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第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第2课时 等差数列的性质及应用
素养目标 定方向
能熟练掌握等差数列的性质，并能利用等差数列的性质解决相关问题．
1．熟悉等差数列的相关性质，并能够应用该知识灵活地进行运算．(逻辑推理、数学运算)
2．能够应用等差数列解决一些生活中的实际问题．(逻辑推理、数学建模、数学运算)
必备知识 探新知
等差数列中的项与序号的关系
(1)两项关系
an＝am＋(________)d(m，n∈N*)．
(2)多项关系
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)
则an＋am＝____________.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝_________.
n－m
ap＋aq
2ap
等差数列的项的对称性
an－1
an－k＋1
练一练：数列{an}为等差数列，若a1＋a7＝4，则a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝( )
A．8 B．9
C．10 D．12
[答案] C
[解析] 数列{an}为等差数列，
∴a1＋a7＝2a4＝4，
∴a4＝2，
∴a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4＝10.
故选C.
等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
②{c·an}(c为任一常数)是公差为______的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为______的等差数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为_____________的等差数列．
d
cd
2d
pd1＋qd2
[答案] ABC
等差数列的单调性
由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d的影响．
(1)当d>0时，数列为递增数列，图象如图1所示；
(2)当d<0时，数列为递减数列，图象如图2所示；
(3)当d＝0时，数列为常数列，图象如图3所示．
[答案] C
[解析] 因为{an}为等差数列，设公差为d，
因为数列{an}单调递增，所以d>0，
所以a1＋a8＝a3＋a6＝2a6－3d＝6，
则2a6－6＝3d>0，解得a6>3，
故选C.
关键能力 攻重难
1.若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
[解析] 方法一：设等差数列{an}的公差为d，
∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
题|型|探|究
题型一
等差数列通项公式的推广
an＝am＋(n－m)d的应用
等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝______.
[答案] 7
对点训练
题型二
用性质am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题
2.(1)(2023·天津宝坻区高二月考)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝( )
A．9 B．12
C．15 D．18
(2)(2024·塘沽高二检测)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
(3)(2024·湖北武汉高三月考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，则a2＋a8＝( )
A．150 B．160
C．200 D．300
[答案] (1)A (2)35 (3)D
[解析] (1)∵{an}是等差数列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.
(2)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，
所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．
所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，
∴5a5＝750，
∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.
方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，
∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，
∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.
[规律方法] 等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中的项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
特别提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d取值的限制．
(1)由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是( )
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
(2)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
[答案] (1)C (2)8
对点训练
题型三
等差数列中的对称设项
3.成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．
[分析] 已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．
[规律方法] 三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
(2024·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48，求这三个数．
对点训练
易|错|警|示
对等差数列的定义理解不透彻而致误
4.已知数列{an}是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列{an}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[错解] C
[误区警示] 应用定义法判断或证明一个数列是等差数列时，必须要判定或证明an＋1－an或an－an－1(n≥2)等于一个常数，不能只对数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列中的每一项都满足等差的要求．
[正解] B
课堂检测 固双基
1．在等差数列{an}中，若a1＋a7＝14，则a4＝( )
A．7 B．8
C．14 D．16
[答案] A
[答案] B
3．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则a4＋a10＝________.
[答案] 4
[解析] a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，
∴3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝6(a4＋a10)＝24，
∴a4＋a10＝4.
4．数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70，则a3＋b3＝________.
[答案] 90
[解析] 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也构成了等差数列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90.
5．(多选题)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为( )
A．－2，4，10，16 B．16，10，4，－2
C．2，5，8，11 D．11，8，5，2
[答案] AB第四章 4.2 4.2.1 第2课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知{an}为等差数列，a1＝－1，a5＝5，则a3＝( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ∵{an}为等差数列，∴a3＝＝2.
故选B.
2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( A )
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不等实根
D．不能确定有无实根
[答案] A
[解析] 由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，无实数解．故选A.
3．公差不为0的等差数列{an}中，a4－ax＝ay－a7，则xy的值不可能是( C )
A．10 B．24
C．22 D．30
[答案] C
[解析] ∵公差不为0的等差数列{an}中，a4－ax＝ay－a7，
∴a4＋a7＝ax＋ay，即x＋y＝4＋7＝11.
∵x，y∈N*，
∴x＝1，y＝10或x＝2，y＝9或x＝3，y＝8或x＝4，y＝7或x＝5，y＝6或x＝6，y＝5，
或x＝7，y＝4或x＝8，y＝3或x＝9，y＝2或x＝10，y＝1，
∴xy＝10或18或24或28或30，不可能是22，
故选C.
4．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为( C )
A．13 B．14
C．15 D．16
[答案] C
[解析] 由题意可知，每日所织数量构成等差数列{an}，且a2＋a5＋a8＝15，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝28，设公差为d，由a2＋a5＋a8＝15，得3a5＝15，所以a5＝5，由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28，得a4＝4，则d＝a5－a4＝1，所以a15＝a5＋10d＝5＋10×1＝15.
5．已知数列{an}满足an＋1>an≥0，对任意p≤qeq \b\lc\(\rc\)()，都有aq－ap是数列{an}中的项，则( B )
A．a3＝a1＋a2 B．a4＝a2＋a3
C．a5＝a3＋a4 D．a6＝a4＋a5
[答案] B
[解析] 因为an＋1>an，a1≥0，a1－a1＝0∈{an}，所以a1＝0.
