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数学解析
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．实数的绝对值是，则实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；即可求解．
【详解】解：的绝对值是，则实数是
故选：D．
2．2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：B．
3．如图是由10个大小相同的正方体积木组合而成的几何体，拿走其中的一个积木后，下列说法错误的是（ ）
A．拿走积木甲后，此几何体的主视图不变
B．拿走积木乙后，此几何体的左视图不变
C．拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变
D．拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积
【答案】A
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据从前面看得到的图象是主视图，可得答案．
【详解】解：A、拿走积木甲后，此几何体的主视图有变化，故此选项说法错误，符合题意；
B、拿走积木乙后，此几何体的左视图不变，故此选项说法正确，不符合题意；
C、拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变，故此选项说法正确，不符合题意；
D、拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积，正确，不符合题意．
故选：A．
4．据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒之魔童闹海》总票房突破154亿元超过《星球大战：原力觉醒》，登顶全球电影票房榜第5名，则（ ）
A．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择全面调查
B．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，可以只对学生统计
C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件
D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件
【答案】C
【分析】本题考查了抽样调查与全面调查、不确定事件，不可能事件，如果调查对象广，耗时多，应选择抽样调查；再结合随机抽一个学生，其看过《哪吒》是随机事件，进行分析，即可作答．
【详解】解：A、想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，故该选项不符合题意；
B、想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，不可以只对学生统计，故该选项不符合题意；
C、随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件，故该选项符合题意；
D、随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件，不是不可能事件，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二元一次方程组的应用．设，，，证明和，得到①，②，据此求解即可．
【详解】解：设，，，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，①，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴②，
解①②得，，
∴，
故选：A．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、和不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选C．
7．若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．不等式组变形后，根据无解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件的值，即可解答．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得，
∵一元一次不等式组无解，
∴，
解得，
解分式方程，得，
∵关于的分式方程有整数解，
∴或，
∴或或或，
时，，原分式方程无解，故将舍去，
∴符合条件的所有整数的个数为3，
故选：B．
8．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，等弧对等角，解三角形及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，利用平行线分线段成比例得出，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可．
【详解】解：过点E作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．已知点，是二次函数的图象上任意两点，设，若当且时，都有，则的取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．先求得抛物线的对称轴为直线，判断得出离对称轴更远，分四种情况讨论，画出图形，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴开口向上，
∵，
∴离对称轴更远，分四种情况讨论，
①当都在对称轴右边，如图，
∴，即，
∵，
∴；
②当都在对称轴左边，如图，
∴，即，
∵，
∴；
③当在对称轴左边，在对称轴右边，如图，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴当，时，最大，值为，
∴；
④当在对称轴左边，在对称轴右边，如图，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴当，时，最小，值为，
∴；
综上或，
故选：B．
10．如图，矩形中，P为边上一点（不与A，D重合），连接，，过点作，垂足为，连接，，与相交于点．则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，，则
D．若，，则最小为
【答案】C
【分析】利用矩形的性质结合平行线的性质，可得，证得，即可判断选项A正确；若，根据等腰三角形的性质可得，利用直角三角形的性质得，得证，即可判断选项B正确；过点作于点，根据矩形的性质得是等腰直角三角形，推出，即、、、四点共圆，通过圆周角定理得出，利用勾股定理求出、的值，通过即可判断C选项错误；通过题意可得点在以中点为圆心，为直径的圆上，当、、三点共线时，最小，利用勾股定理求出，再通过即可判断D选项正确．
【详解】解：A、四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
,
，
，，
，故A选项正确；
B、如图，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
．
在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，故B选项正确；
C、如图，过点作于点，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，故C选项错误；
D、如图，
，
，
点在以中点为圆心，为直径的圆上，
，
当、、三点共线时，最小，
在中，，
，故D选项正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．用式子表示“的3次方的相反数与的2次方的3倍的和”为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，相反数、以及乘方，掌握相关知识点是解题关键．根据题意正确列式即可．
【详解】解：用式子表示“的3次方的相反数与的2次方的3倍的和”为，
故答案为：．
12．因式分解： ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解的方法，提公因式即可，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
【详解】解：，
故答案为：．
13．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式，是解题的关键．将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．
【详解】解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，即，
由题意，得：在一次函数的图象上，
∴，
∴；
故答案为：．
14．有四张完全一样正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
