第五章 5.3 5.3.3
A 组·基础自测
一、选择题
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B．
C．－1 D．－8
[答案] C
[解析] 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x，为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．做一个容积为256升的方底无盖水箱，当用料最省时，它的底面边长为( )
A．5分米 B．6分米
C．7分米 D．8分米
[答案] D
[解析] 设底面边长为x分米，则高为h＝，其表面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当0
8时，S′>0，故x＝8时S最小．
3．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f ′(x)的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
[答案] C
[解析] f ′(x)＝(x2＋2x＋a)ex，
若函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，
则g(x)＝x2＋2x＋a不能恒大于等于0，
故存在x使得g(x)<0，
即g(x)＝x2＋2x＋a有2个不相等的实数根，
即函数y＝f ′(x)的零点个数为2个，故选C．
4．已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
[答案] B
[解析] 函数y＝f(x)有零点等价于方程ex－x＝a有解，令g(x)＝ex－x，g′(x)＝ex－1，
当x>0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x<0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，又g(0)＝1，所以a≥1.故选B.
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为( )
A．R B．R
C．R D．R
[答案] A
[解析] 作轴截面如图所示，设圆柱体高为2h，则底面半径为，圆柱体体积为V＝π·(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3.
令V′＝0得2πR2－6πh2＝0，
∴h＝R.即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．
二、填空题
6．(2024·江苏省南京市期末)已知函数f(x)＝＋a在(0，＋∞)上的最小值为2e，则实数a的值为________.
[答案] e
[解析] f ′(x)＝，当x>0时，令f ′(x)>0，解得x>1，令f ′(x)<0，解得07．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)[答案] (7，＋∞)
[解析] f ′(x)＝3x2－x－2，令f ′(x)＝0，
得x＝－或x＝1.
可求得f(x)max＝f(2)＝7.
所以对于任意x∈[－1,2]，f(x)7.
8．(2024·桂林高一检测)已知函数f(x)＝ex(ln x－1)，使得f(m)≥－e成立的实数m的取值范围为________.
[答案] [1，＋∞)
[解析] f ′(x)＝ex，
令g(x)＝ln x＋－1，
则g′(x)＝－＝，
当0当x>1时，g′(x)>0，函数单调递增，
故g(x)≥g(1)＝0，即f ′(x)≥0恒成立，
从而f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－e，故m≥1.
三、解答题
9．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x元．问每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．
[解析] 每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50 000＋200x)
＝－x3＋24 000x－50 000 (x≥0)．
由f′(x)＝－x2＋24 000＝0，
解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
10．(2024·宁夏银川一中高三月考)已知函数f(x)＝aln x－，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝1，且x≥2时，证明：f(x－1)≤2x－5.
[解析] (1)由于f ′(x)＝.
当a≥0时，对于x∈(0，＋∞)，有f ′(x)>0恒成立，
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
当a<0时，由f ′(x)＝0，得x＝－∈(0，＋∞)．
当x∈时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．
(2)证明：当a＝1时，f(x－1)＝ln(x－1)－，x∈[2，＋∞)．令g(x)＝ln(x－1)－－2x＋5.
g′(x)＝＋－2＝－.
当x>2时，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)单调递减．
又g(2)＝0，所以g(x)在(2，＋∞)恒为负．
所以当x∈[2，＋∞)时，g(x)≤0，
即ln(x－1)－－2x＋5≤0.
故当a＝1，且x≥2时，f(x－1)≤2x－5成立．
B 组·素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝(x2＋tx)ex(实数t为常数，且t<0)的图象大致是( )
[答案] B
[解析] 由f(x)＝0得x2＋tx＝0，得x＝0或x＝－t，即函数f(x)有两个零点，排除A，C，函数的导数f ′(x)＝(2x＋t)ex＋(x2＋tx)ex＝[x2＋(t＋2)x＋t]ex，当x→－∞时，f ′(x)>0，即在x轴最左侧，函数f(x)为增函数，排除D．
2．(多选题)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且对于任意x∈(0，＋∞)，有xf ′(x)>f(x)>0，设a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．af(a)>bf(b) B．af(a)C．af(b)>bf(a) D．af(b)[答案] AD
[解析] 因为x∈(0，＋∞)，有xf ′(x)>f(x)>0，令g(x)＝，则g′(x)＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由a>b>0，可得g(a)>g(b)，即>，所以bf(a)>af(b)，故D正确；
因为xf ′(x)>f(x)>0，令h(x)＝xf(x)，则h′(x)＝xf ′(x)＋f(x)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，由a>b>0，可得h(a)>h(b)，即af(a)>bf(b)，故A正确．
3．(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则( )
A．x＝3是f(x)的极小值点
B．当0C．当1D．当－1f(x)
【答案】 ACD
【解析】 对A，因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，
易知当x∈(1,3)时，f′(x)<0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0
函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是函数f(x)的极小值点，正确；
对B，当00，所以1>x>x2>0，
而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x)>f(x2)，错误；
对C，当1所以f(1)>f(2x－1)>f(3)，即－4对D，当－10，
所以f(2－x)>f(x)，正确；
故选ACD．
二、填空题
4．(2024·黑龙江省大庆铁人中学期中)若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是________.
[答案]
[解析] 易知f ′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，x∈R.
令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，
分析易知f(x)在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，
所以0和－2是函数f(x)的极值点，函数的极小值为f(0)＝－a，极大值为f(－2)＝4e－2－a＝－a.
函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则解得05．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
[答案] 5
[解析] 依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．
于是，由2＝，得k1＝20；
由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋.y′＝－＋.令y′＝－＋＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，且当x>5时，y′>0；当0三、解答题
6．已知函数f(x)＝aex－bln x在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(e－1)x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求证：f(x)>2.
