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第四章 数列
4.1 数列的概念
第2课时 数列的通项公式与递推公式
素养目标 定方向
1．借助教材实例理解递推公式的含义．
2．能根据递推公式确定数列的前几项．
1．了解数列递推公式的概念，知道递推公式是给出数列的一种方法．(数学抽象)
2．能根据数列的递推公式写出数列．(逻辑推理)
3．会应用数列的前n项和公式求数列的通项公式．(逻辑推理、数学运算)
必备知识 探新知
数列的递推公式
数列的表示法 意义 结构
通项公式 an可以用关于____的式子表示 an＝f(n)
递推公式 数列的__________或______之间的关系可以用一个式子表示 an＝f(an－1)
(n>1)
n
相邻两项
多项
想一想：递推公式与通项公式有怎样的区别与联系？
提示：(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式．
(2)用递推公式给出一个数列，必须给出：
①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)；
②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．
练一练：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，则a5＝________.
[答案] 13
数列{an}的前n项和
1．数列前n项和的概念
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝___________________.
2．前n项和Sn与an的关系
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，
于是我们有an＝_____________________.
a1＋a2＋…＋an
想一想：在已知数列{an}的前n项和Sn求该数列通项公式an时需要注意什么？
提示：验证n＝1的情况是否适合．
练一练：若{an}的前n项和Sn＝n3－2n2，则a5＋a6＝( )
A．86 B．112
C．156 D．84
[答案] B
[解析] Sn＝n3－2n2 a1＝－1，
方法一：当n≥2时，
＝n3－2n2－n3＋3n2－3n＋1＋2n2－4n＋2
＝3n2－7n＋3，
∴a5＝43，a6＝69，
∴a5＋a6＝112.
方法二：∵Sn＝n3－2n2，
∴S6＝63－2×62＝144，S4＝43－2×42＝32，
∴a5＋a6＝S6－S4＝112，
故选B.
关键能力 攻重难
1.(1)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，那么a4的值为( )
A．4 B．8
C．15 D．31
(2)已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则a5＝________.
题|型|探|究
题型一
由递推公式写出数列的前几项
(3)根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前5项，并归纳出通项公式．
①a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
[答案] (1)C (2)8
[解析] (1)因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，所以a2＝2a1＋1＝2＋1＝3，a3＝2a2＋1＝6＋1＝7，a4＝2a3＋1＝14＋1＝15.
(2)由题知a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8.
(3)①因为a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，所以an＝(n－1)2.
③因为a1＝3＝1＋2×30，
a2＝7＝1＋2×31，
a3＝19＝1＋2×32，
a4＝55＝1＋2×33，
a5＝163＝1＋2×34，
所以an＝1＋2×3n－1.
[规律方法] 由递推公式写数列的项
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[答案] C
对点训练
题型二
由数列的递推公式求通项公式
＝ln(1＋n)－ln n，a1＝2，
a2－a1＝ln 2，a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，…
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
以上各式相加得an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln(n－1)]．
所以an＝2＋ln n(n≥2)．
因为a1＝2也适合上式，
所以an＝2＋ln n.
(2)因为a1＝1，
[规律方法] 1 ．用“累加法”求数列的通项公式
当an－an－1＝f(n)(n≥2)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项an.
2．用“累乘法”求数列的通项公式
A．2＋nln n B．2n＋(n－1)ln n
C．2n＋nln n D．1＋n＋nln n
对点训练
A．an＝n－1 B．an＝n＋1
C．an＝n D．an＝n＋2
[答案] (1)C (2)B
(2)a2＝22－2＋1＝3，a3＝9－6＋1＝4，
所以可猜想an＝n＋1.
故选B.
题型三
由前n项和Sn求通项公式
[规律方法] 由Sn求an的一般步骤
第一步，令n＝1得a1；
第二步，令n≥2得an；
第三步，在第二步求得的an的表达式中取n＝1，判断其值是否等于a1；
第四步，写出数列的通项公式(若第三步中n＝1时，an表达式的值不等于a1，则数列的通项公式一定要分段表示)．
[答案] 2×3n－1
对点训练
题型四
数列单调性的判断
4.已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断该数列的单调性．
[解析] 方法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，
则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0(n∈N*)，
即an＋1>an，故数列{an}是递增数列．
方法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，
[规律方法] 判断数列是递增数列或递减数列，关键就是比较相邻两项an＋1，an的大小．
(2)若数列{an}为递增数列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，则实数λ应满足什么条件？
对点训练
由n∈N*，得an＋1－an>0，即an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
(2)因为{an}为递增数列，所以an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，则λ>－2n－1.又n∈N*，故λ>－3.
易|错|警|示
用函数思想解题时忽略数列的特征而致错
5.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是________.
[错解] [－2，＋∞)
[答案] (－3，＋∞)
[正解] 正解一：由数列{an}为递增数列，知an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立，即t>－(2n＋1)恒成立．
而n∈N*，所以t>－3，故t的取值范围是(－3，＋∞)．
故t的取值范围是(－3，＋∞).
课堂检测 固双基
[答案] A
2．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，
∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，
f(n＋1)>f(n)，…，
∴f(n)是递增数列．
3．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1，2，…)，则a3等于( )
A．15 B．10
C．9 D．5
[答案] A
[解析] 由a2＝(2－λ)a1，可得2－λ＝3，解得λ＝－1，∴a3＝(2×2＋1)×3＝15.故选A.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n－1，则此数列的通项公式为________.
[答案] an＝2n－1
[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.
