第五章 5.3 5.3.1
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B )
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
[答案] B
[解析] 对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B.
2．下面的命题中，正确的是( C )
A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数
B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数
C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数
D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数
[答案] C
[解析] 排除法，对于A，取y＝x3可验证其错误；对于B，取y＝x2可验证其错误；对于D，取y＝x3可验证其错误．
3．函数f(x)＝＋ln x的单调递减区间为( B )
A．(－∞，5) B．(0,5)
C．(5，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案] B
[解析] 易知，函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－＋，令f ′(x)<0得0
4．若函数f(x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为( B )
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
[答案] B
[解析] 由题意可得，f ′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立．因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.故选B.
5．设 f ′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f ′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是( D )
[答案] D
[解析] A．将上方的图象记为f(x)的图象，将下方的图象记为f ′(x)的图象，f(x)为增函数时f ′(x)>0，反之f(x)为减函数而f ′(x)<0，符合函数的单调性与导数的关系，正确；
B.
①为f(x)的图象，②为f ′(x)的图象，
f(x)为增函数而f ′(x)>0，符合函数的单调性与导数的关系，正确；
C．将下方的图象记为f(x)的图象，上方的图象记为f ′(x)的图象，
f(x)为增函数，而f ′(x)≥0，符合函数的单调性与导数的关系，正确；
D．无论哪个函数的图象为f ′(x)的图象，都有f ′(x)≤0或f ′(x)≥0恒成立，
即函数f(x)是单调函数，错误．
故选D．
二、填空题
6．(2024·沙市区校级期中)函数y＝x3－x2－x的单调增区间为________.
[答案] ，(1，＋∞)
[解析] 由y＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)．
令f′(x)>0，解得x>1或x<－.
函数f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)．
故答案为，(1，＋∞)．
7．函数f(x)＝x＋2cos x(0≤x≤2π)的单调递减区间为________.
[答案]
[解析] ∵函数y＝x＋2cos x，∴y′＝1－2sin x＜0，
∴sin x＞，
又∵x∈[0,2π]，
∴x∈，故答案为.
8．已知函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是__________.
(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是__________.
[答案] (1)(－∞，3]∪ (2)
[解析] (1)由f(x)＝x3－ax2，得
f ′(x)＝3x.
若f(x)在(2,3)上单调，则有f ′(2)＝12－4a≥0或f ′(3)＝27－6a≤0，∴a≤3或a≥.
(2)由f(x)＝x3－ax2，得f ′(x)＝3x2－2ax＝3x.若f(x)在(2,3)上不单调，则有可得3三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
(2)f(x)＝x2·e－x.
[解析] (1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)．
∵f ′(x)＝6x－，令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)．
用x1分割定义域D，得下表：
x
f ′(x) － 0 ＋
f(x) ? ?
∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，
令f ′(x)＝0，由于e－x>0，∴x1＝0，x2＝2.
用x1，x2分割定义域D，得下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? ? ?
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．
10．已知函数f(x)＝ax－－2ln x(a≥0)，若函数f(x)在其定义域上为单调函数，求a的取值范围．
[解析] f ′(x)＝a＋－，
要使f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
则在(0，＋∞)内f ′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.
当a＝0时，f ′(x)＝－<0在(0，＋∞)内恒成立；
当a>0时，要使f ′(x)＝a2＋a－≥0恒成立，
则a－≥0，解得a≥1.
综上，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知定义在R上的函数f(x)＝ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)
[答案] D
[解析] 根据题意知，f ′(x)＝ax2＋2x＋a，若函数f(x)＝ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则f ′(x)＝ax2＋2x＋a＝0有两个不相等的实根，Δ＝4－4a2>0，且a≠0，解得－1故实数a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
2．(多选题)下列图象中，可以作为函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数 f ′(x)的图象的是( )
[答案] AC
[解析] ∵f ′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f ′(x)的图象开口向上．当a≠0时，f ′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，∴f ′(x)的图象可以为C项图．当a＝0时，f ′(x)＝x2－1，为A项图．故选AC．
3．(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( )
A．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f >
D．f <
[答案] AD
[解析] 由题中图象可知，导函数f ′(x)的图象在x轴下方，即f ′(x)<0，且其绝对值越来越小，因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f(x)的大致图象如图所示．
A选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；f 表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f <，故C不正确，D正确．故选AD．
二、填空题
4．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf ′(x)<0的解集为________.
