人教版八年级数学下册试题第18章平行四边形章节知识点复习题（含详解）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册试题第18章平行四边形章节知识点复习题（含详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-30 08:42:13 | ||
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文档简介
第18章《 平行四边形》章节知识点复习题
【考点1 平行四边形】
【题型1 由平行四边形的性质求值】
1.如图，在平行四边形中，，过的中点E作 于点 F，延长交的延长线于点 G，则的长为（ ）．
A． B． C．8 D．
2.如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ．
3.如图，在中，于E，于F，若，，，求的周长和面积．
4.如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ．
【题型2 由平行四边形的性质证明结论】
1.如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
2.如图，在中，点E，F分别在上，且，连接，交于点O．求证：．
3.如图，在中，连接，延长至点E，延长至点F，使，连接．求证：．
4.如图1，在平行四边形中，，垂足分别为E，F．
(1)求证：
(2)连接，与交于点O，求证：．
(3)若，求平行四边形的面积．
【题型3 平行四边形的判定】
1.四边形 中，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)E是上一点，连接，F在上，连接、，，，求证：；
2.在四边形中，对角线交于点O．
(1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形；
(3)如图3，若，求的最小值．
3.如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长．
4.如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】
1.如图在平面直角坐标系中，点的坐标分、．且满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，连接．
(1)求的值．
(2)点P是线段上的一个动点（不与重合），请找出之间的关系，并证明．
(3)点Q是线段上的动点，是否存在使四边形面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
2.如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，求的长．
3.【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接 ，以为边向右作等边，连接．
【初步发现】（1）求证：为等边三角形；
【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形；
【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积．
4.如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【考点2 菱形】
【题型5 菱形性质的应用】
1.如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若的周长为8．则菱形的面积为 ．
3.如图，菱形，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段的长度为
4.已知：如图，四边形是菱形，过的中点作的垂线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若菱形的周长是16，求的长．
【题型6 菱形性质与判定的综合应用】
1.如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点，
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的度数．
2.如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，，则的面积为 ．
3.如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E．
(1)判断四边形的形状并说明理由；
(2)过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长．
4.如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接．
(1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：四边形是菱形．
(3)在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积．
【题型7 菱形中的动点问题】
1.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接．
(1)菱形的边长为 ；
(2)求直线的解析式；
(3)动点从点出发，沿折线以1个单位长度/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒．
①求与之间的函数关系式；
②在点的运动过程中，当时，请直接写出的值．
2.如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当四边形是平行四边形时，求t的值；
(2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________；
(3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度．
3.如图，已知菱形的边长为8，点M是对角线上的一动点，且，则的最小值是 ．
4.如图，在矩形中，点F是上一点，且，，垂足为点E，．
(1)求证：；
(2)若，点P是上一动点，以的速度从点A运动到点D，问：点P运动多少秒四边形是菱形？请说明理由．
【考点3 矩形】
【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】
1.如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，．
(1)如图1，若，则的度数为______
(2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积．
2.如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数．
3.如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，于点E，求的度数．
4.如图1，四边形中，点E，点F在对角线上，，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接交于点O，连接，若平分，，，求的面积．
【题型9 矩形中的折叠问题】
1.如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，，，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm
2.如图1，在矩形中，点是上的点，沿折叠点的对应点是点，延长交直线于点．
(1)求证：；
(2)是上的点，；沿折叠点的对应点是点，且、、、在同一直线上．
①如图2，若M、N互相重合，求的值；
②若，求的长．（自己画草图）
3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为 时，△AB'D是直角三角形．
4.如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点．点，在边AB上任取一点D，将沿OD翻折，使点A落在边上，记为点E．
(1)的长=______，的长=________，的长=________，的长=________；
(2)设点P在x轴上，且，求点P的坐标．
【考点4 正方形】
【题型10 正方形性质的应用】
1.如图，在正方形内作等边三角形，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，正方形中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线，交于点D，作以下操作：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F两点；
②分别以E、F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线，交于点M，交于点N．
若点N的坐标为，则点M的坐标为 ．
3.园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是平方米，内圈的所有三角形的面积之和是平方米，这条小路一共占地（ ）平方米．
A． B． C． D．
4.如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若E是上一点，且，写出的度数．
【题型11 几种特殊平行四边形的综合】
1.在矩形中，，，分别是，中点，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
(1)当，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由．
(2)若四边形为矩形，t的值为 ；
(3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则t的值为 ．
2.如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作 ，交的延长线于点G．
(1)若，
①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长；
(2)如图2，于点M，于点N，探究：
①当为何值时，四边形是正方形；
