人教版八年级数学下册试题第18章平行四边形综合测试卷（含详解）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册试题第18章平行四边形综合测试卷（含详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-30 08:45:17 | ||
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文档简介
第18章《 平行四边形》综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为等腰，，，，在一条直线上，且四边形为矩形，若，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（ ）
A． B．4 C． D．
4．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知点P是菱形的对角线延长线一点，过点P分别作、延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．如图，在中，，．点C关于的对称点为E，连接交于点F，点G为的中点，连接，，则＝（ ）
A． B． C．16 D．32
9．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在矩形中，，，在平面内有一点，，过点作，且，连接、、，点是线段的中点，连接，则线段长度范围是 ．
12．如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ．
13．如图，矩形中，，，E是上一点，将沿折叠得到，，垂足为H，若，则 ．
14．如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 ．
15．如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．
16．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴相交于点，与轴相交于点，为直线上一点，四边形是平行四边形，且，．
(1)求直线的函数解析式；
(2)点从点出发，沿路线以每秒3个单位的速度匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动时间为秒，在运动过程中是否存在点使的面积为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．（6分）（1）如图1， 在中，与相交于点， 过点的直线交于点， 交于点， 则与的数量关系是 ；
（2）在中，，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下的作图(保留作图痕迹)．
①如图2， 点在边上， 且， 作的平分线；
②如图3， 点，分别在边，上，且，连接，过点作的垂线．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、．
(1)分别求出线段和线段所在直线解析式；
(2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，
①当点移动到的边上时，求点坐标；
②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标．
20．（8分）已知：如图，在四边形和中，，．点P是边上一点，且，M是延长线上一点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图1，若，求证：；
(3)如图2，连接，若，求的长．
21．（10分）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，．
【问题发现】
（1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____；
【问题探究】
（2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）；
【问题解决】
（3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置．
22．（10分）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①．
(1)写出点C的坐标；
(2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标；
(3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（12分）综合与实践
问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
解决问题：
（1）四边形是（ ）
A． 平行四边形 B． 矩形 C． 正方形
（2）若，，则四边形的面积为 ；
深入探究：
（3）将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．
①如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段交于点．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线直线交于点．若，，则线段的长度为 ．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形．
(1)当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标（用m表示）；
(2)当时，如图2，P为上一点，连接，过点P作，过A作，与交于点M，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，连交于点N，求的值．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2．A
【分析】延长至，使，连接，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，推得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，推得，设，根据矩形的对边相等可得，求得，根据直角三角形两锐角互余得出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可列出方程，解方程求出的值，即可求解．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
设，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
则,
解得：，
∴，
∴．
故选：A．
3．C
【分析】分点位于边上、位于边上、位于边上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：当点位于边上时，如图所示：
菱形中，，，
，，
；
当点位于边上时，如图所示：
菱形中，，，
是等边三角形，
过点作于点，
，
由勾股定理得，
，
点与点重合，
；
当点位于边上时，
，，，
，
，
由勾股定理得．
综上，的长为或4或．
故选：C．
4．A
【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果．
【详解】解：如图，取中点，
在正方形中，，
又∵，
∴，
∴，
，
当时，
则，
，，
四边形是正方形，
，即点G与点H重合，
，
；
点是与的交点，是定线段，，
点G在线段上运动，
在整个运动过程中，
当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值，
当时，点G与点H重合，有最小值，
当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值，
点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，
点经过的路径长是，
点经过的路径长是，
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，连接，依题意得，证明和全等得，，进而可证明，根据三角形的面积公式求出，则，再由勾股定理得，继而得，，然后根据即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是正方形，边长为，
，，
点分别是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，，
