人教新课标A版必修2数学3.3直线的交点坐标与距离公式同步检测

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3.3直线的交点坐标与距离公式同步检测
1. 直线与两直线y=1,x-y-7=0分别交于，两点，线段的中点是(-1,1)则点的坐标为（ ）
A. (6,1) B. (-2,1) C. (4,-3) D. (-4,1)
答案：B
解析：解答：由题意设，线段的中点是(1,-1)，所以解得，所以点的坐标为(-2,1).
分析：本题主要考查了中点坐标公式，解决问题的关键是根据公式列方程计算即可.
2. 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A．3 B．2 C．3 D．4
答案：A
解析：解答：依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得：
，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为．
分析：本题主要考查了两点间的距离公式、两条平行直线间的距离，解决问题的关键是根据点到线的距离公式计算即可.
3. 以A(1，3)，B(-5，1)为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）
A. 3x-y+8=0 B. 3x+y+4=0 C . 3x-y+6=0 D. 3x+y+2=0
答案：B
解析：解答：的中点，线段的垂直平分线的斜率为，过中点，所以方程为,整理为,故选B.
分析：本题主要考查了中点坐标公式，解决问题的关键是首先根据直线垂直点到所求直线的斜率，根据中点坐标公式计算中点，然后得到所求直线方程.
4. 将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（　　）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：直线绕原点逆时针旋转，所得直线过原点且与垂直，直线方程为，再向右平移1个单位，得，即.选A.
分析：本题主要考查了两直线的夹角与到角问题，解决问题的关键是根据旋转前后直线的斜率关系结合平移知识进行解决.
5.点P(-1，2)到直线的距离为（ ）
A.2 B. C.1 D.
答案：B
解析：解答：先把直线方程化成一般式得,再由点到直线距离公式得故选B.
分析：本题主要考查了点到直线的距离公式，解决问题的关键是根据所给条件直接计算即可.
6. 已知点A（-3,1,4），则点A关于原点的对称点的坐标是（ ）
A.(1，-3，-4) B.(-4，1，3) C.(3，-1，-4) D.(4，-1，3)
答案：C
解析：解答：关于原点对称的两个点的坐标之间横坐标、纵坐标的符号都互为相反数;故关于原点对称点故选C
分析：本题主要考查了与直线关于点、直线对称的直线方程，解决问题的关键是根据关于原点对称的坐标特征进行计算即可.
7. 平行线和的距离是（　　）
A． B．2 C． D．
答案：B
解析：解答：由得：，所以由两平行线间的距离公式得：.
分析：本题主要考查了两条平行直线间的距离，解决问题的关键是根据所给直线平行首先进行变换然后根据公式计算即可.
8. 以和为端点的线段的中垂线方程是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解答：直线AB的斜率，所以线段AB的中垂线得斜率k=-3，又线段AB的中点为（-2，2），
所以线段AB的中垂线得方程为y-2=-3（x+2）即3x+y+4=0，故选B．
分析：本题主要考查了，解决问题的关键是根据中点坐标公式得到中点坐标，然后根据直线垂直得到对应斜率，写出直线方程即可.
9. 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． B．
C. D．
答案：A
解析：解答：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于 ，由点斜式求得所求直线的方程为，化简可得x+2y-5=0，故选A
分析：本题主要考查了点到直线的距离公式，解决问题的关键是根据点到线的距离的几何意义进行分析即可.
10. 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是（ ）．
A.x＋y－5＝0 B.2x－y－1＝0
C.2y－x－4＝0 D.2x＋y－7＝0
答案：A
解析：解答：根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为（-1，0），由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，则P（2，3），又因为Q为A与B的中点，所以得到B（5，0），所以直线PB的方程为：,化简后为x+y-5=0,故选A.
分析：本题主要考查了两点间距离公式的应用，解决问题的关键是根据所给条件进行发现得到P一定在线段AB的垂直平分线上，然后根据所给条件求得B点坐标，写出直线方程即可.
