人教版七年级数学下册第10章二元一次方程组综合测试卷（含详解）

第10章 《二元一次方程组》综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和
则写有最大数卡片的编号是( )
A．② B．③ C．④ D．⑤
3．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．方程的整数解的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知方程组（xyz≠0），则x：y：z等于（ ）
A．2：1：3 B．3：2：1 C．1：2：3 D．3：1：2
6．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　）公里．
A．4000 B．3750 C．4250 D．3250
7．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（ ）．
A．不论k取什么实数，的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当时，
D．当，方程组的解也是方程的解
8．用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
9．规定”△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac+bd，ad+bc)．如果对任意实数a，b都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为( )
A．(0，1) B．(1，0) C．(﹣1，0) D．(0，﹣1)
10．某学校为了增强学生体质，决定让各班去购买跳绳和毽子作为活动器械．七年1班生活委员小亮去购买了跳绳和毽子共5件，已知两种活动器械的单价均为正整数且跳绳的单价比毽子的单价高．在付款时，小亮问是不是30元，但收银员却说一共45元，小亮仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了，则小亮实际购买情况是（ ）
A．1根跳绳，4个毽子 B．3根跳绳，2个毽子
C．2根跳绳，3个毽子 D．4根跳绳，1个毽子
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是 ．
12．甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程（1）中的，得到方程组的解为；乙看错了方程（2）中的，得到方程组的解为；计算 ．
13．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%，则甲种粗粮中每袋成本价为 元；若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 ．
14．已知对任意关于的二元一次方程只有一组公共解，求这个方程的公共解 ．
15．如图，长方形被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为2，其它正方形的边长分别为a，b，c，d，则大长方形的面积为 ．
16．一个棱长为的立方体，把它切成个小立方体，小立方体的大小不必都相同，但棱长必须是整数，则棱长为的小立方体的个数为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知关于，的方程组（是常数）．
(1)当时，则方程组可化为．
①请直接写出方程的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程，求的值．
(2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值．
18．（6分）规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”.
(1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____．
(2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数．
19．（8分）一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知满足，我们把青蛙从开始，经次跳动的位置依次记作．
(1)写出一个，使其，且；
(2)若，求的值；
(3)对于整数，如果存在一个能同时满足如下两个条件：
①；
② ．
求证：．
20．（8分）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别、，且满足，O为原点；在A、B两点处各放一个档板，M、N两个小球同时从数轴上的C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴的负方向运动，N以每秒4个单位的速度向数轴的正方向运动，小球碰到档板后立即向反方向运动且速度不变，设小球的运动时间为秒钟（）

(1)填空：线段AB的长为 ．
(2)若M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好也是第一次碰到B档板，试确定点C的位置．
(3)当时，试判断的值是否随时间的变化而变化？若它的值不变，请求出该值；若它的值会变，请通过计算说明理由．
21．（10分）某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表：
甲 乙
成本 1.2元/只 0.4元/只
售价 1.8元/只 0.6元/只
(1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示）
(2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案．
22．（10分）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为　 　；
（2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为　 　；
（3）由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值．
23．（12分）要用白卡纸做成长方体包装盒，现有三种裁剪方式：
方式一：每张白卡纸可裁剪成个侧面：
方式二：每张白卡纸可裁剪成个底面：
方式一：每张白卡纸可裁剪成个侧面和个底面．