②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在菱形中，，菱形的面积为60，点从点出发沿折线向终点运动．过点作点所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点，在的右侧作矩形．
(1)求菱形的高．
(2)如图1，点在上.求证：．
(3)若，当过中点时，求的长．
【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】
【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】
1.如图，在等腰中，，，分别是，的中点，连接，，，与相交于点．若，，则四边形的周长为 ．
2.如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ．
3.如图，中，，，点是的中点，若平分，求线段的值．
4.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为
【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】
1.【问题背景】
如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接．
【初步探究】
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
【拓展延伸】
（2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【变式13-1】（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分
2.已知：如图，在平行四边形中，G，H分别是，的中点，E，O，F分别是对角线上的四等分点，顺次连接G，E，H，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：当平行四边形满足时，四边形是菱形．
3.如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，点M、P、N分别是边的中点，连接，交于点E，交于点F，Q是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】
1.如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接．
(1)求证：；
(2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
2.如图，矩形中，点在边上，平分，，分别是，的中点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
3.如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ．
4.【问题背景】
已知，在正方形中，为正方形的对角线，为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接．
【猜想感知】
（1）如图①，当点在线段上时，判断的形状，并说明理由；
【类比探讨】
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系；
【问题解决】
（3）若，求线段的长．
参考答案
【考点1 平行四边形】
【题型1 由平行四边形的性质求值】
1.B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键．
由平行四边形的性质可得，进而得到；再根据中点的定义可得；然后说明，易得；再运用勾股定理求得，最后再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵E是的中点,
∴,
∵,
∴,
∴，
，
∴，
．
故选 B．
2.
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是关键；设；由等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，由平行四边形的性质及已知，，则有，则，再由平行线性质即可求解．
【详解】解：设；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即，
∴，
即．
故答案为：．
3.解：，，
，，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
，，
，
的周长是：（），
面积是： （）．
4.36
【分析】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质．
由四边形是平行四边形，可得，又由，可得，然后由的周长为18，求得平行四边形的周长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∵的周长为18，
∴，
∴平行四边形的周长是：．
故答案为：36．
【题型2 由平行四边形的性质证明结论】
1.（1）解：四边形是平行四边形，，
，
又平分，
又四边形是平行四边形，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
∴，
又平分，平分，
，，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
在和中
，
，
．
2.证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
．
3.解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
4.（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
平行四边形是菱形，
；
（3）解：平行四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
．
【题型3 平行四边形的判定】
1.（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：分别作于点G，于点H，则，
∵，，，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
2.（1）证明∶，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形，
，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
（3）解∶如图，过点D作，连接
四边形是平行四边形，
．
又，
，
，
．
，
的最小值是13．
3.（1）证明：是等边的边上的高，
，，
，
，
，
，
为等边三角形三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：．
4.（1）
证明：延长交于点G，
∵，平分，
∴，，
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵D、E分别是的中点，
∴,
∵，
∴，
∴．
【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】
1.（1）解：∵，
∴，，
∴，；
（2），理由如下：
如图所示，过点P作，
∵
则，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，点Q的坐标为，理由如下：
由（1）可知，点的坐标分、．
∴，
∵线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，
∴点R的坐标为，点S的坐标为，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
作于点H，则
∵点Q是线段上的动点，
∴当点运动到点R时，取得最大值，即最大值为的长度，即，
此时，即的最大值为，
∵四边形的面积，
∴四边形的面积最大值为，
此时点Q的坐标为．
2.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E、F分别是边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
3.证明：（1）∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）由（）可知，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）如图，过作于，
则，
由（）可知，，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
4.（1）证明：∵G，H分别是的三等分点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）由（1）知，且，
四边形为平行四边形，
，
，
过点E作于点M，
，
，
，
，
又G，H分别是的三等分点，
【考点2 菱形】
【题型5 菱形性质的应用】
1.B
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．
根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选B．
2.32
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和求出是解此题的关键
根据菱形的性质得出，，，根据角平分线的性质得出，求出，设，则，根据的周长为8得出，求出，求出，， x，求出，求出，再求出菱形的面积即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
设，则，
∵的周长为8，
∴，
解得： ，
即，，
∴，
即， ，
∴，
∴菱形的面积
故答案为：．
3.2
【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等积法，熟练掌握菱形的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
由四边形是菱形，可得，在中，由勾股定理得：，由等积法可得，在中，由勾股定理得：，，可得
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
在中，
由勾股定理得：，
∵，
∴
故答案为：2．
4.（1）证明：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴， ，
∵，
∴ ，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵E是中点，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解： 菱形的周长是16，
．
∵为的中点，
∴，
∵，
；
【题型6 菱形性质与判定的综合应用】
1.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∵垂直平分，
在和中，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知， 四边形是菱形，
2.48
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明 ，从而可得，同理可得 ，再由可得四边形是菱形；连接、过点A作于点H，证明四边形为菱形，根据菱形的性质可得，，，，利用勾股定理可得的长，进而可得长，利用菱形的面积公式计算出的长，然后可得的面积．
【详解】解：连接、过点A作于点H，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
的平分线交于点E
，
，
，
同理：，
，
，
∴四边形是平行四边形 ，
，
四边形是菱形，
∴，，，，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：48．
3.（1）解：四边形是菱形．理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
在中，，且点D是的中点，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，
，
在中，，
，
四边形是菱形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
．
4.（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、，
则四边形即为所作；
（2）证明：设，交于点，
根据作图可知：垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（3）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴菱形的面积为．
【题型7 菱形中的动点问题】
1.（1）解：∵四边形是菱形，
∴轴，，
∴轴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
即菱形的边长为5；
故答案为：5
（2）解：由（1）得：，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：①设M到直线的距离为h，
对于，
当时，，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
当点P在边上时，，此时，
∴；
当点P在边上时，，此时，
；
综上所述，与之间的函数关系式为；
②∵，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，t的值为1或．
2.（1）解：当四边形是平行四边形时，，
∴，
解得．
（2）解：若四边形是矩形，则：
，
∴，
解得：；
若四边形是正方形，则：
，
∴,
解得：，
设P点运动速度为，则由可得：
，
解得：，
∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是；
故答案为：7；4；
（3）解：如图，
若四边形是菱形，则，
∴，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
在中，
．
3.
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等；由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由直角三角形的特征， 当、、三点共线时，取得最小值，此时，的最小值为，即可求解；掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，找出取得最值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，过点M作于点E，连接，
∵四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
当、、三点共线时，取得最小值，
此时，
的最小值为，
，
，
，
的最小值为；
故答案：．
4.（1）证明：∵四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：设点运动秒，四边形是菱形，
四边形是菱形
，
，
，
，即，
，即，
点运动秒，四边形是菱形．
【考点3 矩形】
【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】
1.（1）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
设， 则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接交于点，如图：
设，则，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
设，
，
∴四边形的面积为．
2.（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴平行四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3.（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，，
∴四边形是平行四边形，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
4.（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【题型9 矩形中的折叠问题】
1.C
【分析】由翻折的规律证明四边形EFGH是矩形及AB＝2EM，再由矩形的性质结合已知条件求出EM的长度，即可求出AB的长度，由折叠性质证明AD+BC＝2HF，求得AD，最后由矩形的周长公式求得周长便可．
【详解】解：如图所示，
∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，
∴EA＝EM，BE＝EM，∠AEH＝∠HEM，∠BEF＝∠FEM，∠EMH＝∠A＝90°，
∴AB＝AE+EB＝2EM，
∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM＝180°，
∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM180°＝90°，
同理，∠EFG＝∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH＝3cm，EF＝4cm，
∴HF5（cm），
∵EM HF＝EH EF，
∴EM（cm），
∴AB＝2（cm），
由折叠知，AH＝HM，BF＝MF，DH＝HN，CF＝NF，
∴AH+DH+BF+CF＝HM+MF+HN+NF，
∴AD+BC＝2HF＝2×5＝10，
∵AD＝BC，
∴AD＝5，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（5）＝19.6（cm），
故选：C．
2.（1）证明：沿折叠点的对应点是点，
，
四边形为矩形，
，
，
，
；
（2）解：①四边形是矩形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
折叠，
，
，
四边形为菱形，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
；
②如图，若，在在上方，设，
，
，
，
过点作于点，则四边形为矩形，
，，
，
，
，
，（舍，
；
如图，设，
同理可得，
，（舍，
，
综上所述，的长为或4．
3.6或4
【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可．
【详解】解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°．
①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，
∴∠B′EC=90°，
由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°，
在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC，
∴BE=CE=BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2，
∴AE=AB=，BE==3，
∴BC=2BE=6；
②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O，
∵AD∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C，
∴∠OAC=∠ACO，
∴OA=OC，又AD=BC=B′C，
∴OD=OB′
∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°．
∵∠ADC=∠B=∠AB′C，
∴∠CDB′=∠AB′D=90°，
∴CD∥AB′，又CD =AB′，
∴四边形AB′DC是矩形，
∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=，
∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2，
解得：BC=4，
综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：6或4．
4.（1）如图．
由点可知，．
由沿翻折变成知，，
∴．
由点知，．
∴．
∴．
由得，，
设，则．
在中，
即：．
解得：．
∴的长．
（2）自点E作，垂足为点H．则四边形是矩形．
∴．
设，则．
在中，
∴
解得：．
∴点P的坐标为
【考点4 正方形】
【题型10 正方形性质的应用】
1.A
【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可.
