(共42张PPT)
第四章 数列
4.4* 数学归纳法
素养目标 定方向
1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题．
1．了解数学归纳法的原理．(数学抽象、逻辑推理)
2．掌握数学归纳法的步骤．(逻辑推理)
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理)
必备知识 探新知
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝____(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
n0
k＋1
想一想：用数学归纳法证明命题的关键是什么？
提示：步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立．而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．
[答案] D
[解析] 表达式的左边是从1开始加到a3n＋1结束，
所以验证n＝1成立时等式左边计算所得项是1＋a＋a2＋a3＋a4.
故选D.
关键能力 攻重难
题|型|探|究
题型一
对数学归纳法的理解
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[答案] D
[解析] 在证明n＝k＋1不等式也成立时，没有应用n＝k时的假设，即没有用到归纳递推，故从n＝k到n＝k＋1的推理不正确，故选D.
[规律方法] 数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律．
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设．
对点训练
[答案] C
题型二
用数学归纳法证明等式
[规律方法] 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形．
用数学归纳法证明：
对点训练
题型三
用数学归纳法证明不等式
[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[规律方法] 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：
(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．
(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．
对点训练
题型四
数学归纳法在数列中的应用
4.(2023·深圳市耀华实验学校高二联考)已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
(1)计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．
[规律方法] 通过此例可看出观察、归纳、猜想、证明的思想方法的基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后用数学归纳法给出证明．
对点训练
易|错|警|示
未用归纳假设而致误
5.用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N*)．
[错解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．
[误区警示] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．
[正解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；
(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，
那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2[2(k＋1)－1－1]．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．
[点评] 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2,3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
课堂检测 固双基
[答案] B
[解析] 验证可知n＝1,2,3,4,5,6时，此不等式左边<右边，n＝7时，左边＝右边，而左边式子的值随着n的增加而增加，所以可推知n≥8时，左边>右边，因此n的起始值应取8，故选B.
[答案] D
3．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2也成立，若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是( )
A．P(n)对所有正整数n都成立
B．P(n)对所有正偶数n都成立
C．P(n)对所有正奇数n都成立
D．P(n)对所有自然数n都成立
[答案] B
[解析] 根据数学归纳法的步骤可知，若P(n)对n＝2成立，则对n＝2＋2＝4也成立，由此可推得P(n)对所有正偶数n都成立．故选B.
5．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为13＋23＋33＋…＋n3＝________.第四章 4.4
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2＋＋…＋时，若已假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝_______时等式成立．( B )
A．n＝k＋1 B．n＝k＋2
C．n＝2k＋2 D．n＝2(k＋2)
[答案] B
[解析] 由数学归纳法的证明步骤可知，假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，
则还需要用归纳假设再证n＝k＋2，
不是n＝k＋1，因为n是偶数，k＋1是奇数，
故选B.
2．用数学归纳法证明“2n>2n＋1，对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( B )
A．2 B．3
C．5 D．6
[答案] B
[解析] ∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立，∴n的第一个取值n0＝3.
3．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中( A )
A．必须运用假设
B．可以部分地运用假设
C．可不用假设
D．应视情况灵活处理，A，B，C均可
[答案] A
[解析] 由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．
4．上一个n级台阶，每次上一级或上两级，设上法的种数为f(n)，则下列猜想正确的是( D )
A．f(n)＝n
B．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)
C．f(n)＝f(n－1)·f(n－2)
D．f(n)＝
[答案] D
[解析] 由题意得当n＝1时，f(1)＝1；当n＝2时，f(2)＝2；当n＝3时，f(3)＝3；当n＝4时，f(4)＝5；当n＝5时，f(5)＝8，
猜想：f(n)＝
5．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝( C )
A．Sk＋
B．Sk＋＋
C．Sk＋－
D．Sk＋－
[答案] C
[解析] 由题意将k替换为k＋1，据此可得
Sk＋1＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＋＋
＝＋＋＋＋…＋＋＋－
＝＋＋＋＋…＋＋－
＝Sk＋－.
故选C.
二、填空题
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，试归纳猜想出Sn的表达式是Sn＝________.
[答案]
[解析] a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，S1＝1，S2＝，S3＝，S4＝，…，可归纳出Sn＝.
7．一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N*)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：______(填上所有正确命题的序号)
①n＝11时，该命题一定不成立；
②n＝11时，该命题一定成立；
③n＝1时，该命题一定不成立；
④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．
[答案] ③
[解析] 由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，
可得P(n)对n＝9不成立，
同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．由题意，n＝11时命题成立与否不确定．所以③正确．
故答案为③.
8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋＋＋…＋增加的项数是________.
