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第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
素养目标 定方向
1．借助教材实例了解函数的极值及相关的概念．
2．能利用导数求某些函数极值．
1．了解函数极值的概念，会从几何直观角度理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2．掌握函数极值的判定及求法．(逻辑推理、数学运算)
3．掌握函数在某一点取得极值的条件．(数学抽象、逻辑推理)
必备知识 探新知
极小值、极大值的概念
极小值 极大值
定义 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值
f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_______，右侧________，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0；右侧________，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值
f ′(x)<0
f ′(x)>0
f ′(x)<0
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
想一想：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
提示：可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此可导函数的导数值为0只是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点处导数值为0且该点附近两侧的导数值异号．
极小值 极大值
图象
练一练：若函数y＝f(x)可导，则“f ′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
函数极值的求解步骤
一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是：
(1)求出函数的定义域及导数f ′(x)；
(2)解方程 f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)用方程 f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由 f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
①如果在x0附近的左侧 f ′(x)>0，右侧 f ′(x)<0，那么f(x0)是_______；
②如果在x0附近的左侧 f ′(x)<0，右侧 f ′(x)>0，那么f(x0)是________.
极大值
极小值
练一练：函数f(x)＝x3－x2－x＋3的极小值是( )
A．－1 B．0
C．2 D．3
[答案] C
关键能力 攻重难
1. (1)函数f(x)的定义域为R，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
题|型|探|究
题型一
函数极值概念的理解
(2)已知函数y＝|x2－2|x|－3|的图象如图所示，由图象指出该函数的极值．
[答案] (1)C
[解析] (1)因为导函数的图象如图，可知导函数图象中有4个函数值为0，
即f ′(a)＝0，f ′(b)＝0，f ′(c)＝0，f ′(d)＝0
x∈(－∞，a)，函数是增函数，x∈(a，b)，函数是减函数，x∈(b，c)，函数是增函数，x∈(c，d)函数是减函数，x∈(d，＋∞)，函数是增函数，
可知极大值点为：x＝a，x＝c；极小值点为：x＝b，x＝d.
故选C．
(2)由图象可知：当x＝±3时，函数取极小值0；当x＝0时，函数取极小值3；当x＝±1时，函数取极大值4.
注：这个函数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均不存在．
[规律方法] 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是 f(x)的图象，应先找出 f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是 f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
(1)下列说法正确的是( )
A．若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值
B．若f(x0)是函数f(x)的极值，则f(x)在x0处有导数
C．函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值
D．定义在R上的可导函数f(x)，若方程 f ′(x)＝0无实数解，则f(x)无极值
对点训练
(2)(2024·北京八中高二检测)如图所示是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象，给出下列结论：
①－2是函数f(x)的极值点；
②1是函数f(x)的极值点；
③f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；
④f(x)在区间(－2,2)上单调递增．
其中正确结论的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
[答案] (1)D (2)①④
[解析] (1)若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值，不正确，反例y＝x3中，f ′(0)＝0，但是x＝0不是函数的极值点，故A不正确；对于B，例如f(0)＝0是f(x)＝|x|的极小值，但f(x)＝|x|在x＝0处不可导，所以错误；对于C，函数f(x)可有多个极大值和极小值，所以错误．对于D，根据可导函数判断是否存在极值的条件，可得若方程f ′(x)＝0无实数解，则定义在R上的函数f(x)无极值，所以正确．
(2)对于①，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(－2,1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，－2是函数的极小值点，①正确；对于②，当x∈(－2,1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，故1不是函数f(x)的极值点，②错误；对于③，由题中图象可知f ′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，③错误；对于④，由题中图象可知当x∈(－2,2)时，f ′(x)≥0，函数单调递增，④正确，故正确的序号是①④.
题型二
求函数的极值
2.求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R；f ′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时， f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ? 极大值 ? 极小值 ?
从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.
当x＝2时，函数f(x)有极小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)f ′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)
＝cos x＋cos2x－sin2x
＝cos x＋cos2x－(1－cos2x)
＝2cos2x＋cos x－1
＝(2cos x－1)(cos x＋1)．
当x在区间(0,2π)内变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
y ′ － 0 ＋ 0 －
y ? 极小值－3 ? 极大值－1 ?