【答案】/0.25
【分析】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题关键．列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的汉字相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下，
中 考 必 胜
中 （中，中） （中，考） （中，必） （中，胜）
考 （考，中） （考，考） （考，必） （考，胜）
必 （必，中） （必，考） （必，必） （必，胜）
胜 （胜，中） （胜，考） （胜，必） （胜，胜）
由表可知：共有种等可能的结果出现，其中两张卡片上的汉字相同的情况有种，
两张卡片上的汉字相同的概率是．
故答案为：．
15．如图，在等腰中，，，点M是边上的动点，以为腰作等腰，，连接，若N为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先以点A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，再分别表示，，运用两点距离公式进行列式得，结合二次函数的性质进行分析，即可作答．
【详解】解：以点A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
∵在等腰中，，，
∴
∵点M是边上的动点，以为腰作等腰，，
∴设，，
则，
∵N为的中点，
∴，
即，
∵
故
∵，
∴开口向上，在时，有最小值，
把代入，
得，
即最小值为
故答案为：．
16．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解．
【详解】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，即点横坐标为，
∵点为反比例函数的图象一点，
∴，
∴反比例函数图象为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，求特殊角三角函数值，实数的混合计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（8分）下面是小欣解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解答下列问题．
解方程组：
解：，得，③第一步
________，得，第二步
，第三步
将代入②，得，第四步
∴原方程组的解是，第五步
(1)上述解题过程中，第二步通过________的变形得到了；你发现步骤_______开始出错；
(2)请你用与小欣不同的方法解此方程组．
【答案】(1)；三
(2)，过程见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，涉及加减消元法、代入消元法，熟练掌握消元法解二元一次方程组的步骤是解决问题的关键．
（1）由二元一次方程组的解法步骤，逐项检查题中各个步骤即可得到答案；
（2）题中解二元一次方程组的方法是加减消元法，另一种解法是采用代入消元法解二元一次方程组，先由②得③，将③代入①得，求出，再将值代入③即可得到方程组的解．
【详解】（1）解：，
得；
，故步骤三开始出错；
故答案为：；三；
（2）解：由②得③，
将③代入①得，
解得，
把代入③得，
∴原方程组的解为．
19．（8分）尺规作图：如图，已知和圆外一点P．
用两种不同的方法，过点P作一条直线l交于点A、B（点A离点P较远），使得．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图 复杂作图，三角形中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】方法一：连接，作线段的垂直平分线，垂足为C，以C为圆心，的半径的一半作弧交于点B，连接，延长交于点A即可（利用三角形中位线定理可得结论）；
方法二：连接，延长到C，使得，以C为圆心，直径为半径作弧交于点A，连接交于点B即可（利用三角形中位线定理可得结论）．
解：如图如图1，2所示．
20．（8分）学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 八年级 九年级
平均分 8.76 8.76
中位数 9 a
众数 b 10
方差 1.06 1.38
(1)根据以上信息可以求出：___________，_____，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)在这两个年级中，成绩更稳定的是_____．（填“八年级”或“九年级”）；
(3)已知该校八年级有800人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】(1)8，9
(2)八年级
(3)两个年级成绩为优秀的学生共有1152人．
【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级C中，可以确定的值；先求得八年级等级C的人数，根据最多的数据是众数，可以确定的值；再补全条形图即可．
（2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答．
（3）用分别用八、九年级的人数乘以各自的优秀率，然后相加即可得到答案．
【详解】（1）解：八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩，
九年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩，
由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级C中，
故九年级中位数，
由题可知：八年级等级C人数为：（人），
等级B的人数最多，
八年级众数，
补全条形统计图如下：
故答案为：8，9；
（2）解：八、九年级平均分相同，而八年级中位数大于九年级中位数，八年级方差小于九年级方差，
八年级成绩更好，更稳定；
故答案为：八年级；
（3）解：（人）．
∴两个年级成绩为优秀的学生共有1152人．
21．（8分）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．
(2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
【答案】(1)32，10
(2)y=
(3)59.5
【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键．
（1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时；
（2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解；
（3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解．
【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时；
时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时；
时，风速不变；最高风速维持时间为小时；
故答案为：32，10；
（2）解：设当时函数解析式为，将，代入，
，解得：
当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为；
（3）解：∵当，时，，解得，
∴时风速为10千米/时，
当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y=
将代入，得
解得
所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为；
当，时，，解得
“危险时刻”的时间为：（小时）．
∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时．
22．（10分）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
(3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为______．
【答案】(1)见解析
(2)24
(3)
【分析】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判断和性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是关键．
（1）根据题意可证明，得到，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；
（2）根据，可证明为的中垂线，从而推出四边形为菱形，然后根据条件求出的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可；
（3）根据等积法进行求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴为的垂直平分线，．
∴平行四边形是菱形．
∵，
．
在中，，
，
∴，
，
∴四边形的面积为24．
