秘籍11 带电粒子在电场磁场中的运动
【解密高考】
【题型一】带电粒子在电场中的运动
【题型二】磁场对运动电荷的作用
【题型三】带电粒子在复合场中应用实例
【题型四】带电粒子在组合场中的运动
【题型五】带电粒子在叠加场中的运动
【误区点拨】
易错点：带电粒子在电场磁场中的运动分析
注重基础概念：着重考查对基本概念和规律的准确理解。计算题依赖基础概念解题，如分析复合场中粒子运动，需准确理解电场力和洛伦兹力。
联系实际：以生活现象、科技应用为背景，如质谱仪、回旋加速器等，考查知识迁移和解决实际问题能力，要求学生关注生活物理现象。
突出综合能力：融合多方面知识，考查综合分析、逻辑思维和数学运算。计算题设复杂情境，要求运用多规律，结合几何、函数等数学方法，对数学应用能力要求高。
梳理知识框架：以带电粒子在电场、磁场、复合场中的运动为核心，构建知识框架，用思维导图串联知识点，明确电场力、洛伦兹力、运动规律、能量关系等联系，方便解题选规律。
深化概念理解：通过实验、模拟或实例，理解电场、磁场基本概念和粒子受力特点，对比电场力和洛伦兹力，避免概念混淆，如明确洛伦兹力不做功。
强化公式应用：牢记重要公式，通过练习掌握不同情境下公式运用，根据已知选合适公式计算，注意单位统一和适用范围，如判断公式用于匀强场还是非匀强场。
【题型一】带电粒子在电场中的运动
1．电场中的直线运动问题
(1)动能定理：不涉及t、a时可用．
(2)牛顿第二定律＋运动学公式：涉及a、t时可用．尤其是交变电场中，最好再结合v－t图象使用．
2．匀强电场中的偏转问题
(1)用平抛运动规律处理：运动的分解．
①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间t＝.
②沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝＝＝.
③离开电场时的偏移量y＝at2＝.
④速度偏向角tan φ＝＝ tan φ＝；
位移偏向角tan θ＝＝ tan θ＝.
(2)动能定理：涉及功能问题时可用．
注意：偏转时电场力做功不一定是W＝qU板间，应该是W＝qEy(y为偏移量)．
3．非匀强电场中的曲线运动问题
(1)运动电荷的轨迹偏向受力的一侧，即合外力指向轨迹凹的一侧；电场力一定沿电场线切线，即垂直于等势面，从而确定电荷受力方向．
(2)由电场力的方向与运动方向夹角，判断电场力做功的正负，再由功能关系判断动能、电势能的变化．
如图所示，半径为的均匀带电细圆环处于水平面内，圆心位于竖直轴上的原点处，细圆环所带电荷量为，轴上A点与原点的距离为，静电力常量为，质量为的带负电小球恰能静止于A点，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．细圆环在点处产生的电场的场强大小为
B．沿轴从点到A点，电场强度不断增大
C．细圆环带负电，小球所带电荷量为
D．沿轴向上缓慢移动小球，移动过程中外力所做的功等于小球增加的重力势能
【答案】C
【来源】2025年浙江省普通高校招生选考科目考试物理测评卷（三）
【详解】A．利用微元法，由对称性得细圆环在原点处产生电场的场强大小为零，故A错误；
BC．原点处电场强度为零，轴上无穷远处电场强度也为零，小球带负电，在A点时，受到重力，细圆环对其向上的电场力，二者平衡，有
微元累积求和，可得
故细圆环带负电，小球所带电荷量为
与关系未知，则沿轴从原点到A点，电场强度可能不断增大，也可能先增大后减小，故B错误，C正确；
D．球沿轴向上移动过程中，电场力对小球做正功，小球电势能减小，由动能定理可得
外力和电场力做的功之和等于小球的重力势能增加量，故D错误。
故选C。
如图所示，两个等量负点电荷固定在、两点，为的中点，、关于对称。将一电子由点静止释放，电子由运动到的过程中，下列关于电子的速度、加速度、机械能、电势能与运动时间或位移的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【来源】2025年浙江省普通高校招生选考科目考试物理测评卷（七）
【详解】在等量负点电荷的连线上，从到的过程中电场强度先减小后反向增大，从到，电势先增大后减小，、两点关于点对称，、两点电势相等。
A．电子的加速度先减小后反向增大，电子的速度先增大后减小，、两点电势相等，所以从到，电场力做的功为零，故电子在位置时速度为零，A正确；
B．设、所带电荷量均为，二者间的距离为，到的距离为，则可得电子所受库仑力大小为
又
判断可知加速度随位移不是均匀变化的，B错误；
CD．电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，根据能量守恒可知，机械能先增大后减小，CD错误。
故选A。
如图所示，两对分别竖直、水平固定放置的带电平行金属板，形成互不干扰的匀强电场，一比荷为的带正电粒子（不计重力）从极板1的小孔无初速度飘入水平加速电场，从极板2的小孔射出后立即进入偏转电场，最后从极板3的右边缘离开，已知极板1、2的间距与3、4的间距以及极板3、4的长度均相等，小孔位于极板1、2的正中间。已知极板1、2间电压为，则（ ）
A．极板2、3均带正电
B．极板3、4间的电压为
C．粒子在两个电场中的运动时间之比为
D．粒子从极板3的右边缘射出时的速度大小为
【答案】BD
【来源】2025年浙江省普通高校招生选考科目考试物理测评卷（六）
【详解】A．粒子带正电，在极板1、2产生的电场中所受电场力向右，在极板3、4产生的电场中所受电场力向下，则极板1、4带正电，极板2、3带负电，A错误。
B．由动能定理可得
由类平抛偏转规律可得、
综合可得
由题意可得、，则有
所以
B正确。
C．由匀变速规律可得
由偏转规律可得
可得
C错误。
D．粒子经过两次加速，由动能定理可得
又，解得
D正确。
故选BD。
两块相同足够大的平行金属板A、B竖直放置，将一金属小球放入其中，其截面示意图如图所示。O点为球心，a、c为其外表面上两点，Oa连线与平行板垂直。闭合开关，电容器充电完成（忽略小球的感应电荷对平行金属板A、B的影响），下列说法正确的（ ）
A．a点的电势比c点的电势高
B．小球的感应电荷在c点产生的电场水平向左
C．若将A板向右移动，则a点的感应电荷的密度将增大
D．若断开开关，再将B板向下移动少许，则O点的电场强度不变
【答案】CD
【来源】2025届浙江省温州市高三下学期二模物理试题
【详解】A．达到静电平衡后，金属小球是一等势体，所以a点的电势等于c点的电势，故A错误；
B．达到静电平衡后，金属小球是一等势体，则c点的场强方向垂直于过c点的切面方向斜向上偏右，由于平行金属板A、B在c点的场强方向水平向右，根据场强叠加原则可知，小球的感应电荷在c点产生的电场不是水平向左，故B错误；
C．达到静电平衡后，金属小球内部的场强为0，则小球的感应电荷在O点的场强与平行金属板A、B在O点的场强大小相等、方向相反，若将A板向右移动，根据可知，平行金属板A、B在O点的场强变大，则小球的感应电荷在O点的场强变大，a点的感应电荷的密度将增大，故C正确；
D．达到静电平衡后，金属小球内部的场强为0，则断开开关，再将B板向下移动少许，O点的电场强度仍为0，保持不变，故D正确。
故选CD。
如图所示，竖直放置一根足够长光滑绝缘细直杆，在其两侧对称固定两个电荷量均为的正电荷，两电荷之间的距离为，A、B、C三点均在竖直杆上，，C点是两电荷的连线和细杆的交点。一个质量、电荷量的带负电小球串在细杆上，由A点静止释放。则小球（ ）
A．到达B位置时的速度为0 B．从C运动到B的过程中，小球加速度一直增大
C．到达B点时的速度为 D．整个运动过程中，小球在B位置的电势能最大
【答案】C
【来源】2025届浙江省嘉兴市高三上学期12月教学测试（一模）物理试卷
【详解】AC．到达B点时的速度可通过动能定理求解。由于A点和B点电势相等，所以从A点运动到B点过程中电场力做功代数和为零，可以看做只有重力做功。由动能定理有
得
故A错误，C正确；
B．在C点场强为0，小球只受重力，加速度为，从C到B场强方向竖直向下，小球受到的电场力竖直向上。合力为重力与电场力之差，加速度可能小于。从C运动到B的过程中，小球加速度可能减少，故B错误；
D．由于小球在B点速度不为0，将继续向下运动，电场做负功，所以电势能继续增大，所以小球在B点位置的电势能不是最大。故D错误。
故选C。
【题型二】磁场对运动电荷的作用
1．基本公式：qvB＝m，T＝ 重要结论：r＝，T＝
2．基本思路
(1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹．
(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间和周期相联系．
(3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式．
3．轨迹圆的几个基本特点
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角．如下图，θ1＝θ2＝θ3.
