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第四章 数列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与简单表示法
素养目标 定方向
1．通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法(列表、图象、通项公式)以及数列的分类．
2．了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质．
3．理解数列的通项公式的意义，并学会求一些简单数列的通项公式．
1．了解数列的概念和数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，会根据数列的前几项写出数列的通项公式．(数学抽象、逻辑推理)
2．理解数列的通项公式，并能够根据通项公式求数列中的某些项．(数学运算)
3．用函数思想理解数列，掌握数列的单调性，要求能够对数列进行合理分类，以提高学生分析问题和解决问题的能力．(数学抽象、逻辑推理)
必备知识 探新知
数列的概念
1．定义：按____________排列的一列数叫做数列．
2．项：数列中的__________叫做这个数列的项．
3．形式：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中an是数列的第____项，第1项也叫做首项．
练一练：已知数列1，3，5，…，2n－1，…则2 023是数列中的第___________项．
[解析] 令2n－1＝2 023，解得n＝1 012.
确定的顺序
每一个数
n
1 012
数列与函数的关系
数列{an}是从______________(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的__________，记为______________.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序__________时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列_________.另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，…构成了一个数列{f(n)}．
正整数集N*
第n项an
an＝f(n)
依次取值
{an}
想一想：数列与函数有怎样的区别与联系？
提示：(1)以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
(2)数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法．
(3)要注意数列的特殊性(离散型)．由于数列的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合．
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用__________来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
想一想：数列的通项公式的本质是什么？
一个式子
练一练：
1．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6，则a4＝________.
[答案] －6
[解析] a4＝42－7×4＋6＝－6.
2．数列1，3，5，7，…的通项公式为__________.
[答案] an＝2n－1
数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数______的数列
无穷数列 项数______的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
常数列 各项都______的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
练一练：下列说法中正确的是( )
A．数列1，－2，3，－4，…是一个摆动数列
B．数列1，2，…，2 023是无穷数列
C．{an}与an是相同的概念
D．数列－2，3，6，8可以表示为{－2，3，6，8}
[答案] A
关键能力 攻重难
1.(1)下列说法正确的是( )
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，…是无穷数列
D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11能构成数列
题|型|探|究
题型一
数列的概念及分类
(2)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
[答案] (1)C (2)C
(2)D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C.
[规律方法] 解答数列概念题要紧扣相关定义，观察数列的项数特征，确定是有穷数列还是无穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减．
(1)下列有关数列的说法正确的是( )
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．①③
C．②③ D．③
对点训练
(2)已知下列数列：
①2，22，222，2 222；
⑤a，a，a，a，….
其中，有穷数列是_______，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列为________.(将正确的序号填在横线上)
[答案] (1)D (2)① ②③④⑤ ①② ③ ⑤
[解析] (1)①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选D.
(2)①是有穷递增数列，②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无穷数列，也是摆动数列；⑤是无穷数列，也是常数列．
题型二
归纳数列的通项公式
2.写出下列数列{an}的一个通项公式：
【分析】 考查各项的结构特点，联想基本数列．
(1)分母依次是2，4，8，…，即2n，而分子比分母少1.
(2)将分母统一为2，分子恰为平方数．
(3)这是个摆动数列，可寻找其平衡位置，并用(－1)n去调节．
(4)此数列的每一项都分为三部分：分子、分母、符号．奇数项都为负，且分子都是1，偶数项为正，且分子都是3，分母依次是1，2，3，4，…，正负号可以用(－1)n调节．
[规律方法] 一些基本数列的通项公式应当牢记在心.
数列{an} 通项公式
2，6，12，20，… an＝n·(n＋1)
1，－1，1，－1，… an＝(－1)n－1
9，99，999，9 999，… an＝10n－1
1，1，1，1，… an＝1
写出下列数列{an}的一个通项公式：
(1)1，－3，5，－7，9，…；
对点训练
题型三
数列中的项的求解与判断
3.已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？
(3)数列{an}中有多少个负数项？
[分析] (1)分别将n＝4，n＝6代入通项公式，即可求得a4，a6；(2)令an＝－49，an＝68，分别求得n的值，若n∈N*，则是数列的项，否则不是该数列的项；(3)令an<0，求出n的范围，范围内正整数的个数即数列{an}中负数项的个数．
[解析] (1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.
(3)an＝n(3n－28)，令an<0，又n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项．
[规律方法] 判断某数是否为数列中的项的方法及步骤
(1)将所给项代入通项公式中．
(2)解关于n的方程．
(3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．
(1)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列各数中不是数列中的项的是( )
A．2 B．40
C．56 D．90
对点训练
[答案] (1)B
[解析] (1)由题意令an＝n2－n＝2，可得n＝2(负值舍去)，为正整数，即2是{an}的项；同理令an＝n2－n＝40，可得n不为正整数，即40不是{an}的项；令an＝n2－n＝56，可得n＝8(负值舍去)，为正整数，即56是{an}的项；令an＝n2－n＝90，可得n＝10(负值舍去)，是正整数，即90是{an}的项．故选B.
