浙江省绍兴市第一初级中学2023-2024学年九年级下学期期始作业检查数学试卷
1.(2024九下·绍兴开学考)的相反数是( )
A. B. C. D.3
2.(2024九下·绍兴开学考)2023年9月23日,第19届亚运会在杭州开幕,开幕式现场直播及相关报道在多媒体平台的总播放量约为503000000次,其中数据“503000000”用科学记数法表示为( )
A.50.3×107 B.5.03×108 C.50.3×108 D.5.03×109
3.(2024九下·绍兴开学考)下列计算正确的是( )
A.a2+a4=a6 B.(﹣a3)2=a6
C.2a+3b=5ab D.a6÷a3=a2
4.(2024九下·绍兴开学考)如图所示放置的正三棱柱的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.(2024九下·绍兴开学考)已知点P关于x轴对称的点的坐标为(﹣1,2),则点P的坐标为( )
A.(2,1) B.(1,﹣2)
C.(1,2) D.(﹣1,﹣2)
6.(2024九下·绍兴开学考)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多六客,一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是:如果一间客房住7人,那么有6人无房可住;如果一间客房住8人,那么就空出一间客房,若设该店有客房x间,房客y人,则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
7.(2024九下·绍兴开学考)“少年强则国强;强国有我,请党放心.”这句话中,“强”字出现的频率是( )
A. B. C. D.
8.(2024九下·绍兴开学考)如图,直线l1∥l2,一副三角板放置在l1,l2之间,一三角板直角边在l1上,三角板斜边在同一直线上,则∠α=( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
9.(2024九下·绍兴开学考)摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理是:如图,在正方形ABCD的底边BC取中点E,以E为圆心,线段DE长为半径作圆,与底边BC的延长线交于点F,矩形ABFG称为黄金矩形.若CF=4,则AB为( )
A. B. C. D.
10.(2024九下·绍兴开学考)如图,反比例函数的图象与矩形OABC的边AB、BC分别相交于点D、E,连接OD、OE,直线DE与x轴、y轴分别相交于点M、N,则下列结论正确的是( )
①S△OCE=S△OAD; ②;③DM=EN;④若S△ODE=9.6,S长方形OABC=20,则k=4.
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④
11.(2024九下·绍兴开学考)要使分式有意义,则x应满足的条件是 .
12.(2024九下·绍兴开学考)分解因式8x3y﹣18xy= .
13.(2024九下·绍兴开学考)直线y=k2x和y=k1x+b如图所示,则关于x的不等式k2(x﹣2)<k1(x﹣2)+b的解集是 .
14.(2024九下·绍兴开学考)如图,AB是⊙O的弦,OA,OB是⊙O的半径,∠A=20°,若C是⊙O上异于A,B两点的另一点,则∠ACB的度数是 .
15.(2024九下·绍兴开学考)如图1,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为10.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为 .(结果保留π)
16.(2024九下·绍兴开学考)如图1是七巧板图案,现将它剪拼成一个“台灯”造型(如图2),过该造型的上下左侧五点作矩形ABCD,使得,点N为PQ的中点,并且在矩形内右上角部分留出正方形EFGH作为印章区域(EH∥AD,HG∥CD),形成一幅装饰画,则矩形ABCD的周长为 cm.若点M,N,E在同一直线上,且点H到AD的距离与到CD的距离相等,则印章区域的面积为 cm2.
17.(2024九下·绍兴开学考)计算:.
18.(2024九下·绍兴开学考)解不等式组.
19.(2024九下·绍兴开学考)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点都在格点上,坐标分别为A(2,4),B(1,2),C(5,3).
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;
(2)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的△A2B2C2,写出B2点坐标.
(3)在x轴上找一点P,使PB+PC的和最小,求出P点坐标.
20.(2024九下·绍兴开学考)学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话,牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观,让环保理念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况,对本班全体学生进行了调查,并将调查结果分为三类:A:好,B:中,:差.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求全班学生总人数;
(2)在扇形统计图中, , ,类的圆心角为 ;
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生,其中类1人,类2人,类1人,若再从这4人中随机抽取2人,请用列表法或画树状图的方法求出全是类学生的概率.
21.(2024九下·绍兴开学考)如图,已知斜坡AB长为60米,坡角(即∠BAC)为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示),修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡角为45°,求平台DE的长;(结果保留根号)
(2)一座建筑物GH距离A处30米远(即AG为30米),小明在D处测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°,点B、C、A、G、H在同一个平面内,点C、A、G在同一条直线上,且HG⊥CG,求建筑物GH的高度.(结果保留根号)
22.(2024九下·绍兴开学考)如图,在矩形中,,,是边上的一点(不与、重合),,垂足为.
(1)求证: ;
(2)若,求的长.
23.(2024九下·绍兴开学考)已知点(﹣m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数,a≠0)的图象上.
(1)当m=2时,求a和b的值;
(2)若二次函数的图象经过点A(﹣n,3)且点A不在坐标轴上,当﹣2<m<1时,求n的取值范围;
(3)求证:b2+4a=0.