（3）∵，，，
∴
设平行线与间的距离为，
则，
解得
故答案为；．
23．（10分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“平衡”点．例如：点，，，…都是“平衡”点．
(1)判断函数的图象上是否存在“平衡”点，若存在，求出其“平衡”点的坐标；
(2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡”点．
①求a，c的值；
②若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n的取值范围．
【答案】(1)存在，
(2)①；②
【分析】本题是二次函数的新定义综合题，考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质以及韦达定理等知识，准确理解“平衡”点的含义以及熟练应用二次函数的性质结合图像解题是关键．
（1）根据“平衡”点的横坐标与纵坐标互为相反数，可得方程，解方程可得答案；
（2）①根据“平衡”点的定义得，由该方程有唯一解，根据韦达定理可求得a，c的值；②当时，，可求当时，函数有最大值为，由关于对称轴对称点为，即时，，即可求解取值范围．
【详解】（1）解：函数的图象上存在“平衡”点，
根据题意，
解得，
故其“平衡”点的坐标为；
（2）解：①∵的图像上有且只有一个“平衡”点
即有两个相等实根
由根与系数的关系可得：
解得：；
②∵，
∴二次函数为，
当时，，
∵
∴对称轴为直线，
当时，函数有最大值为，
由关于对称轴对称点为，即时，，
∴若时，函数的最小值为，最大值为，
则实数n的取值范围是．
24．（12分）爱动手的嘉嘉同学自制了如图所示的以为直径的圆形框架，是一个足够长的水平轨道，且与相切．支架的一端固定在圆心处，另一端可在轨道上滑动，支架的一端固定在处，另一端在上，且．当点滑动时，点随之在直径右侧的上运动．设与交于点，连接．已知．
(1)图1图2当点，所在的直线与互相垂直时，_____°．
(2)当时，如图1，求的长．
(3)当时，如图2，求的长．
【答案】(1)22.5
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆半径相等及，结合切线性质推出，进而得出四边形是正方形，得到，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，得出结论；
（2）连接、，利用圆的直径和切线性质，结合，推出．由证得，得到边的关系，通过三角函数求出，进而推出．由得出是等边三角形，确定，最后用弧长公式求出答案．
（3）连接，根据同弧所对圆周角相等得到，利用为直径得出，结合的值求出、的长度． 依据垂径定理，由推出，，得到． 根据三角函数求出的长度，进而得出的值．
【详解】（1）解：如图：
当时，连接．
∵，，
∴，
∴，
∵与相切，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵和同弧于，
∴．
（2）如图（1），连接，．
是的直径，是的切线，
，，
．
由题意知，
，
．
又，
，
，
，
，
．
，
为等边三角形，
，
，
的长为
（3）如图，连接，设，交于点，
则，
是的直径，
，
，
．
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查圆的切线性质、等腰三角形性质、平行四边形与正方形判定、圆周角定理、三角形全等、三角函数以及弧长公式等知识；解题关键是根据题目条件合理添加辅助线，灵活运用圆和三角形相关性质及定理进行角度、弧长和线段长度的推导计算．
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参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B A C A C B C B C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．
12．
13．
14．/0.25
15．
16．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）【详解】（1）解：
......................................................................................................2分
； ......................................................................................................4分
（2）解：
......................................................................................................6分
． ......................................................................................................8分
18．（8分）【详解】（1）解：，
得；
，故步骤三开始出错；
故答案为：；三； ......................................................................................................4分
（2）解：由②得③，
将③代入①得，
解得， ......................................................................................................6分
把代入③得，
∴原方程组的解为． ......................................................................................................8分
19．（8分）【详解】方法一：连接，作线段的垂直平分线，垂足为C，以C为圆心，的半径的一半作弧交于点B，连接，延长交于点A即可（利用三角形中位线定理可得结论）；
方法二：连接，延长到C，使得，以C为圆心，直径为半径作弧交于点A，连接交于点B即可（利用三角形中位线定理可得结论）．
解：如图如图1，2所示．
......................................................................................................4分
.........................................................................8分
20．（8分）【详解】（1）解：八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩，
九年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩，
由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级C中，
故九年级中位数， ......................................................................................................1分
由题可知：八年级等级C人数为：（人），
等级B的人数最多，
八年级众数， .....................................................................................................2分
补全条形统计图如下：
.........................................................................................4分
故答案为：8，9；
（2）解：八、九年级平均分相同，而八年级中位数大于九年级中位数，八年级方差小于九年级方差，
八年级成绩更好，更稳定；
故答案为：八年级； ......................................................................................................6分
（3）解：（人）．
∴两个年级成绩为优秀的学生共有1152人． ..............................................................................8分
21．（8分）【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时；
时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时；
时，风速不变；最高风速维持时间为小时；
故答案为：32，10； ......................................................................................................2分