已知个侧面和个底面配套做成一个包装盒．
（1）若用张白卡纸按方式一裁剪成侧面，用b张按方式二裁剪成底面，这样正好配套，那么与应满足的关系式是 ．
（2）采用方式一、方式二共裁剪张白卡纸，求每种方式各裁剪几张才能正好配套：
（3）采用上述三种方式共裁剪张白卡纸，使裁剪出的侧面和底面正好配套．请求出所有的裁剪方案，并说明哪种方案做成包装盒数量较多．
24．（12分）把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示．
(1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）；
(2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）；
(3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长．
参考答案
一．选择题
1．A
【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可．
【详解】解：将变形为,
设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：，
因为方程组的解是，
所以，解得：，
所以方程组的解是，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了等式的性质，由题意得关于①②③④⑤的方程，利用等式的性质求出它们的值，最后根据题意得结论．
【详解】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
，得③①，，得⑤③ ．
，得⑤①．
，得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
【详解】解：关于x，y的二元一次方程组，
可得，
即，
故k的值为，
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的整数根；根据题意得出或或，分别解二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：∵，，而是整数，是整数，且，
∴或或，
（1）当时，有
①，②，
其中方程组①有整数解，②没有整数解；
(2)当时，有
①，②，③，④，
其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解，方程组④没有整数解；
(3)当时，有
①，②，
其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解；
综上所述，原方程组的整数有3个，
故选：C．
5．C
【分析】先利用加减消元法将原方程组消去，得出和的关系式；再利用加减消元法将原方程组消去，得出和的关系式；最后将中与均用表示并化简即得比值．
【详解】∵
∴由①×3+②×2，得
由①×4+②×5，得
∴
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，
则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，
设一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，
由题意得：，
两式相加，得，
解得：，
故选：B．
7．D
【分析】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可．
【详解】解：，解得：，然后根据选项分析：
A选项，不论k取何值，，值始终不变，成立；
B选项，，解得，存在这样的实数k，成立；
C选项，，解得，成立；
D选项，当时，，则，不成立；
故选D．
8．A
【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个，
根据题意得：，
整理得：m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．
故选：A．
9．B
【分析】根据新定义运算法则列出方程ax+by=a①，ay+bx=b②，由①②解得关于x、y的方程组，解方程组即可．
【详解】由定义，知：（a，b）△（x，y）=（ax+by，ay+bx）=（a，b），则ax+by=a①，ay+bx=b②
由①+②，得：（a+b）x+（a+b）y=a+b．
∵a，b是任意实数，∴x+y=1③
由①﹣②，得：（a﹣b）x﹣（a﹣b）y=a﹣b，∴x﹣y=1④
由③④解得：x=1，y=0，∴（x，y）为（1，0）．
故选B．
10．D
【分析】设实际小亮去购买跳绳根，购买毽子件，则，得且是正整数，设跳绳单价为元，毽子单价为元，且，得，且是正整数，依题意得由得即，且是正整数，由得，即，，建立方程组求解即可．
【详解】解：设实际小亮去购买跳绳根，购买毽子件，则，
且是正整数，
设跳绳单价为元，毽子单价为元，
且，
，且是正整数，
依题意得：
，
由得：，
即，
即，
，且是正整数，
由得：，
，，
，
解得：，
故选：D．
二．填空题
11．
【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，
因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，
所以，
解得：．
故答案为：．
12．0
【分析】根据题意，将代入方程（2）可得出b的值，代入方程（1）可得出a的值，将a与b的值代入所求式子即可得出结果．
【详解】解：根据题意，将代入方程组中的4x-by=-2得：-12+b=-2，即b=10；
将代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=-1，
∴=1-1=0．
故答案为：0．
13． 45 8：9
【分析】先用求出甲中粗粮的成本价，再求出1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价，得出乙种粗粮每袋售价，然后设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，根据甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，列出方程求出比例关系．
【详解】解：∵甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，
∴甲种粗粮中每袋成本价为元，
∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，
∴1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价=45-6×3=27（元），
∵乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，
∴乙种粗粮每袋成本价为6+2×27=60（元），
∴乙种粗粮每袋售价为60×（1+20%）=72（元）．
设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，
由题意，得45×30%x+60×20%y=24%（45x+60y），
45×0.06x=60×0.04y，即，
故答案为：45，8:9．
14．
【分析】先把原方程化为的形式，再分别令a，b的系数为0，即可求出答案．
【详解】解：由已知得：
∴
两式相加得：，即，
把代入得到，，
故此方程组的解为：．
故答案为：．
15．572
【分析】根据题意并结合图形可得：，然后解方程组求得a，b，c，d的值，进而求得大长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式即可解答；
【详解】解：由题意可得：
，解得：
所以大长方形的长和宽分别为：
所以大长方形的面积为．
故答案为572．
16．26
【分析】由小立方体的棱长以厘米作单位必须是整数，从最长棱长，开始分析，得出符合要求的答案．
【详解】解：棱长为的立方体中的体积为，
若最大的立方体是一个棱长为的立方体，
则棱长为的立方体只有1个，则其余的只能切成棱长为1cm的立方体，
即棱长为的立方体的体积为，
则剩余的体积为：，
则可切成个棱长为的立方体，
此时正方体的总数为：，不符合要求；
若最大的立方体是一个棱长为的立方体，
则的立方体只有1个，则设y个棱长为的立方体，z个棱长为的立方体，
根据题意有：，
解得：，
则有9个棱长为的立方体，26个棱长为的立方体；
若最大的立方体是一个棱长为的立方体，
设y个棱长为的立方体，z个棱长为，
根据题意有：，
解得：，
方程组的解不为整数，不符合题意，舍去；
综上：有26个棱长为正方体，
故答案为：26．
三．解答题
17．（1）解：①∵，为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
解得 ；
（2）当时，原方程组可化为，
由，可得 ，
整理可得，
∵方程组由整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
18．（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为，
由题意，得，
解得，
故答案为：，．
（2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”，
得，
解得，
故，
故此“共轭方程组”的共轭系数为．
19．（1）解：∵，，，
则4次跳动后回到初始位置，
这样的跳动之一是：0，1，2，1，0（也可以是 0，1，0，1，0）；
（2）解：从经2024步到达，设向右跳了步，向左跳了步，
则，
解得，
∴青蛙一直往右跳，没有往左跳，
．
（3）解：设向右跳了步，向左跳了步，经过步到达，
则，
，
，
，即．
20．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）根据题意得，
解得：，
，
∴点C在原点位置．
（3）当时，，
∴，
∴的值不会随时间的变化而变化．
∴．
21．（1）由题意可得：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为（万元），
故答案为：；
（2）设甲型号口罩生产x万只，乙型口罩生产了y万只，
由题意可得：
，
解得：，
答：甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只；
（3）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩，
根据题意得：，
．
又，均为正整数，
或，
该同学共有2种购买方案，
方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；
方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩．
22．解：（1）两个方程相加得，
∴，
把代入得，
∴方程组的解为：；
故答案是：；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，
由（1）可得：，
∴m+5＝1，n+3＝2，
∴m＝-4，n＝-1，
∴，
故答案是：；
(3)由方程组与有相同的解可得方程组，
解得，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，
解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，
解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
23．解：（1）用a张白卡纸按方式一裁剪成侧面，则可裁剪成2a个侧面，
用b张按方式二裁剪成底面，则可裁剪成3b个底面，
∵个侧面和个底面配套做成一个包装盒，
则3b=4a，即a=b；
（2）设采用方式一裁剪x张白纸，则设采用方式二裁剪14-x张白纸，
则4x=3（14-x），
解得：x=6，
∴方式一裁剪6张，方式二裁剪8张才正好配套；
（3）设方式一裁剪m张，方式二裁剪n张，方式三裁剪20-m-n张，
由题意可得：
2（2m+20-m-n）=3n+20-m-n，
则：20+3m=4n，
即：，
∴m只能取4，8，12，16，20，
当m=4时，即方案一：方式一4张，方式二8张，方式三8张，可裁剪出16套；
当m=8时，即方案二：方式一8，方式二11张，方式三1张，可裁剪出17套；
当m=12时，即方式一12张，方式二14，方式三，不符合；
∴共有两种方案，其中方案二做出的包装盒数量最多．
24．（1）解：利用平移的性质得，
图②中阴影部分的周长为，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，即，，
即，；
（3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且，
∴，即，
又时，图③中阴影部分的面积也为480，
∴，
将代入得，
整理得，
再将和，代入得，
整理得，
再将代入得，
解得，，
∴，解得，
∴．