当x＝－1时，y有极小值，并且y极小值＝－3；
当x＝1时，y有极大值，并且y极大值＝－1.
[规律方法] 利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数 f′(x)．
(3)解方程 f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程 f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
求函数y＝3x3－x＋1的极值．
对点训练
题型三
已知极值(点)求参数
3.(1)若函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1,3
C．－1,3 D．－1，－3
(2)(多选题)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
[答案] (1)A (2)AB
(2)∵f ′(x)＝6x2＋2ax＋36，
且在x＝2处有极值，
∴f ′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，
解得a＝－15，
∴f ′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，
由f ′(x)>0得x<2或x>3.
[规律方法] 已知函数极值求参数的方法：
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．
[解析] f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
对点训练
①当a＞0时，x变化时，y、y′的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 － 0 ＋
y ? 极大值 ? 无极值 ? 极小值 ?
又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.
②当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
综上，a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.
易|错|警|示
忽视极值存在的条件致误
4.已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值．
[误区警示] 可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号．
当m＝1，n＝3时，f ′(x)＝3x2＋12x＋12＝3(x＋2)2≥0，
所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当m＝2，n＝9时，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，当－6－2时f ′(x)>0，
故f(x)在x＝－2处取得极值，符合题意．
综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38.
[点评] 由于“f ′(x0)＝0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解．
课堂检测 固双基
1．(2024·武汉高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 由图象可知，满足f ′(x)＝0且导函数函数值左负右正的只有一个，故f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．
[答案] B
3．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
[答案] B
[解析] ①y＝x3在R上单调递增，无极值；
②y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故②正确；
③y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故③正确；
④y＝2x在R上单调递增，故④不正确．∴选B.
4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________.
[答案] －19
[解析] y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
令y′＝0得x1＝0，x2＝4.
x，y′，y之间的关系如下表
x (－∞，0) 0 (0,4) 4 (4，＋∞)
y′ － 0 ＋ 0 －
y ? 极小值 ? 极大值 ?
由表可知y极大值＝f(4)＝32＋m＝13，∴m＝－19.
5．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；
②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是________(将你认为正确的序号填在横线上)．
[答案] ③第五章 5.3 5.3.2 第1课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列关于函数的极值的说法正确的是( )
A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内必有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
[答案] D
[解析] 由函数极值的有关概念知A、B、C说法都不正确，故选D．
2．函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是( )
A．a>1或a≤0 B．a>1
C．01或a<0
[答案] D
[解析] f(x)有极值的充要条件是f ′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a>0，解得a<0或a>1.故选D．
3．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
[答案] C
[解析] 由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0.
4．已知函数f(x)＝x(x－c)2，在x＝2处取得极大值，则实数c的值是( )
A． B．2
C．2或6 D．6
[答案] D
[解析] 函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c),
由f(x)在x＝2处有极大值，即有f ′(2)＝0，即(c－2)(c－6)＝0，
解得c＝2或6, 若c＝2时，f ′(x)＝0，可得x＝2或，
由f(x)在x＝2处导数左负右正，取得极小值，
若c＝6，f ′(x)＝0 ，可得x＝6或2 ，
由f(x)在x＝2处导数左正右负，取得极大值.
综上可得c＝6.
5．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D．
[答案] D
[解析] y′＝3x2－2a，因为函数在(0,1)内有极小值，
所以y′＝3x2－2a＝0在(0,1)内必有实数解，
记f(x)＝3x2－2a，如图
所以解得0二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________.
[答案]
[解析] ∵f ′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，
∴f ′(x)＝0有不等的实数根，
即Δ＝1－4c>0，解得c<.
7．若x＝1是函数f(x)＝x3＋的一个极值点，则实数a＝________.
[答案] 3
[解析] ∵函数f(x)＝x3＋，
∴f ′(x)＝3x2－，
∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，
∴f ′(1)＝0，即3－a＝0，∴a＝3.经验证a＝3符合题意．故答案为3.