24.(2024九下·绍兴开学考)如图1,在圆内接四边形ABCD中,AD,BC的延长线交于点E,连结BO并延长交AD于点G,连结BD.已知BD=AB,∠CDE=3∠CBD,,BO=5.
(1)求证:∠GBD=∠CBD.
(2)求OG与GD的长.
(3)如图2,F是BO中点,动点P在FG上从点F向终点G匀速运动,同时动点Q在AE上从点E向终点A匀速运动.当点Q在点D处时,点P在点O处,设QE=x,PG=y.
①求y关于x的表达式.
②连结PQ,当直线PQ与△BCD的某一边所在的直线垂直时,记垂足为点M,直接写出QM的值.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解:的相反数是,
故答案为:C.
【分析】根据相反数的概念:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0,即可求解.
2.【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:503000000=5.03×108.
故答案为:B.
【分析】把一个数表示成a×10 的形式时, a和n的确定方法如下:将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种:①n为比原数整数位数少1 的正整数;②小数点向左移动了几位,n就等于几.
3.【答案】B
【知识点】整式的加减运算;同底数幂的除法;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A、不是同类项不能合并,故错误;
B、,故正确;
C、不是同类项不能合并,故错误;
D、a6÷a3=a3,故错误;
故答案为:B.
【分析】A、根据合并同类项的运算法则,系数相加,字母和字母的指数不变,即可得出结果;
B、根据幂的乘方的运算法则,底数不变,指数相乘,即可得出结果;
C、根据合并同类项的运算法则,系数相加,字母和字母的指数不变,即可得出结果;
D、根据同底数幂的除法的运算法则,底数不变,指数相减,即可得出结果.
4.【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解:如图所示的正三棱柱的俯视图是
故答案为:A.
【分析】俯视图是从上往下看得到的平面图形,能看见的轮廓线画成实线,看不见但又存在的轮廓线画成虚线,据此逐一判断即可.
5.【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,2),
∴点P的坐标为(-1,-2),
故答案为:D.
【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是:横坐标不变,纵坐标互为相反数.
6.【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解:设该店有客房x间,房客y人,
根据题意得:
故答案为:D.
【分析】设该店有客房x间,房客y人;根据“一房七客多七客,一房九客一房空”得出方程组即可.
7.【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解:“强”字出现的频率是:,
故答案为:C.
【分析】根据频率的定义,频率=频数÷总数,即可求解.
8.【答案】B
【知识点】平行线的性质;三角形的外角性质
【解析】【解答】如图所示:
根据题意可得:∠GAF=30°,∠CDE=45°,
∵ 直线l1∥l2,
∴∠CBD=∠GAF=30°,
∴ ∠α=∠CDE-∠CBD=45°-30°=15°,
故答案为:B.
【分析】利用平行线的性质可得∠CBD=∠GAF=30°,再利用三角形外角的性质求出∠α=∠CDE-∠CBD=45°-30°=15°即可.
9.【答案】D
【知识点】矩形的性质;正方形的性质;黄金分割
【解析】【解答】解:设AB=x,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=x,
∵矩形ABFG是黄金矩形,
∴,
∴,
解得:,
经检验:是原方程的根,
∴,
故答案为:D.
【分析】设AB=x,根据正方形的性质可得AB=BC=x,根据黄金矩形的定义可得,从而可得,最后进行计算即可解答.
10.【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义;三角形的面积;反比例函数图象上点的坐标特征;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解:设B(a,b),则OA=BC=a,AB=b,
∵点D、E在反比例函数(x>0)的图象上,,
∴,,
∴,故①正确;
∵,,
∴,,
∴,故②正确;
∵AM//BE,CN//BD,
∴△MAD∽△EBD,△NCE∽△DBE,
∴,,
∴,
∴DM=EN,故③正确;
由S△OCE+S△OAD+S△ODE+ S△EBD=S长方形OABC得:
,
则,
又∵ab=20,
∴k=±4(负值舍去),故④正确;
综上,正确的结论为①②③④,
故答案为:D.
【分析】通过分析点D、E在反比例函数图象上的位置关系,以及它们与矩形OABC边的关系,来判断各个选项的正确性.
11.【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解:根据题意可知,x-2≠0,
解得:x≠2.
故答案为:x≠2.
【分析】根据分母不为0列式求解即可.
12.【答案】2xy(2x+3)(2x-3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解:8x3y-18xy=2xy(4x2-9)=2xy(2x+3)(2x-3),
故答案为:2xy(2x+3)(2x-3).
【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
13.【答案】x<1
【知识点】一次函数与不等式(组)的关系
【解析】【解答】解:直线y=k2x和y=k1x+b的交点坐标为(-1,-2),
根据图象,k2x∵直线y=k2(x-2)和y=k1(x-2)+b是直线y=k2x和y=k1x+b向右平移2个单位所得,
∴平移后两直线的交点坐标为(1,-2),
∴不等式k2(x-2)故答案为:x<1.