[答案] (－∞，－1)∪(0,1)
[解析] 由xf ′(x)<0，可得或由题图可知当－11时，f(x)单调递增，f ′(x)>0，则或解得05．已知函数f(x)＝在区间(m，m＋2)上单调递减，则实数m的取值范围为________.
[答案] [－1,1]
[解析] f ′(x)＝，
令f ′(x)＜0，解得－1＜x＜3，
故f(x)在(－1,3)上递减，故(m，m＋2) (－1,3)，
故解得－1≤m≤1，故答案为[－1,1]．
三、解答题
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且 f ′(－1)＝0(a≠1)．
(1)试用含a的代数式表示b；
(2)求f(x)的单调区间．
[解析] (1)依题意，得f ′(x)＝x2＋2ax＋b，
由f ′(－1)＝1－2a＋b＝0得b＝2a－1.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x，
故f ′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)，
∵a≠1，∴－1≠1－2a.
令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝1－2a.
①当a>1时，1－2a<－1，
当x变化时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1－2a) (1－2a，－1) (－1，＋∞)
f ′(x) ＋ － ＋
f(x) ? ? ?
由此可得，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1)．
②当a<1时，1－2a>－1，同理可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1，1－2a)．
综上，当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1)；
当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1，1－2a)．
C 组·探索创新
设函数f(x)＝(x>0且x≠1)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)已知2>xa对任意x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝－.若f ′(x)＝0，则x＝.
列表如下：
x (1，＋∞)
f ′(x) ＋ － －
f(x) 单调递增 单调递减 单调递减
所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为和(1，＋∞)．
(2)在2>xa两边取对数，得ln 2>aln x.
由于0.①
由(1)的结果知，
当x∈(0,1)时，f(x)≤f＝－e.
为使①式对所有x∈(0,1)成立，当且仅当>－e，得a>－eln 2.
∴实数a的取值范围为(－eln 2，＋∞)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共52张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
素养目标 定方向
1．借助教材实例了解函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．
3．能利用导数研究与函数单调性相关的问题．
1．理解导数与函数的单调性的关系．(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(数学抽象、逻辑推理)
3．会用导数求函数的单调区间．(逻辑推理、数学运算)
必备知识 探新知
函数的单调性与导数
1．函数的单调性与导数正负的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下关系：
单调
递增 在某个区间(a，b)上，如果_________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增
单调
递减 在某个区间(a，b)上，如果_______，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减
f ′(x)>0
f ′(x)<0
想一想：如何从导数的几何意义理解上述结论？
提示：上述结论可以由导数的几何意义得到：如果f ′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数f(x)单调递增；如果f ′(x)<0，即函数f(x)图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数f(x)单调递减．
练一练：已知函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数y＝f(x)( )
A．在(－∞，－1)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递减
C．在(－∞，2)上单调递增
D．在(2，＋∞)上单调递减
[答案] D
2．函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得______，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得______，函数的图象就比较“平缓”．
较快
较慢
想一想：函数值增长快慢与导数有怎样的关系？
提示：常见的对应情况如下表所示.
