 己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：C
解析：解答：如图：由题意求出SA=AC=SB=BC=2，
∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则
进而可得：VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB，
所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．
故选C．
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分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．
10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）
A、与x，y，z都有关 B、与x有关，与y，z无关
C、与y有关，与x，z无关 D、与z有关，与x，y无关
答案：D
解析：解答：从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，
而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．
故选D．
分析：本四面体PEFQ的体积，找出三角形△EFQ面积是不变量，P到平面的距离是变化的，从而确定选项．
11. 表面积为16π的球内切于正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个面，则该项棱柱的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：B
解析：解答：设球半径为R，
由题意，正三棱柱的高是直径为2R，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是R，
所以正三角形的边长是2R，高是3R正三棱柱的体积 V=2R 3R 2R=6R2．
由于表面积为16π的球，∴R=2．
则该项棱柱的体积为：
故选B．
分析：由题意根据题中条件：“球内切于正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个面”求出正三棱柱的高、底面边长、底面高，即可求出正三棱柱的体积．
12. 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）
A、8π B、6π
C、4π D、π
答案：C
解析：解答：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，
故选C
分析：求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出灞桥区的表面积．
13. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高 H=R ctgθ
圆锥的体积 V1=πR2 H=πR3ctgθ
半球的体积 V2=πR3∵V1=V2即：πR3ctgθ=πR3∴ctgθ=2
∴cos2θ=
故选D．
分析：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值即可．
14. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A、1：2：3 B、2：3：4
C、3：2：4 D、3：1：2
答案：D
解析：解答：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，
则球的体积V球=
圆柱的体积V圆柱=2πR3
圆锥的体积V圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2
故选D
分析：由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可得到答案．
15. 设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A、成正比，比例系数为C B、成正比，比例系数为2C
C、成反比，比例系数为C D、成反比，比例系数为2C
答案：D
解析：解答：由题意可知球的体积为，则c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），由此可得，
而球的表面积为S（t）=4πR2（t），
所以V表=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），
即 V表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=
故选D
分析：求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．
16. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
A、 B、8π
C、 D、4π
答案：B
解析：解答：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1
球的半径为：R=
所以球的表面积：4πR2=4π×=8π
故选B．
分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．
17. 长方体的长、宽、高之和为12，对角线长为8，则它的全面积为 ．
答案：80
解析：解答：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c
则
（1）2﹣（2）得2ab+2ac+2bc=80
∴全面积为80
故答案为80．
分析：利用长方体的长、宽、高之和为12，对角线长为8，可构建两个方程，进而可求全面积．
18. 正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为 ．
答案：
解析：解答：∵正方体的棱长是1，
构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，
以上面一个正四棱锥为例，
它的高等于正方体棱长的一半，
正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是，
∴这个正四棱锥的体积是=
∴构成的八面体的体积是2×=
故答案为：．
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分析：构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是，做出正四棱锥的体积，得到正八面体的体积
19. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是 ．
答案：
解析：解答：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，
所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，
即：3×=．
故答案为：．
分析：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．
20. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ．
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答案：3π
解析：解答：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，
得到这是一个四棱锥，
底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，
∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC
根据直角三角形的勾股定理知AC==，
