第四章 4.2 4.2.2 第1课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．若等差数列{an}的前三项和S3＝9，且a1＝1，则a2等于( A )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] A
[解析] S3＝3a1＋d＝9，
又∵a1＝1，∴d＝2，∴a2＝a1＋d＝3.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝11，S2m－1＝121，则m的值为( D )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] D
[解析] 因为S2m－1＝(2m－1)am＝121，所以2m－1＝11，故m＝6，故选D.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn＝( A )
A．－n2＋ B．－n2－
C．n2＋ D．n2－
[答案] A
[解析] 易知{an}是等差数列且a1＝－1，所以Sn＝＝＝－n2＋.故选A.
4．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( C )
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
[答案] C
[解析] 由a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝(2a1＋12d)＝(a1＋a1＋12d)＝(a1＋a13)为定值可知，a1＋a13为定值，而S13＝，所以S13为定值．
5．(2024·全国甲卷理)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝( )
A． B．
C．－ D．－
【答案】 B
【解析】 由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0，
则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝.故选B.
二、填空题
6．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b为常数，则ab＝________.
[答案] －1
[解析] ∵an＝4n－，
∴{an}为等差数列，设其公差为d，则a1＝，d＝4.
∴an2＋bn＝a1＋a2＋…＋an＝n＋×4＝2n2－n.
∴a＝2，b＝－，
∴ab＝－1.
7．(2022·全国乙卷文)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
[答案] 2
[解析] 由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a17＝20，则S18＝________.
[答案] 180
[解析] 因为a1＋a18＝a2＋a17＝20，
所以S18＝＝＝180.
三、解答题
9．若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求：
(1)数列{an}的首项a1和公差d；
(2)数列{an}的前10项和S10的值．
[解析] (1)根据题意，得
解得
(2)S10＝10a1＋d＝10×8＋×(－2)＝－10.
10．等差数列{an}中，已知a1＋a2＝5，S4＝14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn.
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，
则由a1＋a2＝5，S4＝14得，
即
解得a1＝2，d＝1，
所以an＝2＋(n－1)＝n＋1.
(2)由(1)可知，Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2023·新课标全国Ⅰ卷)记Sn为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( C )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[答案] C
[解析] 方法一：甲：为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即－＝＝为常数，设为t，
即＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得：an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确．
方法二：甲：为等差数列，设数列的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋d，
则＝a1＋d＝n＋a1－，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即－＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
当n≥2时，上两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，
于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件．
故选C.
2．某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放( B )
A．4 000元 B．4 500元
C．4 800元 D．5 000元
[答案] B
[解析] 由已知可知等差数列中S10＝2 000，S20＝3 500，
因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)，解得S30＝4 500，
故选B.
3．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列结论中正确的是( )
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N＋，均有Sn>0
D．若对任意n∈N＋，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
[答案] ABD
[解析] 由Sn＝n2＋n，根据二次函数的图象与性质，可知当d<0时数列{Sn}有最大项，选项A，B正确；如果数列{Sn}是递增数列，那么d>0，但对任意的n∈N＋，Sn>0不一定成立，选项C错误；若对任意n∈N＋，均有Sn>0，对应的抛物线开向上，所以d>0，故数列{Sn}是递增数列，选项D正确．
二、填空题
4．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若－＝2 005，则等差数列{an}的公差d＝________.
[答案] 2
[解析] ∵数列{an}为等差数列，设其公差为d，则其前n项和为Sn＝na1＋d，
∴＝a1＋d，
∴－＝，
∴是公差为的等差数列，
∴－＝2 005×＝2 005，解得d＝2.
5．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝________.
[答案] －15
[解析] 由a＋a＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3.
∴S10＝＝＝＝－15.
三、解答题
6．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a8＝4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值．
[解析] (1)∵a8＝a2＋6d,4＝22＋6d，∴d＝－3，a1＝25，∴an＝28－3n.
(2)∵an＝28－3n，令28－3n<0，得n>9，
∴当n≤9时，an>0；当n≥10时，an<0，
故当n＝9时，Sn最大，且最大值为S9＝25×9＋×9×8×(－3)＝117.
7．(2023·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列，的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
[解析] (1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，
∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，
又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝，
∴S3＋T3＝6d＋＝21，
即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝(舍去)，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝3n.
(2)∵{bn}为等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，即＝＋，
∴6＝＝，即a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d，
∵d>1，∴an>0，
又S99－T99＝99，由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1，
∴a50－＝1，即a－a50－2 550＝0，解得a50＝51或a50＝－50(舍去)．
当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，无解；
当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝.
