第五章 5.2 5.2.2 5.2.3
A 组·基础自测
一、选择题
1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( D )
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D．
2．下列求导运算正确的是( C )
A．′＝＋
B．(x2ex)′＝2xex
C．(3xcos 2x)′＝3x(ln 3·cos 2x－2sin 2x)
D．′＝2＋
[答案] C
[解析] ′＝(ln x)′＋′＝－，A错误；
(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex，B错误；
(3xcos 2x)′＝(3x)′cos 2x＋3x(cos 2x)′＝3x·ln 3·cos 2x－2·3x·sin 2x＝3x(ln 3·cos 2x－2·sin 2x)，C正确；
′＝′＋(log2x)′＝0＋＝，D错误．
3．已知f(x)＝x2－xf ′(0)－1，则f(2 023)的值为( D )
A．2 020×2 022 B．2 021×2 022
C．2 021×2 023 D．2 022×2 024
[答案] D
[解析] f ′(x)＝2x－f ′(0)，
则f ′(0)＝－f ′(0)，则f ′(0)＝0，
∴f(x)＝x2－1，
∴f(2 023)＝2 0232－1＝2 022×2 024.
故选D．
4．函数y＝sin2x的图象在处的切线的斜率是( D )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] y′＝2sin xcos x，当x＝时，y′＝，故函数在点A处的切线的斜率为.
5．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( B )
A．－1 B．0
C．2 D．4
[答案] B
[解析] 由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－，又g(x)＝xf(x)，f′(3)＝－，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0.
二、填空题
6．已知f(x)＝x3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.
[答案] 1
[解析] 根据题意，f(x)＝x3＋3xf ′(0)，
则其导数f ′(x)＝x2＋3f ′(0)，
令x＝0可得： f ′(0)＝3f ′(0)，
解可得f ′(0)＝0，
则f ′(x)＝x2，
则有f ′(1)＝1.
故答案为1.
7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
[答案] 2
[解析] 令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
8．若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1), f ′(0)＝4，则a＝________.
[答案] 3
[解析] 由f(x)＝eax＋ln(x＋1)，
得f ′(x)＝aeax＋，
∵f ′(0)＝4，∴f ′(0)＝a＋1＝4，
∴a＝3.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xex；
(2)y＝；
(3)y＝sin4＋cos4；
(4)y＝＋ .
[解析] (1)y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
(2)y′＝′
＝
＝＝.
(3)∵y＝sin4＋cos4
＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·＝＋cos x，
∴y′＝－sin x.
(4)∵y＝＋＝＋
＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
10．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行且与l的距离为，求l的方程．
[解析] 由题意知，
y′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′
＝2e2xcos 3x＋3(－sin 3x)·e2x
＝2e2xcos 3x－3e2x sin 3x，
∴曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.
∴该切线方程为y－1＝2x y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，
则d＝＝.
解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4；
当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.
综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)＝x2＋cos x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(x)的图象是( A )
[答案] A
[解析] 函数f(x)＝x2＋cos x，
f ′(x)＝－sin x，f ′(－x)＝－sin(－x)＝－f ′(x)，
所以f ′(x)为奇函数，排除BD，
当x＝时，f ′＝－<0，排除C，故选A．
2．(多选题)下列曲线与直线y＝2x相切的有( )
A．曲线f(x)＝2ex－2 B．曲线f(x)＝2sin x
C．曲线f(x)＝3x＋ D．曲线f(x)＝x3－x－2
[答案] ABD
[解析] 若f(x)＝2ex－2，则由f ′(x)＝2ex＝2，得x＝0，点(0,0)在直线y＝2x上，则直线y＝2x与曲线f(x)＝2ex－2相切；若f(x)＝2sin x，则由f ′(x)＝2cos x＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，且f(2kπ)＝0，则直线y＝2x与曲线f(x)＝2sin x相切；若f(x)＝3x＋，则由f ′(x)＝3－＝2，得x＝±1，因为(1,4)，(－1，－4)都不在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线f(x)＝3x＋不相切；若f(x)＝x3－x－2，则由f ′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线f(x)＝x3－x－2相切，故选ABD．
3．(多选题)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f ′(0)·cos x＋2，其导函数为f ′(x)，则( )
A．f(0)＝－1 B．f ′(0)＝1
C．f(0)＝1 D．f ′(0)＝－1
[答案] BC
[解析] ∵f(x)＝x2＋f(0)·x－f ′(0)·cos x＋2，∴f(0)＝－f ′(0)＋2，∵f ′(x)＝2x＋f(0)＋f ′(0)sin x，∴f ′(0)＝f(0)，∴f ′(0)＝f(0)＝1.故选BC．
二、填空题
4．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________.