11. 已知直线和夹角的平分线为，若的方程是，则的方程是（ ）。
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解答：：，而与关于直线对称，则所表示的函数是所表示的函数的反函数。
由的方程得 选A
分析：本题主要考查了两直线的夹角与到角问题，解决问题的关键是根据直线关于y=x对称利用反函数性质解决即可.
12. 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
答案：A
解析：解答：由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2．故选A．
分析：本题主要考查了与直线关于点、直线对称的直线方程，解决问题的关键是根据对称的几何性质结合所给条件计算即可.
13. 若原点到直线3ax＋5by＋15＝0的距离为1，则的取值范围为（　）
A．[3，4] B．[3，5] C．[1，8] D．(3，5]
答案：B
解析：解答：根据条件及点到直线的距离公式得： EMBED Equation.DSMT4 ，所以，则，因为，所以于是
；因为所以所以故选B
分析：本题主要考查了点到直线的距离公式，解决问题的关键是根据点到线的距离公式得到，得到将问题转化为函数问题进行解决.
14.定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离，已知曲线到直线的距离为，则实数的值为（ ）
A.或 B.或 C. D.
答案：D
解析：解答：设平行于直线且与曲线相切的直线为，则，
即，由直线与曲线相切，∴，
，由得，①当时，，（检验得不满足条件，舍去）②当时，，选D.
分析：本题主要考查了到两条平行直线间的距离，解决问题的关键是根据直线与曲线之间相切设出相切方程，然后联立根据判别式为0,得到a值.
15. 在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上两个动点，又有一定点，则的最小值是（ ）
A、10 B、11 C、12 D、13
答案：A
解析：解答：利用物理学中光线最短问题的结论，这类问题一般利用对称性解决，作出点关于轴的对称点，关于轴的对称点，如图，可见的最小值即为线段的长，易求得（此时两点都与原点重合），选A．
分析：本题主要考查了两点间距离公式的应用，解决问题的关键是根据有关物理学中光线最短问题的结论结合几何知识进行分析计算即可.
16. 无论m为何值，直线：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P的坐标为 ．
答案：（3，1）
解析：解答：化简直线为关于的方程,因为直线恒过定点,所以,解得,则点（3，1）.
分析：本题主要考查了恒过定点的直线，解决问题的关键是根据所给直线转换自变量列方程求解即可.
17. 直线到点和的距离相等，且过直线和直线的交点，则直线的方程是 .
答案：和
解析：解答：由题意设所求直线l为：，
即，由直线到点和的距离相等得，，∴，
代入方程即可得直线的方程是和
分析：本题主要考查了点到直线的距离公式，解决问题的关键是根据直线系利用点到线的距离相等列方程计算即可.
18. 已知，，在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是 .
答案：
解析：
解答：作出关于轴的对称点，则，即三点共线时，的直线方程为，令，得，即．
分析：本题主要考查了与直线关于点、直线对称的直线方程，解决问题的关键是根据点对称关系利用三角形的三边性质进行发现解决.
19. 已知, 则
的最小值为 .
答案：
解析：解答：根据两点间距离公式，的几何意义为点到原点的距离，的几何意义为点到点的距离，的几何意义为点到点的距离，的几何意义为点到点的距离，所以求
的最小值，即求到上述四点的距离的和的最小值.如图，根据两点间距离最短可知，只有点位于正方形对角线的交点时，才能分别与两组对角顶点都共线，此时点到四个顶点的距离的和最小，易求得最小值为.
分析：本题主要考查了两点间距离公式的应用，解决问题的关键是根据所给式子转化为正方形内部一点到四个顶点距离和的最小值问题.
20. 已知直线l：(2 EMBED Equation.DSMT4 ＋1)x＋(＋2)y＋2＋2＝0（∈R），有下列四个结论：
直线l经过定点(0,－2)；
②若直线l在x轴和y轴上的截距相等，则＝1；
当∈[1, 4＋3]时，直线l的倾斜角∈[120,135]；
④当∈(0,＋∞)时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为．
其中正确结论的是 （填上你认为正确的所有序号）．
答案：③④
解析：解答：①因为直线l:由得，
所以直线l恒过定点，错；
②若直线l在x轴和y轴上的截距相等,则其斜率为-1,所以,所以＝1.若直线过原点，在x轴和y轴上的截距均为0，则 ，错.