综上，d＝.
C 组·探索创新
(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则下列说法正确的是( )
A．a6>0
B．－C．Sn<0时，n的最小值为13
D．数列中的最小项为第六项
[答案] ABC
[解析] 根据题意，等差数列{an}中，S12>0，即S12＝＝＝6(a6＋a7)>0，
又a7<0，则a6>0，A正确；
已知a3＝12，且a6>0，a7<0，a6＋a7>0，
则有
解可得－根据题意，S13＝＝13a7<0，
而S12>0，故Sn<0时，n的最小值为13，C正确；
数列中，由上面分析可知d<0，所以数列{an}是递减的等差数列，当1≤n≤6时，an>0；当n≥7时，an<0；当1≤n≤12时，Sn>0；当n≥13时，Sn<0，所以当1≤n≤6时，>0；当7≤n≤12时，<0；当n≥13时，>0，故数列中的最小项不是第六项，D错误．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共53张PPT)
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
素养目标 定方向
1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．
2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系．
3．掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用．
1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算)
2．掌握等差数列前n项和的公式及其应用．(逻辑推理、数学运算)
必备知识 探新知
等差数列的前n项和公式的推导(倒序相加法)
设Sn是等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.
倒序得Sn＝___________________________，
两式相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)．
由等差数列的性质得a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1，
所以有Sn＝__________①.
又an＝a1＋(n－1)d，代入①式，得Sn＝_____________②.
an＋an－1＋…＋a2＋a1
想一想：等差数列前n项和公式的内涵是什么？
练一练：
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4－a6＋a9＝7，则S13＝( )
A．91 B．81
C．110 D．130
[答案] A
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＝45，则2a12－a16＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] A
关键能力 攻重难
1.(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a8＝( )
A．8 B．9
C．10 D．11
题|型|探|究
题型一
有关等差数列前n项和公式的计算
(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为( )
A．7 B．6
C．3 D．2
(3)(2024·徐州高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝2，S9＝5，则S15＝________.
[答案] (1)B (2)C (3)15
[规律方法] 等差数列前n项和公式的运算方法与技巧
类型 “知三求二型”
基本量 a1，d，n，an，Sn
方法 运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组)，通过解方程(组)求出未知量
思想 方程的思想
注意 ①利用等差数列的性质简化计算；
②注意已知与未知条件的联系；
③有时运用整体代换的思想.
(1)在等差数列{an}中，前n项和为Sn.
①已知S8＝48，S12＝168，求首项a1和公差d；
②已知a3＋a15＝40，求S17.
(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有________项．
[答案] (2)13
对点训练
题型二
等差数列前n项和的性质
2.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14
C．16 D．18
[答案] (1)B (2)C
(4)项的个数的“奇偶”性质．
{an}为等差数列，公差为d.
①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；
(5)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
(6)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.
(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m＝________.
对点训练
题型三
等差数列前n项和的最值
3.(1)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝______时，{an}的前n项和最大；
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝8，S4＝36.
①求{an}的通项公式；
②当n为何值时，Sn有最大值？并求其最大值．
[分析] 求Sn的最大值，可以利用数列的通项公式求解，也可以利用前n项和的函数特性求解．
[答案] (1)8
[解析] (1)由等差数列的性质，得a7＋a8＋a9＝3a8>0，a8>0.
又因为a7＋a10<0，所以a8＋a9<0，所以a9<0，所以S8>S7，S8>S9，即数列{an}的前8项和最大．
(1)在等差数列{an}中，若|a3|＝|a9|，公差d<0，则前n项和Sn取得最大值时正整数n＝( )
A．4或5 B．5或6
C．6或7 D．7或8
(2)在等差数列{an}中，若a1>0，S11＝S18，则数列{an}的前________项的和最大．
[答案] (1)B (2)14或15
对点训练
易知Sn对应的二次函数的图象开口向下(如图所示)，利用二次函数图象的对称性及n∈N*知，当n＝5或n＝6时，Sn取得最大值．
方法三：因为d<0，|a3|＝|a9|，
所以a3＋a9＝0.
而a3＋a9＝2a6，所以a6＝0，
所以S5＝S6.
故S5，S6均为Sn的最大值．
易|错|警|示
由和求项注意验证首项
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
[错解] ∵an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.
an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，
∴数列{an}是等差数列．
[误区警示] an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证．
课堂检测 固双基
[答案] A
[答案] C
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] C
4．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则S10＝_______.
【答案】 95
5．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d，
由于a1＝1，a3＝－3，
又a3＝a1＋2d，
所以d＝－2，
因此an＝3－2n.