[答案]
[解析] y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，
y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，
得x1＝1或x2＝－.
∴两个切点分别为(1,2)和.
切线方程为x－y＋1＝0和x－y－＝0.
∴d＝＝.
5．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)＝________，f ′(x)>0的解集为________.
[答案] 2x－2－ {x|x>2}
[解析] 由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝＝>0，解得x>2，故f ′(x)>0的解集为{x|x>2}．
三、解答题
6．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．
[解析] f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，
且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.①
(1)若－b≤－1，
即b≥1，则f′(x)在[－1,3]上是增函数，
所以f′(x)min＝f′(－1)＝－1，
即1－2b＋c＝－1.②
由①②解得b＝，不满足b≥1，故舍去．
(2)若－1<－b<3，即－3则f′(x)min＝f′(－b)＝－1，
即b2－2b2＋c＝－1.③
由①③解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
(3)若－b≥3，即b≤－3，则f′(x)在[－1,3]上是减函数，
所以f′(x)min＝f′(3)＝－1，
即9＋6b＋c＝－1.④
由①④解得b＝－，不满足b≤－3，故舍去．
综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
C 组·探索创新
已知a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，求切点的横坐标x0.
[解析] 易得f ′(x)＝ex－ae－x，x∈R.
因为f ′(x)为奇函数，
所以f ′(x)＋f ′(－x)＝0对任意x∈R恒成立，
即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝1，
所以f(x)＝ex＋e－x，f ′(x)＝ex－e－x.
由题可得ex0－e－x0＝，令ex0＝t(t>0)，则t－＝，
解得t＝2或t＝－(舍去)，
所以ex0＝2，所以x0＝ln 2.
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第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.2 导数的四则运算法则
5.2.3 简单复合函数的导数
素养目标 定方向
1．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数．
2．能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．(数学运算)
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(逻辑推理、数学运算)
3．利用导数的运算法则解决有关问题．(数学抽象、数学运算)
4．了解复合函数的概念．(数学抽象)
5．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(逻辑推理、数学运算)
6．能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题．(数学抽象、数学运算)
必备知识 探新知
导数的四则运算法则
符号表达 文字叙述
[f(x)±g(x)]′＝_____________ 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)
[f(x)g(x)]′＝___________________ 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
f ′(x)±g′(x)
f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
练一练：(多选题)下列求导运算正确的是( )
[答案] ACD
复合函数的导数
(1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)求导法则：对于复合函数y＝f(g(x))，y ′x＝________，即y对x的导数等于______的导数与______的导数的乘积．
y ′u·u ′x
y对u
u对x
想一想：复合函数的求导问题，关键在于分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，选好中间变量．求解时要注意什么？
提示：(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
练一练：引入中间变量，并指出下列函数是由怎样的函数复合而成的．
(1)y＝(3x＋1)10；
(2)y＝esin x；
(3)y＝ln(2x－1)．
[解析] (1)引入中间变量u＝3x＋1，则函数是由y＝u10与u＝3x＋1复合而成的．
(2)引入中间变量u＝sin x，则函数是y＝eu与u＝sin x复合而成的．
关键能力 攻重难
题|型|探|究
题型一
利用导数的运算法则求函数的导数
(2)函数y＝x2sin x的导数为( )
A．y′＝2x＋cos x B．y′＝x2cos x
C．y′＝2xcos x D．y′＝2xsin x＋x2cos x
[答案] (1)A (2)D (3)C
[规律方法] 应用导数的四则运算法则的思路方法及注意事项
(1)熟记导数的四则运算法则，尤其是积、商的求导法则．
(2)应用和、差、积、商的求导法则求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积或商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形等知识对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
(3)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
(2)(2023·福建南安侨光中学高三月考)已知f(x)＝e2 023＋x·ln x，则 f ′(1)＝( )
A．1 B．e2 023＋1
C．e2 023－1 D．e2 023
对点训练
[答案] (1)D (2)A
(2)∵f(x)＝e2 023＋x·ln x，
∴f ′(x)＝ln x＋1，∴f ′(1)＝ln 1＋1＝1.