8．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
[答案] 3
[解析] f ′(x)＝
＝，
由题意得f ′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．
三、解答题
9．设函数f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－12x＋1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的极值．
[解析] (1)∵f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，
∴f ′(x)＝6x2＋6x＋a，
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－12x＋1，
所以f(0)＝b＝1，f ′(0)＝a＝－12，
∴f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.
(2)由(1)得f ′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
令f ′(x)＝0，x＝－2或x＝1，
f ′(x)＞0，x＜－2或x＞1，f ′(x)＜0，－2＜x＜1，
∴f(x)递增区间是(－∞，－2)，(1，＋∞)，递减区间是(－2,1)，
∴f(x)的极大值为f(－2)＝21，极小值为f(1)＝－6.
10．设函数f(x)＝(x2＋3x＋1)ex.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析] (1)∵f ′(x)＝(2x＋3)ex＋(x2＋3x＋1)ex＝(x2＋5x＋4)ex＝(x＋1)(x＋4)ex，
∴当x∈(－∞，－4)∪(－1，＋∞)时，f ′(x)>0；
当x∈(－4，－1)时，f ′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－4)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(－4，－1)．
(2)由(1)可知f(x)在x＝－4处取得极大值，在x＝－1处取得极小值，∴f(x)的极大值为f(－4)＝5e－4＝，极小值为f(－1)＝－e－1＝－.
B 组·素养提升
一、选择题
1．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是( )
A．m>0 B．m<0
C．m>1 D．m<1
[答案] B
[解析] y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
2．(多选题)(2023·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
[答案] BCD
[解析] 函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x)＝－－＝，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，
于是即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，B、C、D正确，故选BCD．
3．(多选题)对于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列结论中正确的是( )
A．f(x)是增函数，无极值
B．f(x)是减函数，无极值
C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)
D．f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值
[答案] CD
[解析] f ′(x)＝3x2－6x.令f ′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f ′(x)＝3x2－6x<0，得0二、填空题
4．已知f(x)＝x3－x2＋2x＋1，x1，x2是f(x)的两个极值点，且0[答案]
[解析] f′(x)＝x2－ax＋2，
∴x1，x2是f′(x)＝0的两个根，
由0解得35．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________.
[答案]
[解析] 由题知，x>0，f ′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f ′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝ln x＋1上任一点(x0,1＋ln x0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝ x0＝1，令2a＝1 a＝，∴0三、解答题
6．已知函数f(x)＝(a，b∈R且a≠0，e为自然对数的底数)．若曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为0，且f(x)有极小值，求实数a的取值范围．
[解析] f(x)＝，(x＞0)，
∴f ′(x)＝，
由f ′(e)＝0，则b＝0，则f ′(x)＝，
当a＞0时，f ′(x)在(0，e)内大于0，在(e，＋∞)内小于0，
∴f(x)在(0，e)内为增函数，在(e，＋∞)为减函数，
∴f(x)有极大值无极小值；
当a＜0时，f(x)在(0，e)为减函数，在(e，＋∞)为增函数，
∴f(x)有极小值无极大值；
∴实数a的取值范围(－∞，0)．
C 组·探索创新
(2024·全国甲卷理)已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.
(1)当a＝－2时，求f(x)的极值；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
【解析】 (1)当a＝－2时，f(x)＝(1＋2x)ln(1＋x)－x，
故f′(x)＝2ln(1＋x)＋－1＝2ln(1＋x)－＋1，
因为y＝2ln(1＋x)，y＝－＋1在(－1，＋∞)上为增函数，
故f′(x)在(－1，＋∞)上为增函数，而f′(0)＝0，
故当－10时，f′(x)>0，
故f(x)在x＝0处取极小值且极小值为f(0)＝0，无极大值．
(2)f′(x)＝－aln(1＋x)＋－1＝－aln(1＋x)－，x>0，
设s(x)＝－aln(1＋x)－，x>0，
则s′(x)＝－＝－＝－，
当a≤－时，s′(x)>0，故s(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故s(x)>s(0)＝0，即f′(x)>0，
所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(x)≥f(0)＝0.
当－故s(x)在上为减函数，故在上s(x)即在上f′(x)<0即f(x)为减函数，
故在上f(x)当a≥0，此时s′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
同理可得在(0，＋∞)上f(x)21世纪教育网(www.21cnjy.com)