（2）解：设当时函数解析式为，将，代入，
，解得： ......................................................................................5分
当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； ............................6分
（3）解：∵当，时，，解得，
∴时风速为10千米/时，
当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y=
将代入，得
解得 ......................................................................................................7分
所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为；
当，时，，解得
“危险时刻”的时间为：（小时）．
∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． ............................................................8分
22．（10分）【详解】（1）证明：在和中，
∴． ......................................................................................2分
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形． .....................................................................................3分
（2）∵，
∴为的垂直平分线，．
∴平行四边形是菱形．
∵，
． ......................................................................................................5分
在中，，
，
∴，
，
∴四边形的面积为24． ...........................................................................................7分
（3）∵，，，
∴ ..................................................................................................8分
设平行线与间的距离为，
则，
解得
故答案为；． ......................................................................................................10分
23．（10分）【详解】（1）解：函数的图象上存在“平衡”点，
根据题意，
解得，
故其“平衡”点的坐标为； ...................................................................................................3分
（2）解：①∵的图像上有且只有一个“平衡”点
即有两个相等实根
由根与系数的关系可得：
解得：； ......................................................................................................6分
②∵，
∴二次函数为，
当时，，
∵
∴对称轴为直线，
当时，函数有最大值为， ......................................................................................................8分
由关于对称轴对称点为，即时，，
∴若时，函数的最小值为，最大值为，
则实数n的取值范围是． .....................................................................................................10分
24．（12分）【详解】（1）解：如图：
当时，连接．
∵，，
∴，
∴，
∵与相切，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形 .....................................................................................................2分
∵
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵和同弧于，
∴． ......................................................................................................4分
（2）如图（1），连接，．
是的直径，是的切线，
，，
．
由题意知，
，
．
又，
， ......................................................................................................6分
，
，
，
．
，
为等边三角形，
，
，
的长为 ......................................................................................................8分
（3）如图，连接，设，交于点，
则，
是的直径，
，
，
． ..................................................................................................10分
，
，，
，
，
． ......................................................................................................12分
10 / 10中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考仿真模拟卷数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．实数的绝对值是，则实数是（ ）
A． B． C． D．
2．2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是由10个大小相同的正方体积木组合而成的几何体，拿走其中的一个积木后，下列说法错误的是（ ）
A．拿走积木甲后，此几何体的主视图不变
B．拿走积木乙后，此几何体的左视图不变
C．拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变
D．拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积
4．据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒之魔童闹海》总票房突破154亿元超过《星球大战：原力觉醒》，登顶全球电影票房榜第5名，则（ ）
A．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择全面调查
B．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，可以只对学生统计
C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件
D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件
5．如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知点，是二次函数的图象上任意两点，设，若当且时，都有，则的取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．如图，矩形中，P为边上一点（不与A，D重合），连接，，过点作，垂足为，连接，，与相交于点．则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，，则
D．若，，则最小为
第Ⅱ卷
填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．用式子表示“的3次方的相反数与的2次方的3倍的和”为 ．
12．因式分解： ．
13．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 ．
