押浙江卷计算大题18
带电粒子在电场磁场中的运动
猜押题型 考情分析 命题思路
16大题 一般作为计算题的第四题，难度大，从历年浙江物理选考真题卷来看，带电粒子在电场磁场中运动的计算大题考查频率较高，在每一次选考中都会出现。 情境创设新颖且复杂：命题常创设丰富多样、紧密联系实际或前沿科技的物理情境。比如以质谱仪、回旋加速器等仪器设备为背景，考查带电粒子在其中的运动过程；或是模拟带电粒子在星际空间中受天体磁场影响的运动等。 知识综合程度极高：这类计算大题绝非单一知识点的考查，而是将电场力、洛伦兹力的性质与计算，带电粒子在电场中的加速、偏转（类平抛运动），在磁场中的匀速圆周运动，以及牛顿第二定律、动能定理、能量守恒定律等知识深度融合。在分析粒子运动时，既要依据电场磁场特性确定粒子受力，又要结合运动学知识判断运动状态变化，还要从能量角度分析能量转化情况。 数学能力要求严苛：为精准求解此类问题，学生需熟练运用各类数学工具。常涉及到平面几何知识，用于确定带电粒子在磁场中圆周运动的圆心、半径、轨迹与几何边界的关系 整体而言，浙江物理选考中带电粒子在电场磁场中运动的计算大题难度呈稳步上升态势。近年来，题目所设置的物理过程愈发错综复杂，多场叠加、多阶段运动频繁出现，对学生分析和拆解复杂问题的能力提出了更高要求。例如在 2024 年部分真题中，带电粒子不仅要在多个不同方向、强度的电场和磁场中依次运动，运动过程中还可能伴随粒子的分裂、电荷的增减等特殊情况，每个阶段衔接紧密，学生需细致分析每个状态变化原因与遵循的物理规律，这无疑大幅增加了题目的难度。不过，命题在难度提升的同时，也注重合理设置梯度，一般前 1 - 2 问较为基础，考查基本概念和简单应用，如判断粒子在电场或磁场中的受力方向、计算粒子在单一电场中的加速度等；后几问则逐步深入，考查学生对知识的深度理解与综合运用，如分析粒子在复杂复合场中的运动轨迹与能量转化，进而有效区分不同能力层次的学生 常考考点：电场力、洛伦兹力，圆周运动、带电粒子在电磁场中的运动……
1．离子注入机的原理图如图甲所示，由发射源、加速电场、速度选择器、偏转注入磁场、中性粒子回收器组成。均匀分布的混合粒子束离开发射源后，带电粒子在加速电场中加速，后以相同速度通过速度选择器，再进入偏转磁场，最终打在待掺杂半导体上；中性粒子始终沿原方向运动，被回收器回收。已知所有带电粒子均带正电，带电荷量为、质量为，速度选择器两极板间的电压可调，板间距为，极板长度为，极板间磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，加速电场的加速电压为，待掺杂半导体的长度为。当时，恰好没有带电粒子进入偏转磁场。不考虑粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求粒子离开发射源时的速度大小。此时要使所有粒子均能通过速度选择器，求的值。
(2)在时，若加速电场的加速电压在内周期性均匀变化，其中且，求不能进入偏转磁场的带电粒子占总带电粒子数目比例的最大值（可认为带电粒子进入速度选择器后所受合力不变）。
(3)若保持不变，随时间线性变化的规律如图乙所示（可认为带电粒子进入速度选择器后所受合力不变），周期为，偏转磁场的区域足够大。
①要求所有进入偏转磁场的带电粒子全部打在半导体上，求偏转磁场的磁感应强度大小的取值范围。
②已知发射源时间发射总粒子数为，中性粒子回收器时间回收粒子数目为，在取最大值的情况下，求1个周期内待掺杂半导体接收粒子的平均密度（总接收粒子数÷总接收长度）。
2．利用电场、磁场可以控制离子的运动路径。如图所示，空间直角坐标系中，轴正方向水平向右、轴正方向竖直向上、轴正方向垂直平面向外，离子源位于坐标原点，在平面内沿与轴成角方向发射速率为，质量为，电荷量为的正离子，在平面右侧区域内存在水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小为，从点射出的离子经过时间穿过轴上的点。不计空气阻力和离子所受的重力，不考虑离子对场的影响，。
(1)求点坐标。
(2)去掉磁场，在平面内加上竖直向下的匀强电场，从离子源发出的离子向上运动，轨迹最高点到轴的距离为，求：
①所加电场的场强大小；
②离子回到轴时的位置。
(3)保留原磁场，同时在平面右侧区域加水平向右的匀强电场，场强大小为，求从离子源发出的离子：
①经过时间时的位置坐标；
②经过时间时的位置坐标。
3．如图所示，半径为的实线圆形边界内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），一质量为、电荷量为的粒子（不计重力）从圆周上的点以速度射入磁场，从点射出磁场，运动轨迹的半径为，粒子在圆形边界内的运动时间为速率相同情况下运动时间的最大值，点是入射速度延长线与出射速度反向延长线的交点，点是出射速度延长线上一点，、两点间的距离为，过点的虚线、分别与平行和垂直，虚线与平行，且与的间距为，、与所围区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场（未画出），粒子从点进入磁场，到达时轨迹正好与相切于点，求：
