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第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式
素养目标 定方向
1．借助教材实例了解等比数列前n项和公式的推导过程．
2．借助教材掌握a1，an，q，n，Sn的关系．
3．掌握等比数列的前n项和公式、性质及其应用．
1．掌握等比数列的前n项和公式与应用．(逻辑推理、数学运算)
2．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(逻辑推理、数学运算)
必备知识 探新知
等比数列的前n项和公式
提示：当公比未知时，一定要对公比进行分类讨论．
na1
练一练：已知数列{an}是等比数列，若a1＝1，q＝2，Sn＝31，则n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] B
等比数列前n项和公式与其公比q的关系
则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
练一练：等比数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，则m＝________.
[答案] －3
[解析] ∵点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，∴Sn＝3n＋1＋m＝3×3n＋m.又Sn＝－Aqn＋A，比较可知m＝－3.
等比数列前n项和的性质
练一练：已知等比数列{an}的前n项和Sn满足S5＝10，S10＝40，则S20＝( )
A．130 B．160
C．390 D．400
[答案] D
[解析] 因为等比数列{an}的前n项和Sn满足S5＝10，S10＝40，
所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15依然成等比数列，
则S5(S15－S10)＝(S10－S5)2，即10(S15－40)＝(40－10)2，解得S15＝130，
则S5(S20－S15)＝(S10－S5)(S15－S10)，即10(S20－130)＝30×90，解得S20＝400，
故选D.
关键能力 攻重难
题|型|探|究
题型一
与等比数列前n项和有关的基本运算
[规律方法] 等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．
提醒：两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧．
对点训练
[答案] (1)B
题型二
等比数列的前n项和的性质的应用
2.(1)(2024·云南昆明高三模拟)已知等比数列{an}的各项都是正数，Sn为其前n项和，若S4＝8，S8＝24，则S16＝( )
A．40 B．56
C．72 D．120
(2)等比数列{an}共有2n项，所有项数的和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比q的值．
[答案] (1)D
[解析] (1)因为S4＝8，S8－S4＝16，S12－S8，S16－S12成等比数列，
所以S12－S8＝32，S16－S12＝64，S16＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＋(S16－S12)＝8＋16＋32＋64＝120.
(2)由题意知
(1)已知等比数列{an}，an>0，S3＝6，a7＋a8＋a9＝24，求S99的值．
(2)一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其中奇数项的和为85，偶数项的和为170，求该数列的公比和项数．
对点训练
题型三
应用问题
3.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________.
[答案] 6
[解析] 由题可知，每天植树棵数构成首项为2，公比为2的等比数列，所以有an＝2n，Sn＝2n＋1－2，令Sn≥100，满足条件的最小的整数n＝6.
[规律方法] 解决实际问题，关键是从题中抽象出数学模型，必须写清等比数列{an}的由来．
(2023·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”．马主曰：“我马食半牛”．今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟. 羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”．马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”．打算按此比例偿还，他们各偿还多少？该问题中，1斗为10升，则羊主人应偿还多少升粟( )
对点训练
[答案] C
易|错|警|示
忽略对公比q的讨论致误
4.已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
课堂检测 固双基
1．等比数列{2n}的前n项和Sn＝( )
A．2n－1 B．2n－2
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
[答案] D
[答案] D
3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5＝( )
A．4 B．8
C．16 D．32
[答案] C
[解析] S1＝1＋a，∴a1＝a＋1，
S2＝2＋a，a2＝1，
S3＝4＋a，a3＝2，
4．(2022·全国乙卷文)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D．3
[答案] D
5．设数列{an}是等比数列，公比为3，前80项和为32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.
[答案] 24第四章 4.3 4.3.2 第1课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．(2023·全国甲卷理科)设等比数列的各项均为正数，前n项和Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝( C )
A． B．
C．15 D．40
[答案] C
[解析] 由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，
即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.
由题知q>0，所以q＝2.
所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.
故选C.
2．数列{an}的前n项和为Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝( A )
A．－1 B．0
C．1 D．4
[答案] A
[解析] 显然数列{an}的公比不等于1，所以Sn＝＝·qn－＝4n＋b，所以b＝－1.
3．在14与之间插入n个数组成等比数列，若这n＋2项的总和为，则此数列的项数为( B )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] B
[解析] 设该等比数列的公比为q.由题意，可知q≠1，
则＝，
解得q＝－，
设此数列的项数为m，令＝14×m－1，解得m＝5.故该数列共有5项．
4．(多选题)已知等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，其前n项和为Sn，则( )
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列是递增数列
C．数列{log2an}是等差数列
D．Sn＝2n－1
[答案] AC
[解析] 等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，所以an＝2n－1，Sn＝2n－1.于是a2n＝2×4n－1，＝n－1，log2an＝n－1，故数列{a2n}是等比数列，
数列是递减数列，数列{log2an}是等差数列．
Sn＝＝2n－1.故选AC.