(2)粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角(如图，α1＝α2)．
(3)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向，如图甲．[]
(4)磁场圆与轨迹圆半径相同时，以相同速率从同一点沿各个方向射入的粒子，出射速度方向相互平行．反之，以相互平行的相同速率射入时，会从同一点射出(即磁聚焦现象)，如图乙．
如图（a）所示，一点电荷（不计重力）在辐向电场中围绕圆心做匀速圆周运动，轨迹所在处的电场强度大小均为；如图（b）所示，同一点电荷在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场中做匀速圆周运动。已知点电荷两次做圆周运动的线速度相等，两个圆弧轨迹的半径均为，下列说法正确的是（ ）
A．图（b）中点电荷可能沿逆时针转动也可能沿顺时针转动
B．点电荷的线速度大小为
C．点电荷的向心加速度大小为
D．点电荷的比荷为
【答案】C
【来源】2025年浙江省普通高校招生选考科目考试物理测评卷（六）
【详解】A．由图（a）可知点电荷一定带正电，对图（b）由左手定则可知点电荷一定沿逆时针转动，故A错误。
B．对图（a）有
对图（b）有
可得
故B错误。
C．向心加速度大小为
故C正确。
D．由、
综合可得点电荷的比荷为
故D错误。
故选C。
如图所示，在坐标原点O处有一粒子源，能向第二象限各个方向发射速率相等的带电粒子，在O点上方有一圆形磁场区域，O点恰在圆周上，磁场区域的磁感应强度及磁场圆的半径均可调。已知P点坐标为，Q点坐标为，在PQ连线的右上方有垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场，带电粒子的质量为m、电荷量为。当磁场圆半径为、磁感应强度也为时，沿y轴正方向发射的粒子恰能沿平行x轴方向离开圆形磁场，求：
（1）带电粒子运动的速度；
（2）有粒子经过x轴的坐标范围；
（3）若两个磁场区域不重叠，粒子源发射的粒子按角度均匀分布，且圆形磁场区域的磁感应强度B与磁场半径r满足，则垂直经过x轴的粒子的比例与磁感应强度B是什么关系？（角度可用反三角函数表示：若，则）
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【来源】2024届浙江省精诚联盟高三下学期三模物理试题
【详解】（1）由题意得轨迹如图
故粒子运动半径
又
解得
（2）沿轴正方向发射的粒子离开圆形磁场后进入右侧磁场，偏转90°后，垂直于轴打到点，沿轴负方向发射的粒子也平行轴方向离开圆形磁场，进入右侧磁场后也偏转90°后，垂直于轴射出经过，有粒子经过轴的坐标范围为。
（3）当磁场圆与相切时
得磁场圆的最大半径为
解得
。
①当，即
时
②当，即
时
③当，如图所示，打到点的粒子对应发射速度与轴的夹角为，有
得
角度大于的粒子都能垂直经过轴，所以
在如图所示的xOy平面内，边长为2R的正方形区域中存在方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，沿x轴放置一长为2R的探测板，与磁场下边界的间距为R，质量为m、电荷量为q的正离子源从正方形一边（位于y轴上）的中点P向垂直于磁场方向持续发射离子，发射速度方向与水平方向夹角范围为0﹣60°并沿0﹣60°范围均匀分布，单位时间发射N个离子，其发射离子速度大小随发射角变化的关系为，α为发射速度方向与水平方向夹角，其中当α＝0°的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并中和，已知R＝0.05m，B＝1T，v0=5×105m/s，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)求离子的比荷（结果保留一位有效数字）；
(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数n（结果保留分数）；
(3)求探测板至少多长能吸收到所有离子（结果保留根式）。
【答案】(1)1×107C/kg
(2)N
(3)m
【来源】2025年浙江选考仿真模拟卷（三）-2025年高中物理二轮复习解密（浙江选考专用）
【详解】（1）α＝0°离子的轨迹如图所示：
根据几何关系
r=R
根据洛伦兹力提供向心力有
qv0B
联立代入数据解得比荷
1×107C/kg
（2）发射速度方向与水平方向夹角为α的离子运动轨迹半径为
如果第一、四象限都有磁场，根据几何关系可得离子在磁场中运动时在y轴上的弦长
即所有粒子都打到O点；
根据对称性可得从P向磁场发射的离子均垂直磁场下边界射出，离子要打在探测板最右边时，需满足
解得
α＝37°
所以当α＞37°时粒子从磁场右边界射出磁场不能打到探测板上，则单位时间内能打在探测板上的离子数
nN
（3）根据几何关系可知当α＝60°时，从有边界射出的粒子运动最远，如图：
此时可知
，β＝60°
解得此时粒子在x轴上的距离
m
所以探测板至少m才能接到所有的粒子。
如图所示，由光滑绝缘材料制成的边长为L的正方形框架DCEF位于竖直平面内，在此区域外足够大的空间中充满磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直于平面向里。正方形DC中点S处有一离子源，可以沿垂直DC边向下发射不同速度的离子，其质量为m，电量为q（q>0）。若该离子与正方形框架相互作用时均无能量损失和电荷量损失，速度方向与边界垂直，不计粒子的重力和边框厚度。
(1)求打到C点离子的最大速度；
(2)为使从S点发出的离子最终又回到S点，且运动时间最短，求最短时间及相应的速度；
(3)若磁场是半径为的圆柱形区域（图中虚线），圆柱的轴线通过正方形的中心O，要使从S点发出的粒子最终能回到S点，求带电粒子速度v的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【来源】2025届浙江省精诚联盟高三上学期适应性联考物理试题
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系可知
解得
（2）时间最短时满足
则
解得
（3）根据题意作图，如图
根据上述分析可知，若（n=）时，有
粒子回到S，可知
当，代入解得
当，代入解得
当，代入解得
同理，若（n=）时，有
粒子回到S，有
当，代入解得
由于，则粒子不能回到S点；
当，代入解得
综上所述
，
电子束焊是在高真空条件下，利用电子束轰击焊接面，将高速电子束的动能转化为内能，对金属进行焊接的一种方法。为了提高温度，需要利用磁场控制高速电子束，使其聚集到小区域内。如图所示，电子束焊装置的结构可简化为由电子枪系统和磁控系统组成。在电子枪系统中，每秒有N个电子经加速后从O点进入磁控系统，所有电子速度大小均为，速度方向分布于以y轴为中心轴、2θ为顶角的圆锥内（θ很小）。磁控系统内存在沿着y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，待焊接圆形工件（尺寸足够大）垂直y轴放置，圆心位于y轴上。已知电子的质量为m，电荷量为-e（e>0），当θ很小时，有，。
(1)若从电子枪系统出射电子的动能是静止电子经电场加速获得，求加速电压；
(2)要使所有进入磁控系统的电子都能汇聚于工件上同一点，求工件圆心的y坐标；
(3)写出某电子进入磁控系统后，其在xOz平面的速度分量所转过的角与电子y方向运动的距离之间的函数关系；
(4)已知电子束轰击工件表面时，受轰击区域受热均匀。若待焊接处单位面积单位时间获得热量为才能达到焊接需要的温度，为使工件圆心处能达到焊接温度，求工件圆心的y坐标范围。（结果可用反三角函数表示）
【答案】(1)
(2)（n=1，2…）
(3)
(4)见解析
【来源】2025届浙江省温州市高三下学期二模物理试题
【详解】（1）电子枪系统加速过程，根据动能定理有
解得
（2）电子在磁控系统中，在xOz平面做匀速圆周运动的速度
由洛伦兹力提供向心力，则有，
解得周期
电子在y方向做匀速直线运动，则有
工件圆心的y坐标
解得（n=1，2…）
（3）电子在y方向做匀速直线运动，则有
电子在xOz平面做圆周运动，则有
电子在xOz平面内的速度分量转过的角即为圆周运动的圆心角，则有
由于θ很小，结合上述解得
（4）从O点进入、速度与y轴夹角为θ的电子在xOz平面的圆周运动，则有
其中
由于θ很小，解得
假设工件以（2）算出的聚焦处为起点，在y方向移动距离，电子打板时与工件圆心的最远距离r为最大运动圆弧（半径为R）的弦长，对应圆心角为（3）中算出的（），则有
此时工件上受电子轰击区域为一个半径为r的圆，其面积S为
为使工件圆心处能达到焊接温度，需满足
解得
分类讨论：
①若，则y可取任意值；
②若，则y的取值范围为（n=1，2…）
以及
【题型三】带电粒子在复合场中应用实例
1．质谱仪(如图)
原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2.