(1)实线圆形边界内匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)与间匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)粒子从到所用的总时间；
(4)粒子从到所受的作用力对时间的平均值的大小。
4．如图所示为一种测量石墨晶体层数的装置。图中O1，O2分别为EF，GH的中点，右侧为一含有n层sp2杂化的碳原子平面的石墨晶体，装置中所有的磁场及电场的方向及大小规律分布已在图中标出，不过多说明。装置的作用原理如下：一粒子源S发出一个带电粒子，该带电粒子无初速度地从AB极板中点的小孔进入加速电场，经加速后从O1进入板间，最终从O2点水平射出，之后粒子从P点垂直进入石墨层，并与有且仅有一个碳原子结合形成一个新整体，该过程整体视为质量与动量守恒。此后整体每经过一个石墨层都会再结合一个碳原子。当加速电压U=100V时，粒子恰好无法穿过该石墨晶体。已知粒子与碳原子的质量均为，粒子的带电量，EF、GH间电场强度E0=600V/m，板长均为L=1.5πm，板间距d=1m，石墨各层间距均为。图中，但B0未知。不计粒子间相互作用力，仅考虑图中电场与磁场对粒子的作用，电场与磁场均视为匀强场，不考虑边缘效应、相对论效应。求：
（1）粒子从加速电场中出来的速度v0；
（2）极板EF、GH间的磁感应强度大小B0；
（3）n的值以及粒子打在第n层时垂直纸面的位移大小s。
5．利用电场、磁场对带电粒子的偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面坐标系中，第二象限圆形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，已知圆形区域半径为R0，P点为一粒子源，能向x轴上方各方向均匀发射质量为m，电量为q，速度大小为v0的带电粒子，所有带电粒子经圆形磁场偏转后均能平行x轴射入第一象限；第一象限直角三角形区域内存在方向竖直向上的匀强电场，已知OM = 2R0，粒子重力可忽略不计，求解下列问题。
（1）P点出射粒子带正电还是带负电，圆形区域匀强磁场磁感应强度大小B0；
（2）假设三角形区域匀强电场，所有进入电场的粒子中，求能从MN边界射出的粒子在经过y轴时的y轴坐标区间；
（3）假设第一象限直角三角形区域内电场改为方向垂直纸面向里，磁感应强度大小的匀强磁场，如图2，求从ON边界和从MN边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例。
6．在空间中一足够长圆柱形区域内存在匀强磁场，磁场的方向沿轴线向右，磁感应强度为，在轴线上有一粒子源，可以每秒发射N个质量为m，电荷量为＋q，速度为的粒子。不计重力和粒子间的相互作用力。
（1）如图1所示，使粒子源沿垂直轴线的方向发射粒子，粒子恰好不会飞出磁场区域，求磁场区域的半径R；
（2）如图2所示，在磁场区域半径满足（1）的前提下，在右侧磁场范围内垂直轴线放一块足够大收集板A，将大量粒子沿与轴线成向右射出，为保证所有粒子在A上均汇聚于一点，求粒子源到极板A的水平距离；
（3）如图3所示，大量粒子沿与轴线成向右均匀射出，粒子源到A的距离满足（2）问，在A的中心挖一小孔，可使粒子通过。将收集板B平行放置于A右侧，并在AB极板间加上电压。粒子打在B板上即被完全吸收，求收集板B所受的作用力F与极板间电压的关系；
（4）实验室中，常利用亥姆霍兹线圈产生匀强磁场，当一对亥姆霍兹线圈间的距离增大时，即可生成磁感应强度随空间缓慢变化的磁场，如图4所示，其磁感应强度两端强，中间弱。带电粒子可以在端点处“反射”而被束缚其中，即“磁约束”。粒子的运动满足如下规律：带电粒子在垂直磁场方向的速度分量与此处的磁感应强度B之间满足：，现假设该磁场中的最大磁感应强度和最小磁感应强度之比为，在该磁场的中部最弱区域有一带电粒子源，与轴线成发射粒子束，要使这些粒子能被束缚在该磁场区域，求的最小值。
7．(23-24高三下·浙江县域教研联盟·一模)医学检查中磁共振成像简化模型如图所示，其中一个重要的部件“四极铁”，能够提供梯度磁场，从而控制电子束在运动过程中汇聚或发散，图甲为该磁场的磁感线分布情况。一束电子从M板上均匀分布的小孔飘入（初速度可以忽略不计），经过平行板MN间电场加速后获得速度v，沿垂直纸面向里的方向进入“四极铁”空腔。电子质量为m，电量为e，不计粒子重力和粒子间相互作用。
（1）求加速电压大小，判断图甲中a、c和b、d两对电子，哪一对电子进入磁场后会彼此靠近；
（2）以图甲中磁场中心为坐标原点O建立坐标系，垂直纸面向里为x轴正方向，沿纸面向上为y轴正方向，在xOy平面内的梯度磁场如图乙所示，该磁场区域的宽度为d。在范围内，电子束沿x轴正方向射入磁场，磁感应强度（且已知，以垂直xOy平面向里为磁场正方向）。电子速度大小均为v，穿过磁场过程中，电子的y坐标变化很小，可认为途经区域为匀强磁场。
①求从处射入磁场的电子，在磁场中运动的半径及速度偏转角的正弦值；
