第四章 4.3 4.3.1 第2课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．等比数列{an}中，a1a2a3＝－8，a5＝16，则公比为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
[答案] A
[解析] a1a2a3＝－8，a＝－8，a2＝－2，a5＝16，公比为－2.
2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
[答案] B
[解析] 设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为bn＝anan＋1.
则＝＝q2，故数列{bn}是公比为q2的等比数列．
3．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝( )
A．3 B．2
C．1 D．－2
[答案] B
[解析] 曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(1,2)，则b＝1，c＝2.由a，b，c，d成等比数列，知ad＝bc＝1×2＝2，故选B.
4．(多选题)已知数列{an}是等比数列，那么下列结论一定正确的是( )
A．{a}为等比数列
B．{lg an}为等差数列
C.为等差数列
D．{an＋an＋1＋an＋2}为等比数列
[答案] AD
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，则＝2＝q2，
∴{a}是等比数列；
lg an＋1－lg an＝lg＝lg q，当q<0时，lg q无意义，故B错误；
－＝－＝an≠常数，故C错误；
由等比数列的定义知{an＋an＋1＋an＋2}是等比数列．
故选AD.
5．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( B )
A．210 B．220
C．216 D．215
[答案] B
[解析] 设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，
C＝a3a6a9…a30，则A，B，C成等比数列，
公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，
∴C＝B·210＝220.
二、填空题
6．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为________.
[答案] 3
[解析] 由题意得a4a14＝(2)2＝8，
由等比数列性质，得a4·a14＝a7·a11＝8，
∴log2a7＋log2a11＝log2(a7·a11)＝log28＝3.
7．已知公差不为零的等差数列的第1,4,13项恰好是某等比数列的第1,3,5项，那么该等比数列的公比q＝________.
[答案] ±
[解析] 由题知a＝a1a13，
即(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，
∴a＋6a1d＋9d2＝a＋12a1d，
∴a1＝d，
∴a4＝a1＋3d＝d，
∴q2＝＝3，
∴q＝±.
8．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
[答案] 1
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则由a4＝a1＋3d，
得d＝＝＝3，
由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，
∴q＝－2.
∴＝＝＝1.
三、解答题
9．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解析] (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
[解析] 设数列{an}的公差为d，则
a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d.
由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
整理得10d2－10d＝0，
解得d＝0，或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，
因此，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( A )
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
[答案] A
[解析] 方法一：a＝log23，b＝log26＝1＋log23，
c＝log212＝2＋log23.
∴b－a＝c－b.
方法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，
∴a＋c＝2b，∴选A.
2．两个公比均不为1的等比数列{an}，{bn}，其前n项的乘积分别为An，Bn.若＝2，则＝( A )
A．512 B．32
C．8 D．2
[答案] A
[解析] 因为A9＝a1a2a3…a9＝a，B9＝b1b2b3…b9＝b，所以＝9＝512.
3．(多选题)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a5的值可能是( )
A．2 B．4
C． D．
[答案] ABD
[解析] 依题意，数列{an}是正项等比数列，所以a3>0，a7>0，a5>0，
所以＝＋≥2＝，
因为a5>0，所以上式可化为a5≥2，
当且仅当a3＝，a7＝时等号成立．
二、填空题
4．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝________.
[答案] 4
[解析] ∵am－1am＋1－2am＝0，
由等比数列的性质可得，a－2am＝0，
∵am≠0，∴am＝2.
∵T2m－1＝a1a2…a2m－1＝(a1a2m－1)·(a2a2m－2)…am＝aam＝a＝22m－1＝128，
∴2m－1＝7，∴m＝4.
5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________.
[答案] 4
[解析] ∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2.又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，
∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8.
又an＝a1qn－1＝8×n－1＝n－4，
∴an·an＋1·an＋2＝3n－9>，即23n－9<9，
∴n的最大值为4.
三、解答题
6．(2024·山东青岛模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，_______.
给出下列三个条件：
条件①：数列{an}为等比数列，数列{Sn＋a1}也为等比数列；
条件②：点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上；
条件③：2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1.
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下面两问的解答．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] 方案一：选择条件①.
(1)因为数列{Sn＋a1}为等比数列，所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)·(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)．
设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，
所以(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，解得q＝2或q＝0(舍去)，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得an＝2n－1(n∈N*)，
所以bn＝＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋
＝
＝－
＝－.
方案二：选择条件②.
(1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上，
所以an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，
所以an＝Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1－an＝an，＝2(n≥2)．
因为a1＝1，a2＝S1＋1＝a1＋1＝2，所以＝2适合上式．
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)同方案一的(2)．
方案三：选择条件③.