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m.
由以上两式可得r＝，m＝，＝.
2．回旋加速器(如图)
原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关．
3．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量，区别见下表．
装置 原理图 规律
速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极板电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝v0Bd
电磁流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝
霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
如图所示，一根固定的绝缘细杆处于竖直方向，质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上，小球可以在细杆上滑动。细杆所处空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右、场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。已知，小球与细杆间的摩擦因数为μ（），小球从静止开始下滑经过t0时间速度达到最大值，重力加速度为g，则（ ）
A．小球下滑的最大加速度为
B．小球下滑的最大速度为
C．t0时间内，可以根据已知量计算摩擦力对小球做的功
D．t0时间内，无法根据已知量计算洛伦兹力对小球的冲量
【答案】BC
【来源】2025届浙江省精诚联盟高三上学期适应性联考物理试题
【详解】AB．当小球刚开始运动后，设小球的速度为时，根据左手定则可知洛伦兹力方向水平向右，以小球为对象，水平方向有
水平方向有
又
联立可得
可知初始时刻，小球的速度为0时，小球下滑的加速度最大，为
当小球的加速度为0时，小球的速度达到最大，则有
解得小球下滑的最大速度为
故A错误，B正确；
CD．t0时间内，根据动量定理可得
其中
根据动能定理可得
联立可以根据已知量计算洛伦兹力对小球的冲量，可以根据已知量计算摩擦力对小球做的功，故C正确，D错误。
故选BC。
范德格拉夫静电加速器由两部分组成，一部分是产生高电压的装置，叫作范德格拉夫起电机，加速罩（即金属球壳）是一个铝球，由宽度为D、运动速度为v的一条橡胶带对它充电，从而使加速罩与大地之间形成稳定的高电压U。另一部分是加速管和偏转电磁铁，再加上待加速的质子源就构成了一台质子静电加速器，如图中所示。抽成真空的加速管由多个金属环及电阻组成，金属环之间由玻璃隔开，各环与电阻串联。从质子源引出的质子进入真空加速管加速，然后通过由电磁铁产生的一个半径为b的圆形匀强磁场区域引出打击靶核。已知质子束的等效电流为，通过电阻的电流为，质子的比荷。单位面积上的电荷量叫做电荷面密度。下列说法不正确的是（ ）
A．若不考虑传送带和质子源的影响，加速罩内的电场强度为零
B．若不考虑传送带和质子源的影响，加速罩内的电势大小等于U
C．要维持加速罩上大小为U的稳定电压，喷射到充电带表面上的电荷面密度为
D．质子束进入电磁铁，并做角度为的偏转，磁感应强度
【答案】D
【来源】2024届浙江省金华十校高三上学期11月模拟考试物理试题
【详解】A．加速罩外表面均匀带电，则加速罩是一个等势体，则加速罩内的电场强度为零，故A正确；
B．加速罩与大地之间形成稳定的高电压U，大地电势为零，加速罩是一个等势体，所以加速罩内的电势大小等于U，故B正确；
C．时间内喷射到充电带表面上的电荷量为
时间内喷射到充电带表面上的面积为
则喷射到充电带表面上的电荷面密度为
故C正确；
D．根据动能定理有
质子束进入电磁铁的速度为
质子束进入电磁铁，并做角度为的偏转，由几何知识可得
根据洛伦兹力提供向心力有
联立可得，磁感应强度为
故D错误。
故选D。
(23-24高三上·浙江衢州、丽水、湖州三地·期中)水平放置的两金属板，板长为0.2m，板间距为0.15m，板间有竖直向下的匀强电场，场强大小为2×103V/m，两板的左端点MN连线的左侧足够大空间存在匀强磁场，磁感应强度的大小为0.2T，方向垂直纸面向里。一比荷为1×106C/kg正电粒子以初速度v0紧靠上极板从右端水平射入电场，随后从磁场射出。则（ ）
A．当v0=1×104m/s时，粒子离开磁场时的速度最小
B．当时，粒子离开磁场时的速度最小
C．当时，粒子离开磁场的位置距M点的距离最小
D．当v0=2×104m/s时，粒子离开磁场的位置距M点的距离最小
【答案】D
【来源】浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月期中教学质量检测物理试题
【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，要使粒子离开磁场时的速度最小，则粒子在从电场进入磁场时速度最小，设粒子进入磁场时的速度与水平方向的夹角为，根据类平抛运动的规律有，水平方向
竖直方向
加速度
而
则
可得
根据匀变速直线运动速度与位移的关系式可得
而
联立以上各式可得
可知，当时，粒子进入磁场时有最小速度
此时
故AB错误；
CD．根据以上分析可知，粒子进入磁场时的速度为，进入磁场后粒子在磁场中做圆周运动，偏转后从MN边界离开磁场，则由洛伦兹力充当向心力有
可得
根据几何关系可得，粒子进入磁场的位置与射出磁场的位置之间的距离为
则离M点的距离为
即有
可知，当时，粒子离开磁场的位置距M点的距离最小，而根据以上分析可知，当时
故C错误，D正确。
故选D。
霍尔效应传感器可用于自行车速度计上，如图甲所示，将霍尔传感器固定在前叉上，磁铁安装在前轮辐条上，轮子每转一圈，磁铁就靠近霍尔传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压。霍尔传感器原理如图乙所示，电源电压为，当磁场通过霍尔元件时，在导体前后表面间出现电压。某次行驶时，霍尔传感器测得的电压随时间t变化如图丙所示，车轮半径为R，霍尔传感器离轮轴距离为r，下列说法中正确的是（ ）
A．自行车的速度是
B．自行车的速度是
C．若自行车的车速越大，则霍尔电压的峰值越大
D．若电源电压越大，则霍尔电压的峰值越大
【答案】D
【来源】2023届浙江省高三下学期2月新高考研究卷选考物理试题（二）
【详解】AB．根据图丙可知周期
自行车的速度
故AB错误；
CD．当稳定时满足
霍尔电压
如果越大，I越大，的峰值越大，故C错误，D正确。
故选D。
如图所示，两个定值电阻的阻值分别为R1和R2，直流电源的电动势E0，内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为d，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为m的带电小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘A点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，则（ ）
A．该小球带负电
B．小球所带的电量为
C．匀强磁场的磁感应强度为
D．如果将上极板上移，电容器极板所带的电量将增大
【答案】C
【来源】2024届浙江省Z20联盟（浙江省名校新高考研究联盟）高三上学期第一次联考物理试题