【分析】确定原不等式的解集,然后根据平移的性质求出新不等式的解集.
14.【答案】70°或110°
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质;圆周角定理
【解析】【解答】解:∵OA=OB,∠A=20°,
∴∠OAB=∠OBA=20°,
∴∠AOB=180°-20°-20°=140°,
当点C在优弧AB上,如图,,
当点C'在劣弧AB上时,∠C'=180°-∠C =110°,
即∠ACB的度数为70°或110°.
故答案为:70°或110°.
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠AOB的度数,根据圆周角定理计算点C在优弧AB上时∠ACB的度数;根据圆内接四边形的性质计算点C在劣弧AB上时∠ACB的度数.
15.【答案】
【知识点】勾股定理;扇形面积的计算;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:连接OD,
在Rt△OCD中,,
∴∠ODC=30°,.
∴∠COD=60°,
∴阴影部分的面积,
故答案为:.
【分析】连接OD,根据勾股定理求出CD,根据直角三角形的性质求出∠AOD,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算,得到答案.
16.【答案】64;12.25
【知识点】七巧板与拼图制作;矩形的性质;正方形的性质
【解析】【解答】解:由图1可知,
七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6,然后,最小的直角边长为3,
正方形和平行四边形的短边长都是3.
过点N作AD和BC的垂线,垂足分别为J,K,则NJ=3+3+3=9,
又∵,且△NMK是等腰直角三角形,
∴NK=3,
故JK=9+3=12.
又∵∠A=∠B=∠BKJ=90°,
∴四边形ABKJ是矩形,
∴AB=JK=12,
又∵,
∴BC=20,
故矩形ABCD的周长为2×(12+20)=64,
延长MN经过点E与AD交于点L,连接DH,
∵∠NMC=45°,且AD//BC,
∴∠ALM=45°.
又∵点H到AD的距离与到CD的距离相等
∴点H在∠ADC的角平分线上,则,
∴∠ADH=∠ALE,
∴LE//DH,
又∵LD//EH,
∴四边形LEHD是平行四边形,
又∵AJ=6+1.5=7.5,JL=JN=9,
∴AL=7.5+9=16.5.
∴DL=20-16.5=3.5,则EH=DL=3.5,
∵四边形EFGH是正方形,
∴印章区域的面积为EH2=12.25cm2,
故答案为:64,12.25.
【分析】根据题目描述,AB的长度为12cm,BC的长度为20cm,矩形的周长公式为2×(长+宽);再根据题目描述,印章区域是一个正方形,边长为3.5cm,正方形的面积公式为边长的平方.
17.【答案】解:
,
,
=1
【知识点】零指数幂;求特殊角的三角函数值;实数的混合运算(含开方)
【解析】【分析】原式利用二次根式运算,零指数幂法则,以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
18.【答案】解:由3x>﹣6得:x>﹣2,
由x+1≤3得:x≤2,
则不等式组的解集为﹣2<x≤2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.
19.【答案】(1)解:见解析;
(2)解:见解析;如图,△A2B2C2即为所求,B2(2,﹣1);
(3)解:作点B关于x轴的对称点B3,再连接B3C与x轴的交点即为所求点P,
由题意可得B3(1,-2),C(5,3),
设直线B3C解析式为y=k+b,代入得:
,
解得
∴直线B3C解析式为,
令得,
∴
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题;作图﹣旋转;作图﹣中心对称
【解析】【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求;
(2)如图,△A2B2C2即为所求,B(2,-1);
【分析】(1)根据中心对称的性质,对于任意点(x,y),其关于原点的对称点为(-x,-y);
(2)根据旋转的性质,对于任意点(x,y),绕原点顺时针旋转90°后的坐标为(y,-x);
(3)为了使PB+PC的和最小,P点应为B关于x轴的对称点B3与C的连线与x轴的交点.
20.【答案】(1)全班学生总人数为:10÷25%=40(人);
(2)15;60;54°
(3)列表如下:
A B B C
A \ (A,B) (A,B) (A,C)
B (B,A) \ (B,B) (B,C)
B (B,A) (B,B) \ (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,B) \
由表可知,共有12种等可能结果,其中全是B类学生的有2种结果
∴P(全是B类学生)=.
【知识点】扇形统计图;条形统计图;用列表法或树状图法求概率;概率公式
【解析】【解答】解:(2)C类人数为40-(10+24)=6人,
∴a%=×100%=15%,b%=×100%=60%,
∴a=15,b=60,
C类的圆心角为圆心角度数为360°×=54°.
故答案为:15,60,54°.
【分析】(1)利用A类人数除以其百分比,即得全班学生总人数;
(2)利用总人数减去A、B类人数求出C类人数,由360°乘以C类人数所占比例可得C类的圆心角度数,分别利用B、C类人数除以总人数可求出a、b值.
(3)利用列表法列举出共有12种等可能结果,其中全是B类学生的有2种结果,然后利用概率公式计算即可.