f(x)的
图象
f ′(x)
变化规律 f ′(x)>0
且越来越大 f ′(x)>0
且越来越小 f ′(x)<0
且越来越小 f ′(x)<0
且越来越大
函数值变
化规律 函数值增加
得越来越快 函数值增加
得越来越慢 函数值减小
得越来越快 函数值减小
得越来越慢
练一练：已知函数y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，则下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
[答案] C
[解析] 由题给函数y＝xf ′(x)的图象，可得
当x<－1时，xf ′(x)<0，则f ′(x)>0，则f(x)单调递增；
当－10，则f ′(x)<0，则f(x)单调递减；
当0当x>1时，xf ′(x)>0，则f ′(x)>0，则f(x)单调递增；
关键能力 攻重难
1.(1)f ′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
题|型|探|究
题型一
导数与原函数图象的关系
(2)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数 f ′(x)的图象可能为( )
[答案] (1)D (2)D
[解析] (1)由导函数图象可知函数f(x)在(－∞，0)上增函数，排除A，C，在(0,2)上为减函数，排除B，故选D．
(2)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f ′(x)>0(即f ′(x)在(－∞，0)上的图象全部在x轴上方)，故排除A，C；从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，
f ′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f ′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f ′(x)>0，故排除B.故选D．
[规律方法] 利用导函数f ′(x)的单调性可以判断原函数f(x)图象的凸性：若f ′(x)>0且单调递增，则原函数f(x)的图象上升且下凸；若
f ′(x)>0且单调递减，则原函数f(x)的图象上升且上凸；若f ′(x)<0且单调递增，则原函数f(x)的图象下降且下凸；若f ′(x)<0且单调递减，则原函数f(x)的图象下降且上凸．
(1)已知f ′(x)是f(x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
对点训练
(2)已知函数y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是下列选项中的( )
[答案] (1)D (2)C
(2)当－20，
∴当－2当－10，∴f ′(x)<0，
∴当－1当0∴当0当10，∴f ′(x)>0，
∴当1题型二
利用导数求函数的单调区间
2.(1)函数f(x)＝xex＋1的单调递减区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
(2)函数f(x)＝x－2sin x＋1在(0，π)上的单调递增区间是( )
[答案] (1)C (2)D
[解析] (1)f ′(x)＝(x＋1)ex，
当x<－1时，f ′(x)<0，函数单调递减．
[规律方法] 1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
(2)f(x)＝2x－ln x；
(3)f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0对点训练
[解析] (1)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令f ′(x)>0，得x<－1或x>1，
令f ′(x)<0，得－1∴f(x)的增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)；f(x)的减区间是(－1,1)．
∴当a>0时，f ′(x)>0；当a<0时，f ′(x)<0.
∴当a>0时，f(x)的增区间为(－1,1)，无减区间；
当a<0时，f(x)的减区间为(－1,1)，无增区间．
题型三
已知函数的单调性，确定参数的取值范围
[分析] 根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解．
[解析] f′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f′(x)≤0在区间(1,4)上恒成立，且f′(x)≥0在区间(6，＋∞)上恒成立．
由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0.
[规律方法] 根据已知函数的单调性求参数的取值范围：
函数在区间[a，b]上单调递增(减) f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，且在区间[a，b]的任意子区间上f ′(x)不恒等于零，然后利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题．
(1)已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1)，a>0，若f(x)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)＝ax－ln x在(0,2)上不单调，则a的取值范围是________.
对点训练
方法三：∵f ′(x)＝2a－3x2，f(x)在(0,1)上是增函数，∴f ′(x)≥0在(0,1)上恒成立．
又∵f ′(x)为二次函数，且开口向下，
题型四
求含参数的函数的单调区间
4.(1)判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．
[解析] (1)∵y ′＝3ax2，又x2≥0.
①当a>0时，y ′≥0，函数在R上单调递增；
②当a<0时，y ′≤0，函数在R上单调递减；
③当a＝0时，y ′＝0，函数在R上没有单调性．
[规律方法] 求含参数的函数的单调区间的一般步骤
(1)求导数．
(2)对参数进行分类讨论，每种情况下确定函数在定义域内的单调性．
(3)综合写出单调区间．
对点训练
易|错|警|示
利用导数求函数单调区间时忽视定义域致误
[误区警示] 解答本题常常因为忽视f(x)的定义域而得到错误的单调区间．
[点评] 在利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间时，必须首先考虑函数的定义域，在定义域的范围之内解决问题.
课堂检测 固双基
1．若函数y＝f ′(x)在区间(x1，x2)上是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上的图象可以是( )
[答案] B
[解析] 选项A中，f ′(x)>0且为常数函数；选项C中，f ′(x)>0，且f ′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f ′(x)>0且f ′(x)在(x1，x2)内先增后减，故选B.
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝(x－3)ex，
∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)>0得x>2，∴选D．
A．(－1,1) B．(－∞，1)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
[答案] C
4．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是( )
A．[－1,1] B．(－1,1]
C．(－1,1) D．[－1,1)
[答案] D