【详解】A．小球在复合场区域做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡，电场力向上；分析电路可知，电容器下极板带正电，上极板带负电，场强的方向向上，小球电场力的方向与场强的方向相同，所以小球带正电，A错误；
B．电容器极板电压跟R2两端电压相同，大小为
所以极板间电场强度大小为
小球电场力与重力平衡，有
得
B错误；
C．小球做圆周运动的轨迹如图所示
设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系
解得
根据
解得
D．平行板电容器电容大小为
当d增大时，C会减小；而电容器两端的电压不变，而
可得电容器上的电荷量会减小，D错误。
故选C。
【题型四】带电粒子在组合场中的运动
1．两大偏转对比
匀强电场中的“电偏转” 匀强磁场中的“磁偏转”
力学特征 F电为恒力 v⊥B时，F＝qvB
运动规律 类平抛运动(合成与分解) 匀速圆周运动(v⊥B) r＝ T＝
偏转情况 tan θ＝ θ＝·2π
动能是否变化 动能发生变化 动能不变[]
2.思维流程
如图所示，小张同学设计了某种粒子收集装置，在水平面内建立坐标系，并分为区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ，Ⅰ区存在磁感应强度大小为B，方向垂直平面向里的匀强磁场，Ⅱ区的宽度极小，Ⅲ区是真空，Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差，在y轴上存在足够长的收集板（点N与坐标原点O重合），粒子打到板上即被吸收。区域Ⅰ中点处有一粒子源，仅在时刻，在到范围内均匀发射速度大小为v（v未知）、方向与水平面平行，质量为m、电荷量为e的电子，其中沿y轴正方向射入磁场的电子恰好垂直打在收集板上的Q点。不计电子重力，不考虑电子间相互作用以及电子对磁场和电势分布的影响，可能用到的数学知识：。求：
(1)粒子的发射速度大小v；
(2)到达收集板的电子中，在磁场中运动时间最长与最短的时间差；
(3)收集板上同一点被两个不同方向的电子击中的区域长度，以及这些电子数占总发射电子数的百分比；
(4)若在板上的Q位置挖一个极小的孔，并改变电子的入射速度大小为，写出从Q点射出的电子到达x轴的坐标与Ⅱ区电压U的函数关系。
【答案】(1)
(2)
(3)，50%
(4)见解析
【来源】2025届浙江省嘉兴市高三上学期12月教学测试（一模）物理试卷
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力
根据题意可得
联立解得
（2）带电粒子在磁场中的周期
圆心角越大，时间越长，时间最短打在N点，则
时间最长的水平向左射出，打在Q点，则
时间差为
（3）圆的直径打到的位置最远，最远点距离N点，入射角度从 90°到 180°过程中，粒子从Q点上移到最远点再回到Q点同一点被两个电子击中的区域的长度为，这些电子数占总发射电子数的百分比为50%。
（4）射入电子的速度为
并在射入的电子有两个，根据数学关系可以知道进入电场与y轴负方向的夹角分别为和，如图所示
在电场中运动改变水平方向速度
射出电场以后电子与竖直方向夹角变为，则
x轴的坐标
当时，电子打不到x轴；
当时，电子打到x轴有一个点
当时，电子打到x轴有两个点，分别为
，
利用电场、磁场对带电粒子的偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面坐标系中，第二象限圆形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，已知圆形区域半径为R0，P点为一粒子源，能向x轴上方各方向均匀发射质量为m，电量为q，速度大小为v0的带电粒子，所有带电粒子经圆形磁场偏转后均能平行x轴射入第一象限；第一象限直角三角形区域内存在方向竖直向上的匀强电场，已知OM = 2R0，粒子重力可忽略不计，求解下列问题。
（1）P点出射粒子带正电还是带负电，圆形区域匀强磁场磁感应强度大小B0；
（2）假设三角形区域匀强电场，所有进入电场的粒子中，求能从MN边界射出的粒子在经过y轴时的y轴坐标区间；
（3）假设第一象限直角三角形区域内电场改为方向垂直纸面向里，磁感应强度大小的匀强磁场，如图2，求从ON边界和从MN边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例。
【答案】（1）负电，；（2）；（3），
【来源】2024年浙江省普通高校招生考试选考科目考试冲刺卷物理（二）试题
【详解】（1）根据左手定则可得，P点出射粒子带负电。因为所有带电粒子经圆形磁场偏转后均能平行x轴射入第一象限，由“磁发散”可得，带电粒子在磁场中的运动半径等于磁场的半径，即轨迹半径为
r = R0
根据牛顿第二定律
解得
（2）粒子在电场中做类平抛运动，当运动轨迹与MN相切时，为临界情况，设切点坐标为（x1，y1），此时经过y轴入射的纵坐标为y0，由数学知识可得
带电粒子在电场中受到向下的电场力，大小为
则加速度为
运动时间为
沿y轴方向的位移为
整理得
因为，运动轨迹与MN相切，所以上式中x1有唯一解，由数学知识可解得
所以，能从MN边界射出的粒子在经过y轴时的y轴坐标区间；
（3）粒子在第一象限做圆周运动，根据
可得，轨迹半径为
当轨迹为与MN相切时，为临界情况，绘出运动轨迹图如下
此时经过y轴入射点A距M点距离为y2，则
则此时从P点发出的粒子与x轴负方向的夹角
故，从MN边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例为
当粒子从O点射出时为从ON边界射出的临界情况，设此时经过y轴入射点距O点距离为y3，则
y3 = 2r1 = R0
则此时从P点发出的粒子与x轴垂直，故，从ON边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例为
带电粒子在磁场中的螺旋线运动被广泛应用于磁聚焦技术。如图所示，在x<0的区域I中存在磁感应强度大小，方向垂直纸面向里的匀强磁场；在的区域Ⅱ中，存在沿x轴正方向的匀强磁场B2；在区域Ⅲ中存在电场强度大小为，方向沿y轴正方向的匀强电场；其它区域电磁场忽略不计。在x=7d处垂直x轴放置一块长度为2d的接收板，上端紧靠x轴。在A（0，d）位置有一粒子源，在xOy平面内按角度均匀发射质量为m，电荷量为+q的粒子，粒子的速度方向限制在图中（θ是速度与x轴负半轴夹角）范围内，速度大小满足（其中v0已知）。已知粒子打到接收板后即被吸收，接收板不影响电场分布，不计空气阻力、重力和粒子间的相互作用力，可能用到。
（1）求θ=60°的粒子击中y轴的坐标；
（2）若，求在区域Ⅱ内粒子离开x轴的最大距离；
（3）若单位时间内，粒子源发射N个粒子，所有粒子均能经过C（3d，0）点，求：
①B2所有可能的大小；
②稳定后，接收板受到的垂直冲击力大小。
【答案】（1）（0，0）；（2）；（3）①（n=1，2，3…），②见解析
【来源】2024届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测（二模）物理试题
【详解】（1）粒子的运动轨迹如图
根据牛顿第二定律可得
解得
由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动对应的弦长为
则粒子通过左边原点，即粒子击中y轴的坐标为（0，0）；
（2）粒子通过y轴时，速度与x正半轴方向夹角为θ，其中x轴方向分运动与磁场平行，做匀速直线运动；y轴方向分运动与磁场垂直，做匀速圆周运动，离开x轴的最大距离为此时圆周运动的直径，对速度分解为
根据牛顿第二定律
