第五章 5.2 5.2.1
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列结论不正确的是( D )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若y＝x，则y′＝x
[答案] D
[解析] 当y＝x时，y′＝(x)′＝()′＝＝x－.D不正确．故应选D．
2．若y＝cos，则y′＝( C )
A．－ B．－
C．0 D．
[答案] C
[解析] 常数函数的导数为0.
3．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度是( B )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] s′＝(t)′＝t－，
∴当t＝4时，速度为s′＝·4－＝.故选B.
4．曲线f(x)＝在点P处的切线的倾斜角为π，则点P的坐标为( D )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C． D．(1,1)和(－1，－1)
[答案] D
[解析] 切线的斜率k＝tan π＝－1，
设切点P的坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝－1.
又∵f ′(x)＝－，∴－＝－1，解得x0＝1或－1，
∴切点P的坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D．
5．设函数f(x)＝－x3＋3，则曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为( D )
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19
C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
[答案] D
[解析] 因为函数f(x)＝－x3＋3，所以f ′(x)＝－x2，所以f ′(3)＝－9，所以曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为y＋6＝－9(x－3)，即y＝－9x＋21，故选D．
二、填空题
6．函数f(x)＝，则f ′(x)＝__________，f ′＝__________.
[答案] x－
[解析] 因为f(x)＝＝x，
所以f ′(x)＝x－.
f ′＝×－
＝×－2＝.
7．曲线y＝cos x在x＝处的切线方程为________.
[答案] x＋y－＝0
[解析] 因为cos＝0，即求曲线y＝cos x，在点处的切线方程，
y′＝－sin x，当x＝时，y′＝－1.
所以切线方程为y＝－1·，
即x＋y－＝0.
8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为__________，切线的斜率为__________.
[答案] (1，e) e
[解析] 设切点的坐标为(x0，y0)．由y ′＝ex，得y ′|x＝x0＝ex0.过点(x0，y0)的曲线的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，此直线过原点，所以0－ex0＝ex0(0－x0)，解得x0＝1.所以切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝；
(3)y＝(1－)＋；
(4)y＝(x＋1)(x－1)＋1.
[解析] (1)y ′＝x－.
(2)y ′＝′＝x－.
(3)y＝＋＝，
∴y ′＝－x－.
(4)y＝x3－1＋1＝x3，
∴y ′＝3x2.
10．已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
[解析] (1)因为P在曲线y＝cos x上，所以a＝cos＝.
(2)因为y′＝－sin x，
所以kl＝y′|x＝＝－sin＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝，
即y＝x－＋.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列各式正确的是( )
A．′＝cos B．(cos x)′＝－sin x
C．()′＝ D．(logax)′＝
[答案] BC
[解析] 对于A，′＝0，A错误，B显然正确；对于C，()′＝(x)′＝x－＝，C正确；对于D，(logax)′＝，D错误．故选BC．
2．(多选题)函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为( )
A． B．
C． D．
[答案] AC
[解析] ∵y＝，
∴y′＝－，
∵曲线y＝在点P的切线的斜率为－4，
∴－＝－4，
∴x＝±，
∴y＝±2.
即点P或，故选AC．
3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．∪ B．[0，π)
C． D．∪
[答案] A
[解析] 因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l倾斜角的范围是∪.
二、填空题
4．若曲线y＝ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.
[答案]
[解析] 由题意得y′＝，
直线2x－y＋1＝0的斜率为2.
设P(m，n)，
则＝2，解得m＝，n＝－ln 2，
所以点P的坐标为.
5．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N，则f2 023(x)等于________.
[答案] －cos x
[解析] 因为f0(x)＝sin x，
所以f1(x)＝f ′0(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f ′1(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝f ′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝f ′3(x)＝(－cos x)′＝sin x，
所以4为最小正周期，
所以f2 023(x)＝f3(x)＝－cos x.
三、解答题
6．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
[解析] ∵y＝x－，
∴y′＝－x－，
∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．
令x＝0得y＝a－，
令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a×a－＝a＝18，
∴a＝64.
C 组·探索创新
点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[解析] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为.
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第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
素养目标 定方向
1．借助教材实例了解利用定义求函数的导数．
2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．
3．会解决与曲线的切线相关的问题．
必备知识 探新知
几个常用函数的导数
基本初等函数的导数公式
函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝______
f(x)＝sin x f′(x)＝______
f(x)＝cos x f′(x)＝_______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝____
αxα－1
cos x
－sin x
ex
想一想：f ′(x0)与[f(x0)]′有什么不同？
提示：f ′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数，是一个常数，而[f(x0)]′＝0(当x0确定时，f(x0)是一个常数，其导数为0)．
练一练：
1．下列导数运算正确的是( )
[答案] C
[答案] D
关键能力 攻重难
(2)下列结论正确的是( )
A．若y＝cos x，则y′＝sin x
B．若y＝sin x，则y′＝－cos x
题|型|探|究
题型一
公式法求导数
[答案] (2)C
[规律方法] 运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项
(1)对于简单的函数，直接套用公式．
(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．
(2)设函数f(x)＝x2，f ′(x0)＝2，则x0＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] (1)B (2)B
对点训练
题型二
导数公式的实际应用
[规律方法] 瞬时速度是路程关于时间函数的导数，加速度是速度关于时间函数的导数，计算时应先求导函数再求某点处的导数．
从时刻t＝0开始的t秒内，通过某导体的电量q(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
[解析] 由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．
对点训练
题型三
导数公式的应用
[答案] (1)B (2)x＋y－2＝0
[规律方法] 利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路：
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．
(2)已知点P为抛物线y＝x2上任意一点，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，求点P的坐标及点P到直线l的距离．
对点训练
(2)由图形的直观性可知，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，过点P的切线与直线l是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切线的斜率也等于－1.
易|错|警|示
不能正确理解切点的实质而致误
4.经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程．
[错解] 设f(x)＝x3，由定义得f′(2)＝12，∴所求切线方程为y－8＝12(x－2)，
即12x－y－16＝0.
[误区警示] 曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．
[正解] 易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
[点评] 在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2,8)不一定是切点，做题时要高度关注.
课堂检测 固双基
1．下列各式中正确的个数是( )
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ②中(x－1)′＝－x－2，
④中(cos 2)′＝0，
∴选B.
2．若直线y＝x＋a和曲线y＝ln x＋2相切，则实数a的值为( )
[答案] C
3．已知f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则其切线方程有( )
A．1个 B．2个
C．多于两个 D．不能确定
[答案] B
4．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则 f ′(x)－g′(x)＝______.
5．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f ′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
[答案] 1