14．有四张完全一样正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
15．如图，在等腰中，，，点M是边上的动点，以为腰作等腰，，连接，若N为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
16．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
18．（8分）下面是小欣解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解答下列问题．
解方程组：
解：，得，③第一步
________，得，第二步
，第三步
将代入②，得，第四步
∴原方程组的解是，第五步
(1)上述解题过程中，第二步通过________的变形得到了；你发现步骤_______开始出错；
(2)请你用与小欣不同的方法解此方程组．
19．（8分）尺规作图：如图，已知和圆外一点P．
用两种不同的方法，过点P作一条直线l交于点A、B（点A离点P较远），使得．
20．（8分）学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 八年级 九年级
平均分 8.76 8.76
中位数 9 a
众数 b 10
方差 1.06 1.38
(1)根据以上信息可以求出：___________，_____，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)在这两个年级中，成绩更稳定的是_____．（填“八年级”或“九年级”）；
(3)已知该校八年级有800人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？
21．（8分）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．
(2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
22．（10分）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
(3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为______．
23．（10分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“平衡”点．例如：点，，，…都是“平衡”点．
(1)判断函数的图象上是否存在“平衡”点，若存在，求出其“平衡”点的坐标；
(2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡”点．
①求a，c的值；
②若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n的取值范围．
24．（12分）爱动手的嘉嘉同学自制了如图所示的以为直径的圆形框架，是一个足够长的水平轨道，且与相切．支架的一端固定在圆心处，另一端可在轨道上滑动，支架的一端固定在处，另一端在上，且．当点滑动时，点随之在直径右侧的上运动．设与交于点，连接．已知．
(1)图1图2当点，所在的直线与互相垂直时，_____°．
(2)当时，如图1，求的长．
(3)当时，如图2，求的长．
10 / 11中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考仿真模拟卷数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．实数的绝对值是，则实数是（ ）
A． B． C． D．
2．2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是由10个大小相同的正方体积木组合而成的几何体，拿走其中的一个积木后，下列说法错误的是（ ）
A．拿走积木甲后，此几何体的主视图不变
B．拿走积木乙后，此几何体的左视图不变
C．拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变
D．拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积
4．据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒之魔童闹海》总票房突破154亿元超过《星球大战：原力觉醒》，登顶全球电影票房榜第5名，则（ ）
A．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择全面调查
B．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，可以只对学生统计
C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件
D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件
5．如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知点，是二次函数的图象上任意两点，设，若当且时，都有，则的取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．如图，矩形中，P为边上一点（不与A，D重合），连接，，过点作，垂足为，连接，，与相交于点．则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，，则
D．若，，则最小为
第Ⅱ卷
填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．用式子表示“的3次方的相反数与的2次方的3倍的和”为 ．
12．因式分解： ．
13．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 ．
14．有四张完全一样正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
15．如图，在等腰中，，，点M是边上的动点，以为腰作等腰，，连接，若N为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
16．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
18．（8分）下面是小欣解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解答下列问题．
解方程组：
解：，得，③第一步
________，得，第二步
，第三步
将代入②，得，第四步
∴原方程组的解是，第五步
(1)上述解题过程中，第二步通过________的变形得到了；你发现步骤_______开始出错；
(2)请你用与小欣不同的方法解此方程组．
19．（8分）尺规作图：如图，已知和圆外一点P．
用两种不同的方法，过点P作一条直线l交于点A、B（点A离点P较远），使得．
20．（8分）学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 八年级 九年级
平均分 8.76 8.76
中位数 9 a
众数 b 10
方差 1.06 1.38
(1)根据以上信息可以求出：___________，_____，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)在这两个年级中，成绩更稳定的是_____．（填“八年级”或“九年级”）；
(3)已知该校八年级有800人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？
21．（8分）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．
(2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
22．（10分）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
(3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为______．
23．（10分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“平衡”点．例如：点，，，…都是“平衡”点．
(1)判断函数的图象上是否存在“平衡”点，若存在，求出其“平衡”点的坐标；
(2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡”点．
①求a，c的值；
②若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n的取值范围．
24．（12分）爱动手的嘉嘉同学自制了如图所示的以为直径的圆形框架，是一个足够长的水平轨道，且与相切．支架的一端固定在圆心处，另一端可在轨道上滑动，支架的一端固定在处，另一端在上，且．当点滑动时，点随之在直径右侧的上运动．设与交于点，连接．已知．
(1)图1图2当点，所在的直线与互相垂直时，_____°．
(2)当时，如图1，求的长．
(3)当时，如图2，求的长．