②研究发现，所有电子通过磁场后，将聚焦到x轴上处。由于d很小，可认为电子离开磁场时，速度方向的反向延长线通过点，且速度方向的偏转角很小，，求f的表达式；
③在处再放置一个磁场区域宽度为d的“四极铁”（中心线位于处），使②问中的电子束通过后速度方向变成沿x轴正方向，若该“四极铁”的磁感应强度，求；
④如图丙，仪器实际工作中，加速电压U会在附近小幅波动，导致电子聚焦点发生变化。若要求聚焦点坐标偏差值不超过，求电压波动幅度的最大值。
8．2023年12月1日晚间，绚丽的极光现身北京市门头沟区。极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。从北极地区看赤道平面的地磁场，可简化为下图：O为地球球心，R为地球半径，将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度为B。假设高能粒子的质量为m，电荷量为。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应。
（1）若高能粒子从A点以速度沿切线进入磁场边界位置时，粒子恰好绕着磁场边界做圆周运动，求粒子的速度的大小。
（2）地球磁层是保护地球的一道天然屏障，它阻挡着高能粒子直接到达地球表面，从而保护了地球上的生态环境。
a．假设高能粒子从磁场边缘A点以速率v沿半径方向射入磁场时恰不能到达地球表面，求粒子的比荷；
b．高能粒子实际上可在赤道平面内向各个方向均匀地射入磁场。若高能粒子仍以速率v射入地球磁场，求到达地球粒子数与进入地磁场粒子总数比值。（结果用反三角函数表示，例：，则，θ为弧度）
9．如图所示，直角坐标系中，有一平行于y轴长度为0.5L的线状离子源MN，M端在x轴上，坐标，离子源发射的正离子初速度大小均为，方向平行于x轴正方向，且发射的正离子沿MN均匀分布，每个离子质量为m，电荷量为q；在、区间内加一垂直于纸面向里，磁感应强度大小为的圆形边界匀强磁场，能使离子源发射的全部正离子经过原点O，不计离子重力及离子间的相互作用。
（1）求磁感应强度的取值范围；
（2）若磁感应强度取最小值，在第一象限加垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在第二象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，已知。离子发射前，在y轴上放置长度为0.8L的探测板PQ，只有打到探测板左侧表面的离子才能被探测到。
①求全部正离子经过原点O时与y轴正方向夹角的范围；
②若探测板下端Q纵坐标，求离子探测率（即探测板探测到的离子数占总离子数的比例）；
③若探测板位置在y轴上可变，Q端纵坐标满足，求离子探测率与的关系。
10．如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xoy坐标系，在第II象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ=45°。在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板C1、C2，两板间距为d1=0.6m，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板C1与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为L=0.72m。在第Ⅳ象限垂直于x轴放置一块平行y轴且沿y轴负向足够长的竖直平板C3，平板C3在x轴上垂足为Q，垂足Q与原点O相距内d2=0.18m。现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度v0=2m/s垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过C1板上的M孔，进入磁场区域。已知小球可视为质点，小球的比荷=20C/kg，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离s=m，不考虑空气阻力。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C3上，求磁感应强度的取值范围。
（3）以小球从M点进入磁场开始计时，磁场的磁感应强度随时间呈周期性变化，规定磁场方向垂直于桌面向上为正方向，如图乙所示，则小球能否打在平板C3上？若能，求出所打位置到Q点距离；若不能，求出其轨迹与平板C3间的最短距离。 （=1.73，计算结果保留两位小数）
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带电粒子在电场磁场中的运动
猜押题型 考情分析 命题思路