，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，求出、将转换为是解题的关键．
如图：连接交于O，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再由，，则即可解答．
【详解】解：如图：连接交于O，
∵四边形是菱形，，，
∴ AD∥BC,AB∥CD ，，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
故选C．
7．C
【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键．
作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ．
【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，
则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵菱形中，，且，
∴，
∴，
∴，
∴当点E在线段上时，取得最小值17．
故选：C．
8．B
【分析】如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．构建计算即可
【详解】解：如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
．
故选B．
9．A
【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x，，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE=，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,
故选A．
10．C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等，构造全等三角形是解题的关键．由四边形是正方形得， ，，再将绕点逆时针旋转得到，在上取一点，使，根据旋转的性质及证明 ，然后根据全等三角形的性质判断①②③；再证明 ，可得，，，然后说明 ，最后根据全等三角形的面积相等判断④即可．
【详解】∵四边形是正方形，
∴， ，．
将绕点逆时针旋转得到，则共线，在上取一点，使．
根据旋转的性质可知，，．
∵，，
∴，
∴，
即．
∵，，
∴ ，
∴，
∴的周长 ．
故①②③正确；
∵，，，
∴ ，
∴．
∵，，，
∴ ，
∴，
∴．
所以④不正确．
正确的有①②③．
故选：C．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，利用三角形的中位线定理构造辅助线是解题关键．取的中点，连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，再根据勾股定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的三边关系即可得．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
又∵点是线段的中点，点为的中点，
∴，
由三角形的三边关系得：（当且仅当点共线时，等号成立），
∴，即，
故答案为：．
12．
【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解．
【详解】由折叠的性质可知：，
在中，P为的中点
，
由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图：
当时，最短，如下图：
设，则，
在中，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
．
13．或
【分析】分两种情况讨论：当点在上方时，过点作，交于点，交于点，由矩形的性质可得，，，由平行公理的推论可得，由两直线平行同旁内角互补可得，，可证得四边形是矩形，于是可得，可证得四边形是矩形，于是可得，由邻补角互补可得，，进而可证得四边形是矩形，于是可得，，由折叠的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，则，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当点在下方时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，推导过程与完全相同，同理可得的长；综上，可得答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
当点在上方时，
如图，过点作，交于点，交于点，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可得：
，，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理可得：
，
即：，
解得：，
；
当点在下方时，
如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，
推导过程与完全相同，
同理可得：；
综上，或，
故答案为：或．
14．
【分析】过作于点，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，又四边形是正方形，可得，，通过同角的余角相等得，即可证明，根据性质得，过作交于点，设与交于点，再证明，则，由勾股定理得出，最后代入即可求解．
【详解】解：如图，过作于点，过作于点，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过作交于点，
∴，
∴，
∴，
设与交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，长方形的性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键．
首先利用证明，从而得；然后根据平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，证明；作于点，于点，则有四边形是长方形；最后根据勾股定理列出关于、的二元一次方程组求解即可．
【详解】如图，连结，
四边形是平行四边形，
，，，．
，
，
，
，
，
又 ，
．
．
平分，
，
，
．
作于点，于点，
则有四边形是长方形，
．
设，，则，．
在中，
①；
在中，
②；
联立①②，解得．
则．
故线段的长为4．
16．或
【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理．分两种情况讨论，作于，延长交于，交于，连接，利用直角三角形性质和勾股定理求得，和的长，在中，求得，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作于，延长交于，交于，连接，
∵在菱形中，，，
∴，，，，
由旋转的性质得，，，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴三点共线，
在中，，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
如图，
同理，，，
，
∴；
综上，的长度为或．
故答案为：或．
三．解答题
17．（1）∵，
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，
则，解得，
∴直线的函数解析式为；
（2）∵四边形是平行四边形，，，
∴，轴，
∴四边形是菱形，，
∵，
∴，
∴，
当点M在BC上， ，
若存在，则，
即，解得：，
∴,
∴；
当点M在上， ，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，解得，
∴，
此时，点M为的中点，
∵，
∴；
综上，存在点M，使的面积为，点的坐标为或．
18．解：（1），理由如下：
四边形是平行四边形
，
在和中
故答案为：
（2）连接，
又
平分
故如图所示，即为所求：
（3）连接、、、，、交于点， 连接延长交与点，连接，
四边形是平行四边形
，
，
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形
在和中
四边形为平行四边形
故如图所示，即为所求，
19．（1）解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∵点为中点，
∴，
设所在直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的解析式为；
设所在直线解析式为，
把点，代入的：
，解得：，
∴所在直线解析式为．
（2）解：∵所在直线的解析式为，点横坐标为，