[解析] (1) 函数f(x)＝aex－bln x的导数为f ′(x)＝aex－，
函数f(x)＝aex－bln x在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝ae－b，
由切线方程y＝(e－1)x＋1，可得ae－b＝e－1，e＝ae，解得a＝1，b＝1.
(2)f(x)＝ex－ln x，
导数为f ′(x)＝ex－，x>0，易知f ′(x)为增函数，
且f ′(1)>0，f ′<0.
所以存在m∈，有f ′(m)＝0，即em＝，
且x>m时，f ′(x)>0，f(x)递增；
0可得在x＝m处f(x)取得最小值，
f(m)＝em－ln m＝＋m>2，
可得f(x)>2成立．
C 组·探索创新
已知函数f(x)＝x(1－ln x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2<＋[解析] (1)由题意，得f ′(x)＝1－ln x＋x·＝－ln x，所以当x∈(0,1)时，f ′(x)>0，此时f(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0，此时f(x)单调递减．
(2)证明：由bln a－aln b＝a－b，得＋＝＋，即f＝f.
设b>a>0，由(1)知01，
所以>1,0<<1,2－<1.
设g(x)＝f(x)－f(2－x)，1则g′(x)＝f ′(x)＋f ′(2－x)＝－ln x－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]>0，
所以g(x)在(1,2)上是增函数，所以g(x)>g(1)＝0，
所以f>f，所以f>f.
因为x∈(0,1)时，f(x)单调递增，
所以>2－，即＋>2.
同理，设h(x)＝f(x)－f(e－x)，0则h′(x)＝f ′(x)＋f ′(e－x)＝－ln x－ln(e－x)＝－ln[x(e－x)]．
因为y＝x(e－x)在(0,1)上是增函数，
所以h(x)在(0,1)上是减函数，所以h(x)>h(1)>0，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(e－x)．
所以f>f，所以f>f.
因为x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，
所以综上所述，2<＋21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共53张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.3 利用导数解决与函数有关的问题
素养目标 定方向
1．借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．
2．能利用导数解决简单的实际问题．
3．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题．
1．通过分析实际问题，理解导数的实际意义，掌握导数的几何意义，能够利用导数讨论函数的单调性、极值和最值问题，培养学生综合应用知识的能力．(逻辑推理、数学运算)
2．通过导数证明不等式以及求参数或取值范围等综合问题．(逻辑推理、数学运算)
3．能够利用导数判断函数零点的个数，由函数零点个数求参数．(直观想象、数学运算)
4．通过实际例子，体会导数在解决最优问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力．(数学建模、数学运算)
关键能力 攻重难
1.给定函数f(x)＝ex－x.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；
(2)画出函数f(x)的大致图象；
(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R，f ′(x)＝ex－1，令f ′(x)＝0，解得x＝0.当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
题|型|探|究
题型一
利用导数研究函数的零点个数
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞)．
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
f(x) ? 1 ?
[规律方法] 利用导数研究函数的零点，可利用导数判断函数的单调性，借助函数零点存在定理判断；另外，也可将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
对点训练
题型二
利用导数证明不等式
[规律方法] 构造函数法证明不等式
一般地，待证不等式的两边都含有同一个变量，可通过构造函数，转化为函数的最值问题来证明，其一般步骤如下：
1．移项，使不等式的一边为0，将另一边构造为“左减右”或“右减左”的函数．
2．利用导函数研究所构造的函数的单调性．
3．借助构造函数的单调性可证结论成立．
对点训练
题型三
实际生活中的优化问题
3.有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元与5a元．问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省．
[分析] 适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值．可确定点C的位置．
令y′＝0，解得x＝30.
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 km.∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
[规律方法] 用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：
①建立函数关系式y＝f(x)；②求y′；③令y′＝0，求出相应的x0；④指出x＝x0处是最值点的理由；⑤对题目所问作出回答．求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．
对点训练
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化如表：
题型四
几何中的最值问题
4.请你设计一个包装盒．如图1所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去白色部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x cm.
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[规律方法] 解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
在半径为R的半圆内，以直径为一底边作一个内接等腰梯形，如何使其面积最大？最大面积是多少？
[解析] 方法一：设上底长为2x，如图所示：
对点训练
易|错|警|示
利用参变分离时忽视自变量的取值范围
5.设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为____________.
[误区警示] 本题上述解法中有两处错误．(1)是在参数分离的过程中，要在不等式两边同时除以x3才能实现参数的分离，若x的取值范围在正数区间上，可以避免讨论；若x的取值范围中包含零或负数，则需要进行分类讨论．
(2)是换元后未求新元t的范围，t的范围不再是[－1,1]．
[答案] 4
[正解] 由ax3－3x＋1≥0，得ax3≥3x－1.因为x∈[－1,1]，故分离参数a，需根据x的取值进行分类讨论，讨论如下：
(1)当x＝0时，1>0恒成立，a可以取任意实数；
课堂检测 固双基
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
[答案] C
∴y′＝－x2＋81(x>0)．
令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，
∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C．
2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其容积最大，则其高应为( )
[答案] D
[答案] C
4．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.
[答案] 144
[解析] 设小正方形的边长为x cm，则盒子的容积为V＝x(10－2x)(16－2x)，即V＝4(x3－13x2＋40x)(05.如图所示，两个工厂A，B相距0.6 km，变电站C距A，B都是0.5 km，计划铺设动力线，先由C沿AB的中垂线至D，再与A，B相连，D点选在距AB______km处时，动力线最短．