5．某人计划2023年出国旅游，从2016年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2023年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱数(元)为( D )
A．a(1＋p)7
B．a(1＋p)8
C．[(1＋p)7－(1＋p)]
D．[(1＋p)8－(1＋p)]
[答案] D
[解析] 设所有存款和利息的总和为S元，由题意知第一年存入的a元到2023年本息和为a(1＋p)7元，以此类推，2022年存入的a元到2023年本息和为a(1＋p)元，所以S＝a(1＋p)7＋a(1＋p)6＋a(1＋p)5＋…＋a(1＋p)
＝a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋(1＋p)5＋…＋(1＋p)]
＝a·＝[(1＋p)8－(1＋p)]．故选D.
二、填空题
6．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn＝3n＋1－A，则A＝________.
[答案] 3
[解析] ∵Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn＝3n＋1－A，∴a1＝S1＝32－A＝9－A，a2＝S2－S1＝(33－A)－(9－A)＝18，a3＝S3－S2＝(34－A)－(33－A)＝54.
∵a1，a2，a3成等比数列，∴a＝a1a3，
∴182＝(9－A)×54，解得A＝3.
故答案为3.
7．(2024·山东青岛高三模拟)设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1,2a2，a3成等差数列，则q＝________，＝________.
[答案] 3 10
[解析] 设等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1.因为3a1,2a2，a3成等差数列，所以2×2a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2.又因为等比数列中a1≠0，则4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3.又因为q≠1，所以q＝3.所以＝＝＝1＋q2＝1＋32＝10.
8．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和S8＝________.
[答案] 170
[解析] ∵(S8－S4)∶S4＝24＝16，
∴(S8－10)∶10＝16，
∴S8＝170.
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a2＋a4＝60，a1·a3＝36，Sn>400，求正整数n的取值范围．
[解析] 由a1a3＝a＝36，得a2＝±6.
再由a2＋a4＝60，得a4＝54或a4＝66.
因为a2与a4同号，所以a2＝6，a4＝54.
再由q2＝＝9，得q＝±3.
当q＝3时，a1＝＝2.
此时，Sn＝>400，即3n>401.
所以n≥6.
当q＝－3时，a1＝－2，
此时，Sn＝>400，
即(－3)n>801.所以n≥8(n∈N*且n为偶数)．
综上：当a1＝2，q＝3时，n是大于等于6的正整数，
当a1＝－2，q＝－3时，n是不小于8的偶数．
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
[解析] 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
B 组·素养提升
一、选择题
1．设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为( )
A．2 B．200
C．－2 D．0
[答案] A
[解析] 设公比为q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2，
∴S101＝＝＝2.
2．已知数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝( A )
A．1 033 B．2 057
C．1 034 D．2 058
[答案] A
[解析] ∵{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝2n－1，
∵{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝n＋1，∴abn＝a2n－1＝2n－1＋1，
∴ab1＋ab2＋…＋ab10＝＋10＝＋10＝1 024－1＋10＝1 033.
故选A.
3．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于( D )
A．2 B．
C． D．
[答案] D
[解析] 此五个正三角形的边长an形成等比数列：2,1，，，.
∴这五个正三角形的面积之和＝×＋＋＝×＝.故选D.
二、填空题
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
[答案]
[解析] 由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，
整理得q＝＝3.
∴S5＝＝.
5．将正偶数集合{2,4,6,8，…，2n，…}中的数从小到大按第n组有2n个数进行分组如下：
第一组,{2,4}) 第二组,{6,8,10,12}) 第三组,{14,16,18,20,22,24,26, 28}) …,…)
则2 018位于第________组．
[答案] 9
[解析] 前n组共有2＋4＋8＋…＋2n＝＝2n＋1－2个数．由an＝2n＝2 018得n＝1 009，
∴2 018为第1 009个偶数．
∵29＝512,210＝1 024，
∴前8组共有510个数，前9组共有1 022个数，因此2 018位于第9组．
三、解答题
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan.其中λ≠0.
(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
[解析] (1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，
所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝n－1.
(2)由(1)得Sn＝1－n.
由S5＝得1－5＝，即5＝.
解得λ＝－1.
C 组·探索创新
已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列．若a1＝b1＝1，a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q；
(2)是否存在常数a，b使对于一切n∈N*，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)∵a2＝1＋d＝b2＝q，①
a6＝1＋5d＝b3＝q2，②
由①②解得d＝3，q＝4.
(2)假设存在常数a，b满足题意，
由an＝1＋(n－1)d＝3n－2，
bn＝qn－1＝4n－1及an＝logabn＋b知
(3－loga4)n＋(loga4－b－2)＝0.
∵n∈N*，∴解得a＝，b＝1.
所以存在常数a＝，b＝1满足等式．
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