贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高一下学期6月联考数学试卷
1．（2024高一下·南明月考）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：B.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z，再利用复数的模长公式求解即可.
2．（2024高一下·南明月考）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：易知不共线，
A、和不共线，故A不符合；
B、和共线，故B符合；
C、和不共线，故C不符合；
D、易知和不共线，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】判断每个选项中的向量是否共线判断即可.
3．（2024高一下·南明月考）已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设向量，共起点，
因为向量满足，所以，即与垂直，
如图所示：
由向量减法的几何意义可知：向量的终点落在图中的圆上，且的终点在图中所示的射线上，
的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要使取最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
则的最小值为.
故答案为：A.
【分析】设向量，共起点，由题意可得与垂直，结合向量的几何意义，可将向量的模的问题转化为点到线的距离问题求解即可.
4．（2024高一下·南明月考）为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则或与异面
【答案】D
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A选项： 若，， ，则直线a与b可以平行也可以异面，故A选项错误；
对于B选项： 若，， ，则平面可以互相平行或相交，故B选项错误；
对于C选项： 若，，则 a可以平行，也可以属于平面，故C选项错误；
对于D选项： 若，，则或与异面 ，则D选项正确.
故答案为：D.
【分析】利用直线与直线的位置关系的定理及性质，直线与平面平行的判定定理与性质，平面与平面的判定定理及性质进行逐项判定即可求解.
5．（2024高一下·南明月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形（ ）
【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，根据正弦定理可得：，
即，所以，所以是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，利用正弦定理化边化角，得角的关系即可判断三角形形状.
6．（2024高一下·南明月考） 下列说法不正确的是（ ）
A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：A、正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确；
B、由棱台的定义可知棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确；
C、用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误；
D、棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据棱锥、棱柱、棱台的定义一一 判断选项即可.
7．（2024高一下·南明月考）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，，
则余弦相似度为：，
余弦距离为：，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】根据余弦相似度的定义以及余弦距离求出，再由诱导公式求解即可.
8．（2024高一下·南明月考）如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，将平面和平面展开到同一平面，
连接，交于点，如图所示：
易知，
在正方体中，，则，
即四边形为菱形，，
故.
故答案为：C．
【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，连接求解即可．
9．（2024高一下·南明月考）下列命题中，真命题为（ ）
A．复数为纯虚数的充要条件是
B．复数的共轭复数为
C．复数的虚部为
D．复数，则
【答案】B,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数为纯虚数的充要条件是，A不符合题意.
复数的共轭复数为，复数的虚部为，B，C对.
复数，则，，D对.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法和复数为纯虚数的判断方法；复数与共轭复数的关系；复数的虚部的定义；复数的乘除法运算法则，进而找出真命题的选项。
10．（2024高一下·南明月考）已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．一定存在实数x，y使得成立
B．若且，那么一定有
C．若，那么
D．若，那么，，一定相互平行
【答案】B,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、当与共线时，无法用共线向量，表示，故A错误；
B、若，且，则，即，故B正确；
C、若，则，因为，
所以，
因为，所以，即，
则，
又因为，所以，
所以，故C正确；
D、当与垂直，与垂直时，成立，但是，，不相互平行，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】当和共线时，即可判断A；利用向量垂直的定义即可判断B；将变形成，再平方后变形即可判断C；选利用两向量垂直，则数量积等于零，可令与垂直，与垂直，即可判断D．
11．（2024高一下·南明月考）已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（ ）
A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
【答案】A,C
【知识点】极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、6年的常住人口最小值为698.12，最大值为736.00，则极差为万，故A正确；
B、由图可知， 6年的常住人口有增有减，故B错误；
C、 6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，，则第60百分位数为730.50万，故C正确；
D、 6年的常住人口的平均数为万，
故D错误．
故答案为：AC.
【分析】根据极差，百分位数，平均数的定义对选项判断即可.
12．（2024高一下·南明月考）若，，平面内一点P，满足，的最大值是 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦函数的性质；解三角形
【解析】【解答】解：由，可得，
即，即为角的角平分线，如图所示：
由角平分线定理可知：，
设，则，由，，可得，
由余弦定理可得：
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以，故.
故答案为：.
【分析】由题意结合向量的数量积可得，即为角的角平分线，利用三角形的角平分线定理可得，设，求出的取值范围，利用余弦定理得到的解析式，由基本不等式求得的范围，再根据正弦函数的图象求的最大值即可.