21.【答案】(1)解:∵修建的斜坡BE的坡角为45°,
∴∠BEF=45°,
∵∠DAC=∠BDF=30°,AD=BD=30米,
∴,米,
∴(米),
∴平台DE的长为 米
(2)解:过点D作DP⊥AC,垂足为P,
在Rt△DPA中,米,
∴米,
∴在矩形DPGM中,MG=DP=15米,
(米),
在Rt△DMH中,
(米),
则(米),
∴建筑物GH的高度为(30+10)米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】(1)根据题意得出∠BEF=45°,解直角△BDF,求出BF,DF,进而得出EF的长,即可得出答案;
(2)利用在Rt△DPA中,,以及PA=AD·cos30°进而得出DM的长,利用HM=DM·cos30°得出即可.
22.【答案】(1)证明:∵四边形是矩形,,,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
(2)解:∵,,
∴,
∴或(负数不符合题意,舍去),
∴,
∴,
∴的长为.
【知识点】勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质可得,再结合即可证出;
(2)利用相似三角形的性质可得,再求出,最后利用勾股定理求出BE的长即可.
23.【答案】(1)解:当m=2时,二次函数y=ax2+bx+3图象过点(-2,0)和(6,0),
把(-2,0)和(6,0)代入解析式得:
∴解得
∴a=,b=1
(2)解:∵y=ax2+bx+3图象过点(-m,0)和(3m,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=m,
∵y=ax2+bx+3的图象过点A(-n,3),(0,3),且点A不在坐标轴上,
∴由图象的对称性得-n=2m,且n≠0,
∴,
∵-2∴,
∴-2∴n的取值范围为-2<n<4且n≠0.
(3)证明∵抛物线过(﹣m,0),(3m,0),
∴抛物线对称轴为直线,
∴,
∴b=﹣2am,
∴b2+4a=(﹣2am)2+4a=4a(am2+1),
∵点(﹣m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数,a≠0)的图象上,
∴,
①×3+②得:12am2+12=0,
∴am2+1=0,
∴b2+4a=4a×0=0.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)根据题意列出方程组,解方程组即可求得a、b的值;
(2)根据对称轴公式求得对称轴为直线x=m,根据题意当m=0时,不合题意,当m>0时,二次函数的图象与直线y=3的交点的横坐标为正数,当m<0时,二次函数的图象与直线y=3的交点的横坐标为负数,即可求得n的取值范围;
(3)将点(-m,0)和(3m,0)代入二次函数y=ax2+bx+3,得到关于a、b、m的方程组,即可证明.
24.【答案】(1)证明:∵BD=AB,
∴,
∵BG过点O,
∴BG⊥AD,
∴,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠CDE=∠ABC,
∵∠CDE=3∠CBD,
∴∠ABC=3∠CBD,
∴∠CBD=,
∴∠CBD=∠GBD;
(2)解:如图,连结OD,
∵OB=OD=5,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠OBD=∠CBD,
∴∠ODB=∠CBD,
∴OD∥BE,
, 即
∵∠OGD=90°,OD=5,
∴OG=4,DG=3
(3)解:①由题意得:,
∵F是BO中点,
∴OF=
∴FG=OF+OG=,
设QE=x,PG=y,则FP=-y,
∴,
;
②QM的值为 或
【知识点】圆内接四边形的性质;圆-动点问题;圆与三角形的综合
【解析】【解答】解:(3)②如图,PQ⊥BC于点M,连结OD,
由(2)知,OD//BE,
∴∠QEM=∠GDO,
∴,
∵BG⊥AD,
∴∠PQG=∠PBM=∠GOD,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,且,
解得:,
∴;
如图,PQ⊥BD于点M,
∵BG⊥AD,
∴∠PQG =∠GBD,
∵BG=OB+ OG =9,
∴,
∴,即,且,
解得:,
在Rt△BDG中,,
∴,
∴,
当PQ⊥CD于点M,
在△QDM中,
∵∠QDM>90,
∴∠QMD<90°,
故这种情况不存在.
综上所述,QM的值为或.
【分析】(1)根据垂径定理可得BG⊥AD,由等腰三角形的三线合一性质可知,根据四点共圆可得∠CDE=∠ABC,于是∠ABC=3∠CBD,,即可证明;
(2)连接OD,由等边对等角得∠OBD=∠ODB,进而得到∠ODB=∠CBD,因此OD//BE,利用平行线分线OG段成比例得由∠OGD=90°,OD=5,即可DG求解;
(3)①根据相同时间内走过的路程之比不变即可求解;
②依题意可分三种情况:
(I)PQ⊥BC于点M,连结OD,由(2)知,先算出,再根据同角的余角相等得∠PQG=∠PBM=∠GOD,进而得到,于是,再将对应线段的长度代入解出此时x的值,则QM=QE·sin∠QEM,
(II)PQ⊥BD于点M,根据同角的余角相等得∠PQG=∠GBD,于是可得,再将对应线段长度代入解出此时x的值,然后在Rt△BDG中求出cos∠GBD的值,由此得出cos∠MOD的值,则QM=QD·cos∠MQD,
(III)当PQ⊥CD于点M,由三角形内和定理可知,∠QMD<90°,故这种情况不存在.