16大题 一般作为计算题的第四题，难度大，从历年浙江物理选考真题卷来看，带电粒子在电场磁场中运动的计算大题考查频率较高，在每一次选考中都会出现。 情境创设新颖且复杂：命题常创设丰富多样、紧密联系实际或前沿科技的物理情境。比如以质谱仪、回旋加速器等仪器设备为背景，考查带电粒子在其中的运动过程；或是模拟带电粒子在星际空间中受天体磁场影响的运动等。 知识综合程度极高：这类计算大题绝非单一知识点的考查，而是将电场力、洛伦兹力的性质与计算，带电粒子在电场中的加速、偏转（类平抛运动），在磁场中的匀速圆周运动，以及牛顿第二定律、动能定理、能量守恒定律等知识深度融合。在分析粒子运动时，既要依据电场磁场特性确定粒子受力，又要结合运动学知识判断运动状态变化，还要从能量角度分析能量转化情况。 数学能力要求严苛：为精准求解此类问题，学生需熟练运用各类数学工具。常涉及到平面几何知识，用于确定带电粒子在磁场中圆周运动的圆心、半径、轨迹与几何边界的关系 整体而言，浙江物理选考中带电粒子在电场磁场中运动的计算大题难度呈稳步上升态势。近年来，题目所设置的物理过程愈发错综复杂，多场叠加、多阶段运动频繁出现，对学生分析和拆解复杂问题的能力提出了更高要求。例如在 2024 年部分真题中，带电粒子不仅要在多个不同方向、强度的电场和磁场中依次运动，运动过程中还可能伴随粒子的分裂、电荷的增减等特殊情况，每个阶段衔接紧密，学生需细致分析每个状态变化原因与遵循的物理规律，这无疑大幅增加了题目的难度。不过，命题在难度提升的同时，也注重合理设置梯度，一般前 1 - 2 问较为基础，考查基本概念和简单应用，如判断粒子在电场或磁场中的受力方向、计算粒子在单一电场中的加速度等；后几问则逐步深入，考查学生对知识的深度理解与综合运用，如分析粒子在复杂复合场中的运动轨迹与能量转化，进而有效区分不同能力层次的学生 常考考点：电场力、洛伦兹力，圆周运动、带电粒子在电磁场中的运动……
1．离子注入机的原理图如图甲所示，由发射源、加速电场、速度选择器、偏转注入磁场、中性粒子回收器组成。均匀分布的混合粒子束离开发射源后，带电粒子在加速电场中加速，后以相同速度通过速度选择器，再进入偏转磁场，最终打在待掺杂半导体上；中性粒子始终沿原方向运动，被回收器回收。已知所有带电粒子均带正电，带电荷量为、质量为，速度选择器两极板间的电压可调，板间距为，极板长度为，极板间磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，加速电场的加速电压为，待掺杂半导体的长度为。当时，恰好没有带电粒子进入偏转磁场。不考虑粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求粒子离开发射源时的速度大小。此时要使所有粒子均能通过速度选择器，求的值。
(2)在时，若加速电场的加速电压在内周期性均匀变化，其中且，求不能进入偏转磁场的带电粒子占总带电粒子数目比例的最大值（可认为带电粒子进入速度选择器后所受合力不变）。
(3)若保持不变，随时间线性变化的规律如图乙所示（可认为带电粒子进入速度选择器后所受合力不变），周期为，偏转磁场的区域足够大。
①要求所有进入偏转磁场的带电粒子全部打在半导体上，求偏转磁场的磁感应强度大小的取值范围。
②已知发射源时间发射总粒子数为，中性粒子回收器时间回收粒子数目为，在取最大值的情况下，求1个周期内待掺杂半导体接收粒子的平均密度（总接收粒子数÷总接收长度）。
【答案】(1)，
(2)
(3)①；②
【来源】2025年浙江省普通高校招生选考科目考试物理测评卷（八）
【详解】（1）时，极板间仅存在磁场，粒子在板间做匀速圆周运动，结合题述，作出从最下方进入板间的粒子的运动轨迹，如图1所示
由几何关系可知，粒子在极板间做圆周运动的轨迹半径满足
解得
粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
粒子在加速电场中，由动能定理有
解得粒子离开发射源时的速度大小与进入偏转磁场的速度大小，
要使所有粒子均能通过板间，则要使粒子所受电场力与洛伦兹力相等，则有
解得
（2）由于加速电场的加速电压在内周期性均匀变化，令加速电压为，根据动能定理有
其中
解得粒子进入速度选择器时的速度为
粒子在速度选择器中运动，粒子所受合力不变，则合力为
粒子沿速度选择器极板方向做匀速直线运动，则粒子在极板间运动的时间
粒子垂直于速度选择器极板方向做匀加速直线运，则打在极板上的粒子对应的宽度
联立得
由数学知识可得，当时，不能进入偏转磁场的带电粒子占总带电粒子数目的比例最大，最大值为
（3）①设粒子进入偏转磁场时，速度与轴线的夹角为，如图2所示
粒子进入偏转磁场时的速度
其中
粒子在偏转磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
粒子在偏转磁场中的偏转距离
解得
可知，偏转距离只与粒子进入速度选择器时的速度，偏转磁场的磁感应强度大小有关。若要使所有带电粒子都打到半导体上，则粒子的偏转距离应满足
解得偏转磁场的磁感应强度大小的取值范围为
②当极板间所加电压发生变化时，对于恰好打到上极板右边缘的粒子有，
进入偏转磁场的带电粒子比例占总带电粒子数目的比例
解得
由于电压随时间线性变化，则进入偏转磁场的带电粒子数目占总数的比例也随时间线性变化，作出射入偏转磁场粒子数目随时间的变化图像，如图3所示