13．（2024高一下·南明月考）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，又，所以，
即，所以，所以，
所以，又，
所以，又，所以，由正弦定理，
所以，所以
，由得，所以，即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用余弦定理及正弦定理边化角整理计算得到，利用正弦定理将用角表示，利用辅助角公式变形，利用正弦函数的性质求最值.
14．（2024高一下·南明月考）已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是 .
【答案】0.79
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，
∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
∴ ，
解得 .
∴a的最大值是0.79.
故答案为：0.79
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出a的取值范围，从而得出a的最大值。
15．（2024高一下·南明月考）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
【答案】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，
解得.
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）解：（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；样本点与有限样本空间
【解析】【分析】 (1)分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 根据题意结合互斥事件的概率公式求 ，即可得结果；
(2)（i）用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 根据题意列举样本空间；
（ii） 由（i） 中的结果，结合古典概型分析判断.
16．（2024高一下·南明月考）为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.
（1）在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？
（2）求的值；
（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知：月均用水量在内的家庭占，
则在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户；
（2）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得，则①，
因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9，所以在，
则②，由①②解得；
（3）解：估计这500个家庭的月均用水量的平均值为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求得月均用水量在内频率，利用频率求月均用水量在内的家庭户数即可 ；
（2）根据频率分布直方图中矩形面积与频率的关系，以及百分位数的计算公式，列出方程组，求解即可；
（3）根据频率分布直方图平均数的计算公式计算即可.
（1）因为月均用水量在内的家庭占，
所以在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户.
（2）由频率分布直方图，可得，则，
因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9，
所以在，则，解得.
（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值为
.
17．（2024高一下·南明月考）已知向量，．
（1）若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标；
（2）若向量，且，求向量，夹角的余弦值．
【答案】（1）解：易知，，
若，则，即，解得，
则向量在向量上的投影向量为，其坐标为；
（2）解：易知，
若，则，解得，
则，，，，故.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示求出，再求投影向量的坐标即可；
（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求出，再根据向量夹角的余弦公式求解即可.
（1）由，，得，，
由，得，即，则，
所以向量在向量上的投影向量为，其坐标为．
（2）依题意，，由，得，解得，
则，，，，
所以.
18．（2024高一下·南明月考）在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（1）求角；
（2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
（3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
整理可得，
则，
，即，
因为，所以，所以，又因为，所以；
（2）解：点是内一动点，，则，即，
两边平方可得
，
由余弦定理，可得，
即，即，当且仅当时等号成立，
则，当且仅当时等号成立，故；
（3）解：由，，
则，即平分，
因为，所以，
又因为，所以，所以，解得，所以，
则，则，即，
即．
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理结合诱导公式及两角和的正弦公式化简求出，从而求角即可；
（2）根据平面向量线性运算得到，再利用向量数量积的运算律及定义得到，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值即可；
（3）依题意可得平分，由面积公式得到，再由正弦定理将边化角，最后转化为关于的三角函数，由的范围求出函数的值域即可.
（1），，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
又，，则，
，又，，
（2）点是内一动点，，
，，
，
由余弦定理，可得，
即，所以，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，；
（3），，
，即平分，
，
所以，
又，，
所以，解得，，
则，则，即，
即．
19．（2024高一下·南明月考）如图，在正三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
（3）在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明：易知是等边三角形，平面，
因为平面，所以，
又因为是等边三角形，D为的中点，所以，
又因为，平面，且，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，，如图所示：
则，即是异面直线与CD所成的角或补角，
设，则，，，，
即，
故异面直线与CD所成角的余弦值为；
（3）解：在中，作，垂足为E，
因为平面，且平面，所以，
因为平面，且，所以平面，
因为平面BCE，所以平面平面，
设，则，，故，
因为，所以，
则，，所以，
故在上存在点E，使得平面平面，此时.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正三棱柱的特征结合线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可；
（3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可.
（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面．
因为平面，所以.
因为是等边三角形，D为的中点，所以.
因为，平面，且，
所以平面．
（2）如图，取的中点，连接，，则，
则是异面直线与CD所成的角或补角.
设，则，，，，
故，
即异面直线与CD所成角的余弦值为.
（3）在中，作，垂足为E.
因为平面，且平面，
所以.
因为平面，且，
所以平面.
因为平面BCE，所以平面平面.
设，则，，故.
因为，
所以，
则，，
所以.
故在上存在点E，使得平面平面，此时.