∴外接球的面积是，
故答案为：3π
分析：由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积．
21. 如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，若，则球O的表面积为 ．
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答案：16π
解析：解答：正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，
点P在球面上，则O为球心，PO⊥平面ABCD，
所以设球的半径为R，，R=2，
则球O的表面积为：16π，
故答案为：16π．
分析：从题目可以看出：PO⊥平面ABCD是半径，利用体积求出半径，可求球的表面积．
22. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是 ．
答案：
解析：解答：∵三棱锥的棱长为2，各面均为等边三角形
∴三棱锥的一个侧面的面积为×2×2×=，
所以：它的表面积为4，
故答案为．
分析：由题意知，三棱锥的侧面与底面是全等的等边三角形，因此各个面都是边长为2的等边三角形，先求出一个面的面积，丙乘以4可得它的表面积．
23. 如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm，两底面直径分别为40cm和30cm；现有制作这种纸篓的塑料制品395000 π cm2，问最多可以做这种纸篓多少个？
答案：S=π（r'2+r′l+rl）
=π（152+15×50+20×50）
=1975π（cm2）
=200（个）
答：最多可以做这种纸篓200个．
解析：解答：S=π（r'2+r′l+rl）
=π（152+15×50+20×50）
=1975π（cm2）
=200（个）
答：最多可以做这种纸篓200个．
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分析：由题意求出圆台形的纸篓（有底无盖）一个的表面积，然后即可求出制作的个数．
24. 如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=，若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10（L），高为4（dm），盛水时发现在D、E两处有泄露，且D、E分别在棱AA1和CC1上，DA1=3（dm），EC1=2（dm）．试问现在此容器最多能盛水多少？
答案：由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=
VABC﹣A1B1C1=S△ABC AA1
= AC BC 4=10，得：AC BC=5
VB﹣ADEC=S△ADEC BC
= （AD+CE） AC BC=2.5
此容器最多能盛水：VABC﹣A1B1C1﹣VB﹣ADEC=7.5（L）．
解析：解答：由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=
VABC﹣A1B1C1=S△ABC AA1
= AC BC 4=10，得：AC BC=5
VB﹣ADEC=S△ADEC BC
= （AD+CE） AC BC=2.5
此容器最多能盛水：VABC﹣A1B1C1﹣VB﹣ADEC=7.5（L）．
分析：利用体积求出底面面积，然后求出VB﹣ADEC的体积，再求下部体积即可．
25. 球面上三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形，AB=18，BC=24，AC=30，且球心到该截面的距离为球的半径的一半．求球的体积；
答案：球面上三点A、B、C，平面ABC与球面交于一个圆，三点A、B、C在这个圆上
∵AB=18，BC=24，AC=30，AC2=AB2+BC2，
∴AC为这个圆的直径，AC中点M圆心球心O到平面ABC的距离，即OM=球半径的一半=R，
在△OMA中，∠OMA=90°OM=R，AM=AC=15，OA=R
由勾股定理（R）2+152=R2，R2=225 R2=300，R=10
球的体积S==4000（体积单位）
解析：解答：球面上三点A、B、C，平面ABC与球面交于一个圆，三点A、B、C在这个圆上
∵AB=18，BC=24，AC=30，AC2=AB2+BC2，
∴AC为这个圆的直径，AC中点M圆心球心O到平面ABC的距离，即OM=球半径的一半=R，
在△OMA中，∠OMA=90°OM=R，AM=AC=15，OA=R
由勾股定理（R）2+152=R2，R2=225 R2=300，R=10
球的体积S==4000（体积单位）．
分析：通过题意，确定△ABC的形状，先求球的半径，然后求球的体积．
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1.3 空间几何体的表面积与体积同步检测
1、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）
A、1：2：3 B、1：3：5
C、1：2：4 D、1：3：9
答案：B
解析：解答：由此可得到三个圆锥，
根据题意则有：
底面半径之比：r1：r2：r3=1：2：3，
母线长之比：l1：l2：l3=1：2：3，
侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9，
所以三部分侧面面积之比：S1：（S2﹣S1）：（S3﹣S2）=1：3：5
故选B
分析：先从得到的三个圆锥入手，根据“过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面”，结合相似比：可知底面半径之比：r1：r2：r3=1：2：3，母线长之比：l1：l2：l3=1：2：3，侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9，从而得到结论．
2. 将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积为（ ）
A、7 B、6
C、3 D、9
答案：A
解析：解答：原正四面体的表面积为4×=9，每截去一个小正四面体，
表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，
故表面积减少4×2×=2，故所得几何体的表面积为7．
故选A．
分析：先计算出原正四面体的表面积，再计算每截去一个小正四面体时，减少的表面积，然后求得结果．
3. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：由设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，
全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2
=．
故选A．
分析：设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．
4. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：因为四个面是全等的正三角形，
则．
故选A
分析：棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．
5. 已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（ ）
A、 B、2a2
C、 D、
答案：B
解析：解答：设正方体的棱长为x，则有：a2=3x2，所以正方体的表面积是6x2=2a2．
故选B．
分析：先求正方体的棱长，然后求全面积．
6. 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F在线段AB上，点M在线段B1C1上，点N在线段C1D1上，且EF=1，D1N=x，AE=y，M是B1C1的中点，则四面体MNEF的体积（ ）
A、与x有关，与y无关 B、与x无关，与y无关
C、与x无关，与y有关 D、与x有关，与y有关
答案：B