(1)当n≥2时，因为2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1(n∈N*)(ⅰ)，
所以2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＝(n－1)an，
所以2na1＋2n－1a2＋…＋22an－1＝2(n－1)an(ⅱ)，
(ⅰ)－(ⅱ)得2an＝nan＋1－2(n－1)an，即＝2(n≥2)，
当n＝1时，2a1＝a2，＝2适合上式．
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)同方案一的(2)．
C 组·探索创新
(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为Tn，且满足a1>1，a2 020·a2 021>1，<0，则下列结论中错误的是( )
A．q<0
B．a2 021·a2 022－1>0
C．T2 020是数列{Tn}中的最大值
D．S2 020>S2 021
[答案] ABD
[解析] ①若q<0，则a2 020＝a1q2 019<0，a2 021＝a1q2 020>0，此时a2 020·a2 021<0，不合题意；
②若q≥1，对任意的n∈N＋，an＝a1qn－1>0，且有＝q≥1，可得an＋1≥an，
可得a2 021≥a2 020≥a1>1，此时>0，与题干不符，不合题意；
③由上可知0
0，且有＝q<1，可得an＋1此时，数列{an}为单调递减数列，则a2 020>a2 021，由<0可得0对于A选项，由上可知，A选项错误；对于B选项，由于数列{an}为正项递减数列，所以0对于C选项，由上可知，正项数列{an}前2 020项都大于1，而从第2 021项起都小于1，所以T2 020是数列{Tn}中的最大值，C选项正确；
对于D选项，S2 021－S2 020＝a2 021>0，
∴S2 02021世纪教育网(www.21cnjy.com)(共47张PPT)
第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质及应用
素养目标 定方向
1．掌握等比数列的性质．
2．能利用等比数列的性质解决相关问题．
3．体会等比数列与指数函数的关系．
1．掌握等比数列的性质，并能够应用该知识进行灵活运算．(逻辑推理、数学运算)
2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(逻辑推理、数学运算)
必备知识 探新知
等比数列与指数函数的关系
a1qn－1
想一想：通项公式为an＝kqn(kq≠0)的数列{an}是等比数列吗？
等比数列的单调性
(3)当q＝1时，等比数列{an}为________(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号).
常数列
等比数列的性质
1．等比数列的项之间的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an＝am·_______(m，n∈N*)．
(2)多项关系
项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am·an＝__________.
qn－m
ap·aq
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，
则am·an＝_________.
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·______________＝ak·___________＝ (n为正奇数)．
an－1
an－k＋1
3．等比数列的运算的性质
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则
①{c·an}(c是非零常数)是公比为____的等比数列；
②{|an|}是公比为________的等比数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为_________的等比数列．
q
|q|
q1·q2
练一练：已知{an}是等比数列，若a2＝2，a3a5＝16，则a6＝( )
A．6 B．8
C．±6 D．±8
[答案] B
[解析] 由等比数列的性质若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，
可得a2a6＝a3a5＝16，代入计算得a6＝8.
故选B.
关键能力 攻重难
1.在等比数列{an}中，已知a1>0 ， 8a2－a5＝0，则数列{an}为( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
[答案] A
题|型|探|究
题型一
等比数列的单调性
[规律方法] 由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．
在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
[答案] D
对点训练
题型二
等比数列的性质
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
[规律方法] 灵活应用性质，能极大地提高我们的计算速度，当然本题也可采用基本量法．
(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝________；
(2)数列{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝________；
(3)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
[答案] (1)25 (2)1或64 (3)50
对点训练
题型三
等比数列性质的应用
[答案] A
[解析] ①{anan＋1}是首项为a1a2，公比为q2的等比数列．
②当q≠－1时，{an＋an＋1}是等比数列，但当q＝－1时，{an＋an＋1}不是等比数列；
③当q≠1时，{an＋1－an}是等比数列，但当q＝1时，{an＋1－an}不是等比数列；
[规律方法] 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0.
设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是长、宽分别为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为( )
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
[答案] D
对点训练
题型四
等比数列的实际应用
[分析] 建立等比数列模型 运用等比数列的性质求解．
[答案] A
[规律方法] 关于等比数列在应用问题中的应用
首先根据题意判断是否是等比数列模型，其次分析等比数列的首项、公比、项数，最后利用等比数列的通项公式计算解题．
对点训练
(2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
[答案] (1)C (2)C
易|错|警|示
忽略等比数列中的项的符号致错
5.在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为( )
A．9 B．－9
C．±9 D．18
[错解] ∵a3a7＝a4a6＝a1a9，
∴(a1a9)2＝81，∴a1a9＝±9，故选C.
[误区警示] 本题易忽略在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件，而得到a1a9＝±9.
[答案] A
[正解] 因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.
所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9.
因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，
所以a1，a9同号，所以a1a9＝9，答案为A.
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[答案] D
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
[答案] D
[答案] B
[答案] －2
5．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．