第四章 4.2 4.2.1 第1课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( A )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
[答案] A
[解析] ∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，
∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，
∴数列{an}是公差为2的等差数列．
2．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为( A )
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
[答案] A
[解析] 由题意知an＝2n＋1，则an＋1－an＝2.故选A.
3．在两个实数a，b(a≠b)之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为( C )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] b是等差数列的第n＋2项．由等差数列的通项公式，得b＝a＋(n＋2－1)d，解得d＝.
4．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( B )
A．40 B．42
C．43 D．45
[答案] B
[解析] 设公差为d，则a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.
5．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( C )
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
[答案] C
[解析] 由等差中项的定义知：x＝，x2＝，
∴＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())2，
即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
二、填空题
6．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________.
[答案] －
[解析] 方法一：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.
方法二：a7＝a3＋4d＝4d，a4＝a3＋d＝d，代入条件即可得d.
7．已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N*)，且f(2)＝2，则f(101)＝____.
[答案] －
[解析] ∵{f(n)}为等差数列，公差为－，
∴f(1)＝f(2)－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－))＝2＋＝.
∴f(101)＝f(1)＋100·d＝＋100×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－))＝－.
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为____升．
[答案]
[解析] 设此等差数列为{an}，公差为d，则
eq \b\lc\{\rc\ ()
∴eq \b\lc\{\rc\ ()解得eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1(a1＝，,d＝.))
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
三、解答题
9．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
[解析] 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则3a＝9，∴a＝3.
∴这三个数分别为3－d，3，3＋d.
由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，∴d＝－1.
∴这三个数分别为4，3，2.
10．已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
[解析] 因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：
2lg 4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．
从而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.
所以d＝4或d＝－2.
所以a，b，c三个数分别为1，5，9或7，5，3.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列命题中正确的个数是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
[答案] BCD
[解析] 对于A，令a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，A错误；对于B，取a＝b＝c 2a＝2b＝2c，B正确；对于C，因为a，b，c成等差，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，C正确；对于D，取a＝b＝c≠0，则＝＝，D正确．
2．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是( D )
A．d> B．d<
C．[答案] D
[解析] 由题意eq \b\lc\{\rc\ ()∴eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1(＋9d>1，,＋8d≤1，))
∴3．(多选题)已知数列{an}满足：a1＝2，当n≥2时，an＝(＋1)2－2，则下列说法正确的是( )
A．a2＝7
B．数列{an}为递增数列
C．an＝n2＋2n－1
D．数列{an}为周期数列
[答案] ABC
[解析] ∵数列{an}满足：a1＝2，当n≥2时，an＝(＋1)2－2，
∴an＋2＝(＋1)2，
∴＝＋1，
即数列{}是首项为＝2，公差为1的等差数列．
∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝n2＋2n－1，所以易知ABC正确，D错误．故选ABC.
二、填空题
4．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2＋a6＝a8.若p－q＝10，则ap－aq＝________.
[答案] 10
[解析] 设等差数列{an}的公差为d(d>0)，∵a1＝1，且a2＋a6＝a8，∴2＋6d＝1＋7d，解得d＝1.若p－q＝10，则ap－aq＝10d＝10.
5．等差数列{an}，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________.
[答案] an＝38－5n
[解析] 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ ()
即eq \b\lc\{\rc\ ()
解得－∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n.
三、解答题
6．已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列eq \b\lc\{\rc\}(eq \a\vs4\al\co1())是等差数列，并求x95的值．
[解析] 因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，
所以xn＝(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得＝1(n≥2)，即－＝(n≥2)．
又＝3，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(eq \a\vs4\al\co1())是以3为首项，为公差的等差数列，所以＝3＋(n－1)×＝，
所以xn＝，所以x95＝＝.
C 组·探索创新
已知等差数列{an}：3，7，11，15，….
(1)求{an}的通项公式；
(2)135，4m＋19(m∈N*)是数列{an}的项吗？如果是，是第几项？
(3)若am，at(m，t∈N*)是数列{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}的项吗？如果是，是第几项？
[解析] (1)设数列{an}的公差为d，
依题意，有a1＝3，d＝7－3＝4，
∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1(n∈N*)．
(2)令4n－1＝135，得n＝34，
∴135是数列{an}的项，是第34项．
∵4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N*，
∴4m＋19是数列{an}的项，是第m＋5项．
(3)∵am，at是数列{an}中的项，
∴am＝4m－1，at＝4t－1，
∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1.
∵2m＋3t－1∈N*，
∴2am＋3at是数列{an}的项，是第2m＋3t－1项．
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第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念
素养目标 定方向
1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．
2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．
3．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关问题．
1．能够通过实际问题理解等差数列、公差、等差中项的概念，提升分析问题、解决问题的能力．(数学抽象)
2．掌握等差数列的通项公式及其推导方法，并能够灵活地进行运算．(逻辑推理、数学运算)
3．掌握等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列．(数学抽象、逻辑推理)
必备知识 探新知
等差数列的定义
一般地，如果一个数列__________起，每一项与__________的差都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d表示．
想一想：对等差数列的理解，有哪些问题需要注意？
提示：1.“从第2项起”因为首项没有“前一项”．
2．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件．
从第2项
它前一项
同一个常数
公差
3．求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2)来求，也可以用d＝an＋1－an来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用d＝an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N*.
