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2024-2025学年七年级数学下学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版2024七年级下册1-5章。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．作为动力电池的关键材料之一，铜箔能够提高电池的能量密度，让电动车跑得更远、更快．目前全球最薄的铜箔产自中国，厚度只有．已知百万微米，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算的结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
6．若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的平分线，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知x和y的方程组的解是，则x和y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算： ．
12．计算： ．
13．的结果是 ．
14．已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ．
15．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，若，则 ．
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：．‘
（2）因式分解：．
18．（8分）（1）解方程组：．
（2）解方程：．
19．（8分）（1）试说明代数式的值与s、t的取值有无关系；
（2）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，试求的值．
20．（8分）关于x的分式方程．
(1)当为何值时，分式方程有增根；
(2)当为何值时，分式方程无解．
21．（8分）如图，点，分别在，上，且，的平分线交于点，点在上，连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．（10分）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下：
型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元）
第一周 10 12 2240
第二周 20 15 3400
(1)求，的值．
(2)若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆．
23．（10分）如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分正方形边长为：__________；（用a、b的代数式表示）
(2)观察图2，请你写出之间的等量关系是____________________；
(3)利用（2）中的结论，请直接写出下列问题答案：
①若，则__________；②若，则______．
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式____________；
(5)如图4，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是300，分别延长交和于D、H两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，延长至P，使，延长至R，使，过点P、R作垂线，两垂线交于点N，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值）
24．（12分）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）；
（）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值．
（二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”．
（）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）；
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？学年七年级下学期第三次月考卷
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
2024-2025
18．（8 分） 20．（8 分）
数学·答题卡
姓 名：_________________________________________
准考证号：
注意事项
1． 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必
须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆
珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考
无效。 此栏考生禁填
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
标记
5． 正确填涂
第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 19．（8 分） 21．（8 分）
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11.（3 分）________________ 12. （3 分）________________
13.（3 分）________________ 14. （3 分）________________
15.（3 分）________________ 16. （ 3 分）________________
三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出 黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑 色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22．（10 分） 23．（10 分）
24．（12 分）
请在各题目的答题区域内作答，超 出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色 矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年七年级数学下学期第三次月考卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B D B A C B D D B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．
12．10000
13．
14．2023
15．4
16．2701
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）【解析】解：（1） ．（4分）
（2）
．（8分）
18．（8分）【解析】解：（1），
得，，
∴，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解为．（4分）
（2）两边都乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．（8分）
19．（8分）【解析】解：（1）
，（3分）
∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；（4分）
（2）
，（6分）
∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，
∴，，
解得：，
∴．（8分）
20．（8分）【解析】（1）解： ，
去分母，得)．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得(．
∵分式方程有增根，
∴
∴或．（4分）
（2）解：由()得，．
∵分式方程无解，
∴无解或该分式方程有增根．
∴或或．（8分）
21．（8分）【解析】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
；（4分）
（2）解：，平分，
，
，
，
，
，
．（8分）
22．（10分）【解析】（1）解：根据题意得，
解得；（5分）
（2）设这天型车和型车分别卖出了辆、辆，
根据题意得，
整理得，（7分）
解得或或，
所以这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆．（10分）
23．（10分）【解析】（1）解：由图可知：阴影部分正方形边长为：；
故答案为：；（1分）
（2）由图可知，大正方形的面积；
故答案为：（3分）
（3）①∵，
∴，
由（2）知：，
∴；
故答案为：16；（4分）
②令，则：，，
∴，
∴，
即：；
故答案为：13；（6分）
（4）由图可知：长方形的面积；
故答案为：；（7分）
（5）解：∵，，，，
∴，，
∵长方形面积是，
∴，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴正方形的面积为．（10分）
24．（12分）【解析】解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”，
故答案为：②；（2分）
（）∵为“和谐分式”，
∴或或，，
∴或或或，
∵a为正整数，
∴或，
当时，为“和谐分式”，
当时，为“和谐分式”，
∴的值为或；（5分）
（二）（）①，是和谐分式；
②是和谐分式；
③，是和谐分式．
故答案为：①②③．（7分）
（），
故答案为∶，．（9分）
（）
，
∴当或时，分式的值为整数，
此时或或或，
又∵分式有意义时、、、，
∴．（12分）中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年七年级数学下学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版七下第1章-第5章。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】A、方程，含有两个未知数和，并且和的次数都是1，同时它是整式方程，符合二元一次方程的定义，所以该选项正确；
B、方程，其中未知数和的最高次数都是2，不满足二元一次方程中含未知数的项的次数是1这一条件，所以该选项错误；
C、方程，可变形为与是相乘的关系，次数为，不满足二元一次方程的次数要求，所以该选项错误；
D、方程，因为分母中含有未知数，它不是整式方程，而二元一次方程必须是整式方程，所以该选项错误．
故选A．
2．作为动力电池的关键材料之一，铜箔能够提高电池的能量密度，让电动车跑得更远、更快．目前全球最薄的铜箔产自中国，厚度只有．已知百万微米，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：用科学记数法表示为，
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A.，故本选项计算错误，不合题意；
B.，故本选项计算错误，不合题意；
C.，故本选项计算错误，不合题意；
D.，故本选项计算正确，符合题意；
故选：D
4．计算的结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
故选：B
5．已知，，则（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
【答案】A
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A
6．若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
=
=，
∵运算结果为整式，
∴“□”中的式子应该是含有因式的式子，
只有选项C中符合题意，
故选：C．
7．如图，是的平分线，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．已知x和y的方程组的解是，则x和y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：方程组变形为，
