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第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
素养目标 定方向
1．能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
2．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．
1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．(直观想象)
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．(数学抽象、逻辑推理)
3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．(逻辑推理、数学建模、数学运算)
必备知识 探新知
函数的最大值与最小值的再认识
1．基于极值概念的再认识
结合函数极值的定义，我们有如下结论：
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，并且函数的最值必在____________
______处取得．
极值点或区间
端点
想一想：上述结论还有怎样的内涵？
提示：(1)给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值．
常见的有以下几种情况：如图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；如图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；如图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值又无最小值；如图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．
练一练：如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则( )
A．函数f(x)没有最大值也没有最小值
B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值
D．函数f(x)有最大值也有最小值
[答案] C
[解析] 由函数图象可知，函数只有一个极小值点x＝1，且函数在此处取得最小值，没有最大值．
2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的______；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中___
_________是最大值，____________是最小值．
极值
最
大的一个
最小的一个
想一想：函数的极值与最值有怎样的区别与联系？
提示：(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．
(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．
(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
练一练：已知函数f(x)＝x3－3x－1，若在区间[－3,2]上，f(x)的最大值为M，最小值为N，则M－N＝( )
A．20 B．18
C．3 D．0
[答案] A
[解析] 由f(x)＝x3－3x－1得f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＝0，解得x＝±1，
所以x＝1，x＝－1为函数f(x)的极值点．
因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，
所以在区间[－3,2]上，M＝f(x)max＝1，N＝f(x)min＝－19，故M－N＝20.
关键能力 攻重难
1.(1)(2023·临沂高二检测)y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( )
题|型|探|究
题型一
求函数的最值
(2)(2024·安庆高二检测)已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R.
①求f(x)的单调区间；
[答案] (1)C
(2)①f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，当－1
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．
[规律方法] 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为( )
A．11 B．－70
C．－14 D．21
(2)(2024·白山高二检测)函数y＝xln x的最小值为( )
A．－e－1 B．－e
对点训练
[答案] (1)A (2)A
[解析] (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f ′(x)＝3x2－6x－9，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3，
由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；
f(3)＝－21；f(4)＝－14；
所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11.
(2)因为y＝xln x，定义域是(0，＋∞)，
题型二
求含参数的函数的最值
2.已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f ′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
[解析] (1)f ′(x)＝3x2－2ax.
因为f ′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.
又当a＝0时，f(1)＝1，f ′(1)＝3.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
[规律方法] 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
已知函数f(x)＝2ex(x＋1)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值g(t)．
[解析] (1)f ′(x)＝2ex(x＋2)，
由f ′(x)>0，得x>－2；由f ′(x)<0，得x<－2.
∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减．
∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值．
对点训练
(2)由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减．
∵t>－3，∴t＋1>－2.
①当－3∴f(x)min＝f(－2)＝－2e－2.
②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)，
题型三
利用最值求解恒成立或有解问题
3.已知a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)．若对任意x∈[－2,1]，不等式f(x)<32恒成立，求a的取值范围．
[解析] 方法一：∵f(x)＝ax(x2－4x＋4)＝ax3－4ax2＋4ax，
∴f ′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)＝a(3x－2)(x－2)．
[规律方法] 将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易．
一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min.
对点训练
易|错|警|示
[误区警示] (1)正确；(2)中错误地认为直线l与曲线C相切，则C上所有点都在直线l的同侧，从而导致解答错误．错因是受直线与二次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意义所致．
[点评] 由直线与曲线相切的定义知，直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当l与C切于点P时，不能保证l与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点．
课堂检测 固双基
1．函数f(x)＝x3－3x(－1A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
[答案] C
[解析] f ′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)，∵－1∴x2<1，∴3(x2－1)<0，即f ′(x)<0.
∴f(x)在(－1,1)上为减函数，∴f(1)2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A．5,15 B．5，－4
C．5，－16 D．5，－15
[答案] D
[解析] 由y＝2x3－3x2－12x＋5得y′＝6x2－6x－12，
令y′＝0得x＝－1(舍去)或x＝2.
故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15.
[答案] A
4．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)( )
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
[答案] B
[解析] f′(x)＝－4x3＋4x，由f′(x)＝0得x＝±1或x＝0.
易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B.
5．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是________.
[答案] 1
[解析] 由f(x)＝sin x－2x－a，
得f ′(x)＝cos x－2<0，
所以函数f(x)在[0，π]上单调递减，
所以f(x)的最大值是f(0)＝－a＝－1，故a＝1.第五章 5.3 5.3.2 第2课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
[答案] A
[解析] f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，
∴当x＝0时，f(x)＝m最大，
∴m＝3，从而f(－2)＝－37，
f(2)＝－5.
∴最小值为－37.∴故选A．
2．使函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值的x是( )
A．0 B．
C． D．
[答案] B
[解析] ∵f ′(x)＝1－2sin x＝0，x∈时，sin x＝，x＝，
∴当x∈时，f ′(x)>0，f(x)是增函数．
当x∈时，f ′(x)<0，f(x)是减函数，
即x＝时，f(x)取最大值，故选B.