解得
当时，半径最大，此时
则粒子离开x轴的最大距离为
（3）①粒子在区域I中做圆周运动的弦长为
所以，所有粒子过坐标原点，故所有粒子可以过C点，则在区域Ⅱ中x轴方向的分速度为
则在区域Ⅱ中运动时间为
若可以过C点，则y轴方向的分速度可以使粒子完成完整的圆周
（n=1，2，3…）
其中，周期为
联立，解得
（n=1，2，3…）
②粒子进入区域Ⅲ时，速度仍与x正半轴方向夹角为，粒子将做类斜抛，在x轴方向匀速直线，在y轴匀减速，电场力为
加速度为
在区域Ⅲ中运动时间为
则区域Ⅲ中粒子在y轴上的偏移量为
设出区域Ⅲ中时粒子与x轴的夹角为，则
则出电场后粒子的偏移量为
若粒子恰好打中探测器下端，有
解得
即
若粒子恰好打中探测器上端，有
解得
即
此时打中探测板粒子占比为
根据动量定理
解得
【题型五】带电粒子在叠加场中的运动
1．解题规范
(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加．
(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，包括场力、弹力和摩擦力．
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系．
2．灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
中国航天科技集团自主研制的300瓦霍尔电推进系统已经顺利完成地轨卫星的机动变轨任务，整个卫星的运行轨道被抬升了300公里。我国现阶段霍尔推进器，在地面实验中，其推力达到了牛级，处于国际领先水平。小明同学受到启发设计了如图所示装置研究电荷运动及作用力，三束比荷为、速度为、相邻间距的平行带正电粒子a、b、c持续均匀射入一半径的圆形匀强磁场区域后汇聚于点，随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中。在边界N处放置一个足够大荧光屏，圆形磁场圆心与点及荧光屏上坐标原点连线共轴且垂直荧光屏。
（1）求圆形磁场区域的磁感应强度的大小及方向；
（2）若在MN的区域中加上水平向右、磁感应强度的匀强磁场，求a束粒子打在屏上的位置坐标；
（3）若在MN的区域中加上（2）中磁场的同时再加上水平向右、电场强度的匀强电场。
①求a束粒子打在屏上的位置坐标；
②某次实验中，整个装置安装在一个飞船模型上，把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量单位时间内每束粒子有个喷出，求粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小。（冲力计算结果保留两位有效数字，可能用到的数据：）
【答案】（1），方向垂直纸面向外；（2）；（3）①；②
【来源】2024届浙江省台州市高三下学期二模物理试题
【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力得
解得
方向垂直纸面向外
（2）由
得
粒子运动周期
运动时间
运动半径
则a束粒子打在屏上的位置坐标为。
（3）①由
，
得
则a束粒子打在屏上的位置坐标。
②在向右的方向上
解得
由动量定律得
得
在y方向上
解得
则粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小
如图所示为一种测量石墨晶体层数的装置。图中O1，O2分别为EF，GH的中点，右侧为一含有n层sp2杂化的碳原子平面的石墨晶体，装置中所有的磁场及电场的方向及大小规律分布已在图中标出，不过多说明。装置的作用原理如下：一粒子源S发出一个带电粒子，该带电粒子无初速度地从AB极板中点的小孔进入加速电场，经加速后从O1进入板间，最终从O2点水平射出，之后粒子从P点垂直进入石墨层，并与有且仅有一个碳原子结合形成一个新整体，该过程整体视为质量与动量守恒。此后整体每经过一个石墨层都会再结合一个碳原子。当加速电压U=100V时，粒子恰好无法穿过该石墨晶体。已知粒子与碳原子的质量均为，粒子的带电量，EF、GH间电场强度E0=600V/m，板长均为L=1.5πm，板间距d=1m，石墨各层间距均为。图中，但B0未知。不计粒子间相互作用力，仅考虑图中电场与磁场对粒子的作用，电场与磁场均视为匀强场，不考虑边缘效应、相对论效应。求：
（1）粒子从加速电场中出来的速度v0；
（2）极板EF、GH间的磁感应强度大小B0；
（3）n的值以及粒子打在第n层时垂直纸面的位移大小s。
【答案】（1）1×106m/s；（2）6×10-4T；（3）8，2.25×10-20m
【来源】2024届浙江省温州市永嘉县上塘中学高三下学期模拟物理试题
【详解】（1）粒子在加速电场中，有
解得
（2）粒子进入EF、GH区域做匀速直线运动，有
解得
（3）粒子穿过石墨层时动量守恒，穿过第n层时
粒子在平行石墨层平面上，只受到电场力，在垂直石墨层平面上，只受到洛伦兹力，则在垂直石墨层平面上在石墨层之间做匀速圆周运动，在第n层和第n+1层石墨层之间，根据洛伦兹力提供向心力有
则做圆周运动的轨迹半径为
令，粒子在垂直石墨层平面上，粒子的轨迹如图所示，将过石墨层的粒子轨迹半径反向延长，与第一层石墨相交，与第1层的石墨层的交点分别令为、、 ，与上一层石墨层相交的交点分别令为、、 ，
则粒子射出第n（）层时，在层和第之间，由几何关系可得
，，
则
当粒子在层和第之间恰好无法穿过该石墨晶体时，由
解得
则粒子恰好不能穿过第8层。即石墨晶体层级为8。
粒子在石墨层之间做匀速圆周运动的周期
粒子打在第8层时恰好偏转90°，则运动时间
在平行石墨层方向上，粒子在第n层之间
解得
则粒子在平行石墨层方向上做匀加速直线运动，则粒子粒子打在第8层时垂直纸面的位移大小
磁控管是微波炉的核心器件，磁控管中心为热电子发射源，电子在电场和磁场的共同作用下，形成了如图甲所示的漂亮形状。现将该磁控管简化成如图乙所示的装置，两足够长的平行金属板相距4d，板间中心有一电子发射源S向各个方向发射初速度大小为v0的电子。已知电子比荷为，仅考虑纸平面内运动的电子，回答以下问题：
(1)若两板间不加磁场，仅接一电压恒为U的电源，其中，求：
①电子在板间运动的加速度的大小；
②电子打到金属板的最长时间和最短时间之差。
(2)若两板间不接电源，仅加垂直纸面向里的匀强磁场B，其中，求：
①有电子打到的金属板总长度；
②打在金属板上的电子占发射电子总数的百分比。
(3)在两金属板之间接一电压恒为U的电源的同时，加一垂直纸面向里的匀强磁场B，其中，。考虑初速度v0水平向右的电子，求该电子打在金属板上时速度的大小和方向。
【答案】(1)，
(2)，100%
(3)见解析
【来源】2025届Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）高三上学期第一次联考物理试题
【详解】（1）①根据牛顿第二定律有
解得
②水平向左运动的电子运动距离
该电子不会打在左侧金属板上，电子打到金属板的最长时间和最短时间之差为
（2）①根据洛伦兹力提供向心力有
解得
如图所示
由图可知，SA为圆的直径，C点为相切点，则
所以有电子打到的金属板总长度为
②由图甲可知，打在金属板上的电子占发射电子总数的百分比为100%。
（3）根据动能定理可得
解得
如图所示
y轴方向，有
所以
解得
电子打在金属板上时速度的大小为
方向与水平向右方向夹角
易错点一：概念理解易错
1、电场相关概念混淆：在电场部分，极易混淆电场强度、电势、电势能的概念。常常错误地认为电场强度大的地方电势必然高，却忽略了电场强度反映的是电场力的性质，而电势体现的是电场能的性质，二者不存在必然联系。
