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第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第2课时 等差数列前n项和习题课
素养目标 定方向
1．会利用数列的前n项和Sn求数列的通项公式an.
2．会使用裂项法求数列的前n项和．
1．构造等差数列求和模型，解决实际问题．(数学建模、数学运算)
2．能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值．(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
3．理解并应用等差数列前n项和的性质．(逻辑推理、数学运算)
必备知识 探新知
由Sn求an及裂项法求Sn
1．已知数列的前n项和Sn，若a1适合an，则通项公式an＝________，
若a1不适合an，则________________________.
Sn－Sn－1
[答案] B
关键能力 攻重难
1.(1)数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝( )
A．7 B．8
C．9 D．17
题|型|探|究
题型一
已知数列的前n项和Sn求通项an
[答案] (1)A
[答案] C
对点训练
即a1＋a2＋…＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，
当n≥2时
an＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)＝4n－3，
又因为a1＝1，满足上式，
所以an＝4n－3.
故选C.
题型二
裂项求和
[分析] 首先化简{an}的通项公式，求出bn后再利用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和．
[答案] C
对点训练
题型三
求数列{|an|}的前n项和
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.
(1)求证：{an}是等差数列；
(2)问{an}的前多少项和最大；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n.
[解析] (1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n.
故{an}的通项为an＝34－2n.
所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.
故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列．
(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17.
故数列{an}的前17项均大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an<0.
所以当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当n≥18时，
[规律方法] 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，则{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
对点训练
题型四
应用问题
4.用分期付款的方式购买一件家用电器，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元后的第一个月算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月应交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
[解析] 购买时付了150元，欠款1 000元，每月付50元，分20次付完．设每月付款的金额顺次组成数列{an}，则
a1＝50＋1 000×0.01＝60(元)．
a2＝50＋(1 000－50)×0.01＝(60－0.5)(元)．
a3＝50＋(1 000－50×2)×0.01＝(60－0.5×2)(元)．
依此类推，得a10＝60－0.5×9＝55.5(元)．
an＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20)．
∴付款数{an}组成等差数列，公差d＝－0.5，全部货款付清后的付款总数为
[规律方法] 一个实际问题可建立等差数列的模型的必要条件是：是离散型的变量问题，且变量的相邻两个值的差是一个常数．
在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如右图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)这9圈一共有多少块石板？
对点训练
[解析] (1)设从第1圈到第9圈的石板数构成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.
由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a9＝a1＋(9－1) · d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．
易|错|警|示
裂项求和要找准相加相消的规律
[误区警示] 错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项．
[点评] 运用裂项相消法求和时，要弄清消去的项是与它后面的哪一项相加消去的，找出规律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现添项或漏项、错项的错误．
课堂检测 固双基
1．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12的值为( )
A．100 B．99
C．120 D．130
[答案] A
[解析] a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7
＝122＋12＋1－72－7－1＝100.
2．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665
C．763 D．663
[答案] B
3．等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若前20项的和S20＝10M，则M的值为( )
A．a3＋a5 B．a2＋2a10
C．a20＋d D．a12＋a9
[答案] D
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝kn2＋bn(k≠0)，an＝3n＋2k，则b＝________.
5．已知数列{log2(an－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9，求数列{an}的通项公式．
[解析] 设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9，
得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，
即an＝2n＋1.第四章 4.2 4.2.2 第2课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( A )
A．15 B．16
C．49 D．64
[答案] A
[解析] a8＝S8－S7＝82－72＝15.
2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于( C )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
[答案] C
[解析] an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，
由an<180得n<13且n∈N*，
由n边形内角和定理得，
(n－2)×180＝n×120＋×5.
解得n＝16或n＝9，
∵n<13，∴n＝9.
3．等差数列{an}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽出的是( B )
A．a6 B．a8
C．a9 D．a10
[答案] B
[解析] 据题意S11＝55＝11a6，∴a6＝5.
又a1＝－5，∴公差d＝＝2.
设抽出的一项为an，则an＝55－46＝9.
由9＝－5＋(n－1)·2，得n＝8.
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＝＋2，则数列的前10项和是( C )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 由an＝＋2得Sn＝nan－2n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－an－1－4，
整理得an－an－1＝4，
所以{an}是公差为4的等差数列，又因为a1＝1，
所以an＝4n－3，从而Sn＋3n＝＋3n＝2n2＋2n＝2n，
所以＝＝，
所以数列的前10项和为×＝×＝.