∵x和y的方程的解是，
∴，
解得．
故选：D．
9．已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴平分；故②正确；
延长交于P，延长交于Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
设 ， ，
∴ ＋，
∵平分，
∴ ＋，
∵平分，
∴，
∴，
∴＋ ＋＋，
∴ ，
∴，故④错误，
故选：B．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算： ．
【答案】
【详解】解：．
故答案为：
12．计算： ．
【答案】10000
【详解】解：
．
故答案为：10000．
13．的结果是 ．
【答案】
【详解】解：
故答案为：
14．已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ．
【答案】2023
【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为，
∴①，②，
由①②得：，即，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：2023．
15．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，若，则 ．
【答案】4
【详解】解： ，
，
，
，
方程两边同时乘，得，
解得：，
检验：把代入，
分式方程的解为．
故答案为：4．
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．
【答案】2701
【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则．
设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
∴（且k为整数）均为智慧数；
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：
∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得，
∴，
∵和这两个数的奇偶性相同，
∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又∵，
∴第2024个智慧数在（组），并且是第1个数，即．
故答案为：2701．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：．‘
（2）因式分解：．
【详解】解：（1） ．（4分）
（2）
．（8分）
18．（8分）（1）解方程组：．
（2）解方程：．
【详解】解：（1），
得，，
∴，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解为．（4分）
（2）两边都乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．（8分）
19．（8分）（1）试说明代数式的值与s、t的取值有无关系；
（2）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，试求的值．
【详解】解：（1）
，（3分）
∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；（4分）
（2）
，（6分）
∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，
∴，，
解得：，
∴．（8分）
20．（8分）关于x的分式方程．
(1)当为何值时，分式方程有增根；
(2)当为何值时，分式方程无解．
【详解】（1）解： ，
去分母，得)．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得(．
∵分式方程有增根，
∴
∴或．（4分）
（2）解：由()得，．
∵分式方程无解，
∴无解或该分式方程有增根．
∴或或．（8分）
21．（8分）如图，点，分别在，上，且，的平分线交于点，点在上，连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
；（4分）
（2）解：，平分，
，
，
，
，
，
．（8分）
22．（10分）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下：
型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元）
第一周 10 12 2240
第二周 20 15 3400
(1)求，的值．
(2)若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得；（5分）
（2）设这天型车和型车分别卖出了辆、辆，
根据题意得，
整理得，（7分）
解得或或，
所以这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆．（10分）
23．（10分）如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分正方形边长为：__________；（用a、b的代数式表示）
(2)观察图2，请你写出之间的等量关系是____________________；
(3)利用（2）中的结论，请直接写出下列问题答案：
①若，则__________；②若，则______．
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式____________；
(5)如图4，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是300，分别延长交和于D、H两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，延长至P，使，延长至R，使，过点P、R作垂线，两垂线交于点N，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值）
【详解】（1）解：由图可知：阴影部分正方形边长为：；
故答案为：；（1分）
（2）由图可知，大正方形的面积；
故答案为：（3分）
（3）①∵，
∴，
由（2）知：，
∴；
故答案为：16；（4分）
②令，则：，，
∴，
∴，
即：；
故答案为：13；（6分）
（4）由图可知：长方形的面积；
故答案为：；（7分）
（5）解：∵，，，，
∴，，
∵长方形面积是，
∴，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴正方形的面积为．（10分）
24．（12分）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）；
（）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值．
（二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”．
（）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）；
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？
【详解】解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”，
故答案为：②；（2分）
（）∵为“和谐分式”，
∴或或，，
∴或或或，
∵a为正整数，
∴或，
当时，为“和谐分式”，
当时，为“和谐分式”，
∴的值为或；（5分）
（二）（）①，是和谐分式；
②是和谐分式；
③，是和谐分式．
故答案为：①②③．（7分）
（），
故答案为∶，．（9分）
（）
，
∴当或时，分式的值为整数，
此时或或或，
又∵分式有意义时、、、，
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2024-2025学年七年级数学下学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版2024七年级下册1-5章。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．作为动力电池的关键材料之一，铜箔能够提高电池的能量密度，让电动车跑得更远、更快．目前全球最薄的铜箔产自中国，厚度只有．已知百万微米，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算的结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
6．若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的平分线，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知x和y的方程组的解是，则x和y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算： ．
12．计算： ．
13．的结果是 ．
14．已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ．
15．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，若，则 ．
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：．‘
（2）因式分解：．
18．（8分）（1）解方程组：．
（2）解方程：．
19．（8分）（1）试说明代数式的值与s、t的取值有无关系；
（2）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，试求的值．
20．（8分）关于x的分式方程．
(1)当为何值时，分式方程有增根；
(2)当为何值时，分式方程无解．
21．（8分）如图，点，分别在，上，且，的平分线交于点，点在上，连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．（10分）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下：
型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元）
第一周 10 12 2240
第二周 20 15 3400
(1)求，的值．
(2)若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆．
23．（10分）如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分正方形边长为：__________；（用a、b的代数式表示）
(2)观察图2，请你写出之间的等量关系是____________________；
(3)利用（2）中的结论，请直接写出下列问题答案：
①若，则__________；②若，则______．
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式____________；
(5)如图4，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是300，分别延长交和于D、H两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，延长至P，使，延长至R，使，过点P、R作垂线，两垂线交于点N，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值）
24．（12分）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）；
（）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值．
（二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”．
（）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）；
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？