2、磁场相关概念误解：对洛伦兹力的理解常常出现偏差，在运用左手定则判断其方向时不够准确，在判断过程中容易将四指指向与电流方向混淆，尤其是在涉及电子等负电荷运动时，更容易出错。同时，在理解带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力来源时，错误地认为除了洛伦兹力之外还有其他力提供向心力，忽视了洛伦兹力始终与粒子速度方向垂直，只改变速度方向，并不改变速度大小，是粒子做圆周运动的唯一向心力来源这一关键要点。
3、复合场概念模糊：在复合场问题中，准确分析粒子的受力情况颇具难度。当电场力、洛伦兹力和重力同时存在时，很容易遗漏某些力，特别是在区分微观粒子和宏观物体时，常常忽略微观粒子重力可忽略不计的条件，或者在对宏观物体进行受力分析时，错误地不考虑重力。
易错点二：题型解答易错
1、选择题干扰项误导：选择题中有关带电粒子在电场、磁场中运动的选项，常常设置干扰内容。例如，在考查电场强度与电势关系时，会给出一些看似合理但实际上错误的表述，像 “电势为零的地方电场强度也为零”，学生如果对概念的理解不够深入，就容易被误导。在磁场部分，关于洛伦兹力方向判断的选项，会设置一些与左手定则相近但错误的描述，或者在复合场问题中，给出对粒子受力和运动情况的错误分析选项，学生要是不能准确把握知识，就很容易选错。
2、填空题计算错误：填空题侧重于物理量的计算，在计算带电粒子在电场中的加速度、在磁场中的运动半径、周期，以及在复合场中的速度、位移等物理量时，容易出现粗心大意导致的错误。比如在计算过程中，小数点位置点错、乘除运算错误、三角函数计算错误等。而且在根据题目所给信息选择合适公式进行计算时，也容易选错公式。
3、计算题思路混乱：解答计算题时，面对带电粒子在复杂电场、磁场或复合场中的运动问题，学生常常缺乏清晰的解题思路。在分析物理过程时，无法有序地考虑各物理量的变化和相互关系。例如，在分析粒子在多个电场、磁场区域的运动时，不清楚应该先分析哪个区域的运动，也不知道如何将不同区域的运动过程联系起来，从而导致解题过程混乱。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)秘籍11 带电粒子在电场磁场中的运动
【解密高考】
【题型一】带电粒子在电场中的运动
【题型二】磁场对运动电荷的作用
【题型三】带电粒子在复合场中应用实例
【题型四】带电粒子在组合场中的运动
【题型五】带电粒子在叠加场中的运动
【误区点拨】
易错点：带电粒子在电场磁场中的运动分析
注重基础概念：着重考查对基本概念和规律的准确理解。计算题依赖基础概念解题，如分析复合场中粒子运动，需准确理解电场力和洛伦兹力。
联系实际：以生活现象、科技应用为背景，如质谱仪、回旋加速器等，考查知识迁移和解决实际问题能力，要求学生关注生活物理现象。
突出综合能力：融合多方面知识，考查综合分析、逻辑思维和数学运算。计算题设复杂情境，要求运用多规律，结合几何、函数等数学方法，对数学应用能力要求高。
梳理知识框架：以带电粒子在电场、磁场、复合场中的运动为核心，构建知识框架，用思维导图串联知识点，明确电场力、洛伦兹力、运动规律、能量关系等联系，方便解题选规律。
深化概念理解：通过实验、模拟或实例，理解电场、磁场基本概念和粒子受力特点，对比电场力和洛伦兹力，避免概念混淆，如明确洛伦兹力不做功。
强化公式应用：牢记重要公式，通过练习掌握不同情境下公式运用，根据已知选合适公式计算，注意单位统一和适用范围，如判断公式用于匀强场还是非匀强场。
【题型一】带电粒子在电场中的运动
1．电场中的直线运动问题
(1)动能定理：不涉及t、a时可用．
(2)牛顿第二定律＋运动学公式：涉及a、t时可用．尤其是交变电场中，最好再结合v－t图象使用．
2．匀强电场中的偏转问题
(1)用平抛运动规律处理：运动的分解．
①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间t＝.
②沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝＝＝.
③离开电场时的偏移量y＝at2＝.
④速度偏向角tan φ＝＝ tan φ＝；
位移偏向角tan θ＝＝ tan θ＝.
(2)动能定理：涉及功能问题时可用．
注意：偏转时电场力做功不一定是W＝qU板间，应该是W＝qEy(y为偏移量)．
3．非匀强电场中的曲线运动问题
(1)运动电荷的轨迹偏向受力的一侧，即合外力指向轨迹凹的一侧；电场力一定沿电场线切线，即垂直于等势面，从而确定电荷受力方向．
(2)由电场力的方向与运动方向夹角，判断电场力做功的正负，再由功能关系判断动能、电势能的变化．
如图所示，半径为的均匀带电细圆环处于水平面内，圆心位于竖直轴上的原点处，细圆环所带电荷量为，轴上A点与原点的距离为，静电力常量为，质量为的带负电小球恰能静止于A点，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．细圆环在点处产生的电场的场强大小为
B．沿轴从点到A点，电场强度不断增大
C．细圆环带负电，小球所带电荷量为
D．沿轴向上缓慢移动小球，移动过程中外力所做的功等于小球增加的重力势能
如图所示，两个等量负点电荷固定在、两点，为的中点，、关于对称。将一电子由点静止释放，电子由运动到的过程中，下列关于电子的速度、加速度、机械能、电势能与运动时间或位移的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，两对分别竖直、水平固定放置的带电平行金属板，形成互不干扰的匀强电场，一比荷为的带正电粒子（不计重力）从极板1的小孔无初速度飘入水平加速电场，从极板2的小孔射出后立即进入偏转电场，最后从极板3的右边缘离开，已知极板1、2的间距与3、4的间距以及极板3、4的长度均相等，小孔位于极板1、2的正中间。已知极板1、2间电压为，则（ ）
A．极板2、3均带正电
B．极板3、4间的电压为
C．粒子在两个电场中的运动时间之比为
D．粒子从极板3的右边缘射出时的速度大小为
两块相同足够大的平行金属板A、B竖直放置，将一金属小球放入其中，其截面示意图如图所示。O点为球心，a、c为其外表面上两点，Oa连线与平行板垂直。闭合开关，电容器充电完成（忽略小球的感应电荷对平行金属板A、B的影响），下列说法正确的（ ）
A．a点的电势比c点的电势高
B．小球的感应电荷在c点产生的电场水平向左
C．若将A板向右移动，则a点的感应电荷的密度将增大
D．若断开开关，再将B板向下移动少许，则O点的电场强度不变
如图所示，竖直放置一根足够长光滑绝缘细直杆，在其两侧对称固定两个电荷量均为的正电荷，两电荷之间的距离为，A、B、C三点均在竖直杆上，，C点是两电荷的连线和细杆的交点。一个质量、电荷量的带负电小球串在细杆上，由A点静止释放。则小球（ ）
A．到达B位置时的速度为0 B．从C运动到B的过程中，小球加速度一直增大
C．到达B点时的速度为 D．整个运动过程中，小球在B位置的电势能最大
【题型二】磁场对运动电荷的作用
1．基本公式：qvB＝m，T＝ 重要结论：r＝，T＝
2．基本思路
(1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹．
(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间和周期相联系．
(3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式．
3．轨迹圆的几个基本特点
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角．如下图，θ1＝θ2＝θ3.