在1个周期内待掺杂半导体接收粒子的总数目为
结合上述可知，取最大值时，半导体接收粒子的总长度为，则1个周期内待掺杂半导体接收粒子的平均密度为
2．利用电场、磁场可以控制离子的运动路径。如图所示，空间直角坐标系中，轴正方向水平向右、轴正方向竖直向上、轴正方向垂直平面向外，离子源位于坐标原点，在平面内沿与轴成角方向发射速率为，质量为，电荷量为的正离子，在平面右侧区域内存在水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小为，从点射出的离子经过时间穿过轴上的点。不计空气阻力和离子所受的重力，不考虑离子对场的影响，。
(1)求点坐标。
(2)去掉磁场，在平面内加上竖直向下的匀强电场，从离子源发出的离子向上运动，轨迹最高点到轴的距离为，求：
①所加电场的场强大小；
②离子回到轴时的位置。
(3)保留原磁场，同时在平面右侧区域加水平向右的匀强电场，场强大小为，求从离子源发出的离子：
①经过时间时的位置坐标；
②经过时间时的位置坐标。
【答案】(1)
(2)①； ②
(3)①；②
【来源】2025年浙江省普通高校招生选考科目考试物理测评卷（三）
【详解】（1）将离子速度分解到轴和轴方向
离子在轴方向以做匀速运动，在平行平面内做匀速圆周运动，周期
经过时间完成一个完整的匀速圆周运动，在轴方向的位移
故点坐标为
（2）①离子在轴正方向最大位移处的速度为
根据动能定理得
解得
②离子在水平方向以做匀速运动，竖直方向做匀变速运动，从出发到回到轴所用时间
故水平位移
即离子刚好到达轴上的点，坐标为
（3）在平面右侧区域同时存在水平向左的匀强磁场和水平向右的匀强电场，离子在平行平面内做匀速圆周运动，在轴方向上做匀加速运动。
①经过时间，离子刚好在平行平面内完成一个完整的圆周运动，恰好经过轴，此时所在位置的轴坐标为
解得
经过离子位置坐标为
②经过时间，离子在平行平面内刚好经过个圆周，轴上的位置坐标
解得
轴、轴的坐标均为
经过时间离子的位置坐标为
3．如图所示，半径为的实线圆形边界内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），一质量为、电荷量为的粒子（不计重力）从圆周上的点以速度射入磁场，从点射出磁场，运动轨迹的半径为，粒子在圆形边界内的运动时间为速率相同情况下运动时间的最大值，点是入射速度延长线与出射速度反向延长线的交点，点是出射速度延长线上一点，、两点间的距离为，过点的虚线、分别与平行和垂直，虚线与平行，且与的间距为，、与所围区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场（未画出），粒子从点进入磁场，到达时轨迹正好与相切于点，求：
(1)实线圆形边界内匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)与间匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)粒子从到所用的总时间；
(4)粒子从到所受的作用力对时间的平均值的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【来源】2025年浙江省普通高校招生选考科目考试物理测评卷（六）
【详解】（1）由洛伦兹力充当向心力可得
解得
（2）由题述可知，为圆形边界的直径，，过、两点作速度的垂线即轨迹圆的半径，设与的夹角为，由几何关系可得
解得
设速度的偏转角为，则有
过、两点作速度的垂线，设轨迹圆的半径为，如图所示，由几何关系可得
由洛伦兹力充当向心力可得
综合解得
（3）粒子从到的运动时间为
由几何关系可得
则
粒子从到的运动时间为
从到，粒子运动轨迹所对的角度为，粒子从到的运动时间为
则粒子从到运动的总时间为
（4）由矢量运算法则可得粒子从到速度变化量的大小为
由动量定理可得
综合解得
4．如图所示为一种测量石墨晶体层数的装置。图中O1，O2分别为EF，GH的中点，右侧为一含有n层sp2杂化的碳原子平面的石墨晶体，装置中所有的磁场及电场的方向及大小规律分布已在图中标出，不过多说明。装置的作用原理如下：一粒子源S发出一个带电粒子，该带电粒子无初速度地从AB极板中点的小孔进入加速电场，经加速后从O1进入板间，最终从O2点水平射出，之后粒子从P点垂直进入石墨层，并与有且仅有一个碳原子结合形成一个新整体，该过程整体视为质量与动量守恒。此后整体每经过一个石墨层都会再结合一个碳原子。当加速电压U=100V时，粒子恰好无法穿过该石墨晶体。已知粒子与碳原子的质量均为，粒子的带电量，EF、GH间电场强度E0=600V/m，板长均为L=1.5πm，板间距d=1m，石墨各层间距均为。图中，但B0未知。不计粒子间相互作用力，仅考虑图中电场与磁场对粒子的作用，电场与磁场均视为匀强场，不考虑边缘效应、相对论效应。求：
（1）粒子从加速电场中出来的速度v0；
（2）极板EF、GH间的磁感应强度大小B0；
（3）n的值以及粒子打在第n层时垂直纸面的位移大小s。