∴点，
设点，
∵点和点关于点的中心对称点，
∴，
整理得：，
∴；
（3）解：①当点在上时，
∵点在上，
∴，解得，
∴；
当点在上时，
∵，且在上，
∴，解得：，
∴；
综上：或；
②∵，，
∴，
∵为中点，为中点，
∴，
过点作轴于点，
∵，，
∴，
∴，则，
过点作于点，过点作于点，
∵点是点关于点的中心对称点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
延长，过点作于点，
∵点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴设，
在中，根据勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
过点作，
∵，，，
∴，
则点在直线上运动，
作点关于直线的对称点，
根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得，
当点，，在同一条直线上时，，此时周长取最小值，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为；
∵，，，为中点，为中点，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，则点是中点，
∴，
过点作于点，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，即点为中点，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴
20．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长到点N，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
由（1）可得，四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，（舍去），
∴的长为．
21．解：（1）如图1，四边形是正方形，
，，
在与中，
，
，
，
故答案为．
（2）解：如图2，过作于N，于M，
，
，
，
，
，．
，
（3）解：如图3，过作，，则，，
，
，
，
，
，，
，解得米，
米，
当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分．
22．（1）解：四边形是平行四边形，
，
、，
；
（2）解：如图②，设所在的直线的解析式为，
直线经过点、，
，
解得：
所在直线的解析式为，
由于直线过原点，
设直线的表达式为，
将点代入，得，
解得：，
直线的表达式为，
联立方程
解得：，
即的坐标是；
（3）解：存在这样的、，使得四边形是矩形．
分别过点、作于点，于点，过、分别作轴的垂线和的垂线，垂足分别为、，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，且与平行四边形面积相等，
平行四边形的面积为，
矩形的面积为12，即，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为．
23．解：（1），
，
四边形为菱形，
∴，
∴，
，
∴，
四边形为矩形，
故选：B．
（2）∵，，，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴面积为：，
故答案为：；
（3）①．理由如下：
∵四边形为菱形，
，
旋转得到，
，
，
，
，
，
，
．
②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由旋转知：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴；
当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示：
由旋转知：，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，，
∵，
∴ 四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
综上，的长度为1或7，
故答案为：1或7．
24．（1）如图1中，作轴于E．
，
，，
，
，
，
，，
．
（2）如图，在上取点Q，使，连接，
正方形为对角线，
，，，
，
，
①，，
，
，
，
，
，
，
，②
由①②知：，
，
．
（3）如图，过M作交于F．
正方形，
，
∴
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
．
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为等腰，，，，在一条直线上，且四边形为矩形，若，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（ ）
A． B．4 C． D．
4．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知点P是菱形的对角线延长线一点，过点P分别作、延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．如图，在中，，．点C关于的对称点为E，连接交于点F，点G为的中点，连接，，则＝（ ）
A． B． C．16 D．32
9．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在矩形中，，，在平面内有一点，，过点作，且，连接、、，点是线段的中点，连接，则线段长度范围是 ．
12．如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ．
13．如图，矩形中，，，E是上一点，将沿折叠得到，，垂足为H，若，则 ．
14．如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 ．
15．如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．
16．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴相交于点，与轴相交于点，为直线上一点，四边形是平行四边形，且，．
(1)求直线的函数解析式；
(2)点从点出发，沿路线以每秒3个单位的速度匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动时间为秒，在运动过程中是否存在点使的面积为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．（6分）（1）如图1， 在中，与相交于点， 过点的直线交于点， 交于点， 则与的数量关系是 ；
（2）在中，，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下的作图(保留作图痕迹)．
①如图2， 点在边上， 且， 作的平分线；
②如图3， 点，分别在边，上，且，连接，过点作的垂线．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、．
(1)分别求出线段和线段所在直线解析式；
(2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，
①当点移动到的边上时，求点坐标；
②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标．
20．（8分）已知：如图，在四边形和中，，．点P是边上一点，且，M是延长线上一点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图1，若，求证：；
(3)如图2，连接，若，求的长．
21．（10分）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，．
【问题发现】
（1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____；
【问题探究】
（2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）；
【问题解决】
（3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置．
22．（10分）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①．
(1)写出点C的坐标；
(2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标；