③因为直线l的斜率,
所以,显然直线l的倾斜角,正确.
④，
设 ，
当时，S取得最小值，最小值为.正确.
分析：本题主要考查了恒过定点的直线，及直线方程有关的性质，解决问题的关键是根据所给直线满足条件，结合直线有关性质及函数的性质分析解决即可.
21. 求经过两直线3x + 4y – 5 = 0与2x – 3y + 8 = 0的交点M，且与直线L1：2x + y + 5 = 0平行的直线L2的方程，并求L1与L2间的距离.
答案：|
解析：解答：解得
所以交点（-1，2），
易得L1的斜率为 ，
∴直线L2的方程为 ，
由两平行线间的距离公式，得L1与L2间的距离为：
，
分析：本题主要考查了两条平行直线间的距离，解决问题的关键是根据所给条件求得的方程，然后根据两条平行线之间的距离公式解决.
22. 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A, B,C，
(1)求AC边上的中线所在直线方程；
答案：；
(2)求AB边上的高所在直线方程；
答案：
(3)求BC边的垂直平分线的方程。
答案：
解析：解答：(1)线段AC的中点D坐标为（1,4）
AC边上的中线BD所在直线的方程是：
（2）,AB边上高的斜率是
AB边上的高所在直线方程是
（3）BC边上的中点E坐标为,
BC边的垂直平分线的方程是
分析：本题主要考查了中点坐标公式、直线方程有关的性质，解决问题的关键是根据所给条件结合三角形的三边所在直线方程进行分析计算即可
23. 已知直线：
（1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点.
答案：直线方程整理得：所以直线恒过定点
（2）为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围.
答案：当a=2时，直线垂直x轴；当时由（1）画图知：斜率得
综上：
（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
答案：由题知则令y=0则,令x=0则.所以,
所以当时三角形面积最小，：
解析：解答：（1）直线方程整理得：所以直线恒过定点
（2）当a=2时，直线垂直x轴；当时由（1）画图知：斜率得
综上：
(3)由题知则令y=0则,令x=0则.所以,
所以当时三角形面积最小，：
分析：本题主要考查了恒过定点的直线，直线方程有关性质，解决问题的关键是(1)根据所给直线转换自变量求得恒过点坐标，(2)根据所给直线位置关系进行分析得到a的范围，(3)根据k的范围得到a的范围，利用面积函数的单调性计算即可.
24. 已知的三个顶点.
（1）求边所在直线方程；
答案：根据两点间的斜率公式可知 ，
根据直线的点斜式方程有，
∴边所在直线方程为.
（2）边上中线的方程为，且,求的值.
答案：，
， ，
∴，或，
所以或 ，
解得或.
解析：解答：（1）根据两点间的斜率公式可知 ，
根据直线的点斜式方程有，
∴边所在直线方程为.
（2），
， ，
∴，或，
所以或 ，
解得或.
分析：本题主要考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，解决问题的关键是(1)根据所给直线位置关系计算所求直线BC的方程即可；(2)根据三角形面积得到或，结合的方程为的方程联立求解得到m，n.
25. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，．
（1）在ABC中，求边AC中线所在直线方程；
答案：（1）
所以直线BM的方程为：
，所以AC边中线所在直线方程为：9x-5y+13=0
（2）求平行四边形的顶点D的坐标及边BC的长度;
答案：设点D坐标为（x,y）,由已知得M为线段BD中点，有
解得
，
（3）求的面积.
答案：
解析：解答：（1）
所以直线BM的方程为：
，所以AC边中线所在直线方程为：9x-5y+13=0
(2)设点D坐标为（x,y）,由已知得M为线段BD中点，有
解得
，
（3）
分析：本题主要考查了中点坐标公式、两点间的距离公式、点到直线的距离公式，解决问题的关键是(1)根据中点坐标及斜率写出直线方程即可；(2)设出D点坐标逆用中点坐标公式得到D点坐标，然后运用两点间距离公式计算即可；(3)根据点到线距离公式计算即可得到三角形ABC的面积.
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