解析：解答：连接MA，则MA到为M点到AB的距离，
又∵EF=1，故S△MEF为定值，
又∵C1D1∥AB，则由线面平行的判定定理易得
C1D1∥面MEF，
又由N是棱C1D1上动点，故N点到平面MEF的距离也为定值，
即四面体MNEF的底面积和高均为定值
故四面体MNEF的体积为定值，与x无关，与y无关．
故选B．
分析：由棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=1，M是B1C1的中点，点N是棱C1D1上动点，由于M点到EF的距离固定，故底面积S△MEF的大小于EF点的位置没有关系，又根据C1D1∥EF得到C1D1与面MEF平行，则点N的位置对四面体MNEF的体积的没有影响，进而我们易判断四面体MNEF的体积所具有的性质．
7. 正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、1：4 B、3：8
C、1：2 D、2：3
答案：A
解析：解答：如图，棱锥A﹣B1CD1，的体积可以看成是
正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，
因为B1为PB的中点，D1为PD的中点，
∴棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD，的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，
棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，
则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积
=正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3×个正四棱锥P﹣ABCD的体积
=个正四棱锥P﹣ABCD的体积
则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．
故选A．
分析：如图，棱锥A﹣B1CD1，的体积可以看成正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，利用底面与高之间的关系得出棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD，的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积=正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3×个正四棱锥P﹣ABCD的体积，最终得到则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比．
8. 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：C
解析：解答：由题意正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，
可知：侧棱长为，三条侧棱两两垂直，
所以此三棱锥的体积为
故选C．
分析：先求正三棱锥的侧棱长，然后求出体积．
9. 己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：C
解析：解答：如图：由题意求出SA=AC=SB=BC=2，
∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则
进而可得：VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB，
所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．
故选C．
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分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．
10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）
A、与x，y，z都有关 B、与x有关，与y，z无关
C、与y有关，与x，z无关 D、与z有关，与x，y无关
答案：D
解析：解答：从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，
而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．
故选D．
分析：本四面体PEFQ的体积，找出三角形△EFQ面积是不变量，P到平面的距离是变化的，从而确定选项．
11. 表面积为16π的球内切于正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个面，则该项棱柱的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：B
解析：解答：设球半径为R，
由题意，正三棱柱的高是直径为2R，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是R，
所以正三角形的边长是2R，高是3R正三棱柱的体积 V=2R 3R 2R=6R2．
由于表面积为16π的球，∴R=2．
则该项棱柱的体积为：
故选B．
分析：由题意根据题中条件：“球内切于正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个面”求出正三棱柱的高、底面边长、底面高，即可求出正三棱柱的体积．
12. 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）
A、8π B、6π
C、4π D、π
答案：C
解析：解答：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，
故选C
分析：求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出灞桥区的表面积．
13. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高 H=R ctgθ
圆锥的体积 V1=πR2 H=πR3ctgθ
半球的体积 V2=πR3∵V1=V2即：πR3ctgθ=πR3∴ctgθ=2
∴cos2θ=
故选D．
分析：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值即可．
14. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A、1：2：3 B、2：3：4
C、3：2：4 D、3：1：2
答案：D
解析：解答：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，
则球的体积V球=
圆柱的体积V圆柱=2πR3
圆锥的体积V圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2
故选D
分析：由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可得到答案．
15. 设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A、成正比，比例系数为C B、成正比，比例系数为2C
C、成反比，比例系数为C D、成反比，比例系数为2C
答案：D
解析：解答：由题意可知球的体积为，则c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），由此可得，
而球的表面积为S（t）=4πR2（t），
所以V表=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），
即 V表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=
故选D