【详解】解：∵在正方形内作等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A.
2.
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质．
过N点作于H点，过M点作于Q点，如图，根据正方形的性质得到，，根据基本作图得到平分，则利用角平分线的性质得到，在中利用等腰直角三角形的性质得到，所以，则，接着根据角平分线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，则，解得，所以，从而得到M点的坐标．
【详解】解：过N点作于H点，过M点作于Q点，如图，
∵四边形为正方形，
∴，，
由作法得平分，而，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴M点的坐标为．
故答案为：．
3.B
【分析】先证明每两个正方形公共顶点处内外两个三角形的面积相等，进而求解．
【详解】先证明每两个正方形公共顶点处内外两个三角形的面积相等：
如图，过点作于，过点作交延长线于，则，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
由上知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．
这条小路的面积为平方米．
故选：B
4.（1）证明：∵四边形是正方形，
，平分，
∵，
，
∴四边形是矩形，
，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，
，
∵，
，
∴．
【题型11 几种特殊平行四边形的综合】
1.（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：，
四边形是矩形，
∴，，
，
，分别是，中点，
，，
，
，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图1，连接，
由（1）得，，，
四边形是矩形，
，
①如图1，当四边形是矩形时，
，
，
，
；
②如图2，当四边形是矩形时，
，，
，
；
综上，四边形为矩形时或；
（3）解：如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于，
四边形为菱形，
，，，
，，
四边形为菱形，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
，即，
当时，四边形为菱形．
2.（1）证明：①∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②在矩形中，，
∵，
∴，
∴在中， ，
∴，
∴四边形的周长；
（2）①∵，
∴．
∵．
∴．
∴四边形是矩形．
要使四边形是正方形，必须．
∵
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当时，四边形是正方形；
②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
∴，
即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20．
3.（1）解：如图，∵四边形为矩形，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵动点的速度为每秒个单位长度，
∴（秒）．
（2）解：如图，四边形是矩形；
理由如下：由（1）可知，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（3）解：如图，点M在点N右侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
如图，点M在点N左侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴（秒），
综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒．
4.（1）解：∵，面积为60，
∴菱形的高为；
故答案为：6；
（2）证明：如图1，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：记中点为点O，
①如图中，当点在上时，作．则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图中，当点在上时，作．
同理，，，，
∴，
综上所述，长为或．
【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】
【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】
1.
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到，判定和是等腰直角三角形．由三角形中位线定理得到，判定，推出，得到是等腰直角三角形，同理：是等腰直角三角形，求出，，由勾股定理求出，得到，即可求出四边形的周长．
【详解】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
同理：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
四边形的周长．
故答案为：．
2.
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可．
【详解】解：连接，如下图，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴在中，，
∵分别是的中点，
∴．
故答案为：．
3.解：如图，延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
4.
【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示，
四边形是正方形，
，，，
，
E、F分别为边，的中点，
，．
G为的中点，
，
在和中，
，
．
，．
G为的中点，
H为的中点，
是的中位线．
．
在中，
，
．
．
故答案为：．
【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】
1.（1）证明：∵点是边的中点，点是边的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
2.证明：∵是的两条中线，
∴点D、E分别是边的中点，
又∵F、G分别是的中点，
，
且
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
3.（1）证明：如图1，连接，
四边形是平行四边形，
，．
，，分别是对角线上的四等分点，
，分别为，的中点，
是的中点，
为的中位线，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）证明：如图2，连接，，
四边形是平行四边形，，分别是，的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
4.（1）证明：连接．
∵点M，P分别是边的中点，
∴为的中位线，
∴．
同理可知．
又∵，
∴．
∵Q是的中点，
∴．
（2）解：是等腰三角形．理由如下：
∵点M，P分别是边的中点，
∴为的中位线，
∴，
同理可得，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴，即是等腰三角形．
【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】
1.（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
2.D
【分析】根据矩形的性质先证明是等腰直角三角形，求出，，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出，利用勾股定理求出，进而得到，根据是的中位线，即可求解．
【详解】解：四边形矩形，
∴，，
，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的中点，，
，
，
为的中点，，，
，
在中，，
，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
故选：D．
3.3
【分析】连接，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出是等腰三角形；再根据平行线的性质得出与相等，进而得到是等腰三角形，即可得出的长．
【详解】解：如图所示，连接，
设，，
在中，，，，
，
中，是的中点，
，
又，
，
，即，
，
又，
，
∴，
又∵，
∴，
，
又，
，
，即，
，
，
故答案为：3．
4.解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：
延长交于点，如图：
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）如图2，延长交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段上时，由（1）可知：，是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，由（2）可知：，
∴，
∴，
综上：或．
【考点1 平行四边形】
【题型1 由平行四边形的性质求值】
1.如图，在平行四边形中，，过的中点E作 于点 F，延长交的延长线于点 G，则的长为（ ）．
A． B． C．8 D．
2.如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ．
3.如图，在中，于E，于F，若，，，求的周长和面积．
4.如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ．
【题型2 由平行四边形的性质证明结论】
1.如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
2.如图，在中，点E，F分别在上，且，连接，交于点O．求证：．
3.如图，在中，连接，延长至点E，延长至点F，使，连接．求证：．
4.如图1，在平行四边形中，，垂足分别为E，F．
(1)求证：
(2)连接，与交于点O，求证：．
(3)若，求平行四边形的面积．
【题型3 平行四边形的判定】
1.四边形 中，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)E是上一点，连接，F在上，连接、，，，求证：；
2.在四边形中，对角线交于点O．
(1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形；
(3)如图3，若，求的最小值．
3.如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长．
4.如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】
1.如图在平面直角坐标系中，点的坐标分、．且满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，连接．
(1)求的值．
(2)点P是线段上的一个动点（不与重合），请找出之间的关系，并证明．
(3)点Q是线段上的动点，是否存在使四边形面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