练一练：已知数列{an}满足an≠0，则a1＋a4＝a2＋a3是{an}为等差数列的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
[答案] B
[解析] 例如a1＝1，a4＝－1，a2＝3，a3＝－3，满足a1＋a4＝a2＋a3，但是a2－a1＝2≠a3－a2＝－6，不符合等差数列的定义，故推不出{an}为等差数列；
若{an}为等差数列，设公差为d，所以a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝2a1＋3d，a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d，则a1＋a4＝a2＋a3.
所以a1＋a4＝a2＋a3是{an}为等差数列的必要条件但不是充分条件．
故选B.
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
想一想：“数列{an}是等差数列”与“2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈ N＋)”之间是什么关系？
提示：等价关系．
练一练：在等差数列{an}中，a3、a5是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a4的值为( )
A．2 B．3
C．±2 D．
[答案] A
[解析] 由韦达定理和等差中项的性质可得a3＋a5＝4＝2a4，因此a4＝2.
故选A.
等差数列的通项公式
递推公式 通项公式
___________＝d(n∈N*) an＝_______________(n∈N*)
想一想：等差数列的通项公式有怎样的内涵？
提示：(1)由等差数列的通项公式可知，等差数列中的任一项均可用首项和公差表示出来，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确定该数列的首项和公差即可，因此我们把等差数列的首项和公差称为等差数列的基本量．
an＋1－an
a1＋(n－1)d
(2)等差数列的通项公式中涉及an，a1，d，n四个量，知道其中三个量可以求出第四个量．
练一练：已知{an}是等差数列，首项a1＝－1，公差d＝－3，则a8＝________.
[答案] －22
等差数列与一次函数的关系
由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
想一想：等差数列与一次函数有怎样的联系与区别？
提示：
等差数列 一次函数
解析式 an＝kn＋b(k≠0，n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0)
不同点 定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线f(x)＝kx＋b上) 定义域为R，图象是一条直线
相同点 等差数列通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，等差数列的图象是相应的一次函数图象上的一系列孤立的点
练一练：已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定
[答案] B
关键能力 攻重难
1.已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为：a，2a－1，3－a.
题|型|探|究
题型一
等差数列的通项公式
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
∴通项公式为an＝2n－1.
[规律方法] 要想求出等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，那么a1和d就是必须求出的量，我们称之为基本量，在解题中，要时刻把握这两个量，它们常常是我们解题的基础．
(1)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8 B．12
C．16 D．24
(2)等差数列{an}中，
①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；
②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
[答案] (1)C
对点训练
(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，
an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.
②an＝a1＋(n－1)d，
所以a5＝a1＋4d，
所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)
＝－2n＋21，
令－2n＋21＝1，得n＝10.
题型二
等差中项的应用
(2)等差数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( )
A．0 B．9
C．12 D．18
[分析] (1)求a，b的等差中项 等差中项的定义 等式 计算．
(2)先根据已知求出x的值，再求出数列的第四项．
[答案] (1)A (2)B
(2)由题意得2(3x＋3)＝x＋(6x＋6)，
所以x＝0.
所以等差数列的前三项为0，3，6，公差为3，
所以等差数列的第四项为9.故选B.
[规律方法] 1.等差中项的应用策略
(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．
(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m2．等差中项法判定等差数列
若数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则可判定数列{an}是等差数列．
若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
[解析] 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，
得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
对点训练
题型三
等差数列的判断与证明
3.(1)判断下列数列是否为等差数列？
①an＝3n＋2；
②an＝n2＋n.
[解析] (1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．
②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．
[规律方法] 证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)利用定义法，即证an＋1－an＝常数．(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(1)若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n (n∈ N*)，求证：数列{an}为等差数列；
对点训练
[证明] (1)因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1＝10＋(n＋1)lg 2.
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
易|错|警|示
求等差数列的公差时因考虑不周致误
4.首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )
[误区警示] 该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明公差为正数，且第9项为非正数，第10项为正数，解决此类问题时容易忽视第9项的要求．
[答案] D
课堂检测 固双基
1．(多选题)下列数列是等差数列的是( )
A．0，0，0，0，0，…
B．1，11，111，1 111，…
C．－5，－3，－1，1，3，…
D．1，2，3，5，8，…
[答案] AC
[解析] 根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，故选AC.
2．等差数列－3，1，5，…的第15项的值是( )
A．40 B．53
C．63 D．76
[答案] B
[解析] 设这个等差数列为{an}，
其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为( )
A．92 B．47
C．46 D．45
[答案] C
[解析] a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，
由－89＝－2n＋3，得n＝46.
4．(多选题)以下选项中能构成等差数列的是( )
A．2，2，2，2
B．3m，3m＋a，3m＋2a，3m＋3a
C．cos 0，cos 1，cos 2，cos 3
D．a－1，a＋1，a＋3
[答案] ABD
[解析] C项不满足等差数列的定义．故选ABD.
得(n－1)an＋1＝nan，
所以nan＋2＝(n＋1)an＋1，两式相减得：
nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，
整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1，
所以an＋2＋an＝2an＋1，
所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，
又因为a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1，所以数列{an}是等差数列．