1 / 1浙江省绍兴市第一初级中学2023-2024学年九年级下学期期始作业检查数学试卷
1.(2024九下·绍兴开学考)的相反数是( )
A. B. C. D.3
【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解:的相反数是,
故答案为:C.
【分析】根据相反数的概念:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0,即可求解.
2.(2024九下·绍兴开学考)2023年9月23日,第19届亚运会在杭州开幕,开幕式现场直播及相关报道在多媒体平台的总播放量约为503000000次,其中数据“503000000”用科学记数法表示为( )
A.50.3×107 B.5.03×108 C.50.3×108 D.5.03×109
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:503000000=5.03×108.
故答案为:B.
【分析】把一个数表示成a×10 的形式时, a和n的确定方法如下:将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种:①n为比原数整数位数少1 的正整数;②小数点向左移动了几位,n就等于几.
3.(2024九下·绍兴开学考)下列计算正确的是( )
A.a2+a4=a6 B.(﹣a3)2=a6
C.2a+3b=5ab D.a6÷a3=a2
【答案】B
【知识点】整式的加减运算;同底数幂的除法;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A、不是同类项不能合并,故错误;
B、,故正确;
C、不是同类项不能合并,故错误;
D、a6÷a3=a3,故错误;
故答案为:B.
【分析】A、根据合并同类项的运算法则,系数相加,字母和字母的指数不变,即可得出结果;
B、根据幂的乘方的运算法则,底数不变,指数相乘,即可得出结果;
C、根据合并同类项的运算法则,系数相加,字母和字母的指数不变,即可得出结果;
D、根据同底数幂的除法的运算法则,底数不变,指数相减,即可得出结果.
4.(2024九下·绍兴开学考)如图所示放置的正三棱柱的俯视图是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解:如图所示的正三棱柱的俯视图是
故答案为:A.
【分析】俯视图是从上往下看得到的平面图形,能看见的轮廓线画成实线,看不见但又存在的轮廓线画成虚线,据此逐一判断即可.
5.(2024九下·绍兴开学考)已知点P关于x轴对称的点的坐标为(﹣1,2),则点P的坐标为( )
A.(2,1) B.(1,﹣2)
C.(1,2) D.(﹣1,﹣2)
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,2),
∴点P的坐标为(-1,-2),
故答案为:D.
【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是:横坐标不变,纵坐标互为相反数.
6.(2024九下·绍兴开学考)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多六客,一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是:如果一间客房住7人,那么有6人无房可住;如果一间客房住8人,那么就空出一间客房,若设该店有客房x间,房客y人,则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解:设该店有客房x间,房客y人,
根据题意得:
故答案为:D.
【分析】设该店有客房x间,房客y人;根据“一房七客多七客,一房九客一房空”得出方程组即可.
7.(2024九下·绍兴开学考)“少年强则国强;强国有我,请党放心.”这句话中,“强”字出现的频率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解:“强”字出现的频率是:,
故答案为:C.
【分析】根据频率的定义,频率=频数÷总数,即可求解.
8.(2024九下·绍兴开学考)如图,直线l1∥l2,一副三角板放置在l1,l2之间,一三角板直角边在l1上,三角板斜边在同一直线上,则∠α=( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
【答案】B
【知识点】平行线的性质;三角形的外角性质
【解析】【解答】如图所示:
根据题意可得:∠GAF=30°,∠CDE=45°,
∵ 直线l1∥l2,
∴∠CBD=∠GAF=30°,
∴ ∠α=∠CDE-∠CBD=45°-30°=15°,
故答案为:B.
【分析】利用平行线的性质可得∠CBD=∠GAF=30°,再利用三角形外角的性质求出∠α=∠CDE-∠CBD=45°-30°=15°即可.
9.(2024九下·绍兴开学考)摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理是:如图,在正方形ABCD的底边BC取中点E,以E为圆心,线段DE长为半径作圆,与底边BC的延长线交于点F,矩形ABFG称为黄金矩形.若CF=4,则AB为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】矩形的性质;正方形的性质;黄金分割
【解析】【解答】解:设AB=x,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=x,
∵矩形ABFG是黄金矩形,
∴,
∴,
解得:,
经检验:是原方程的根,
∴,
故答案为:D.
【分析】设AB=x,根据正方形的性质可得AB=BC=x,根据黄金矩形的定义可得,从而可得,最后进行计算即可解答.
10.(2024九下·绍兴开学考)如图,反比例函数的图象与矩形OABC的边AB、BC分别相交于点D、E,连接OD、OE,直线DE与x轴、y轴分别相交于点M、N,则下列结论正确的是( )
①S△OCE=S△OAD; ②;③DM=EN;④若S△ODE=9.6,S长方形OABC=20,则k=4.