3．如图矩形ABCD，AB＝6，沿PQ对折使得点B与AD边上的点B1重合，则PQ的长度可以用含α的式子表示，那么PQ长度的最小值为( )
A．4 B．8
C．6 D．
[答案] D
[解析] 设＝y，＝，∠APB1＋∠B1PB＝180°，2α＋∠B1PB＝180°，则∠APB1＝2α，则有＝ysin α和＝cos∠APB1＝cos 2α，
代入＝＋＝6，解得：y＝＝，
令g＝2t和t＝sin α∈，
导函数g′＝2－6t2，即可得g的最大值在t＝时取得，
此时g＝，求得此时ymin＝，
故选D．
4．定义在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的最大值也可能是f(x0)
B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)
C．函数f(x)有最小值f(x0)
D．函数f(x)不一定有最小值
[答案] C
[解析] ∵定义在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，∴函数f(x)在区间[a，x0)上单调递减，在区间(x0，b]上单调递增，∴当x＝x0时，函数f(x)有极小值，也为最小值．选C．
5．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20 B．18
C．3 D．0
[答案] A
[解析] 因为 f ′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
[答案] 32
[解析] 令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，
列表得：
x －3 (－3，－2) －2 (－2,2) 2 (2,3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 17 ? 极大值24 ? 极小值－8 ? －1
可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.
故答案为32.
7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________.
[答案] (－4，－2)
[解析] f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得－2<<－1，故m∈(－4，－2)．
8．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________.
[答案] －71
[解析] f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f ′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝ax3＋bx＋c，∴f′(x)＝3ax2＋b，
∵f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
∴
即
化简得
解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，
当x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上为增函数，
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，f(x)在(－2,2)上为减函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16，由题设条件知16＋c＝28得c＝12，
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，
因此f(x)在[－3,3]的最小值为f(2)＝－4.
10．设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．
由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2，
所以(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间，
由x(x＋2)<0，得－2所以(－2,0)为f(x)的减区间．
所以f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；单调减区间为(－2,0)．
(2)令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，
因为f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
所以f(x)∈[0,2e2]，
又因为f(x)>m恒成立，所以m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的值可以为( )
A．0 B．
C． D．1
[答案] BC
[解析] ∵f ′(x)＝3x2－3a，且f ′(x)＝0有解，
∴a＝x2.
又∵x∈(0,1)，
∴02．设函数f(x)＝x3－，则( A )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
[答案] A
[解析] 因为函数f(x)＝x3－定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
又因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增，
而y＝＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减，
所以函数f(x)＝x3－在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增．
故选A．
3．若函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．(－∞，0] D．
[答案] D
[解析] 当x≤0时，f(x)＝2x3＋3x2＋1，
∴f ′(x)＝6x2＋6x.
由f ′(x)＝0得x＝－1或x＝0.
当x∈[－1,0)时，f ′(x)<0；
当x∈(－∞，－1)时， f ′(x)>0；故函数在[－2,0]上的最大值为f(－1)＝－2＋3＋1＝2，
又f(x)在[－2,2]上的最大值为2，
故f(x)＝eax在(0,2]上的最大值小于等于2.
由eax≤2在(0,2]上恒成立可知e2a≤2，即a≤ln 2，
∴a的取值范围是，故选D．
二、填空题
4．若F(x)＝x－2ln x＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________.
[答案] 2－2ln 2＋2a
[解析] 令F ′(x)＝1－＝＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时F′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln 2＋2a.
5．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________.
[答案] [e，＋∞)
[解析] f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝e，
且00；当x>e时g′(x)<0，
∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
三、解答题
6．已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x，f ′(x)＝1－＝，
∴所求切线的斜率为f ′(2)＝，切点为(2,2－ln 2)，
∴所求切线的方程为
y－(2－ln 2)＝(x－2)，
即x－2y＋2－2ln 2＝0.
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，
f ′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上是减函数，
故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，
解得a＝(舍去)，
所以此时不存在符合题意的实数a；
②当0<时，f(x)在上是减函数，在上是增函数，故f(x)min＝f＝1＋ln a＝3，解得a＝e2，满足条件；
③当≥e，即0综上，存在实数a＝e2，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3.
C 组·探索创新
已知曲线C：y＝x3－x2－4x＋1，直线l：x＋y＋2k－1＝0，当x∈[－3,3]时，直线l恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 将问题转化为(－x－2k＋1)－>0恒成立，再分离出k，再求函数的最小值即可．
当x∈[－3,3]时，直线恒在曲线C的上方，
等价于当x∈[－3,3]时，(－x－2k＋1)－>0恒成立，
则k<－x3＋x2＋x.
设f(x)＝－x3＋x2＋x(x∈[－3,3])，则f ′(x)＝－x2＋x＋＝(3－x)(1＋x)(x∈[－3,3])．
f ′(x)>0时，－1所以函数f(x)＝－x3＋x2＋x在[－3，－1)上单调递减，在(－1,3]上单调递增．
所以当x＝－1时，f(x)取得最小值－，所以k<－.故选B.
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