【答案】（1）1×106m/s；（2）6×10-4T；（3）8，2.25×10-20m
【来源】2024届浙江省温州市永嘉县上塘中学高三下学期模拟物理试题
【详解】（1）粒子在加速电场中，有
解得
（2）粒子进入EF、GH区域做匀速直线运动，有
解得
（3）粒子穿过石墨层时动量守恒，穿过第n层时
粒子在平行石墨层平面上，只受到电场力，在垂直石墨层平面上，只受到洛伦兹力，则在垂直石墨层平面上在石墨层之间做匀速圆周运动，在第n层和第n+1层石墨层之间，根据洛伦兹力提供向心力有
则做圆周运动的轨迹半径为
令，粒子在垂直石墨层平面上，粒子的轨迹如图所示，将过石墨层的粒子轨迹半径反向延长，与第一层石墨相交，与第1层的石墨层的交点分别令为、、 ，与上一层石墨层相交的交点分别令为、、 ，
则粒子射出第n（）层时，在层和第之间，由几何关系可得
，，
则
当粒子在层和第之间恰好无法穿过该石墨晶体时，由
解得
则粒子恰好不能穿过第8层。即石墨晶体层级为8。
粒子在石墨层之间做匀速圆周运动的周期
粒子打在第8层时恰好偏转90°，则运动时间
在平行石墨层方向上，粒子在第n层之间
解得
则粒子在平行石墨层方向上做匀加速直线运动，则粒子粒子打在第8层时垂直纸面的位移大小
5．利用电场、磁场对带电粒子的偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面坐标系中，第二象限圆形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，已知圆形区域半径为R0，P点为一粒子源，能向x轴上方各方向均匀发射质量为m，电量为q，速度大小为v0的带电粒子，所有带电粒子经圆形磁场偏转后均能平行x轴射入第一象限；第一象限直角三角形区域内存在方向竖直向上的匀强电场，已知OM = 2R0，粒子重力可忽略不计，求解下列问题。
（1）P点出射粒子带正电还是带负电，圆形区域匀强磁场磁感应强度大小B0；
（2）假设三角形区域匀强电场，所有进入电场的粒子中，求能从MN边界射出的粒子在经过y轴时的y轴坐标区间；
（3）假设第一象限直角三角形区域内电场改为方向垂直纸面向里，磁感应强度大小的匀强磁场，如图2，求从ON边界和从MN边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例。
【答案】（1）负电，；（2）；（3），
【来源】2024年浙江省普通高校招生考试选考科目考试冲刺卷物理（二）试题
【详解】（1）根据左手定则可得，P点出射粒子带负电。因为所有带电粒子经圆形磁场偏转后均能平行x轴射入第一象限，由“磁发散”可得，带电粒子在磁场中的运动半径等于磁场的半径，即轨迹半径为
r = R0
根据牛顿第二定律
解得
（2）粒子在电场中做类平抛运动，当运动轨迹与MN相切时，为临界情况，设切点坐标为（x1，y1），此时经过y轴入射的纵坐标为y0，由数学知识可得
带电粒子在电场中受到向下的电场力，大小为
则加速度为
运动时间为
沿y轴方向的位移为
整理得
因为，运动轨迹与MN相切，所以上式中x1有唯一解，由数学知识可解得
所以，能从MN边界射出的粒子在经过y轴时的y轴坐标区间；
（3）粒子在第一象限做圆周运动，根据
可得，轨迹半径为
当轨迹为与MN相切时，为临界情况，绘出运动轨迹图如下
此时经过y轴入射点A距M点距离为y2，则
则此时从P点发出的粒子与x轴负方向的夹角
故，从MN边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例为
当粒子从O点射出时为从ON边界射出的临界情况，设此时经过y轴入射点距O点距离为y3，则
y3 = 2r1 = R0
则此时从P点发出的粒子与x轴垂直，故，从ON边界射出的粒子分别占从P点发出的总粒子数的比例为
6．在空间中一足够长圆柱形区域内存在匀强磁场，磁场的方向沿轴线向右，磁感应强度为，在轴线上有一粒子源，可以每秒发射N个质量为m，电荷量为＋q，速度为的粒子。不计重力和粒子间的相互作用力。
（1）如图1所示，使粒子源沿垂直轴线的方向发射粒子，粒子恰好不会飞出磁场区域，求磁场区域的半径R；
（2）如图2所示，在磁场区域半径满足（1）的前提下，在右侧磁场范围内垂直轴线放一块足够大收集板A，将大量粒子沿与轴线成向右射出，为保证所有粒子在A上均汇聚于一点，求粒子源到极板A的水平距离；
（3）如图3所示，大量粒子沿与轴线成向右均匀射出，粒子源到A的距离满足（2）问，在A的中心挖一小孔，可使粒子通过。将收集板B平行放置于A右侧，并在AB极板间加上电压。粒子打在B板上即被完全吸收，求收集板B所受的作用力F与极板间电压的关系；
（4）实验室中，常利用亥姆霍兹线圈产生匀强磁场，当一对亥姆霍兹线圈间的距离增大时，即可生成磁感应强度随空间缓慢变化的磁场，如图4所示，其磁感应强度两端强，中间弱。带电粒子可以在端点处“反射”而被束缚其中，即“磁约束”。粒子的运动满足如下规律：带电粒子在垂直磁场方向的速度分量与此处的磁感应强度B之间满足：，现假设该磁场中的最大磁感应强度和最小磁感应强度之比为，在该磁场的中部最弱区域有一带电粒子源，与轴线成发射粒子束，要使这些粒子能被束缚在该磁场区域，求的最小值。