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义;三角形的面积;反比例函数图象上点的坐标特征;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解:设B(a,b),则OA=BC=a,AB=b,
∵点D、E在反比例函数(x>0)的图象上,,
∴,,
∴,故①正确;
∵,,
∴,,
∴,故②正确;
∵AM//BE,CN//BD,
∴△MAD∽△EBD,△NCE∽△DBE,
∴,,
∴,
∴DM=EN,故③正确;
由S△OCE+S△OAD+S△ODE+ S△EBD=S长方形OABC得:
,
则,
又∵ab=20,
∴k=±4(负值舍去),故④正确;
综上,正确的结论为①②③④,
故答案为:D.
【分析】通过分析点D、E在反比例函数图象上的位置关系,以及它们与矩形OABC边的关系,来判断各个选项的正确性.
11.(2024九下·绍兴开学考)要使分式有意义,则x应满足的条件是 .
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解:根据题意可知,x-2≠0,
解得:x≠2.
故答案为:x≠2.
【分析】根据分母不为0列式求解即可.
12.(2024九下·绍兴开学考)分解因式8x3y﹣18xy= .
【答案】2xy(2x+3)(2x-3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解:8x3y-18xy=2xy(4x2-9)=2xy(2x+3)(2x-3),
故答案为:2xy(2x+3)(2x-3).
【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
13.(2024九下·绍兴开学考)直线y=k2x和y=k1x+b如图所示,则关于x的不等式k2(x﹣2)<k1(x﹣2)+b的解集是 .
【答案】x<1
【知识点】一次函数与不等式(组)的关系
【解析】【解答】解:直线y=k2x和y=k1x+b的交点坐标为(-1,-2),
根据图象,k2x∵直线y=k2(x-2)和y=k1(x-2)+b是直线y=k2x和y=k1x+b向右平移2个单位所得,
∴平移后两直线的交点坐标为(1,-2),
∴不等式k2(x-2)故答案为:x<1.
【分析】确定原不等式的解集,然后根据平移的性质求出新不等式的解集.
14.(2024九下·绍兴开学考)如图,AB是⊙O的弦,OA,OB是⊙O的半径,∠A=20°,若C是⊙O上异于A,B两点的另一点,则∠ACB的度数是 .
【答案】70°或110°
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质;圆周角定理
【解析】【解答】解:∵OA=OB,∠A=20°,
∴∠OAB=∠OBA=20°,
∴∠AOB=180°-20°-20°=140°,
当点C在优弧AB上,如图,,
当点C'在劣弧AB上时,∠C'=180°-∠C =110°,
即∠ACB的度数为70°或110°.
故答案为:70°或110°.
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠AOB的度数,根据圆周角定理计算点C在优弧AB上时∠ACB的度数;根据圆内接四边形的性质计算点C在劣弧AB上时∠ACB的度数.
15.(2024九下·绍兴开学考)如图1,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为10.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为 .(结果保留π)
【答案】
【知识点】勾股定理;扇形面积的计算;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:连接OD,
在Rt△OCD中,,
∴∠ODC=30°,.
∴∠COD=60°,
∴阴影部分的面积,
故答案为:.
【分析】连接OD,根据勾股定理求出CD,根据直角三角形的性质求出∠AOD,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算,得到答案.
16.(2024九下·绍兴开学考)如图1是七巧板图案,现将它剪拼成一个“台灯”造型(如图2),过该造型的上下左侧五点作矩形ABCD,使得,点N为PQ的中点,并且在矩形内右上角部分留出正方形EFGH作为印章区域(EH∥AD,HG∥CD),形成一幅装饰画,则矩形ABCD的周长为 cm.若点M,N,E在同一直线上,且点H到AD的距离与到CD的距离相等,则印章区域的面积为 cm2.
【答案】64;12.25
【知识点】七巧板与拼图制作;矩形的性质;正方形的性质
【解析】【解答】解:由图1可知,
七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6,然后,最小的直角边长为3,
正方形和平行四边形的短边长都是3.
过点N作AD和BC的垂线,垂足分别为J,K,则NJ=3+3+3=9,
又∵,且△NMK是等腰直角三角形,
∴NK=3,
故JK=9+3=12.
又∵∠A=∠B=∠BKJ=90°,
∴四边形ABKJ是矩形,
∴AB=JK=12,
又∵,
∴BC=20,
故矩形ABCD的周长为2×(12+20)=64,
延长MN经过点E与AD交于点L,连接DH,
∵∠NMC=45°,且AD//BC,
∴∠ALM=45°.
又∵点H到AD的距离与到CD的距离相等
∴点H在∠ADC的角平分线上,则,
∴∠ADH=∠ALE,
∴LE//DH,
又∵LD//EH,
∴四边形LEHD是平行四边形,
又∵AJ=6+1.5=7.5,JL=JN=9,
∴AL=7.5+9=16.5.
∴DL=20-16.5=3.5,则EH=DL=3.5,
∵四边形EFGH是正方形,
∴印章区域的面积为EH2=12.25cm2,
故答案为:64,12.25.
【分析】根据题目描述,AB的长度为12cm,BC的长度为20cm,矩形的周长公式为2×(长+宽);再根据题目描述,印章区域是一个正方形,边长为3.5cm,正方形的面积公式为边长的平方.
