2024-2025学年山东省聊城市高二下学期期中教学质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省聊城市高二下学期期中教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小红从条不同的裙子，双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方案共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知函数，则
A. B. C. D.
3.的展开式中的常数项为
A. B. C. D.
4.已知随机变量服从两点分布，且，，则实数的值为
A. B. C. D. 或
5.已知函数及其导函数均为上的连续函数，且函数的图象如图所示，则
A. 是的极小值点 B. 是的极小值点
C. 是的最大值 D. 不存在最大值
6.某实验室的名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少人参会，则不同的参会方案共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
8.
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则一定是函数的极值点
10.盒子中有个红球，个白球，个蓝球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件为“第一次取出的是红球”，事件为“第二次取出的是白球”，事件为“第二次取出的是蓝球”，则
A. B.
C. D.
11.已知，，且，若，则
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，，中任取个数字组成没有重复数字的三位数，则得到的三位数中偶数的个数为_________用数字作答
13.某小学生在一次手工课上，把体积为的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一个长方体，再把该长方体的表面贴上彩色包装纸，则所用彩色包装纸的面积的最小值为_________．
14.已知函数，若关于的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一次抽奖活动中，箱子里有张不同的奖券，其中张奖券对应有奖品，其余的无奖品．
从该箱子中依次不放回地抽取张奖券，求第次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率；
从该箱子中随机抽取张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量的分布列．
16.本小题分
设函数．
若曲线在点处的切线方程为，求，的值；
讨论的单调性．
17.本小题分
已知，，且求：
的值；
的值；
的值．
18.本小题分
人工智能中的大语言模型以下简称能自动从多种来源收集和整合数据，从而大大提高工作效率．但一些重复性、规律性强的工作岗位可能会被替代．某单位因受到的冲击需要对所有员工重新考核竞聘上岗，考核标准如下：进行三次理论考核，每位员工只有通过上一次考核才有资格参加下一次考核，否则直接淘汰，三次考核全部通过方可重新上岗．假设小李通过第一、二、三次理论考核的概率分别为，，，每次理论考核是否通过相互独立，小李不会主动弃权．
若时，小李通过三次理论考核的概率最大，求的值；
当为中确定的时，公司为了照顾小李，答应当小李至少通过一次理论考核但未能重新上岗时，再给他一次实操考核的机会，若实操考核通过也可重新上岗；若实操考核未通过，则淘汰．已知小李通过实操考核的概率为求：
(ⅰ)小李参加考核的次数的分布列；
(ⅱ)小李重新上岗的概率．
19.本小题分
若函数与在区间上满足：存在实数，使得对任意，都有则称为和在上的同步斜率．已知，，．
验证是否为和在上的同步斜率；
若是和在区间上的同步斜率，求实数的取值范围；
证明：当且时，．
参考答案
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15.解：根据乘法计数原理可得第次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率为
根据题意可得可以取，，，
则，
，
，
，
则的分布列为：
16.解：因为则
所以函数在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，即，
所以解得
因为，
令，得或，
根据二次函数的图象分析可得，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减
当时，函数在上单调递增
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减．
17.解：的展开式通项为，
则，
解得，
所以原式为 ，
令，可得，
令，则，
所以可得；
对等式两边求导可得
，
令，可得．
18.解：因为小李通过第一、二、三次理论考核的概率分别为，，，每次理论考核是否通过相互独立，
所以若小李通过三次理论考核的概率为，则．
因为，
所以当时，；当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，即的值为
设小李参加考核的次数为，则的可能取值为：、、．
由题意知：小李通过第一、二、三次理论考核的概率分别为、、，通过实操考核的概率为，
因此，，，
所以小李参加考核的次数的分布列为：
(ⅱ)小李重新上岗包含：
三次理论考核都通过、第一次理论考核通过第二次理论考核没有通过但实操通过、第一、二次理论考核通过第三次没有通过但实操通过三种情况，
而小李通过实操考核的概率为 ．
因为三次理论考核都通过的概率为：，
第一次理论考核通过第二次理论考核没有通过实操通过的概率为：，
第一、二次理论考核通过第三次没有通过但实操通过的概率为：，
所以小李重新上岗的概率为．
19.解：是和在上的同步斜率，
证明如下：由题意知，只需证时，．
令，则，所以时，，在上单调递增，
又因为，所以时，，即在上恒成立．
令，则恒成立，
所以在上单调递减，
又因为，所以，即，所以时，，即是和在上的同步斜率．
解：由题意知恒成立，令，则在区间上恒成立，
，
当即时，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，，符合条件
当，即时，时，，在区间上单调递减，
所以存在，使，不符合条件．
综上，的取值范围为
证明：令，由知在区间上恒成立，
当且时，，令，得．
所以
．
即当且时，．
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