(共37张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
素养目标 定方向
1．知道瞬时速度的概念，能描述瞬时速度与平均速度的关系．
2．会通过极限的方法求瞬时速度．
3．会区分曲线的割线斜率与切线斜率，并知道二者的不同．
1．通过实例，领悟由平均速度到瞬时速度刻画实际的变化的过程．(数学抽象)
2．掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题．(数学抽象、数学运算)
3．通过求抛物线的切线的斜率和方程，体会极限思想的应用．(数学运算、直观想象)
必备知识 探新知
瞬时速度
我们把物体在__________的速度称为瞬时速度.
某一时刻
极限
在研究t＝1时的瞬时速度时，我们发现，当Δt无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5.
无限趋近于0
－5
想一想：瞬时速度与平均速度有什么关系？
A．2 m/s B．3 m/s
C．4 m/s D．5 m/s
[答案] C
曲线的切线
在研究抛物线的割线时，我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于________________，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．
一个确定的位置
想一想：割线的斜率与切线的斜率有怎样的区别与联系？
提示：区别：割线的斜率是经过曲线上两点连线的斜率；切线的斜率是以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率．
联系：切线的斜率是割线的斜率的极限值．
关键能力 攻重难
1.(1)如图所示，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
题|型|探|究
题型一
平均变化率的求法
A．10米/秒 B．8米/秒
C．4米/秒 D．0米/秒
[答案] (1)B (2)A
[规律方法] 求平均变化率的方法步骤
通常用“两步”法，一作差，二作商，即：
(1)先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)．
一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．
对点训练
题型二
瞬时变化率(瞬时速度)的求法
2.已知质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动．(位移单位：cm，时间单位：s)
[规律方法] 求物体运动的瞬时速度的步骤：
(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(1)(2024·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
(2)已知物体的运动方程是s＝－4t2＋16t(s的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2 s时的瞬时速度为( )
A．3 m/s B．2 m/s
C．1 m/s D．0 m/s
[答案] (1)D (2)D
对点训练
[解析] (1)该质点在t＝1时的瞬时速度为－6，
故选D．
(2)Δs＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4(Δt)2，
题型三
曲线在某点处的瞬时变化率(切线斜率)的求法
[答案] (2)A
[规律方法] 求函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率的步骤：
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程．
[解析] f(2＋Δx)－f(2)
＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2，
所以切线的斜率
对点训练
易|错|警|示
不能正确识图致误
4.A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B
机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
[错解] 选C．因为在(0，t0)上，W1(t)的图象比W2(t)的图象陡峭，∴在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．
[误区警示] 从图上看，两机关单位在(0，t0)上用电量的平均变化率都取负值．
[答案] B
[正解] 由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.
[点评] 识图时，一定要结合题意弄清图象所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．
课堂检测 固双基
1．物体做直线运动所经过的路程s可表示为时间t的函数s(t)＝2t2＋2，则该物体在一小段时间[2,2＋Δt]上的平均速度为( )
A．8＋2Δt B．4＋2Δt
C．7＋2Δt D．－8＋2Δt
[答案] A
[解析] ∵函数s＝s(t)＝2t2＋2，
∴Δs＝2(2＋Δt)2＋2－(2×22＋2)＝2Δt2＋8Δt，
∴物体在[2,2＋Δt]上的平均速度为
2．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故选C．
3．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为( B )
A．1 B．3
C．－1 D．0
[答案] B
4．抛物线y＝2x2在点(1,2)处切线的斜率为________.