1 / 1贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高一下学期6月联考数学试卷
1．（2024高一下·南明月考）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·南明月考）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．（2024高一下·南明月考）已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·南明月考）为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则或与异面
5．（2024高一下·南明月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形（ ）
6．（2024高一下·南明月考） 下列说法不正确的是（ ）
A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
7．（2024高一下·南明月考）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·南明月考）如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·南明月考）下列命题中，真命题为（ ）
A．复数为纯虚数的充要条件是
B．复数的共轭复数为
C．复数的虚部为
D．复数，则
10．（2024高一下·南明月考）已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．一定存在实数x，y使得成立
B．若且，那么一定有
C．若，那么
D．若，那么，，一定相互平行
11．（2024高一下·南明月考）已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（ ）
A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
12．（2024高一下·南明月考）若，，平面内一点P，满足，的最大值是 ．
13．（2024高一下·南明月考）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是 ．
14．（2024高一下·南明月考）已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是 .
15．（2024高一下·南明月考）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
16．（2024高一下·南明月考）为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.
（1）在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？
（2）求的值；
（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
17．（2024高一下·南明月考）已知向量，．
（1）若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标；
（2）若向量，且，求向量，夹角的余弦值．
18．（2024高一下·南明月考）在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（1）求角；
（2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
（3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围．
19．（2024高一下·南明月考）如图，在正三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
（3）在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：B.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z，再利用复数的模长公式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：易知不共线，
A、和不共线，故A不符合；
B、和共线，故B符合；
C、和不共线，故C不符合；
D、易知和不共线，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】判断每个选项中的向量是否共线判断即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设向量，共起点，
因为向量满足，所以，即与垂直，
如图所示：
由向量减法的几何意义可知：向量的终点落在图中的圆上，且的终点在图中所示的射线上，
的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要使取最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
则的最小值为.
故答案为：A.
【分析】设向量，共起点，由题意可得与垂直，结合向量的几何意义，可将向量的模的问题转化为点到线的距离问题求解即可.
4．【答案】D
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A选项： 若，， ，则直线a与b可以平行也可以异面，故A选项错误；
对于B选项： 若，， ，则平面可以互相平行或相交，故B选项错误；
对于C选项： 若，，则 a可以平行，也可以属于平面，故C选项错误；
对于D选项： 若，，则或与异面 ，则D选项正确.
故答案为：D.
【分析】利用直线与直线的位置关系的定理及性质，直线与平面平行的判定定理与性质，平面与平面的判定定理及性质进行逐项判定即可求解.
5．【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，根据正弦定理可得：，
即，所以，所以是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，利用正弦定理化边化角，得角的关系即可判断三角形形状.
6．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：A、正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确；
B、由棱台的定义可知棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确；
C、用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误；
D、棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据棱锥、棱柱、棱台的定义一一 判断选项即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，，
则余弦相似度为：，
余弦距离为：，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】根据余弦相似度的定义以及余弦距离求出，再由诱导公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，将平面和平面展开到同一平面，
连接，交于点，如图所示：
易知，
在正方体中，，则，
即四边形为菱形，，
故.
故答案为：C．
【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，连接求解即可．
9．【答案】B,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数为纯虚数的充要条件是，A不符合题意.
复数的共轭复数为，复数的虚部为，B，C对.
复数，则，，D对.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法和复数为纯虚数的判断方法；复数与共轭复数的关系；复数的虚部的定义；复数的乘除法运算法则，进而找出真命题的选项。
10．【答案】B,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、当与共线时，无法用共线向量，表示，故A错误；
B、若，且，则，即，故B正确；
C、若，则，因为，
所以，
因为，所以，即，
则，
又因为，所以，
所以，故C正确；
D、当与垂直，与垂直时，成立，但是，，不相互平行，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】当和共线时，即可判断A；利用向量垂直的定义即可判断B；将变形成，再平方后变形即可判断C；选利用两向量垂直，则数量积等于零，可令与垂直，与垂直，即可判断D．
11．【答案】A,C
【知识点】极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、6年的常住人口最小值为698.12，最大值为736.00，则极差为万，故A正确；
B、由图可知， 6年的常住人口有增有减，故B错误；
C、 6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，，则第60百分位数为730.50万，故C正确；
D、 6年的常住人口的平均数为万，
故D错误．
故答案为：AC.