(3)①y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1.
②y′＝3x2ex＋x3ex.
题型二
复合函数的导数
2.求下列函数的导数：
(1)y＝(－2x＋1)2；(2)y＝ex－1；
[解析] (1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2u·(－2)
＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设y＝eu，u＝x－1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·1＝ex－1.
[规律方法] 求复合函数导数的步骤
求下列函数的导数：
对点训练
(2)设u＝sin x，y＝eu，y′＝eu，u′＝cos x，
∴y′＝esin x·cos x.
题型三
导数四则运算法则的应用
3.(1)曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是( )
[答案] (1)B (2)D
[解析] (1)设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，
∴y′|x＝x0＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．
[规律方法] 导数公式和导数的运算法则是导数应用的基础．高考中经常涉及导数计算问题，一般以导数的运算法则、基本初等函数的导数公式表为工具，与其他知识联系在一起考查，既可以以选择题、填空题的形式单独考查导数的计算，也常以解答题的某一问的形式，结合其他知识进行考查．
A．－40元/t B．－10元 /t
C．10元/t D．40元/t
[答案] D
对点训练
题型四
复合函数的导数的应用
(1)若可导函数f(x)满足 f ′(3)＝9，则f(3x2)在x＝1处的导数值为________.
(2)求证：双曲线C1：x2－y2＝5与椭圆C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交点处的切线互相垂直．
[答案] (1)54
[解析] (1)∵[f(3x2)]′＝f ′(3x2)(3x2)′
＝6xf ′(3x2)，∴f(3x2)在x＝1处的导数值为6×1×f ′(3)＝54.
对点训练
易|错|警|示
对复合函数的求导不完全而致误
在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数．
5.函数y＝xe1－2x的导数为y′＝________.
[错解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.
[答案] (1－2x)e1－2x
[正解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全.
课堂检测 固双基
1．y＝sin x(1－cos x)的导数是y′＝( )
A．y′＝cos x＋cos 2x
B．y′＝cos x－cos 2x
C．y′＝sin x＋cos 2x
D．y′＝cos2x＋cos 2x
[答案] B
[解析] y′＝(sin x)′·(1－cos x)＋sin x·(1－cos x)′
＝cos x·(1－cos x)＋sin x·sin x
＝cos x－cos2 x＋sin2x＝cos x－cos 2x.
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝ax4＋bx2＋c，∴f ′(x)＝4ax3＋2bx.
又f ′(1)＝2，∴4a＋2b＝2，
∴f ′(－1)＝－4a－2b＝－2.
3．已知f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且f ′(2)＝－1，则a＝( )
[答案] A
4．已知函数f(x)＝xex，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(0)＝________.
[答案] 1
[解析] 函数f(x)＝xex，
则f ′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，
∴f ′(0)＝(1＋0)e0＝1.
故答案为1.
[答案] (1)3x－2y＋1＝0 (2)y＝1
[解析] (2)令y ′＝0，得x＝0，∴y＝1.
