安徽省合肥八中2024-2025学年高一（下）月考数学试卷（三）（PDF版，含答案）

2024-2025 学年安徽省合肥八中高一（下）月考数学试卷（三）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列向量中与 = (2, 3)共线的是( )
A. (2,3) B. (3, 2) C. (4, 6) D. ( 2, 3)
2 1.设 是虚数单位，则复数2+ 在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设 1、 2是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是( )
A. 1和 1 + 2 2 B. 1 + 2 2与 3 1 2
C. 1 + 2 2与 2 1 4 2 D. 3 1 2与 4 2 1
4.如图，△ ′ ′ ′是△ 的斜二测直观图，其中△ ′ ′ ′为正三角形， ′ ′ = 2，则△
的面积是( )
A. 3
B. 2 3
C. 2
D. 2 6
5 .在△ 中，已知 = 2， = 3，若该三角形有两个解，则 的取值范围是( )
A. ( 3, 2) B. ( 3, 4) C. (1,2) D. (2,4)
6.在△ 中，角 、 、 对边分别为 、 、 ，若 = 2 3， + 3 2 = 0，且 = 2 ，
则△ 的面积为( )
A. 6 + 2 3 B. 6 3 C. 2 3 D. 3
7 △ + = (2 3). 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ，则 的最大值为( )
A. B. C. 2 D. 5 6 3 3 6
8.已知在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，2 = 2 + 2 ，点 在△ 的内部，
且满足∠ = ∠ = ∠ = 2 3 .若 = 2

，∠ = 3，则 + + =( )
A. 3 B. 6 C. 7 D. 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
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A.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C.圆柱的母线与它的轴可以不平行
D.一个多面体至少有 4 个侧面
10.已知 1、 2都是复数，下列正确的是( )
A.若| 1| = | 2|，则 1 =± 2 B. | 1 2| = | 1|| 2|

C.若| 1 + 2| = | 1 2|，则 1 2 = 0 D. 1 2 = 1 2
11 2.如图所示，在边长为 3 的等边三角形 中， = 3
，且点 在以 的中点 为圆心， 为半径的半
圆上，若 = + ，则下列说法正确的有( )
A. = 1 + 2 3 3
B. = 132
C. 存在最大值为 9
D. + 2 3的最小值为 9 + 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 ∈ ，复数 = ( 2 + 2) + ( 1) ，其中 为虚数单位，若 为纯虚数，则 = ______．
13.将圆心角为 120°，面积为 3 的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为______．
14.已知向量 ， 1夹角为3，|
| = 2，若对任意 ∈ ，恒有| + | ≥ | 2 |，则函数|
12 |( ∈ )的最
小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = ( 1,2)， = (3, 1)．
(1)求 + 2 的坐标与| |；
(2)求向量 与 的夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，2 + + = ( + )( + )．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2 3，△ 的面积为 2 3，求△ 的周长．
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17.(本小题 15 分)
△ = 1如图所示，在 中， ， = 3 ，| | = 4，| | = 6， 3 5
= 6， 与 相交于点 ．
(1)求| |；
(2)过点 作直线 分别交线段 ， 于点 ， ，记 = ， = ，当 ， 在线段 ， 上移
动时，求 4 + 3 的最小值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 cos2 + 1( > 0)，最小正周期是 ，在锐角△ 中，角 ， ， 所对
的边分别为 ， ， ．
(1)求 ( )的单调递减区间；
(2)若 ( ) = 32， = 2， 为 边上的中线，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
是直线 外一点，点 在直线 上(点 与点 ， 任一点均不重合)，我们称如下操作为“由 点对 施
| |sin∠
以视角运算”：若点 在线段 上，记( , ； ) = | |sin∠ ；若点 在线段 外，记( , ； ) =
| |sin∠
| |sin∠ .在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，点 在射线 上．
(1)若 是角 的平分线，且 = 3 ，由 点对 施以视角运算，求( , ； )的值；
(2)若 = 60°， = 4， ⊥ ，由 点对 施以视角运算，( , ； ) = 2 2 3，求△ 的周长；
(3)若 = 120°， = 4 ，由 点对 施以视角运算，( , ； ) = ，求 + 4 的最小值．
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参考答案
1.
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11.
12. 2
13.4
14. 32
15.解：(1) = ( 1,2)， = (3, 1)，
则 + 2 = (5,0)， = ( 4,3)，
所以| | = ( 4)2 + 32 = 5；
(2)) = ( 1,2)， = ( 4,3)，
则 ( ) = 10，| | = 1 + 4 = 5，

cos < , >= ( ) = 10 = 2 5故 ．
| | | | 5×5 5
16.解：(1)由题意及正弦定理知 2 + 2 + = ( + )2，
2 2 2
∴ 2 = 2 + 2 ，∴ = + 2 =
1
2，∵ 0 < < ，∴ =