(3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（12分）综合与实践
问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
解决问题：
（1）四边形是（ ）
A． 平行四边形 B． 矩形 C． 正方形
（2）若，，则四边形的面积为 ；
深入探究：
（3）将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．
①如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段交于点．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线直线交于点．若，，则线段的长度为 ．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形．
(1)当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标（用m表示）；
(2)当时，如图2，P为上一点，连接，过点P作，过A作，与交于点M，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，连交于点N，求的值．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2．A
【分析】延长至，使，连接，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，推得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，推得，设，根据矩形的对边相等可得，求得，根据直角三角形两锐角互余得出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可列出方程，解方程求出的值，即可求解．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
设，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
则,
解得：，
∴，
∴．
故选：A．
3．C
【分析】分点位于边上、位于边上、位于边上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：当点位于边上时，如图所示：
菱形中，，，
，，
；
当点位于边上时，如图所示：
菱形中，，，
是等边三角形，
过点作于点，
，
由勾股定理得，
，
点与点重合，
；
当点位于边上时，
，，，
，
，
由勾股定理得．
综上，的长为或4或．
故选：C．
4．A
【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果．
【详解】解：如图，取中点，
在正方形中，，
又∵，
∴，
∴，
，
当时，
则，
，，
四边形是正方形，
，即点G与点H重合，
，
；
点是与的交点，是定线段，，
点G在线段上运动，
在整个运动过程中，
当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值，
当时，点G与点H重合，有最小值，
当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值，
点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，
点经过的路径长是，
点经过的路径长是，
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，连接，依题意得，证明和全等得，，进而可证明，根据三角形的面积公式求出，则，再由勾股定理得，继而得，，然后根据即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是正方形，边长为，
，，
点分别是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，，
，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，求出、将转换为是解题的关键．
如图：连接交于O，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再由，，则即可解答．
【详解】解：如图：连接交于O，
∵四边形是菱形，，，
∴ AD∥BC,AB∥CD ，，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
故选C．
7．C
【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键．
作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ．
【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，
则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵菱形中，，且，
∴，
∴，
∴，
∴当点E在线段上时，取得最小值17．
故选：C．
8．B
【分析】如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．构建计算即可
【详解】解：如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
．
故选B．
9．A
【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x，，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE=，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,
故选A．
10．C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等，构造全等三角形是解题的关键．由四边形是正方形得， ，，再将绕点逆时针旋转得到，在上取一点，使，根据旋转的性质及证明 ，然后根据全等三角形的性质判断①②③；再证明 ，可得，，，然后说明 ，最后根据全等三角形的面积相等判断④即可．
【详解】∵四边形是正方形，
∴， ，．
将绕点逆时针旋转得到，则共线，在上取一点，使．
根据旋转的性质可知，，．
∵，，
∴，
∴，
即．
∵，，
∴ ，
∴，
∴的周长 ．
故①②③正确；
∵，，，
∴ ，
∴．
∵，，，
∴ ，
∴，
∴．
所以④不正确．
正确的有①②③．
故选：C．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，利用三角形的中位线定理构造辅助线是解题关键．取的中点，连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，再根据勾股定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的三边关系即可得．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
又∵点是线段的中点，点为的中点，
∴，
由三角形的三边关系得：（当且仅当点共线时，等号成立），
∴，即，
故答案为：．
12．
【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解．
【详解】由折叠的性质可知：，
在中，P为的中点
，
由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图：
当时，最短，如下图：
设，则，
在中，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
．
13．或
【分析】分两种情况讨论：当点在上方时，过点作，交于点，交于点，由矩形的性质可得，，，由平行公理的推论可得，由两直线平行同旁内角互补可得，，可证得四边形是矩形，于是可得，可证得四边形是矩形，于是可得，由邻补角互补可得，，进而可证得四边形是矩形，于是可得，，由折叠的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，则，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当点在下方时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，推导过程与完全相同，同理可得的长；综上，可得答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