因为0＝a1
所以a3－a2＝a2，a4－a2＝a3，…，an－a2＝an－1.
故a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1，
则数列{an}的前6项可设为0，d，2d，3d，4d，5d，则有a4＝a2＋a3，B选项正确，其余选项错误．
故选B.
二、填空题
6．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x＝________.
[答案] log25
[解析] 由题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，
所以(2x－1)2＝2·(2x＋3)，即(2x－5)(2x＋1)＝0，
所以2x＝5，即x＝log25.
7．已知x－5，－3x－4，－6x－5依次是等差数列{an}的第2项、第4项和第6项，则实数x的值是________.
[答案] 2
[解析] 因为等差数列的第2项、第4项和第6项仍然成等差数列
所以2(－3x－4)＝(x－5)＋(－6x－5)，解得x＝2.
故答案为2.
8．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝________.
[答案] 3n－1
[解析] 设公差为d，
∵a2＋a4＝a1＋a5＝16，
∴由eq \b\lc\{\rc\ ()解得eq \b\lc\{\rc\ ()或eq \b\lc\{\rc\ ()
∵等差数列{an}是递增数列，
∴a1＝2，a5＝14.
∴d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
三、解答题
9．在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝－12，且a1·a3·a5＝80，求通项an.
[解析] 因为a1＋a5＝2a3，所以
eq \b\lc\ \rc\}()
eq \b\lc\{\rc\ ()
解得a1＝－10，a5＝2或a1＝2，a5＝－10，因为d＝，所以d＝3或－3，
所以an＝－10＋3(n－1)＝3n－13，
或an＝2－3(n－1)＝－3n＋5.
10．已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1.
(1)求{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．
[解析] (1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，
∴bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3.
(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7(n≥2)，
∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4(n≥2)，
∴{bn}是首项b1＝1，公差为4的等差数列．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a1 011>0，则feq \b\lc\(\rc\)()＋feq \b\lc\(\rc\)()＋feq \b\lc\(\rc\)()＋…＋feq \b\lc\(\rc\)()＋feq \b\lc\(\rc\)()的值( )
A．恒为正数 B．恒为负数
C．恒为0 D．可正可负
[答案] A
[解析] 因为函数f(x)是R上的奇函数且是严格增函数，
所以f(0)＝0，且当x>0时，f(x)>0; 当x<0时，f(x)<0.
因为数列{an}是等差数列，a1 011>0，故f(a1 011)>0.
再根据a1＋a2 021＝2a1 011>0，所以a1>－a2 021，则f(a1)>f(－a2 021)＝－f(a2 021)，
所以f(a1)＋f(a2 021)>0.
同理可得f(a2)＋f(a2 020)>0，f(a3)＋f(a2 019)>0，…，
所以feq \b\lc\(\rc\)()＋feq \b\lc\(\rc\)()＋feq \b\lc\(\rc\)()＋…＋feq \b\lc\(\rc\)()＋feq \b\lc\(\rc\)()
＝[f(a1)＋f(a2 021)]＋[f(a2)＋f(a2 020)]＋…＋[f(a1 010)＋f(a1 012)]＋f(a1 011)>0，
故选A.
2．(多选题)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0
C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
[答案] BD
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，易知d>0，
∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，
且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，
∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，
故B，D正确，A错误．
又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，
∴a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d>0，故C错误．故选BD.
3．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( C )
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
[答案] C
[解析] 先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，D错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若00，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，则a>a1a3 a2>，选C.
二、填空题
4．已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5＝3，则a3a7的最大值为________.
[答案] 9
[解析] 依题意，等差数列{an}各项都为正数，所以a3>0，a7>0，所以a3a7≤eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())2＝a＝9.当且仅当a3＝a7＝3时等号成立．
5．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为________.
[答案] －
[解析] ∵a4＋λa10＋a16＝15，∴(λ＋2)a10＝15，
∴(λ＋2)(a1＋9d)＝15.
又a1＝1，∴λ＋2＋9(λ＋2)d＝15，∴λ＝－2.
∵d∈[1，2]，∴令t＝1＋9d，t∈[10，19]，因此λ＝f(t)＝－2，
当t∈[10，19]，函数f(t)是减函数，故当t＝10时，实数λ有最大值，最大值为f(10)＝－.
三、解答题
6．设数列{an}是等差数列，bn＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
[解析] ∵b1b2b3＝，又bn＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())an，∴eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())a1·eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())a2·eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())a3＝.
∴eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，b2＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())a2＝，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1(b1＝2，,b3＝))或eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1(b1＝,b3＝2，))，即eq \b\lc\{\rc\ ()或eq \b\lc\{\rc\ ()
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())n－1＋2(n为正整数)．令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
[解析] 在Sn＝－an－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝.当n≥2时，Sn－1＝－an－1－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())n－2＋2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())n－1，
∴2an＝an－1＋eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1，
∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1，
即当n≥2时，bn－bn－1＝1，
又b1＝2a1＝1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝.
C 组·探索创新
(多选题)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是( )
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
[答案] ABD
[解析] 由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，则d＝10，
同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d′＝－10，
故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；
因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d′＝135－60＝75，
因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，
故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；
因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，
又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；
因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，
所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d′＝135－30＝105，
所以b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．
故选ABD.
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