3．
(2) 1由2 = 2 3，得 = 8，由余弦定理得
2 = 2 + 2 2 ，
得 2 + 2 = 12，所以 + = 6，△ 的周长为 6 + 2 3．
17.解：(1) ∵ ， ， 三点共线，且 = 3 5 ，
∴存在实数 使得 = + (1 ) = 3 5 + (1 )
，
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又∵ ， 1， 三点共线，且 = 3
，
∴存在实数 使得 = + (1 ) = + ( 1 ) 3 ，
3 5
根据平面向量基本定理可得 5
= = 6 1 1
1 = 1
，解得 1 ，∴ = 2 + 6 ．
3 = 2

2
= 1
2
+ 1
2 1 1 2 1 2 1
4 36 + 6 = 4 × 4 + 36 × 6 + 6 × 6 = 6，∴ | | = 6；
(2)设 = + = + ，
由(1) = 1 1可得 2 ①， = 6 ②，
又 ， ， 三点共线，所以 + = 1③，
1 1 3 1
由①②可得 = 2 ， = 6 ，代入③式可得 + = 6，
4 + 3 = 1 3 16 (4 + 3 )( + ) =
1 (15 + 9 + 4 6 ) ≥
1 9
6 (15 + 12) = 2，
= 3 1当且仅当 4， = 2时取等号，满足题中条件，可以取到，
9
所以 4 + 3 的最小值2．
18.解：(1) ( ) = 3 cos2 + 1 = 32 2
1+ 2
2 + 1 = sin(2

6 ) +
1
2，
因为 ( )的最小正周期为 ，所以 = 1，则 ( ) = sin(2 16 ) + 2，

令2 + 2 ≤ 2
≤ 3 6 2 + 2 ， ∈
5
，解得3 + ≤ ≤ 6 + ， ∈ ，

所以 ( )的单调递减区间为[ 3 + ,
5
6 + ]， ∈ ；
(2) (1) ( ) = sin(2 ) + 1 3 由 可知， 6 2 = 2，则 sin(2 6 ) = 1，
因为 0 < < < 2 ，所以 6 6 <
11
6 ，所以 2

6 = 2，解得 = 3，
由 = 2， = 3及余弦定理
2 = 2 + 2 2 ，得 2 + 2 = 4 + ，
因为 = 1 ( 2 +
) 1，所以| | = 2 |
+ | = 1 2 + 22 + =
1
2 2 + 4，
4 3 4 3
由正弦定理 = = 得， = = 3 ， = = 3 ，
= 16所以 3 =
8
3 sin(2
4
6 ) + 3，
所以| | = 1 2 + 4 = 1 16 202 2 3 sin(2 6 ) + 3，
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∈ ( , ) 5又 6 2 ，所以 2 6 ∈ ( 6 , 6 )，sin(2
1
6 ) ∈ ( 2 , 1]，
AD∈ ( 21故 3 , 3],
21
则 的取值范围是( 3 , 3].
19.解：(1)因为 是角 的平分线，所以∠ = ∠ 且 在线段 上，
( , ) = | |sin∠ 所以 ： | |sin∠ = ，
= 3 1又 ，所以( , ： ) = = 3；
(2)因为点 在射线 上，∠ = 60°，且 ⊥ ，
所以 在线段 外，且∠ = 30°，
( , ) = | |sin∠ 90° 2 所以 ： | |sin∠ = 30 = = 2 2 3，
所以 = 3+12 ，
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
4+2 3
即 4
2 + 2 3+1 2 3 2 4 62 = 2 = 16，解得 = 3 (负值已舍去)，
所以 = 6 2+2 63 ，
所以△ 的周长为 △ = + + = 4 + 2 2 + 2 6；
(3)因为( , ； ) = | |sin∠ > 0，所以| |sin∠ = ，则∠ = ∠ ，
因为 = 120°，所以∠ = ∠ = 60°，
又 △ = △ + △ ，
1 1
所以2 120° = 2 60° +
1
2 60°，
又 = 4，所以 = 4( + ) 4，所以 +
4
= 1，
所以 + 4 = ( + 4 )( 4 +
4 ) = 16 + 4 + 20 ≥ 2 16 4 + 20 = 36，
16 4
当且仅当 = ，即 = 12， = 6 时等号成立，
所以 + 4 的最小值为 36．
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