[答案] 2k
[解析] 当n＝k时成立，
即f(k)＝1＋＋…＋，
则n＝k＋1成立时，有f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，
所以增加的项数是(2k＋2k－1)－(2k－1)＝2k.
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋52－…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[证明] ①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，
右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．
②假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2
＝－2k2－5k－3
＝－(k＋1)(2k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]．
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知，对任意n∈N*，等式成立．
10．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
[解析] 由已知得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，
b4＝25.
猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，可得结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，
bk＋1＝＝＝(k＋2)2.
∴当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．
B 组·素养提升
一、选择题
1．若凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)＝( C )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
[答案] C
[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条经过该点的对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故选C.
2．现有命题“1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n＝＋(－1)n＋1，n∈N＋”，不知真假．请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为( B )
A．不能用数学归纳法去判断真假
B．一定为真命题
C．加上条件n≤9后才是真命题，否则为假
D．存在一个很大常数m，当n>m时，命题为假
[答案] B
[解析] n＝1时，左边＝(－1)2·1＝1，右边＝＋(－1)2·＝1，左边＝右边，命题成立；假设n＝k，k≥1，k∈Z时，命题成立，即1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)k＋1·k＝＋(－1)k＋1·，
则n＝k＋1时，左边＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)k＋1·k＋(－1)k＋2·(k＋1)
＝＋(－1)k＋1·＋(－1)k＋2·(k＋1)
＝＋(－1)k＋2·
＝＋(－1)k＋2·＝右边，命题也成立；
命题“1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n＝＋(－1)n＋1，n∈N＋”，是真题．故选B.
3．(多选题)用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n2＝时，下列说法错误的是( )
A．当n＝1时，命题的左边为1＋1
B．当n＝k＋1时，命题的左边为1＋2＋3＋…＋k2＋(k＋1)2
C．当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分有(k＋1)2－(k2＋1)项
D．当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
[答案] ABC
[解析] 用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n2＝时，
当n＝1时，命题的左边为1，所以A不正确；
n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.所以选项D正确，C不正确，选项B不正确；故选ABC.
二、填空题
4．平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域，则k＋1条直线把平面分成的区域数f(k＋1)＝f(k)＋________.
[答案] k＋1
[解析] 当n＝k＋1时，第k＋1条直线被前k条直线分成(k＋1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了(k＋1)个区域．
5．用数学归纳法证明·…>(k>1)，则当n＝k＋1时，在n＝k时的左端应乘上______________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是________.
[答案] … 2k－1
[解析] 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有 ＋1＝2k－2k－1＝2k－1项．
三、解答题
6．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)分别求出a2，a3，a4，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
(2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[解析] (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
当n＝1时，a2＝＝＝；
当n＝2时，a3＝＝＝；
当n＝3时，a4＝＝＝；
所以a2＝，a3＝＝，a4＝，
猜测 an＝.
(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，＝1，
所以a1＝1，所以n＝1时，等式成立；
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，
则ak＋1＝＝＝＝＝，
所以n＝k＋1时，等式成立．
综合①和②可知，对于任意的n∈N*，an＝均成立．
C 组·探索创新
(多选题)意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)．若将数列的每一项按照如图所示的方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn，则下列结论正确的是( )
A．Sn＋1＝a＋an＋1·an
B．a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋2－1
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n－1
D．4(cn－cn－1)＝πan－2·an＋1
[答案] ABD
[解析] 对于A，Sn＋1＝a＋an＋1·an，当n＝1时，S2＝1＋1＝2，a＋a2a1＝2，等式成立，
假设n＝k(k∈N＋)时，Sk＋1＝a＋ak＋1·ak成立，当n＝k＋1时，Sk＋2＝Sk＋1＋a＝a＋ak＋1·ak＋a＝a＋ak＋1·(ak＋ak＋1)＝a＋ak＋2·ak＋1，则n＝k＋1时，等式也成立，故A正确．对于B，a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋2－1，当n＝1时，a1＝a3－1＝a1＋a2－1＝1，等式成立，
假设n＝k(k∈N＋)时，a1＋a2＋a3＋…＋ak＝ak＋2－1成立，
当n＝k＋1时，a1＋a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1＝ak＋2－1＋ak＋1＝ak＋3－1，
则n＝k＋1，等式也成立，故B正确．
对于C，由题意得，a1＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，
∴a1＋a3＝3≠a4－1，a1＋a3＋a5＝8≠a6－1，故C错误．
对于D，cn＝a，4(cn－cn－1)＝4×(a－a)＝π(an－an－1)·(an＋an－1)＝πan－2·an＋1，故D正确．
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