17.(2024九下·绍兴开学考)计算:.
【答案】解:
,
,
=1
【知识点】零指数幂;求特殊角的三角函数值;实数的混合运算(含开方)
【解析】【分析】原式利用二次根式运算,零指数幂法则,以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
18.(2024九下·绍兴开学考)解不等式组.
【答案】解:由3x>﹣6得:x>﹣2,
由x+1≤3得:x≤2,
则不等式组的解集为﹣2<x≤2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.
19.(2024九下·绍兴开学考)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点都在格点上,坐标分别为A(2,4),B(1,2),C(5,3).
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;
(2)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的△A2B2C2,写出B2点坐标.
(3)在x轴上找一点P,使PB+PC的和最小,求出P点坐标.
【答案】(1)解:见解析;
(2)解:见解析;如图,△A2B2C2即为所求,B2(2,﹣1);
(3)解:作点B关于x轴的对称点B3,再连接B3C与x轴的交点即为所求点P,
由题意可得B3(1,-2),C(5,3),
设直线B3C解析式为y=k+b,代入得:
,
解得
∴直线B3C解析式为,
令得,
∴
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题;作图﹣旋转;作图﹣中心对称
【解析】【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求;
(2)如图,△A2B2C2即为所求,B(2,-1);
【分析】(1)根据中心对称的性质,对于任意点(x,y),其关于原点的对称点为(-x,-y);
(2)根据旋转的性质,对于任意点(x,y),绕原点顺时针旋转90°后的坐标为(y,-x);
(3)为了使PB+PC的和最小,P点应为B关于x轴的对称点B3与C的连线与x轴的交点.
20.(2024九下·绍兴开学考)学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话,牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观,让环保理念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况,对本班全体学生进行了调查,并将调查结果分为三类:A:好,B:中,:差.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求全班学生总人数;
(2)在扇形统计图中, , ,类的圆心角为 ;
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生,其中类1人,类2人,类1人,若再从这4人中随机抽取2人,请用列表法或画树状图的方法求出全是类学生的概率.
【答案】(1)全班学生总人数为:10÷25%=40(人);
(2)15;60;54°
(3)列表如下:
A B B C
A \ (A,B) (A,B) (A,C)
B (B,A) \ (B,B) (B,C)
B (B,A) (B,B) \ (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,B) \
由表可知,共有12种等可能结果,其中全是B类学生的有2种结果
∴P(全是B类学生)=.
【知识点】扇形统计图;条形统计图;用列表法或树状图法求概率;概率公式
【解析】【解答】解:(2)C类人数为40-(10+24)=6人,
∴a%=×100%=15%,b%=×100%=60%,
∴a=15,b=60,
C类的圆心角为圆心角度数为360°×=54°.
故答案为:15,60,54°.
【分析】(1)利用A类人数除以其百分比,即得全班学生总人数;
(2)利用总人数减去A、B类人数求出C类人数,由360°乘以C类人数所占比例可得C类的圆心角度数,分别利用B、C类人数除以总人数可求出a、b值.
(3)利用列表法列举出共有12种等可能结果,其中全是B类学生的有2种结果,然后利用概率公式计算即可.
21.(2024九下·绍兴开学考)如图,已知斜坡AB长为60米,坡角(即∠BAC)为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示),修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡角为45°,求平台DE的长;(结果保留根号)
(2)一座建筑物GH距离A处30米远(即AG为30米),小明在D处测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°,点B、C、A、G、H在同一个平面内,点C、A、G在同一条直线上,且HG⊥CG,求建筑物GH的高度.(结果保留根号)
【答案】(1)解:∵修建的斜坡BE的坡角为45°,
∴∠BEF=45°,
∵∠DAC=∠BDF=30°,AD=BD=30米,
∴,米,
∴(米),
∴平台DE的长为 米
(2)解:过点D作DP⊥AC,垂足为P,
在Rt△DPA中,米,
∴米,
∴在矩形DPGM中,MG=DP=15米,
(米),
在Rt△DMH中,
(米),
则(米),
∴建筑物GH的高度为(30+10)米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】(1)根据题意得出∠BEF=45°,解直角△BDF,求出BF,DF,进而得出EF的长,即可得出答案;
(2)利用在Rt△DPA中,,以及PA=AD·cos30°进而得出DM的长,利用HM=DM·cos30°得出即可.
22.(2024九下·绍兴开学考)如图,在矩形中,,,是边上的一点(不与、重合),,垂足为.
(1)求证: ;
(2)若,求的长.
【答案】(1)证明:∵四边形是矩形,,,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
(2)解:∵,,
∴,
∴或(负数不符合题意,舍去),
∴,
∴,
∴的长为.
【知识点】勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质可得,再结合即可证出;
(2)利用相似三角形的性质可得,再求出,最后利用勾股定理求出BE的长即可.
23.(2024九下·绍兴开学考)已知点(﹣m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数,a≠0)的图象上.