[答案] 4
[答案] 2第五章 5.1 5.1.1
A 组·基础自测
一、选择题
1．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为( )
A．x0＋Δx B．1＋Δx
C．2＋Δx D．2
[答案] D
[解析] 由题意，可得平均变化率
＝＝2，故选D．
2．某物体沿水平方向运动，其前进距离s(米)与时间t(秒)的关系为s(t)＝5t＋2t2，则该物体在运动的前2秒的平均速度为( )
A．18米/秒 B．13米/秒
C．9米/秒 D．米/秒
[答案] C
[解析] ∵s(t)＝5t＋2t2，∴该物体在运动前2秒的平均速度为＝＝9(米/秒)，故选C．
3．(2024·杭州高二检测)设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0
[答案] A
[解析] ∵函数f(x)＝x2－1的自变量x由1变成1.1，所以Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，
∴＝＝2.1.故选A．
4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为( )
A．>> B．>>
C．>> D．>>
[答案] B
[解析] ＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，由图象知kOA5．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( A )
A．at0 B．－at0
C．at0 D．2at0
[答案] A
[解析] ∵＝＝aΔt＋at0，
∴ ＝at0.
二、填空题
6．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]上相应的平均速度与Δt满足的关系式为________.
[答案] ＝－2Δt－4
[解析] Δs＝[4－2(1＋Δt)2]－(4－2·12)
＝4－2－4Δt－2(Δt)2－4＋2
＝－4Δt－2(Δt)2，
＝＝＝－4－2Δt.
7．由瞬时变化率的研究方法可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的瞬时变化率为________.
[答案] 0
[解析]
＝
＝Δx＝0.
8．已知自由落体的运动方程为s(t)＝5t2，则t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为________，落体在t＝2时的瞬时速度为________.
[答案] 20＋5Δt 20
[解析] 由题物体在t＝2到t＝2＋Δt这一段时间内的平均速度为＝＝20＋5Δt，则当Δt→0时→20，即t＝2时的瞬时速度为20.
三、解答题
9．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
[解析] 山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝＝＝，∴kBC>kAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭．
10．(2024·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t＝3 s时的瞬时速度．
[解析] 设这辆汽车在3 s到(3＋Δt) s这段时间内的位移的增量为Δs，则Δs＝3·(3＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt，
所以＝3Δt＋18，所以 (3Δt＋18)＝18.
故这辆汽车在t＝3 s时的瞬时速度为18 m/s.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则( )
A．该物体在[1,3]这段时间内的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
[答案] ABD
[解析] 该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，故A项正确；
物体在t＝4时的瞬时速度是 ＝ (56＋7Δt)＝56，故B项正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，故C项错误；
物体在t＝5时的瞬时速度是 ＝ (70＋7Δt)＝70，故D项正确．
2．(多选题)某物体做自由落体运动的位移s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若 ＝9.8 m/s，则对于数据9.8 m/s，下列说法错误的是( )
A．是从0 s到1 s这段时间的平均速度
B．是从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度
C．是t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D．是t＝Δt s这一时刻的瞬时速度
[答案] ABD
[解析] 根据题意， ＝9.8 m/s，则物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度为9.8 m/s，
故选ABD．
3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为( )
A．(－2,1) B．(0，－7)
C．(2,1) D．(3,11)
[答案] C
[解析] 设P点坐标为(x0,2x－7)，
则
＝
＝ (4x0＋2Δx)＝4x0.
所以4x0＝8，解得x0＝2.
所以P的坐标为(2,1)．
二、填空题
4．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为________.
[答案] 2
[解析] 根据题意，函数f(x)＝x2－1在区间[1，
m]上的平均变化率为＝＝m＋1，∴m＋1＝3则m＝2.
5．设函数y＝f(x)＝ax3＋2，若f(x)在x＝－1处的切线斜率为3，则a＝________.
[答案] 1
[解析] Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx.
∴＝＝a(Δx)2－3aΔx＋3a.当Δx无限趋近于0时，a(Δx)2－3aΔx＋3a无限趋近于3a.∴k＝3a＝3，∴a＝1.
三、解答题
6．若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解析] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近位移的平均变化率为＝
＝
＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处位移的瞬时变化率为
＝ (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度v0＝－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近位移的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处位移的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
C 组·探索创新
将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积的平均变化率为，则m的值为________.
[答案] 2
[解析] 球的体积V与半径R的关系式为V(R)＝πR3，当半径从R＝1到R＝m时，ΔR＝m－1，ΔV＝πm3－π，所以有＝＝π，解得m＝2(m＝－3舍去)．
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