2.如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，求的长．
3.【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接 ，以为边向右作等边，连接．
【初步发现】（1）求证：为等边三角形；
【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形；
【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积．
4.如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【考点2 菱形】
【题型5 菱形性质的应用】
1.如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若的周长为8．则菱形的面积为 ．
3.如图，菱形，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段的长度为
4.已知：如图，四边形是菱形，过的中点作的垂线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若菱形的周长是16，求的长．
【题型6 菱形性质与判定的综合应用】
1.如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点，
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的度数．
2.如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，，则的面积为 ．
3.如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E．
(1)判断四边形的形状并说明理由；
(2)过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长．
4.如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接．
(1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：四边形是菱形．
(3)在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积．
【题型7 菱形中的动点问题】
1.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接．
(1)菱形的边长为 ；
(2)求直线的解析式；
(3)动点从点出发，沿折线以1个单位长度/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒．
①求与之间的函数关系式；
②在点的运动过程中，当时，请直接写出的值．
2.如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当四边形是平行四边形时，求t的值；
(2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________；
(3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度．
3.如图，已知菱形的边长为8，点M是对角线上的一动点，且，则的最小值是 ．
4.如图，在矩形中，点F是上一点，且，，垂足为点E，．
(1)求证：；
(2)若，点P是上一动点，以的速度从点A运动到点D，问：点P运动多少秒四边形是菱形？请说明理由．
【考点3 矩形】
【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】
1.如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，．
(1)如图1，若，则的度数为______
(2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积．
2.如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数．
3.如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，于点E，求的度数．
4.如图1，四边形中，点E，点F在对角线上，，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接交于点O，连接，若平分，，，求的面积．
【题型9 矩形中的折叠问题】
1.如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，，，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm
2.如图1，在矩形中，点是上的点，沿折叠点的对应点是点，延长交直线于点．
(1)求证：；
(2)是上的点，；沿折叠点的对应点是点，且、、、在同一直线上．
①如图2，若M、N互相重合，求的值；
②若，求的长．（自己画草图）
3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为 时，△AB'D是直角三角形．
4.如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点．点，在边AB上任取一点D，将沿OD翻折，使点A落在边上，记为点E．
(1)的长=______，的长=________，的长=________，的长=________；
(2)设点P在x轴上，且，求点P的坐标．
【考点4 正方形】
【题型10 正方形性质的应用】
1.如图，在正方形内作等边三角形，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，正方形中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线，交于点D，作以下操作：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F两点；
②分别以E、F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线，交于点M，交于点N．
若点N的坐标为，则点M的坐标为 ．
3.园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是平方米，内圈的所有三角形的面积之和是平方米，这条小路一共占地（ ）平方米．
A． B． C． D．
4.如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若E是上一点，且，写出的度数．
【题型11 几种特殊平行四边形的综合】
1.在矩形中，，，分别是，中点，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
(1)当，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由．
(2)若四边形为矩形，t的值为 ；
(3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则t的值为 ．
2.如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作 ，交的延长线于点G．
(1)若，
①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长；
(2)如图2，于点M，于点N，探究：
①当为何值时，四边形是正方形；
②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在菱形中，，菱形的面积为60，点从点出发沿折线向终点运动．过点作点所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点，在的右侧作矩形．
(1)求菱形的高．
(2)如图1，点在上.求证：．
(3)若，当过中点时，求的长．
【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】
【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】
1.如图，在等腰中，，，分别是，的中点，连接，，，与相交于点．若，，则四边形的周长为 ．
2.如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ．
3.如图，中，，，点是的中点，若平分，求线段的值．
4.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为
【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】
1.【问题背景】
如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接．
【初步探究】
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
【拓展延伸】
（2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【变式13-1】（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分
2.已知：如图，在平行四边形中，G，H分别是，的中点，E，O，F分别是对角线上的四等分点，顺次连接G，E，H，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：当平行四边形满足时，四边形是菱形．
3.如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，点M、P、N分别是边的中点，连接，交于点E，交于点F，Q是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】
1.如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接．
(1)求证：；
(2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
2.如图，矩形中，点在边上，平分，，分别是，的中点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
3.如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ．
4.【问题背景】
已知，在正方形中，为正方形的对角线，为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接．
【猜想感知】
（1）如图①，当点在线段上时，判断的形状，并说明理由；
【类比探讨】
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系；
【问题解决】
（3）若，求线段的长．
参考答案
【考点1 平行四边形】
【题型1 由平行四边形的性质求值】
1.B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键．
由平行四边形的性质可得，进而得到；再根据中点的定义可得；然后说明，易得；再运用勾股定理求得，最后再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵E是的中点,
∴,
∵,
∴,
∴，
，
∴，
．
故选 B．
2.