(2)粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角(如图，α1＝α2)．
(3)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向，如图甲．[]
(4)磁场圆与轨迹圆半径相同时，以相同速率从同一点沿各个方向射入的粒子，出射速度方向相互平行．反之，以相互平行的相同速率射入时，会从同一点射出(即磁聚焦现象)，如图乙．
如图（a）所示，一点电荷（不计重力）在辐向电场中围绕圆心做匀速圆周运动，轨迹所在处的电场强度大小均为；如图（b）所示，同一点电荷在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场中做匀速圆周运动。已知点电荷两次做圆周运动的线速度相等，两个圆弧轨迹的半径均为，下列说法正确的是（ ）
A．图（b）中点电荷可能沿逆时针转动也可能沿顺时针转动
B．点电荷的线速度大小为
C．点电荷的向心加速度大小为
D．点电荷的比荷为
如图所示，在坐标原点O处有一粒子源，能向第二象限各个方向发射速率相等的带电粒子，在O点上方有一圆形磁场区域，O点恰在圆周上，磁场区域的磁感应强度及磁场圆的半径均可调。已知P点坐标为，Q点坐标为，在PQ连线的右上方有垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场，带电粒子的质量为m、电荷量为。当磁场圆半径为、磁感应强度也为时，沿y轴正方向发射的粒子恰能沿平行x轴方向离开圆形磁场，求：
（1）带电粒子运动的速度；
（2）有粒子经过x轴的坐标范围；
（3）若两个磁场区域不重叠，粒子源发射的粒子按角度均匀分布，且圆形磁场区域的磁感应强度B与磁场半径r满足，则垂直经过x轴的粒子的比例与磁感应强度B是什么关系？（角度可用反三角函数表示：若，则）
在如图所示的xOy平面内，边长为2R的正方形区域中存在方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，沿x轴放置一长为2R的探测板，与磁场下边界的间距为R，质量为m、电荷量为q的正离子源从正方形一边（位于y轴上）的中点P向垂直于磁场方向持续发射离子，发射速度方向与水平方向夹角范围为0﹣60°并沿0﹣60°范围均匀分布，单位时间发射N个离子，其发射离子速度大小随发射角变化的关系为，α为发射速度方向与水平方向夹角，其中当α＝0°的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并中和，已知R＝0.05m，B＝1T，v0=5×105m/s，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)求离子的比荷（结果保留一位有效数字）；
(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数n（结果保留分数）；
(3)求探测板至少多长能吸收到所有离子（结果保留根式）。
如图所示，由光滑绝缘材料制成的边长为L的正方形框架DCEF位于竖直平面内，在此区域外足够大的空间中充满磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直于平面向里。正方形DC中点S处有一离子源，可以沿垂直DC边向下发射不同速度的离子，其质量为m，电量为q（q>0）。若该离子与正方形框架相互作用时均无能量损失和电荷量损失，速度方向与边界垂直，不计粒子的重力和边框厚度。
(1)求打到C点离子的最大速度；
(2)为使从S点发出的离子最终又回到S点，且运动时间最短，求最短时间及相应的速度；
(3)若磁场是半径为的圆柱形区域（图中虚线），圆柱的轴线通过正方形的中心O，要使从S点发出的粒子最终能回到S点，求带电粒子速度v的大小。
电子束焊是在高真空条件下，利用电子束轰击焊接面，将高速电子束的动能转化为内能，对金属进行焊接的一种方法。为了提高温度，需要利用磁场控制高速电子束，使其聚集到小区域内。如图所示，电子束焊装置的结构可简化为由电子枪系统和磁控系统组成。在电子枪系统中，每秒有N个电子经加速后从O点进入磁控系统，所有电子速度大小均为，速度方向分布于以y轴为中心轴、2θ为顶角的圆锥内（θ很小）。磁控系统内存在沿着y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，待焊接圆形工件（尺寸足够大）垂直y轴放置，圆心位于y轴上。已知电子的质量为m，电荷量为-e（e>0），当θ很小时，有，。
(1)若从电子枪系统出射电子的动能是静止电子经电场加速获得，求加速电压；
(2)要使所有进入磁控系统的电子都能汇聚于工件上同一点，求工件圆心的y坐标；
(3)写出某电子进入磁控系统后，其在xOz平面的速度分量所转过的角与电子y方向运动的距离之间的函数关系；
(4)已知电子束轰击工件表面时，受轰击区域受热均匀。若待焊接处单位面积单位时间获得热量为才能达到焊接需要的温度，为使工件圆心处能达到焊接温度，求工件圆心的y坐标范围。（结果可用反三角函数表示）
【题型三】带电粒子在复合场中应用实例
1．质谱仪(如图)
原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2.
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m.
由以上两式可得r＝，m＝，＝.
2．回旋加速器(如图)
原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关．
3．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量，区别见下表．
装置 原理图 规律
速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极板电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝v0Bd
电磁流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝
霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
如图所示，一根固定的绝缘细杆处于竖直方向，质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上，小球可以在细杆上滑动。细杆所处空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右、场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。已知，小球与细杆间的摩擦因数为μ（），小球从静止开始下滑经过t0时间速度达到最大值，重力加速度为g，则（ ）
A．小球下滑的最大加速度为
B．小球下滑的最大速度为
C．t0时间内，可以根据已知量计算摩擦力对小球做的功
D．t0时间内，无法根据已知量计算洛伦兹力对小球的冲量
范德格拉夫静电加速器由两部分组成，一部分是产生高电压的装置，叫作范德格拉夫起电机，加速罩（即金属球壳）是一个铝球，由宽度为D、运动速度为v的一条橡胶带对它充电，从而使加速罩与大地之间形成稳定的高电压U。另一部分是加速管和偏转电磁铁，再加上待加速的质子源就构成了一台质子静电加速器，如图中所示。抽成真空的加速管由多个金属环及电阻组成，金属环之间由玻璃隔开，各环与电阻串联。从质子源引出的质子进入真空加速管加速，然后通过由电磁铁产生的一个半径为b的圆形匀强磁场区域引出打击靶核。已知质子束的等效电流为，通过电阻的电流为，质子的比荷。单位面积上的电荷量叫做电荷面密度。下列说法不正确的是（ ）
A．若不考虑传送带和质子源的影响，加速罩内的电场强度为零
B．若不考虑传送带和质子源的影响，加速罩内的电势大小等于U
C．要维持加速罩上大小为U的稳定电压，喷射到充电带表面上的电荷面密度为
D．质子束进入电磁铁，并做角度为的偏转，磁感应强度
(23-24高三上·浙江衢州、丽水、湖州三地·期中)水平放置的两金属板，板长为0.2m，板间距为0.15m，板间有竖直向下的匀强电场，场强大小为2×103V/m，两板的左端点MN连线的左侧足够大空间存在匀强磁场，磁感应强度的大小为0.2T，方向垂直纸面向里。一比荷为1×106C/kg正电粒子以初速度v0紧靠上极板从右端水平射入电场，随后从磁场射出。则（ ）
A．当v0=1×104m/s时，粒子离开磁场时的速度最小
B．当时，粒子离开磁场时的速度最小
C．当时，粒子离开磁场的位置距M点的距离最小
D．当v0=2×104m/s时，粒子离开磁场的位置距M点的距离最小
霍尔效应传感器可用于自行车速度计上，如图甲所示，将霍尔传感器固定在前叉上，磁铁安装在前轮辐条上，轮子每转一圈，磁铁就靠近霍尔传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压。霍尔传感器原理如图乙所示，电源电压为，当磁场通过霍尔元件时，在导体前后表面间出现电压。某次行驶时，霍尔传感器测得的电压随时间t变化如图丙所示，车轮半径为R，霍尔传感器离轮轴距离为r，下列说法中正确的是（ ）
A．自行车的速度是
B．自行车的速度是
C．若自行车的车速越大，则霍尔电压的峰值越大
D．若电源电压越大，则霍尔电压的峰值越大
如图所示，两个定值电阻的阻值分别为R1和R2，直流电源的电动势E0，内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为d，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为m的带电小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘A点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，则（ ）
A．该小球带负电
B．小球所带的电量为
C．匀强磁场的磁感应强度为