【分析】根据极差，百分位数，平均数的定义对选项判断即可.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦函数的性质；解三角形
【解析】【解答】解：由，可得，
即，即为角的角平分线，如图所示：
由角平分线定理可知：，
设，则，由，，可得，
由余弦定理可得：
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以，故.
故答案为：.
【分析】由题意结合向量的数量积可得，即为角的角平分线，利用三角形的角平分线定理可得，设，求出的取值范围，利用余弦定理得到的解析式，由基本不等式求得的范围，再根据正弦函数的图象求的最大值即可.
13．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，又，所以，
即，所以，所以，
所以，又，
所以，又，所以，由正弦定理，
所以，所以
，由得，所以，即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用余弦定理及正弦定理边化角整理计算得到，利用正弦定理将用角表示，利用辅助角公式变形，利用正弦函数的性质求最值.
14．【答案】0.79
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，
∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
∴ ，
解得 .
∴a的最大值是0.79.
故答案为：0.79
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出a的取值范围，从而得出a的最大值。
15．【答案】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，
解得.
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）解：（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；样本点与有限样本空间
【解析】【分析】 (1)分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 根据题意结合互斥事件的概率公式求 ，即可得结果；
(2)（i）用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 根据题意列举样本空间；
（ii） 由（i） 中的结果，结合古典概型分析判断.
16．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知：月均用水量在内的家庭占，
则在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户；
（2）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得，则①，
因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9，所以在，
则②，由①②解得；
（3）解：估计这500个家庭的月均用水量的平均值为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求得月均用水量在内频率，利用频率求月均用水量在内的家庭户数即可 ；
（2）根据频率分布直方图中矩形面积与频率的关系，以及百分位数的计算公式，列出方程组，求解即可；
（3）根据频率分布直方图平均数的计算公式计算即可.
（1）因为月均用水量在内的家庭占，
所以在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户.
（2）由频率分布直方图，可得，则，
因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9，
所以在，则，解得.
（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值为
.
17．【答案】（1）解：易知，，
若，则，即，解得，
则向量在向量上的投影向量为，其坐标为；
（2）解：易知，
若，则，解得，
则，，，，故.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示求出，再求投影向量的坐标即可；
（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求出，再根据向量夹角的余弦公式求解即可.
（1）由，，得，，
由，得，即，则，
所以向量在向量上的投影向量为，其坐标为．
（2）依题意，，由，得，解得，
则，，，，
所以.
18．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
整理可得，
则，
，即，
因为，所以，所以，又因为，所以；
（2）解：点是内一动点，，则，即，
两边平方可得
，
由余弦定理，可得，
即，即，当且仅当时等号成立，
则，当且仅当时等号成立，故；
（3）解：由，，
则，即平分，
因为，所以，
又因为，所以，所以，解得，所以，
则，则，即，
即．
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理结合诱导公式及两角和的正弦公式化简求出，从而求角即可；
（2）根据平面向量线性运算得到，再利用向量数量积的运算律及定义得到，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值即可；
（3）依题意可得平分，由面积公式得到，再由正弦定理将边化角，最后转化为关于的三角函数，由的范围求出函数的值域即可.
（1），，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
又，，则，
，又，，
（2）点是内一动点，，
，，
，
由余弦定理，可得，
即，所以，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，；
（3），，
，即平分，
，
所以，
又，，
所以，解得，，
则，则，即，
即．
19．【答案】（1）证明：易知是等边三角形，平面，
因为平面，所以，
又因为是等边三角形，D为的中点，所以，
又因为，平面，且，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，，如图所示：
则，即是异面直线与CD所成的角或补角，
设，则，，，，
即，
故异面直线与CD所成角的余弦值为；
（3）解：在中，作，垂足为E，
因为平面，且平面，所以，
因为平面，且，所以平面，
因为平面BCE，所以平面平面，
设，则，，故，
因为，所以，
则，，所以，
故在上存在点E，使得平面平面，此时.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正三棱柱的特征结合线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可；
（3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可.
（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面．
因为平面，所以.
因为是等边三角形，D为的中点，所以.
因为，平面，且，
所以平面．
（2）如图，取的中点，连接，，则，
则是异面直线与CD所成的角或补角.
设，则，，，，
故，
即异面直线与CD所成角的余弦值为.
（3）在中，作，垂足为E.
因为平面，且平面，
所以.
因为平面，且，
所以平面.
因为平面BCE，所以平面平面.
设，则，，故.
因为，
所以，
则，，
所以.
故在上存在点E，使得平面平面，此时.
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