易|错|警|示
忽视数列中n的取值范围致误
4.已知数列{an}的通项公式为an＝n－7，则数列{nan}的最小项为第________项．
[答案] 3或4
课堂检测 固双基
[答案] C
A．第6项 B．第7项
C．第10项 D．第11项
[答案] B
[答案] C
4．下列关于星星的图案的个数构成数列{an}，则数列{an}的一个通项公式是________.
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，判断419和420是否为数列中的项？若是，是数列中的第几项？
[解析] 令n(n＋1)＝419，
∴n2＋n－419＝0，
此方程无正整数解，故419不是数列中的项．
令n(n＋1)＝420，∴n2＋n－420＝0，
∴(n－20)(n＋21)＝0，∵n∈N＋，∴n＝20.
故420是数列中的第20项．第四章 4.1 第1课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数；
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
[答案] A
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos等等．
2．已知数列{an}的通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ ()则a2a3的值是( )
A．70 B．28
C．20 D．16
[答案] D
[解析] a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.故选D.
3．2n是数列1，2，4，…，2n，…的第____项( )
A．n B．n＋1
C．n－1 D．n＋2
[答案] B
[解析] 数列第1项为20，第2项为21，则2n为n＋1项．
4．数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的第____项( )
A．9 B．10
C．31 D．32
[答案] D
[解析] 观察可得出，数列的特性：根据分子分母的和以及分子由小到大排列．
分子分母和为2的有1项，和为3的有2项，和为4的有3项，…，和为n的有n－1项．
的分子分母之和为9，且为和为9中的第4项，
又1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋4＝32，所以是数列中的第32项．
故选D.
5．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( A )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
[答案] A
[解析] an＝＝2－单调递增．故选A.
6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( A )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
[答案] A
[解析] an＝－2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(n－))2＋，因为n∈N*，5<<6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A.
二、填空题
7．观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项等于________.
[答案] ln 11
[解析] 由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，由11＝3×3＋2，所以该数列的第11项为ln 11.
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第________项．
[答案] 6
[解析] an＝＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1＋))，
当n＞5时，an＞0，且单调递减；当n≤5时，an＜0，且单调递减，
∴当n＝6时，an最大．
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…；
(2)2，3，5，9，17，33，…；
(3)，，，，，…；
(4)1，，2，，…；
(5)－，，－，，…；
(6)2，6，12，20，30，….
[解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·.
(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，
a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
∴an＝2n－1＋1.
(3)a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，
∴an＝.
(4)a1＝1＝，a2＝，a3＝2＝，a4＝，…，
∴an＝.
(5)a1＝－＝－，a2＝＝，a3＝－＝－，a4＝＝，
∴an＝(－1)n·.
(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，
∴an＝n(n＋1)．
10．已知数列{an}满足an＝eq \b\lc\{\rc\ ()试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．
[解析] ∵a1＝1－1＝0，a100＝100.∴a1＋a100＝100.
又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，
而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，
∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100
＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100＝－100.
B 组·素养提升
一、选择题
1．对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是( A )
[答案] A
[解析] 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.
2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第20项为( B )
A．212 B．200
C．186 D．162
[答案] B
[解析] 由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200.
3．(多选题)已知n∈N*，给出下列四个表达式，其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )
A．an＝eq \b\lc\{\rc\ () B．an＝
C．an＝ D．an＝eq \b\lc\|\rc\|(eq \a\vs4\al\co1(sin))
[答案] ABC
[解析] A中，an＝eq \b\lc\{\rc\ ()当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝1，满足条件；
B中，an＝，满足条件；
C中，an＝，满足条件；
D中，an＝eq \b\lc\|\rc\|(eq \a\vs4\al\co1(sin))，当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝0，以此类推，不满足条件．故选ABC.
二、填空题
4．已知数列2a－1，a－3，3a－5为递减数列，则a的取值范围为________.
[答案] (－2，1)
[解析] ∵数列：2a－1，a－3，3a－5为递减数列，
∴eq \b\lc\{\rc\ ()解得－2
∴a的取值范围为(－2，1)．
5．已知数列{an}，an＝cos nθ，0<θ<，a5＝，则a10＝________.
[答案] －
[解析] a5＝cos 5θ＝，
又0<θ<，
∴0<5θ<π，
∴5θ＝，
∴a10＝cos 10θ＝cosπ＝－.
三、解答题
6．数列{an}中，an＝.
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内；
(3)区间eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(，))内有无数列的项？若有，有几项？
[解析] (1)a7＝＝.
(2)证明：∵an＝＝1－，
∴0(3)∵<<，∴又n∈N*，
∴n＝1，即在区间eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(，))内有且只有一项a1.
C 组·探索创新
一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站．从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件数所成的数列，并画出该数列的图象．
[解析] 将A、B之间所有站按序1，2，3，4，5，6，7，8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7，12，15，16，15，12，7，0.填写下表：
站号 1 2 3 4 5 6 7 8
剩余邮件数 7 12 15 16 15 12 7 0
该数列的图象如图所示．
它在{1，2，3，4}上是递增的，在{4，5，6，7，8}上是递减的．
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