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是关键；设；由等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，由平行四边形的性质及已知，，则有，则，再由平行线性质即可求解．
【详解】解：设；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即，
∴，
即．
故答案为：．
3.解：，，
，，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
，，
，
的周长是：（），
面积是： （）．
4.36
【分析】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质．
由四边形是平行四边形，可得，又由，可得，然后由的周长为18，求得平行四边形的周长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∵的周长为18，
∴，
∴平行四边形的周长是：．
故答案为：36．
【题型2 由平行四边形的性质证明结论】
1.（1）解：四边形是平行四边形，，
，
又平分，
又四边形是平行四边形，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
∴，
又平分，平分，
，，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
在和中
，
，
．
2.证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
．
3.解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
4.（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
平行四边形是菱形，
；
（3）解：平行四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
．
【题型3 平行四边形的判定】
1.（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：分别作于点G，于点H，则，
∵，，，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
2.（1）证明∶，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形，
，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
（3）解∶如图，过点D作，连接
四边形是平行四边形，
．
又，
，
，
．
，
的最小值是13．
3.（1）证明：是等边的边上的高，
，，
，
，
，
，
为等边三角形三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：．
4.（1）
证明：延长交于点G，
∵，平分，
∴，，
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵D、E分别是的中点，
∴,
∵，
∴，
∴．
【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】
1.（1）解：∵，
∴，，
∴，；
（2），理由如下：
如图所示，过点P作，
∵
则，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，点Q的坐标为，理由如下：
由（1）可知，点的坐标分、．
∴，
∵线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，
∴点R的坐标为，点S的坐标为，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
作于点H，则
∵点Q是线段上的动点，
∴当点运动到点R时，取得最大值，即最大值为的长度，即，
此时，即的最大值为，
∵四边形的面积，
∴四边形的面积最大值为，
此时点Q的坐标为．
2.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E、F分别是边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
3.证明：（1）∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）由（）可知，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）如图，过作于，
则，
由（）可知，，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
4.（1）证明：∵G，H分别是的三等分点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）由（1）知，且，
四边形为平行四边形，
，
，
过点E作于点M，
，
，
，
，
又G，H分别是的三等分点，
【考点2 菱形】
【题型5 菱形性质的应用】
1.B
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．
根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选B．
2.32
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和求出是解此题的关键
根据菱形的性质得出，，，根据角平分线的性质得出，求出，设，则，根据的周长为8得出，求出，求出，， x，求出，求出，再求出菱形的面积即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
设，则，
∵的周长为8，
∴，
解得： ，
即，，
∴，
即， ，
∴，
∴菱形的面积
故答案为：．
3.2
【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等积法，熟练掌握菱形的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
由四边形是菱形，可得，在中，由勾股定理得：，由等积法可得，在中，由勾股定理得：，，可得
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
在中，
由勾股定理得：，
∵，
∴
故答案为：2．
4.（1）证明：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴， ，
∵，
∴ ，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵E是中点，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解： 菱形的周长是16，
．
∵为的中点，
∴，
∵，
；
【题型6 菱形性质与判定的综合应用】
1.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∵垂直平分，
在和中，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知， 四边形是菱形，
2.48
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明 ，从而可得，同理可得 ，再由可得四边形是菱形；连接、过点A作于点H，证明四边形为菱形，根据菱形的性质可得，，，，利用勾股定理可得的长，进而可得长，利用菱形的面积公式计算出的长，然后可得的面积．
【详解】解：连接、过点A作于点H，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
的平分线交于点E
，
，
，
同理：，
，
，
∴四边形是平行四边形 ，
，
四边形是菱形，
∴，，，，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：48．
3.（1）解：四边形是菱形．理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
在中，，且点D是的中点，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，
，
在中，，
，
四边形是菱形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
．