(1)当m=2时,求a和b的值;
(2)若二次函数的图象经过点A(﹣n,3)且点A不在坐标轴上,当﹣2<m<1时,求n的取值范围;
(3)求证:b2+4a=0.
【答案】(1)解:当m=2时,二次函数y=ax2+bx+3图象过点(-2,0)和(6,0),
把(-2,0)和(6,0)代入解析式得:
∴解得
∴a=,b=1
(2)解:∵y=ax2+bx+3图象过点(-m,0)和(3m,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=m,
∵y=ax2+bx+3的图象过点A(-n,3),(0,3),且点A不在坐标轴上,
∴由图象的对称性得-n=2m,且n≠0,
∴,
∵-2∴,
∴-2∴n的取值范围为-2<n<4且n≠0.
(3)证明∵抛物线过(﹣m,0),(3m,0),
∴抛物线对称轴为直线,
∴,
∴b=﹣2am,
∴b2+4a=(﹣2am)2+4a=4a(am2+1),
∵点(﹣m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数,a≠0)的图象上,
∴,
①×3+②得:12am2+12=0,
∴am2+1=0,
∴b2+4a=4a×0=0.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)根据题意列出方程组,解方程组即可求得a、b的值;
(2)根据对称轴公式求得对称轴为直线x=m,根据题意当m=0时,不合题意,当m>0时,二次函数的图象与直线y=3的交点的横坐标为正数,当m<0时,二次函数的图象与直线y=3的交点的横坐标为负数,即可求得n的取值范围;
(3)将点(-m,0)和(3m,0)代入二次函数y=ax2+bx+3,得到关于a、b、m的方程组,即可证明.
24.(2024九下·绍兴开学考)如图1,在圆内接四边形ABCD中,AD,BC的延长线交于点E,连结BO并延长交AD于点G,连结BD.已知BD=AB,∠CDE=3∠CBD,,BO=5.
(1)求证:∠GBD=∠CBD.
(2)求OG与GD的长.
(3)如图2,F是BO中点,动点P在FG上从点F向终点G匀速运动,同时动点Q在AE上从点E向终点A匀速运动.当点Q在点D处时,点P在点O处,设QE=x,PG=y.
①求y关于x的表达式.
②连结PQ,当直线PQ与△BCD的某一边所在的直线垂直时,记垂足为点M,直接写出QM的值.
【答案】(1)证明:∵BD=AB,
∴,
∵BG过点O,
∴BG⊥AD,
∴,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠CDE=∠ABC,
∵∠CDE=3∠CBD,
∴∠ABC=3∠CBD,
∴∠CBD=,
∴∠CBD=∠GBD;
(2)解:如图,连结OD,
∵OB=OD=5,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠OBD=∠CBD,
∴∠ODB=∠CBD,
∴OD∥BE,
, 即
∵∠OGD=90°,OD=5,
∴OG=4,DG=3
(3)解:①由题意得:,
∵F是BO中点,
∴OF=
∴FG=OF+OG=,
设QE=x,PG=y,则FP=-y,
∴,
;
②QM的值为 或
【知识点】圆内接四边形的性质;圆-动点问题;圆与三角形的综合
【解析】【解答】解:(3)②如图,PQ⊥BC于点M,连结OD,
由(2)知,OD//BE,
∴∠QEM=∠GDO,
∴,
∵BG⊥AD,
∴∠PQG=∠PBM=∠GOD,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,且,
解得:,
∴;
如图,PQ⊥BD于点M,
∵BG⊥AD,
∴∠PQG =∠GBD,
∵BG=OB+ OG =9,
∴,
∴,即,且,
解得:,
在Rt△BDG中,,
∴,
∴,
当PQ⊥CD于点M,
在△QDM中,
∵∠QDM>90,
∴∠QMD<90°,
故这种情况不存在.
综上所述,QM的值为或.
【分析】(1)根据垂径定理可得BG⊥AD,由等腰三角形的三线合一性质可知,根据四点共圆可得∠CDE=∠ABC,于是∠ABC=3∠CBD,,即可证明;
(2)连接OD,由等边对等角得∠OBD=∠ODB,进而得到∠ODB=∠CBD,因此OD//BE,利用平行线分线OG段成比例得由∠OGD=90°,OD=5,即可DG求解;
(3)①根据相同时间内走过的路程之比不变即可求解;
②依题意可分三种情况:
(I)PQ⊥BC于点M,连结OD,由(2)知,先算出,再根据同角的余角相等得∠PQG=∠PBM=∠GOD,进而得到,于是,再将对应线段的长度代入解出此时x的值,则QM=QE·sin∠QEM,
(II)PQ⊥BD于点M,根据同角的余角相等得∠PQG=∠GBD,于是可得,再将对应线段长度代入解出此时x的值,然后在Rt△BDG中求出cos∠GBD的值,由此得出cos∠MOD的值,则QM=QD·cos∠MQD,
(III)当PQ⊥CD于点M,由三角形内和定理可知,∠QMD<90°,故这种情况不存在.
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