【答案】（1）；（2），；（3）；（4）
【详解】（1）由于
可得
（2）粒子沿轴线做匀速直线运动，在垂直轴线方向上做圆周运动沿不同方向出射的粒子要汇聚于一点，只能汇聚在轴线上，恰好完成整数次圆周运动
，
（3）在极板间，沿轴线做匀减速直线运动，垂直轴线方向上做圆周运动
在垂直轴线方向上，速度分量大小不变
在沿轴线方向上
在垂直B板方向上
在平行B板方向上，因为粒子沿各个方向均匀射出，对B板的作用力合力为零，所以
（4）要束缚粒子，磁场最强处应该为粒子的位移极值点，也就是速度的水平分量为0的点，满足
对磁场最强和最弱点应用公式
可得
7．(23-24高三下·浙江县域教研联盟·一模)医学检查中磁共振成像简化模型如图所示，其中一个重要的部件“四极铁”，能够提供梯度磁场，从而控制电子束在运动过程中汇聚或发散，图甲为该磁场的磁感线分布情况。一束电子从M板上均匀分布的小孔飘入（初速度可以忽略不计），经过平行板MN间电场加速后获得速度v，沿垂直纸面向里的方向进入“四极铁”空腔。电子质量为m，电量为e，不计粒子重力和粒子间相互作用。
（1）求加速电压大小，判断图甲中a、c和b、d两对电子，哪一对电子进入磁场后会彼此靠近；
（2）以图甲中磁场中心为坐标原点O建立坐标系，垂直纸面向里为x轴正方向，沿纸面向上为y轴正方向，在xOy平面内的梯度磁场如图乙所示，该磁场区域的宽度为d。在范围内，电子束沿x轴正方向射入磁场，磁感应强度（且已知，以垂直xOy平面向里为磁场正方向）。电子速度大小均为v，穿过磁场过程中，电子的y坐标变化很小，可认为途经区域为匀强磁场。
①求从处射入磁场的电子，在磁场中运动的半径及速度偏转角的正弦值；
②研究发现，所有电子通过磁场后，将聚焦到x轴上处。由于d很小，可认为电子离开磁场时，速度方向的反向延长线通过点，且速度方向的偏转角很小，，求f的表达式；
③在处再放置一个磁场区域宽度为d的“四极铁”（中心线位于处），使②问中的电子束通过后速度方向变成沿x轴正方向，若该“四极铁”的磁感应强度，求；
④如图丙，仪器实际工作中，加速电压U会在附近小幅波动，导致电子聚焦点发生变化。若要求聚焦点坐标偏差值不超过，求电压波动幅度的最大值。
【答案】（1），会彼此靠近；（2）①，；②；③；④
【详解】（1）在电场中，根据动能定理
解得
由左手定则可知，a、c电子进入磁场后会彼此靠近。
（2）①设处感应强度的大小为，则有
根据洛伦兹力提供向心力
解得电子的转动的半径
速度方向的偏转角度
②从y处进入磁场中的电子，速度方向偏转
且
电子射出后做匀速直线运动，则
解得
可知，从不同位置y以相同速度v射入磁场的电子，到达x轴的位置f相同且与电子入射位置y无关；因此从不同位置射入的电子必将经过x轴的同一点。
③从y处进入磁场的电子，将从处进入处的四极铁磁场，电子通过两个磁场区域，速度方向变成沿x轴正方向，可得从处射入磁场后，速度方向的偏转角度
又
因洛伦兹力不做功，电子通过磁场区域时速度大小不变，则两处磁感应强度大小相等、方向相反，即
则
解得
④根据
联立可得
根据数学关系，若要求聚焦点坐标偏差值不超过，只需满足
解得
8．2023年12月1日晚间，绚丽的极光现身北京市门头沟区。极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。从北极地区看赤道平面的地磁场，可简化为下图：O为地球球心，R为地球半径，将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度为B。假设高能粒子的质量为m，电荷量为。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应。
（1）若高能粒子从A点以速度沿切线进入磁场边界位置时，粒子恰好绕着磁场边界做圆周运动，求粒子的速度的大小。
（2）地球磁层是保护地球的一道天然屏障，它阻挡着高能粒子直接到达地球表面，从而保护了地球上的生态环境。
a．假设高能粒子从磁场边缘A点以速率v沿半径方向射入磁场时恰不能到达地球表面，求粒子的比荷；
b．高能粒子实际上可在赤道平面内向各个方向均匀地射入磁场。若高能粒子仍以速率v射入地球磁场，求到达地球粒子数与进入地磁场粒子总数比值。（结果用反三角函数表示，例：，则，θ为弧度）
【答案】（1）；（2）a．；b．
【来源】2024届北京市门头沟区高三下学期一模物理试卷
【详解】（1）若高能粒子从A点以速度沿切线进入磁场边界位置时，粒子恰好绕着磁场边界做圆周运动，可知粒子的轨道半径为
由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得粒子的速度的大小为
（2）a．假设高能粒子从磁场边缘A点以速率v沿半径方向射入磁场时恰不能到达地球表面，如图所示
由几何关系可得
解得
由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得粒子的比荷为