故选C.
5．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为( C )
A．11 B．99
C．120 D．121
[答案] C
[解析] 因为an＝＝－，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1，
令－1＝10，解得n＝120.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值为( D )
A．61 B．62
C．65 D．67
[答案] D
[解析] 对n分情况讨论当n＝1时，S1＝a1＝－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋1)－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5，
所以an＝
由通项公式得a1
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋…＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝102－4×10＋1－2×(－3)＝67.
二、填空题
7．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________.
[答案]
[解析] 由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然a1＝3不符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为________.
[答案] 60
[解析] 因为Sn＝n2－5n＋2，所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－5n＋7，两式相减可得an＝2n－6，n≥2.当n＝1时，a1＝S1＝－2，不满足上式，故an＝则数列{an}从第二项开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列{|an|}的前10项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋＝60.
9．(2024·复旦附中高一检测)等差数列{an}的前n项和为Sn .已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
[答案] 10
[解析] 根据等差数列的性质，可得am－1＋am＋1＝2am.
又am－1＋am＋1－a＝0，则2am＝a，
解得am＝0(舍去)或am＝2.
则S2m－1＝＝(2m－1)am，∴4m－2＝38，
所以m＝10.
三、解答题
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1.
(1)写出数列的前5项；
(2)数列{an}是等差数列吗？说明理由；
(3)写出{an}的通项公式．
[解析] (1)∵Sn＝n2＋n＋1，∴a1＝S1＝3，a2＝S2－S1＝7－3＝4，a3＝S3－S2＝13－7＝6，a4＝S4－S3＝21－13＝8，a5＝S5－S4＝31－21＝10.
(2)由(1)可知，a2－a1＝4－3＝1，a3－a2＝6－4＝2，
∴a3－a2≠a2－a1，∴数列{an}不是等差数列．
(3)∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴an＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]
＝2n(n≥2)，a1＝S1＝3，
∴数列{an}的通项公式为an＝
11．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解析] (1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝
＝，
从而数列的前n项和为－＋－＋…＋－＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a3＝( B )
A．17 B．29
C．23 D．35
[答案] B
[解析] 依题意{an}为等差数列，且d＝－3，S9＝＝9a5＝207，∴a5＝23，∴a3＝a5－2d＝29.故选B.
2．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n等于( A )
A．－2 B．0
C．1 D．2
[答案] A
[解析] ∵an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，
∴an＋1＋an－1＝a.
∵{an}为等差数列，
∴an＋1＋an－1＝2an＝a.
∴an＝2或an＝0(舍)．
∴S2n－1－4n＝2×(2n－1)－4n＝－2.
3．在各项不全为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 005，则正整数k的值为( D )
A．2 017 B．2 018
C．2 019 D．2 020
[答案] D
[解析] Sn＝n2＋n，所以Sn可看成关于n的二次函数，由二次函数的对称性及S2 011＝S2 014，Sk＝S2 005，可得＝，解得k＝2 020.故选D.
二、填空题
4．(2024·宁大附中高三模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列的前n项和为________.
[答案]
[解析] ∵an＋1＝an＋n＋1，∴an－an－1＝n，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋3＋…＋n＝，
∴＝.
∵－＝－＝，
则数列为等差数列．
因此，数列的前n项和为＝.
5．已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝________.
[答案] 211
[解析] ∵数列{an}中，当整数n>1时，
Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，
Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2 an＋1－an＝2(n>1)．
∴当n≥2时，{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴S15＝14a2＋×2＋a1＝14×2＋×2＋1＝211.
三、解答题
6．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
[解析] (1)∵a1＝1，S1＝a1＝1，∴＝1，
又∵是公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，
∴当n≥2时，Sn－1＝，
∴an＝Sn－Sn－1＝－，
∴整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，
即＝，
∴an＝a1×××…××
＝1×××…××＝，
显然对于n＝1也成立，
∴{an}的通项公式an＝.
(2)证明：＝＝2，
∴＋＋…＋＝2＋＋…＋＝2<2.
C 组·探索创新
已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且nSn＋1＝Sn，则数列的前n项和Tn＝________.
[答案] －
[解析] 因为nSn＋1＝Sn，
所以＝，则＝，
则Sn＝×××…××S1，
＝×××…×××1＝，
当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，
综上an＝n，
所以＝－，
所以数列的前n项和为
Tn＝－＋－＋…＋－＝－.
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