又21－1＝1，所以an＝2n－1.
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为________.
[答案] 31
[解析] a3＝6＋a1＝7，
a5＝6＋a3＝13，
a7＝6＋a5＝19，
a9＝6＋a7＝25，
a11＝6＋a9＝31.第四章 4.1 第2课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝( A )
A．－3 B．－4
C．－5 D．2
[答案] A
[解析] 由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，
a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.
2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，
则a5等于( B )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] B
[解析] ∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－))＝－，
a5＝(－1)5×2×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－))＝.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是( A )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] A
[解析] 因为an＝(n2－6n＋9)－4＝(n－3)2－4，故当n＝3时，an取得最小值－4，所以数列的第3项是最小项．
4．(多选题)下列叙述中，正确的是( )
A．通项公式为an＝2的数列是常数列
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(eq \a\vs4\al\co1( －1 n·))是摆动数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(eq \a\vs4\al\co1())是递增数列
D．若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列
[答案] ABC
[解析] A中每一项均为2，是常数列；B中项的符号由(－1)n为调整，是摆动数列；C中可变形为eq \f(1,2＋)，为递增数列；D中若an＝n－3，则anan＋1＝(n－3)(n－2)＝n2－5n＋6，不是递增数列．
5．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝( C )
A．－7 B．3
C．15 D．81
[答案] C
[解析] 由a1＝1，a1－2＝－1 N，得a2＝3a1＝3.
又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9.
又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7.
又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5.
又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15.故选C.
二、填空题
6．数列{an}满足an＝＋2(n≥2，n∈N*)，当a1＝1时，a4＝________.
[答案]
[解析] 由a1＝1，an＝＋2(n≥2，n∈N*)，得a2＝3，a3＝，a4＝.
7．对于正项数列{an}中，定义：Gn＝为数列{an}的“匀称值”已知数列{an}的“匀称值”为Gn＝n＋2，则该数列中的a10＝________.
[答案]
[解析] Gn＝＝n＋2，即nGn＝neq \b\lc\(\rc\)()＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，
故a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×eq \b\lc\(\rc\)()；a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝9×eq \b\lc\(\rc\)()；
两式相减得10a10＝21，所以a10＝.
8．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前5项为________.
[答案] ，，，，
[解析] ∵an＝3n－1(n∈N*)，
∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的单调性．
[解析] (1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
所以2log2an－2－log2an＝－2n，即an－＝－2n，
所以a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
因为an>0，所以an＝－n，n∈N*.
(2)＝eq \f(－ n＋1 ,－n)
＝eq \f(＋n,＋ n＋1 )<1.
因为an>0，所以an＋1
10．已知数列{an}满足a1＝1，其前n项和是Sn，对任意正整数n，Sn＝n2an，求此数列的通项公式．
[解析] ∵Sn＝n2an，∴n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，化为＝，
∴an＝···…···a1
＝···…···1
＝，
n＝1时也成立，∴an＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为( )
A．an＝2n＋3 B．an＝－n2－3n＋1
C．an＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())n D．an＝1＋log2n
[答案] AD
[解析] A是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列；
B是n的二次函数，二次项系数为－1，且对称轴为n＝－，所以为递减数列；
C是n的指数函数，且底数为，是递减数列；
D是n的对数型函数，且底数为2，是递增数列．
2．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 021项的乘积是( C )
A．－2 B．－1
C．2 D．1
[答案] C
[解析] 因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝＝＝－3，同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，…，所以数列{an}每四项重复出现，即an＋4＝an，且a1·a2·a3·a4＝1，而2 021＝505×4＋1，所以该数列的前2 021项的乘积是a1·a2·a3·a4·…·a2 021＝1505×a1＝2.
3．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是( B )
A．40 B．45
C．50 D．55
[答案] B
[解析] 交点个数依次组成数列为1，3，6，即，，，由此易得an＝，
∴a10＝＝45.
二、填空题
4．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x1＝5，且对任意的正整数n均有xn＋1＝f(xn)，则x2 024＝________.
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
[答案] 2
[解析] 由题意可知x1、x2、x3、x4、x5、…的值分别为5，2，1，5，2，…，{xn}周期为3.
∴x2 024＝x3×674＋2＝x2＝2.
5．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项．
(2)该数列有无限多个负数项．
(3)该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值．
(4)－70是该数列中的一项．
其中正确说法的序号为________.
[答案] (2)(4)
[解析] 令－2n2＋13n>0，得0令－2n2＋13n＝－70，得n＝10，或n＝－(舍去)．
即－70是该数列的第10项，所以(4)正确．
三、解答题
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通项公式an.
[解析] 因为数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，
所以a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5.
n＝1时，4n－5＝－1≠a1，所以{an}的通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ ()(n∈N*)．
7．已知数列{an}满足a1＝，n≥2时，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．
[解析] 因为anan－1＝an－1－an，
所以n≥2时，＝＋eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－))＋eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－))＝2＋1＋1＋…＋＝n＋1.所以＝n＋1，所以当n≥2时，an＝.当n＝1时，a1＝也适合上式，所以an＝(n∈N*)．
C 组·探索创新
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ ()若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( C )
A．(1，3) B．(1，2]
C．(2，3) D．eq \b\lc\[\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(，3))
[答案] C
[解析] 由题意知an＝eq \b\lc\{\rc\ ()
因为数列{an}是递增数列，所以当n≤10时，3－a>0，即a<3，
当n>10时，a>1，且a10由上可得a的取值范围为{a|221世纪教育网(www.21cnjy.com)