当点在上方时，
如图，过点作，交于点，交于点，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可得：
，，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理可得：
，
即：，
解得：，
；
当点在下方时，
如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，
推导过程与完全相同，
同理可得：；
综上，或，
故答案为：或．
14．
【分析】过作于点，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，又四边形是正方形，可得，，通过同角的余角相等得，即可证明，根据性质得，过作交于点，设与交于点，再证明，则，由勾股定理得出，最后代入即可求解．
【详解】解：如图，过作于点，过作于点，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过作交于点，
∴，
∴，
∴，
设与交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，长方形的性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键．
首先利用证明，从而得；然后根据平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，证明；作于点，于点，则有四边形是长方形；最后根据勾股定理列出关于、的二元一次方程组求解即可．
【详解】如图，连结，
四边形是平行四边形，
，，，．
，
，
，
，
，
又 ，
．
．
平分，
，
，
．
作于点，于点，
则有四边形是长方形，
．
设，，则，．
在中，
①；
在中，
②；
联立①②，解得．
则．
故线段的长为4．
16．或
【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理．分两种情况讨论，作于，延长交于，交于，连接，利用直角三角形性质和勾股定理求得，和的长，在中，求得，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作于，延长交于，交于，连接，
∵在菱形中，，，
∴，，，，
由旋转的性质得，，，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴三点共线，
在中，，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
如图，
同理，，，
，
∴；
综上，的长度为或．
故答案为：或．
三．解答题
17．（1）∵，
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，
则，解得，
∴直线的函数解析式为；
（2）∵四边形是平行四边形，，，
∴，轴，
∴四边形是菱形，，
∵，
∴，
∴，
当点M在BC上， ，
若存在，则，
即，解得：，
∴,
∴；
当点M在上， ，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，解得，
∴，
此时，点M为的中点，
∵，
∴；
综上，存在点M，使的面积为，点的坐标为或．
18．解：（1），理由如下：
四边形是平行四边形
，
在和中
故答案为：
（2）连接，
又
平分
故如图所示，即为所求：
（3）连接、、、，、交于点， 连接延长交与点，连接，
四边形是平行四边形
，
，
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形
在和中
四边形为平行四边形
故如图所示，即为所求，
19．（1）解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∵点为中点，
∴，
设所在直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的解析式为；
设所在直线解析式为，
把点，代入的：
，解得：，
∴所在直线解析式为．
（2）解：∵所在直线的解析式为，点横坐标为，
∴点，
设点，
∵点和点关于点的中心对称点，
∴，
整理得：，
∴；
（3）解：①当点在上时，
∵点在上，
∴，解得，
∴；
当点在上时，
∵，且在上，
∴，解得：，
∴；
综上：或；
②∵，，
∴，
∵为中点，为中点，
∴，
过点作轴于点，
∵，，
∴，
∴，则，
过点作于点，过点作于点，
∵点是点关于点的中心对称点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
延长，过点作于点，
∵点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴设，
在中，根据勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
过点作，
∵，，，
∴，
则点在直线上运动，
作点关于直线的对称点，
根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得，
当点，，在同一条直线上时，，此时周长取最小值，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为；
∵，，，为中点，为中点，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，则点是中点，
∴，
过点作于点，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，即点为中点，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴
20．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长到点N，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
由（1）可得，四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，（舍去），
∴的长为．
21．解：（1）如图1，四边形是正方形，
，，
在与中，
，
，
，
故答案为．
（2）解：如图2，过作于N，于M，
，
，
，
，
，．
，
（3）解：如图3，过作，，则，，
，
，
，
，
，，
，解得米，
米，
当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分．
22．（1）解：四边形是平行四边形，
，
、，
；
（2）解：如图②，设所在的直线的解析式为，
直线经过点、，
，
解得：
所在直线的解析式为，
由于直线过原点，
设直线的表达式为，
将点代入，得，
解得：，
直线的表达式为，
联立方程
解得：，
即的坐标是；
（3）解：存在这样的、，使得四边形是矩形．
分别过点、作于点，于点，过、分别作轴的垂线和的垂线，垂足分别为、，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，且与平行四边形面积相等，
平行四边形的面积为，
矩形的面积为12，即，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为．
23．解：（1），
，
四边形为菱形，
∴，
∴，
，
∴，
四边形为矩形，
故选：B．
（2）∵，，，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴面积为：，
故答案为：；
（3）①．理由如下：
∵四边形为菱形，
，
旋转得到，
，
，
，
，
，
，
．
②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由旋转知：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴；
当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示：
由旋转知：，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，，
∵，
∴ 四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
综上，的长度为1或7，
故答案为：1或7．
24．（1）如图1中，作轴于E．
，
，，
，
，
，
，，
．
（2）如图，在上取点Q，使，连接，
正方形为对角线，
，，，
，
，
①，，
，
，
，
，
，
，
，②
由①②知：，
，
．
（3）如图，过M作交于F．
正方形，
，
∴
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
．