4.（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、，
则四边形即为所作；
（2）证明：设，交于点，
根据作图可知：垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（3）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴菱形的面积为．
【题型7 菱形中的动点问题】
1.（1）解：∵四边形是菱形，
∴轴，，
∴轴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
即菱形的边长为5；
故答案为：5
（2）解：由（1）得：，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：①设M到直线的距离为h，
对于，
当时，，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
当点P在边上时，，此时，
∴；
当点P在边上时，，此时，
；
综上所述，与之间的函数关系式为；
②∵，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，t的值为1或．
2.（1）解：当四边形是平行四边形时，，
∴，
解得．
（2）解：若四边形是矩形，则：
，
∴，
解得：；
若四边形是正方形，则：
，
∴,
解得：，
设P点运动速度为，则由可得：
，
解得：，
∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是；
故答案为：7；4；
（3）解：如图，
若四边形是菱形，则，
∴，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
在中，
．
3.
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等；由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由直角三角形的特征， 当、、三点共线时，取得最小值，此时，的最小值为，即可求解；掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，找出取得最值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，过点M作于点E，连接，
∵四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
当、、三点共线时，取得最小值，
此时，
的最小值为，
，
，
，
的最小值为；
故答案：．
4.（1）证明：∵四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：设点运动秒，四边形是菱形，
四边形是菱形
，
，
，
，即，
，即，
点运动秒，四边形是菱形．
【考点3 矩形】
【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】
1.（1）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
设， 则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接交于点，如图：
设，则，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
设，
，
∴四边形的面积为．
2.（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴平行四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3.（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，，
∴四边形是平行四边形，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
4.（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【题型9 矩形中的折叠问题】
1.C
【分析】由翻折的规律证明四边形EFGH是矩形及AB＝2EM，再由矩形的性质结合已知条件求出EM的长度，即可求出AB的长度，由折叠性质证明AD+BC＝2HF，求得AD，最后由矩形的周长公式求得周长便可．
【详解】解：如图所示，
∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，
∴EA＝EM，BE＝EM，∠AEH＝∠HEM，∠BEF＝∠FEM，∠EMH＝∠A＝90°，
∴AB＝AE+EB＝2EM，
∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM＝180°，
∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM180°＝90°，
同理，∠EFG＝∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH＝3cm，EF＝4cm，
∴HF5（cm），
∵EM HF＝EH EF，
∴EM（cm），
∴AB＝2（cm），
由折叠知，AH＝HM，BF＝MF，DH＝HN，CF＝NF，
∴AH+DH+BF+CF＝HM+MF+HN+NF，
∴AD+BC＝2HF＝2×5＝10，
∵AD＝BC，
∴AD＝5，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（5）＝19.6（cm），
故选：C．
2.（1）证明：沿折叠点的对应点是点，
，
四边形为矩形，
，
，
，
；
（2）解：①四边形是矩形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
折叠，
，
，
四边形为菱形，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
；
②如图，若，在在上方，设，
，
，
，
过点作于点，则四边形为矩形，
，，
，
，
，
，（舍，
；
如图，设，
同理可得，
，（舍，
，
综上所述，的长为或4．
3.6或4
【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可．
【详解】解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°．
①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，
∴∠B′EC=90°，
由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°，
在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC，
∴BE=CE=BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2，
∴AE=AB=，BE==3，
∴BC=2BE=6；
②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O，
∵AD∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C，
∴∠OAC=∠ACO，
∴OA=OC，又AD=BC=B′C，
∴OD=OB′
∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°．
∵∠ADC=∠B=∠AB′C，
∴∠CDB′=∠AB′D=90°，
∴CD∥AB′，又CD =AB′，
∴四边形AB′DC是矩形，
∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=，
∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2，
解得：BC=4，
综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：6或4．
4.（1）如图．
由点可知，．
由沿翻折变成知，，
∴．
由点知，．
∴．
∴．
由得，，
设，则．
在中，
即：．
解得：．
∴的长．
（2）自点E作，垂足为点H．则四边形是矩形．
∴．
设，则．
在中，
∴
解得：．
∴点P的坐标为
【考点4 正方形】
【题型10 正方形性质的应用】
1.A
【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可.