D．如果将上极板上移，电容器极板所带的电量将增大
【题型四】带电粒子在组合场中的运动
1．两大偏转对比
匀强电场中的“电偏转” 匀强磁场中的“磁偏转”
力学特征 F电为恒力 v⊥B时，F＝qvB
运动规律 类平抛运动(合成与分解) 匀速圆周运动(v⊥B) r＝ T＝
偏转情况 tan θ＝ θ＝·2π
动能是否变化 动能发生变化 动能不变[]
2.思维流程
如图所示，小张同学设计了某种粒子收集装置，在水平面内建立坐标系，并分为区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ，Ⅰ区存在磁感应强度大小为B，方向垂直平面向里的匀强磁场，Ⅱ区的宽度极小，Ⅲ区是真空，Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差，在y轴上存在足够长的收集板（点N与坐标原点O重合），粒子打到板上即被吸收。区域Ⅰ中点处有一粒子源，仅在时刻，在到范围内均匀发射速度大小为v（v未知）、方向与水平面平行，质量为m、电荷量为e的电子，其中沿y轴正方向射入磁场的电子恰好垂直打在收集板上的Q点。不计电子重力，不考虑电子间相互作用以及电子对磁场和电势分布的影响，可能用到的数学知识：。求：
(1)粒子的发射速度大小v；
(2)到达收集板的电子中，在磁场中运动时间最长与最短的时间差；
(3)收集板上同一点被两个不同方向的电子击中的区域长度，以及这些电子数占总发射电子数的百分比；
(4)若在板上的Q位置挖一个极小的孔，并改变电子的入射速度大小为，写出从Q点射出的电子到达x轴的坐标与Ⅱ区电压U的函数关系。
利用电场、磁场对带电粒子的偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面坐标系中，第二象限圆形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，已知圆形区域半径为R0，P点为一粒子源，能向x轴上方各方向均匀发射质量为m，电量为q，速度大小为v0的带电粒子，所有带电粒子经圆形磁场偏转后均能平行x轴射入第一象限；第一象限直角三角形区域内存在方向竖直向上的匀强电场，已知OM = 2R0，粒子重力可忽略不计，求解下列问题。
（1）P点出射粒子带正电还是带负电，圆形区域匀强磁场磁感应强度大小B0；
（2）假设三角形区域匀强电场，所有进入电场的粒子中，求能从MN边界射出的粒子在经过y轴时的y轴坐标区间；
（3）假设第一象限直角三角形区域内电场改为方向垂直纸面向里，磁感应强度大小的匀强磁场，如图2，求从ON边界和从MN边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例。
带电粒子在磁场中的螺旋线运动被广泛应用于磁聚焦技术。如图所示，在x<0的区域I中存在磁感应强度大小，方向垂直纸面向里的匀强磁场；在的区域Ⅱ中，存在沿x轴正方向的匀强磁场B2；在区域Ⅲ中存在电场强度大小为，方向沿y轴正方向的匀强电场；其它区域电磁场忽略不计。在x=7d处垂直x轴放置一块长度为2d的接收板，上端紧靠x轴。在A（0，d）位置有一粒子源，在xOy平面内按角度均匀发射质量为m，电荷量为+q的粒子，粒子的速度方向限制在图中（θ是速度与x轴负半轴夹角）范围内，速度大小满足（其中v0已知）。已知粒子打到接收板后即被吸收，接收板不影响电场分布，不计空气阻力、重力和粒子间的相互作用力，可能用到。
（1）求θ=60°的粒子击中y轴的坐标；
（2）若，求在区域Ⅱ内粒子离开x轴的最大距离；
（3）若单位时间内，粒子源发射N个粒子，所有粒子均能经过C（3d，0）点，求：
①B2所有可能的大小；
②稳定后，接收板受到的垂直冲击力大小。
【题型五】带电粒子在叠加场中的运动
1．解题规范
(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加．
(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，包括场力、弹力和摩擦力．
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系．
2．灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
中国航天科技集团自主研制的300瓦霍尔电推进系统已经顺利完成地轨卫星的机动变轨任务，整个卫星的运行轨道被抬升了300公里。我国现阶段霍尔推进器，在地面实验中，其推力达到了牛级，处于国际领先水平。小明同学受到启发设计了如图所示装置研究电荷运动及作用力，三束比荷为、速度为、相邻间距的平行带正电粒子a、b、c持续均匀射入一半径的圆形匀强磁场区域后汇聚于点，随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中。在边界N处放置一个足够大荧光屏，圆形磁场圆心与点及荧光屏上坐标原点连线共轴且垂直荧光屏。
（1）求圆形磁场区域的磁感应强度的大小及方向；
（2）若在MN的区域中加上水平向右、磁感应强度的匀强磁场，求a束粒子打在屏上的位置坐标；
（3）若在MN的区域中加上（2）中磁场的同时再加上水平向右、电场强度的匀强电场。
①求a束粒子打在屏上的位置坐标；
②某次实验中，整个装置安装在一个飞船模型上，把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量单位时间内每束粒子有个喷出，求粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小。（冲力计算结果保留两位有效数字，可能用到的数据：）
如图所示为一种测量石墨晶体层数的装置。图中O1，O2分别为EF，GH的中点，右侧为一含有n层sp2杂化的碳原子平面的石墨晶体，装置中所有的磁场及电场的方向及大小规律分布已在图中标出，不过多说明。装置的作用原理如下：一粒子源S发出一个带电粒子，该带电粒子无初速度地从AB极板中点的小孔进入加速电场，经加速后从O1进入板间，最终从O2点水平射出，之后粒子从P点垂直进入石墨层，并与有且仅有一个碳原子结合形成一个新整体，该过程整体视为质量与动量守恒。此后整体每经过一个石墨层都会再结合一个碳原子。当加速电压U=100V时，粒子恰好无法穿过该石墨晶体。已知粒子与碳原子的质量均为，粒子的带电量，EF、GH间电场强度E0=600V/m，板长均为L=1.5πm，板间距d=1m，石墨各层间距均为。图中，但B0未知。不计粒子间相互作用力，仅考虑图中电场与磁场对粒子的作用，电场与磁场均视为匀强场，不考虑边缘效应、相对论效应。求：
（1）粒子从加速电场中出来的速度v0；
（2）极板EF、GH间的磁感应强度大小B0；
（3）n的值以及粒子打在第n层时垂直纸面的位移大小s。
磁控管是微波炉的核心器件，磁控管中心为热电子发射源，电子在电场和磁场的共同作用下，形成了如图甲所示的漂亮形状。现将该磁控管简化成如图乙所示的装置，两足够长的平行金属板相距4d，板间中心有一电子发射源S向各个方向发射初速度大小为v0的电子。已知电子比荷为，仅考虑纸平面内运动的电子，回答以下问题：
(1)若两板间不加磁场，仅接一电压恒为U的电源，其中，求：
①电子在板间运动的加速度的大小；
②电子打到金属板的最长时间和最短时间之差。
(2)若两板间不接电源，仅加垂直纸面向里的匀强磁场B，其中，求：
①有电子打到的金属板总长度；
②打在金属板上的电子占发射电子总数的百分比。
(3)在两金属板之间接一电压恒为U的电源的同时，加一垂直纸面向里的匀强磁场B，其中，。考虑初速度v0水平向右的电子，求该电子打在金属板上时速度的大小和方向。
易错点一：概念理解易错
1、电场相关概念混淆：在电场部分，极易混淆电场强度、电势、电势能的概念。常常错误地认为电场强度大的地方电势必然高，却忽略了电场强度反映的是电场力的性质，而电势体现的是电场能的性质，二者不存在必然联系。
2、磁场相关概念误解：对洛伦兹力的理解常常出现偏差，在运用左手定则判断其方向时不够准确，在判断过程中容易将四指指向与电流方向混淆，尤其是在涉及电子等负电荷运动时，更容易出错。同时，在理解带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力来源时，错误地认为除了洛伦兹力之外还有其他力提供向心力，忽视了洛伦兹力始终与粒子速度方向垂直，只改变速度方向，并不改变速度大小，是粒子做圆周运动的唯一向心力来源这一关键要点。
3、复合场概念模糊：在复合场问题中，准确分析粒子的受力情况颇具难度。当电场力、洛伦兹力和重力同时存在时，很容易遗漏某些力，特别是在区分微观粒子和宏观物体时，常常忽略微观粒子重力可忽略不计的条件，或者在对宏观物体进行受力分析时，错误地不考虑重力。
易错点二：题型解答易错
1、选择题干扰项误导：选择题中有关带电粒子在电场、磁场中运动的选项，常常设置干扰内容。例如，在考查电场强度与电势关系时，会给出一些看似合理但实际上错误的表述，像 “电势为零的地方电场强度也为零”，学生如果对概念的理解不够深入，就容易被误导。在磁场部分，关于洛伦兹力方向判断的选项，会设置一些与左手定则相近但错误的描述，或者在复合场问题中，给出对粒子受力和运动情况的错误分析选项，学生要是不能准确把握知识，就很容易选错。
2、填空题计算错误：填空题侧重于物理量的计算，在计算带电粒子在电场中的加速度、在磁场中的运动半径、周期，以及在复合场中的速度、位移等物理量时，容易出现粗心大意导致的错误。比如在计算过程中，小数点位置点错、乘除运算错误、三角函数计算错误等。而且在根据题目所给信息选择合适公式进行计算时，也容易选错公式。
3、计算题思路混乱：解答计算题时，面对带电粒子在复杂电场、磁场或复合场中的运动问题，学生常常缺乏清晰的解题思路。在分析物理过程时，无法有序地考虑各物理量的变化和相互关系。例如，在分析粒子在多个电场、磁场区域的运动时，不清楚应该先分析哪个区域的运动，也不知道如何将不同区域的运动过程联系起来，从而导致解题过程混乱。
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