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第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
素养目标 定方向
1．在函数瞬时变化率的基础上，建构导数的概念．
2．掌握导数的几何意义．
1．经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．(数学抽象、数学运算)
2．知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．(数学抽象)
3．能够通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养学生的抽象思维能力和应用知识的能力．(数学抽象、直观想象)
4．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算)
5．了解导函数的概念．(数学抽象、数学运算)
必备知识 探新知
平均变化率的概念
想一想：一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率有什么特点？
提示：一次函数的图象为一条直线，图象上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在定义域内的任意区间上的平均变化率都等于常数a.
练一练：一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)S＝3t2＋2，则物体在t∈[3,5]内的平均速度为________.
[答案] 24 m/s
瞬时变化率(导数)的概念
[答案] A
导数的几何意义
(1)切线的定义．
如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在P0处的切线．
(2)导数的几何意义．
A．b
B．aC．aD．c[答案] C
导函数的概念
(1)定义：当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．
想一想：函数f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)、导函数f ′(x)之间有怎样的区别与联系？
提示：区别：(1)f ′(x0)是函数f(x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；
(2)f ′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f ′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x)．
联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．
关键能力 攻重难
1.求f(x)＝x3－x在x＝2处的导数．
[分析] 利用导数的定义求导，利用“三步法”求解．
[解析] ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)3－(2＋Δx)－(23－2)＝(Δx)3＋6(Δx)2＋11Δx，
题|型|探|究
题型一
求函数在某点处的导数
[规律方法] 求导数(瞬时变化率)的三个步骤
1．作差求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
对点训练
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
对点训练
题型二
导数运算公式的形式化计算
A．f ′(x0) B．2f ′(x0)
C．－2f ′(x0) D．0
[答案] B
A．2 B．－1
C．1 D．－2
对点训练
[答案] (1)C
题型三
求切线方程
(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[分析] 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再把x的值代入求导数值．
[解析] (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)．
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点．
[规律方法] 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2.过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：
(1)设切点为Q(x0，y0)；
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(3)利用点Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)．
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．
求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解．
4．f′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角； f′(x0)<0时，切线的倾斜角为钝角； f′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．
(1)求点P处切线的斜率；
(2)写出点P处的切线方程．
对点训练
易|错|警|示
求切线方程时忽视点是否在曲线上致误
课堂检测 固双基
A．3 B．－3
C．2 D．－2
[答案] B
2．一物体的运动方程为f(x)＝x2－3x，则 f ′(0)＝( C )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
[答案] C
[答案] C
[答案] B
5．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________.第五章 5.1 5.1.2
A 组·基础自测
一、选择题
1．设 f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
2．(2024·阜阳高二检测)函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝( C )
A． B．1
C．2 D．0
[答案] C
[解析] ∵y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程为y＝－x＋8，可得y＝f(x)在点P(5，f(5))处的切点纵坐标和切线斜率分别为f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，则f(5)＋f ′(5)＝2.
3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( B )
A．f ′(x0)>0 B．f ′(x0)<0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 由x＋2y－3＝0知斜率k＝－，
∴f ′(x0)＝－<0.
4．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定
[答案] B
[解析] 由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA5．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝( B )
A．0 B．－2
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 函数f(x)＝
＝ ＝－2.
二、填空题
6．若f ′(2)＝3，则 ＝________.
[答案] 3
[解析] 由导数的定义可知应为3.
7．已知曲线f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________.
[答案] (3,30)
[解析] 设点P(x0,2x＋4x0)，
则f ′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴点P的坐标为(3,30)．
8．(2024·河南郑州一中高二检测)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________.
[答案] －7
[解析] 设点P(x0,2x＋a)．由导数的几何意义可得f ′(x0)＝ ＝ ＝4x0＝8，∴x0＝2，
∴P(2,8＋a)．将x＝2，y＝8＋a代入8x－y－15＝0，得a＝－7.
三、解答题
9．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)曲线在点A处的切线的斜率；
(2)曲线在点A处的切线方程．
[解析] (1)k＝f ′(1)＝
＝
＝
＝ (4＋2Δx)＝4，
∴曲线在点A处的切线的斜率为4.
(2)由(1)知曲线在点A处的切线的斜率是4，
∴切线方程是y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2.
10．已知曲线y＝f(x)＝上两点P(2，－1)，Q.
(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在P，Q处的切线方程．
[解析] 将点P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
所以y＝.
y′＝ ＝
＝
＝ ＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝＝1；
曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，
即x－y－3＝0，
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，
即x－4y＋3＝0.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( D )
A．f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B．f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
[答案] D
[解析] 对于A、B，∵f(x)在a到b之间的平均变化率是，
g(x)在a到b之间的平均变化率是，
∴＝，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，
即函数f(x)在该点处的切线的斜率，
同理函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x＝x0处的导数，
即函数g(x)在x＝x0处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选D．
2．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为( B )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
[答案] B
[解析] ∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝
＝ ＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴过点P的切线的斜率为1，
则切线的倾斜角为45°.
3．(多选题)已知函数y＝f(x)在自变量x0处的改变量为Δx，函数值的改变量为Δy，f(x)在x0处的导数值为f ′(x0)，下列等式中正确的是( )
A．f ′(x0)＝
B．f ′(x0)＝
C．f ′(x0)＝ [f(x0＋Δx)－f(x0)]
D．f ′(x0)＝
[答案] ABD
[解析] 根据导数的定义可知，A正确；对于B，若令x＝x0＋Δx，当x→x0时，Δx→0，则
＝ ＝f ′(x0)，B正确；
根据导数的定义f ′(x0)＝ ，所以，C错误；根据导数的定义可知，D正确．故选ABD．
二、填空题
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________.
[答案] 2
[解析] 由导数的定义，得f ′(0)＝
＝ ＝ (a·Δx＋b)＝b.
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则所以ac≥，所以c>0.
所以＝≥≥＝2.
当且仅当a＝c＝时取等号．
5．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为________.
[答案]
[解析] y′＝
＝ (2x＋2＋Δx)
＝2x＋2，
且切线倾斜角θ∈，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－.
三、解答题
6．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
[解析] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x＋2ax0－9.
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9，
∴f′(x0)＝32－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－＝－12.解得a＝±3.
又a<0，∴a＝－3.
C 组·探索创新
过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为________.
[答案] y＝2x或19x＋4y＋27＝0
[解析] y ′＝ ＝
＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.
设切点坐标为(x0,2x0－x)，则切线方程为y－2x0＋x＝(2－3x)(x－x0)．
又切线过点(－1，－2)，∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)，
即2x＋3x＝0，解得x0＝0或x0＝－.
∴切点坐标为(0,0)或.
当切点坐标为(0,0)时，切线斜率k＝＝2，切线方程为y＝2x；
当切点坐标为时，切线斜率k＝＝－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.
综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0.
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