【详解】解：∵在正方形内作等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A.
2.
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质．
过N点作于H点，过M点作于Q点，如图，根据正方形的性质得到，，根据基本作图得到平分，则利用角平分线的性质得到，在中利用等腰直角三角形的性质得到，所以，则，接着根据角平分线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，则，解得，所以，从而得到M点的坐标．
【详解】解：过N点作于H点，过M点作于Q点，如图，
∵四边形为正方形，
∴，，
由作法得平分，而，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴M点的坐标为．
故答案为：．
3.B
【分析】先证明每两个正方形公共顶点处内外两个三角形的面积相等，进而求解．
【详解】先证明每两个正方形公共顶点处内外两个三角形的面积相等：
如图，过点作于，过点作交延长线于，则，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
由上知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．
这条小路的面积为平方米．
故选：B
4.（1）证明：∵四边形是正方形，
，平分，
∵，
，
∴四边形是矩形，
，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，
，
∵，
，
∴．
【题型11 几种特殊平行四边形的综合】
1.（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：，
四边形是矩形，
∴，，
，
，分别是，中点，
，，
，
，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图1，连接，
由（1）得，，，
四边形是矩形，
，
①如图1，当四边形是矩形时，
，
，
，
；
②如图2，当四边形是矩形时，
，，
，
；
综上，四边形为矩形时或；
（3）解：如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于，
四边形为菱形，
，，，
，，
四边形为菱形，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
，即，
当时，四边形为菱形．
2.（1）证明：①∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②在矩形中，，
∵，
∴，
∴在中， ，
∴，
∴四边形的周长；
（2）①∵，
∴．
∵．
∴．
∴四边形是矩形．
要使四边形是正方形，必须．
∵
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当时，四边形是正方形；
②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
∴，
即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20．
3.（1）解：如图，∵四边形为矩形，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵动点的速度为每秒个单位长度，
∴（秒）．
（2）解：如图，四边形是矩形；
理由如下：由（1）可知，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（3）解：如图，点M在点N右侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
如图，点M在点N左侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴（秒），
综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒．
4.（1）解：∵，面积为60，
∴菱形的高为；
故答案为：6；
（2）证明：如图1，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：记中点为点O，
①如图中，当点在上时，作．则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图中，当点在上时，作．
同理，，，，
∴，
综上所述，长为或．
【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】
【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】
1.
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到，判定和是等腰直角三角形．由三角形中位线定理得到，判定，推出，得到是等腰直角三角形，同理：是等腰直角三角形，求出，，由勾股定理求出，得到，即可求出四边形的周长．
【详解】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
同理：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
四边形的周长．
故答案为：．
2.
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可．
【详解】解：连接，如下图，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴在中，，
∵分别是的中点，
∴．
故答案为：．
3.解：如图，延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
4.
【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示，
四边形是正方形，
，，，
，
E、F分别为边，的中点，
，．
G为的中点，
，
在和中，
，
．
，．
G为的中点，
H为的中点，
是的中位线．
．
在中，
，
．
．
故答案为：．
【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】
1.（1）证明：∵点是边的中点，点是边的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
2.证明：∵是的两条中线，
∴点D、E分别是边的中点，
又∵F、G分别是的中点，
，
且
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
3.（1）证明：如图1，连接，
四边形是平行四边形，
，．
，，分别是对角线上的四等分点，
，分别为，的中点，
是的中点，
为的中位线，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）证明：如图2，连接，，
四边形是平行四边形，，分别是，的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
4.（1）证明：连接．
∵点M，P分别是边的中点，
∴为的中位线，
∴．
同理可知．
又∵，
∴．
∵Q是的中点，
∴．
（2）解：是等腰三角形．理由如下：
∵点M，P分别是边的中点，
∴为的中位线，
∴，
同理可得，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴，即是等腰三角形．
【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】
1.（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
2.D
【分析】根据矩形的性质先证明是等腰直角三角形，求出，，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出，利用勾股定理求出，进而得到，根据是的中位线，即可求解．
【详解】解：四边形矩形，
∴，，
，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的中点，，
，
，
为的中点，，，
，
在中，，
，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
故选：D．
3.3
【分析】连接，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出是等腰三角形；再根据平行线的性质得出与相等，进而得到是等腰三角形，即可得出的长．
【详解】解：如图所示，连接，
设，，
在中，，，，
，
中，是的中点，
，
又，
，
，即，
，
又，
，
∴，
又∵，
∴，
，
又，
，
，即，
，
，
故答案为：3．
4.解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：
延长交于点，如图：
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）如图2，延长交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段上时，由（1）可知：，是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，由（2）可知：，
∴，
∴，
综上：或．