第四章 4.3 4.3.1 第1课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知{an}是等比数列，a2 012＝4，a2 024＝16，则a2 018＝( C )
A．4 B．±4
C．8 D．±8
[答案] C
[解析] ∵数列{an}为等比数列，且a2 012＝4，a2 024＝16，
∴a2 018是a2 012，a2 024的等比中项，且是同号的，
∴a2 018＝＝＝8.故选C.
2．数列m，m，m，…一定( C )
A．是等差数列，但不是等比数列
B．是等比数列，但不是等差数列
C．是等差数列，但不一定是等比数列
D．既是等差数列，又是等比数列
[答案] C
[解析] 当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列．当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C.
3．(2023·湖南武冈二中高二月考)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( A )
A．±4 B．4
C．± D．
[答案] A
[解析] 由题意，得a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
设G是a4与a8的等比中项，则G2＝a4·a8＝16，故G＝±4，故选A.
4．设{an}为等比数列，给出下列四个数列：①{2an}，②{a}，③{2an}，④{log2|an|}．
其中一定为等比数列的是( D )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①②
[答案] D
[解析] 设an＝a1qn－1，
①2an＝2a1qn－1，所以数列{2an}是等比数列；
②a＝aq2n－2＝a(q2)n－1，所以数列{a}是等比数列；
③＝2an－an－1，因为an－an－1不是一个常数，所以数列{2an}不是等比数列；
④＝不是一个常数，
所以数列{log2|an|}不是等比数列．故选D.
5．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( C )
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]
[答案] C
[解析] 依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C.
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＋a3＝20，a2＋a4＝60，则a7＋a8＝________.
[答案] 5 832
[解析] 设公比为q，则q＝＝3，
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10a1＝20，
∴a1＝2.∴a7＋a8＝a1(q6＋q7)＝2(36＋37)＝5 832.
7．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是________.
[答案] －
[解析] ∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，
∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×7＝－.
8．正项等比数列{an}，若3a1，a3,2a2成等差数列，则{an}的公比q＝________.
[答案] 3
[解析] 因为正项等比数列{an},3a1，a3,2a2成等差数列，
所以
解得q＝3.所以{an}的公比q＝3.
三、解答题
9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
[解析] (1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
∴4q＋2q2＝30，
∴q2＋2q－15＝0，
∴q＝3或－5.
∵an＞0，∴q＝3.
∴an＝a1qn－1＝2·3n－1.
(2)∵b1＝a2，∴b1＝6.
又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1.
∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，
b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，
b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，
b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解析] (1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
B 组·素养提升
一、选择题
1．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( D )
1 2
0.5 1
a
b
c
A．1 B．2
C．3 D．
[答案] D
[解析] 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，
1 2 3 4
0.5 1 1.5 2
0.25 0.5 0.75 1
0.125 0.25 0.375 0.5
0.062 5 0.125 0.187 5 0.25
故a＝，b＝，c＝，则a＋b＋c＝.故选D.
2．(多选题)已知{an}是公比为q的等比数列，a3＝4，且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为( )
A． B．1
C．2 D．3
[答案] AC
[解析] 因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以2(a3＋1)＝a2＋a4，即10＝4，所以q＋＝，解得q＝2或q＝.
3．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( C )
A．m>k
B．m＝k
C．mD．m与k的大小随q的值而变化
[答案] C
[解析] m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)
＝(a5－a4)－(a7－a6)
＝a4(q－1)－a6(q－1)
＝(q－1)(a4－a6)
＝(q－1)·a4·(1－q2)
＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．
二、填空题
4．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是________.
[答案]
[解析] 由已知得an＝an＋1＋an＋2，
即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1，
∴q2＋q＝1，解得q＝.
又q>0，∴q＝.
5．在两个非零实数a和b之间插入2个数，使它们成等比数列，则这个等比数列的公比为________(用a，b表示)．
[答案]
[解析] 设这个公比为q，则
b＝aq3，q3＝(a≠0，b≠0)，
所以q＝＝.
三、解答题
6．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an，
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1.
于是－＝，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，＝＋(n－1)×＝n－.
所以an＝(3n－1)·2n－2.
C 组·探索创新
(2024·吉林高二检测)长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同地使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例，这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停地分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD的长为________.(指数幂形式)
[答案] 5
[解析] 根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为1，即HP＝1，则矩形HPLJ中，LP＝HJ＝＝，则在矩形HJIF中，HF＝＝2，
同理：FC＝3，DC＝4，
则BC＝5.
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第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念
素养目标 定方向
1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．
2．借助教材掌握等比数列的通项公式．
3．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．
1．能够通过实际问题理解等比数列的定义，掌握等比中项的概念，熟练掌握等比数列的判定方法．(数学抽象、逻辑推理)
2．掌握等比数列的通项公式及其应用，能用递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)
必备知识 探新知
等比数列的定义
第2项
同一个常数
公比
q
练一练：已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是( )
[答案] A
等比中项
等比数列
a，G，b
提示：“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0,0,1不成等比数列．因此“a，G，b成等比数列”是“G2＝ab”的充分不必要条件．
[答案] D
等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝______________(a1，q≠0)．
想一想：关于等比数列通项公式的推导，除了教材方法外还有哪些方法？
提示：方法一(迭代法) 根据等比数列的定义，得an＝an－1q＝ (an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝a2qn－2＝(a1q)qn－2＝a1qn－1 (n≥2)；当n＝1时，上面等式也成立．故当n∈N*时，an＝a1qn－1.
a1qn－1
练一练：已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为( )
A．an＝2·3n＋1 B．an＝3·2n＋1
C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1
[答案] C
[解析] 由已知可得a1＝2，公比q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.
关键能力 攻重难
题|型|探|究
题型一
等比数列的概念
[答案] D
对点训练
题型二
等比数列的通项公式
2.在等比数列{an}中，公比为q.
(1)若a1＝1，a4＝8，求an；
(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[解析] (1)因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
[规律方法] 等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
对点训练
[答案] (1)C
题型三
等比中项的应用
A．2 B．－2
C．±2 D．4
(2)设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] (1)C (2)B
[规律方法] (1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，a，b没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第2项起(有穷数列末项除外)，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项．
(1)已知数列{an}中an＝2n，则a2和a4的等比中项为________.
(2)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝( )
A．6 B．－6
C．±6 D．±12
[答案] (1)±8 (2)C
对点训练
[解析] (1)∵an＝2n，
∴a2＝22＝4，a4＝24＝16，
设a2和a4的等比中项为a，
则a2＝4×16＝64，
解得a＝±8.
题型四
等比数列的判定与证明
4.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
对点训练
易|错|警|示
忽视等比中项的符号致错
5.等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
[误区警示] 错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．
课堂检测 固双基
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
[答案] A
[解析] 由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，
(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，
第2项为－6，
故数列的第4项为－24.
[答案] D
3．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
[答案] B
[解析] 由等比数列的性质可得，
b2＝(－1)×(－9)＝ac，∴b2＝ac＝9，
又b与首项－1同号，
∴b＝－3.
[答案] 4
5．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*，且n≥2)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，故an＝n－2·3n－1.