分析：求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．
16. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
A、 B、8π
C、 D、4π
答案：B
解析：解答：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1
球的半径为：R=
所以球的表面积：4πR2=4π×=8π
故选B．
分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．
17. 长方体的长、宽、高之和为12，对角线长为8，则它的全面积为 ．
答案：80
解析：解答：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c
则
（1）2﹣（2）得2ab+2ac+2bc=80
∴全面积为80
故答案为80．
分析：利用长方体的长、宽、高之和为12，对角线长为8，可构建两个方程，进而可求全面积．
18. 正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为 ．
答案：
解析：解答：∵正方体的棱长是1，
构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，
以上面一个正四棱锥为例，
它的高等于正方体棱长的一半，
正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是，
∴这个正四棱锥的体积是=
∴构成的八面体的体积是2×=
故答案为：．
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分析：构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是，做出正四棱锥的体积，得到正八面体的体积
19. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是 ．
答案：
解析：解答：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，
所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，
即：3×=．
故答案为：．
分析：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．
20. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ．
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答案：3π
解析：解答：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，
得到这是一个四棱锥，
底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，
∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC
根据直角三角形的勾股定理知AC==，
∴外接球的面积是，
故答案为：3π
分析：由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积．
21. 如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，若，则球O的表面积为 ．
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答案：16π
解析：解答：正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，
点P在球面上，则O为球心，PO⊥平面ABCD，
所以设球的半径为R，，R=2，
则球O的表面积为：16π，
故答案为：16π．
分析：从题目可以看出：PO⊥平面ABCD是半径，利用体积求出半径，可求球的表面积．
22. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是 ．
答案：
解析：解答：∵三棱锥的棱长为2，各面均为等边三角形
∴三棱锥的一个侧面的面积为×2×2×=，
所以：它的表面积为4，
故答案为．
分析：由题意知，三棱锥的侧面与底面是全等的等边三角形，因此各个面都是边长为2的等边三角形，先求出一个面的面积，丙乘以4可得它的表面积．
23. 如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm，两底面直径分别为40cm和30cm；现有制作这种纸篓的塑料制品395000 π cm2，问最多可以做这种纸篓多少个？
答案：S=π（r'2+r′l+rl）
=π（152+15×50+20×50）
=1975π（cm2）
=200（个）
答：最多可以做这种纸篓200个．
解析：解答：S=π（r'2+r′l+rl）
=π（152+15×50+20×50）
=1975π（cm2）
=200（个）
答：最多可以做这种纸篓200个．
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分析：由题意求出圆台形的纸篓（有底无盖）一个的表面积，然后即可求出制作的个数．
24. 如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=，若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10（L），高为4（dm），盛水时发现在D、E两处有泄露，且D、E分别在棱AA1和CC1上，DA1=3（dm），EC1=2（dm）．试问现在此容器最多能盛水多少？
答案：由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=
VABC﹣A1B1C1=S△ABC AA1
= AC BC 4=10，得：AC BC=5
VB﹣ADEC=S△ADEC BC
= （AD+CE） AC BC=2.5
此容器最多能盛水：VABC﹣A1B1C1﹣VB﹣ADEC=7.5（L）．
解析：解答：由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=
VABC﹣A1B1C1=S△ABC AA1
= AC BC 4=10，得：AC BC=5
VB﹣ADEC=S△ADEC BC
= （AD+CE） AC BC=2.5
此容器最多能盛水：VABC﹣A1B1C1﹣VB﹣ADEC=7.5（L）．
分析：利用体积求出底面面积，然后求出VB﹣ADEC的体积，再求下部体积即可．
25. 球面上三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形，AB=18，BC=24，AC=30，且球心到该截面的距离为球的半径的一半．求球的体积；
答案：球面上三点A、B、C，平面ABC与球面交于一个圆，三点A、B、C在这个圆上
∵AB=18，BC=24，AC=30，AC2=AB2+BC2，
∴AC为这个圆的直径，AC中点M圆心球心O到平面ABC的距离，即OM=球半径的一半=R，
在△OMA中，∠OMA=90°OM=R，AM=AC=15，OA=R
由勾股定理（R）2+152=R2，R2=225 R2=300，R=10
球的体积S==4000（体积单位）
解析：解答：球面上三点A、B、C，平面ABC与球面交于一个圆，三点A、B、C在这个圆上
∵AB=18，BC=24，AC=30，AC2=AB2+BC2，
∴AC为这个圆的直径，AC中点M圆心球心O到平面ABC的距离，即OM=球半径的一半=R，
在△OMA中，∠OMA=90°OM=R，AM=AC=15，OA=R
由勾股定理（R）2+152=R2，R2=225 R2=300，R=10
球的体积S==4000（体积单位）．
分析：通过题意，确定△ABC的形状，先求球的半径，然后求球的体积．
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