b．若高能粒子仍以速率v射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球，作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图所示
由图中几何关系可得，
则有
可得
故到达地球粒子数与进入地磁场粒子总数比值为
9．如图所示，直角坐标系中，有一平行于y轴长度为0.5L的线状离子源MN，M端在x轴上，坐标，离子源发射的正离子初速度大小均为，方向平行于x轴正方向，且发射的正离子沿MN均匀分布，每个离子质量为m，电荷量为q；在、区间内加一垂直于纸面向里，磁感应强度大小为的圆形边界匀强磁场，能使离子源发射的全部正离子经过原点O，不计离子重力及离子间的相互作用。
（1）求磁感应强度的取值范围；
（2）若磁感应强度取最小值，在第一象限加垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在第二象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，已知。离子发射前，在y轴上放置长度为0.8L的探测板PQ，只有打到探测板左侧表面的离子才能被探测到。
①求全部正离子经过原点O时与y轴正方向夹角的范围；
②若探测板下端Q纵坐标，求离子探测率（即探测板探测到的离子数占总离子数的比例）；
③若探测板位置在y轴上可变，Q端纵坐标满足，求离子探测率与的关系。
【答案】（1）；（2）①；②；③见解析
【详解】1）离子在圆形磁场中汇聚到O，离子运动圆周半径r等于圆形磁场的半径R，即
如图所示
所加圆形边界磁场的半径R满足
由洛伦兹力提供向心力得
联立可得
（2）若时，离子圆周运动的半径为
①由
可得
即与y轴正方向的夹角范围
②若，离子经过、两个磁场后在y轴方向上离O的距离，则有
临界1（如图2中轨迹①）
可得
临界2（如图2中轨迹②）
可得
上述表示出一个临界即得
③，分成4个区间
i）当时
ii）当时
可得
则有
iii）当时
可得
则有
iv）当时，离子穿过O点后经过一个运动周期打到探测板左侧
可得
离子穿过O点后经过两个运动周期打到探测板左侧
可得
则有
10．如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xoy坐标系，在第II象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ=45°。在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板C1、C2，两板间距为d1=0.6m，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板C1与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为L=0.72m。在第Ⅳ象限垂直于x轴放置一块平行y轴且沿y轴负向足够长的竖直平板C3，平板C3在x轴上垂足为Q，垂足Q与原点O相距内d2=0.18m。现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度v0=2m/s垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过C1板上的M孔，进入磁场区域。已知小球可视为质点，小球的比荷=20C/kg，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离s=m，不考虑空气阻力。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C3上，求磁感应强度的取值范围。
（3）以小球从M点进入磁场开始计时，磁场的磁感应强度随时间呈周期性变化，规定磁场方向垂直于桌面向上为正方向，如图乙所示，则小球能否打在平板C3上？若能，求出所打位置到Q点距离；若不能，求出其轨迹与平板C3间的最短距离。 （=1.73，计算结果保留两位小数）
【答案】（1）；（2）；（3）能，
【详解】（1）粒子在电场中的运动可以看成类平抛运动，电场力相当于重力，则
解得
（2）根据，B越大，R越小。所以粒子轨迹处于轨迹1和轨迹2之间，可打到平板上。如图所示，轨迹1与下板相切，其圆心是O1，轨迹2的圆心是O2。
对于轨迹1，其半径，其对应的磁感应强度大小为
对于轨迹2，其半径设为R2。则三角形O2QA与三角形O2AO相似，所以有
解得
其对应的磁感应强度大小为
所以磁感应强度的取值范围为
（3）由图可知，磁感应强度大小为，在两个相邻的相等时间间隔，磁场方向相反，但是粒子的轨迹半径不变，为
轨迹的整个圆的周期为
而每一个时间间隔为，对应轨迹的圆心角为
对于一个时间间隔的水平位移为
对于一个时间间隔的竖直位移为
因为，所以球能打在平板C3上。其轨迹如图所示。
因为，所以轨迹6对应的圆心角为，所以最终球垂直于y轴射出磁场，则所打位置到Q点距离为
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