北京市大兴区2024-2025学年第二学期高二数学期中试卷(pdf版,含答案)

大兴区 2024 ~ 2025学年度第二学期期中检测
高二数学
本试卷共 4页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分 （选择题 共 40分）
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）若 lim f (1 x) f (1) 2，则 f (1)
x 0 x
（A） 1 （B） 0
（C）1 （D） 2
（2）已知等比数列{an}满足 a1 1， a5 4，则 a2a3a4
（A） 8 （B） 16
（C）8 （D）16
（3）已知数列{an}满足 a1 1， an an 1 n（ n 2），则 a4
（A）5 （B）10
（C）11 （D）12
（4）若函数 f (x)的导函数 f (x)的图象如图所示，则 f (x)的
极小值点是
（A） 1 （B） 0
（C）1 （D） 2
（5）已知数列{a }的前 n项和 S n2n n ，则数列{an}是
（A）公比为 2的等比数列 （B）公比为 3的等比数列
（C）公差为 2的等差数列 （D）公差为3的等差数列
（6）设{an}为等比数列，则“存在 i j k，使得 ai a j ak”是“{an}为递增数列”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
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（7）若函数 f (x) x3 3x c有且仅有一个零点，则实数 c的取值范围是
（A） ( 2 , 2) （B） ( , 2)
（C） (2 , ) （D） ( , 2) (2 , )
（8）若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是等差数列，1和3为此等差数列中的两项，则 a5的值不可能是
（A） 4 （B） 0
（C） 3 （D） 6
（9）设曲线 f (x) x2 1 (x 0)在点 (t , f (t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
S(t)，则当 S(t)取得最小值时， t的值为
A 3 1（ ） （B）
3 2
（C） 2 （D）3
（10）在下列不等式中，当 k 1时，关于 x的不等式对任意的 x (0, )不能恒成立的是
（A） kx sin x （B） kx x x3
（C） kx 1 e x （D） kx x 1- ln(ex)
第二部分 （非选择题 共 110分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。
（11）数列{an}满足 an 2 an 1 an ，且 a1 a2 1，则 a5 ．
（12）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第 x h时，
原油的温度（单位： C）为 f (x) x2 7x 15（ 0≤ x≤8），则第 3 h 时，原油温度
的瞬时变化率为 C/ h，此原油温度瞬时变化率的意义是 ．
（13）已知a ,b , c是公比不为 1的等比数列，将 a ,b , c调整顺序后可构成一个等差数
列，则满足条件的一组 a ,b , c的值依次为 ．
x a
（14）已知函数 f (x) x (a R) ．当 a 0时， f (x) ；若曲线 y f (x)有两e
条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是 ．
x 1 , 0 x≤1,
（15）已知函数 f (x) 数列 an 满足 a1 0，当 n 2时， an （f ax 1, x 1. n 1
）．给

出下列四个结论：
① 若 a1 2，则 a2 a5；
② 若 a3 2，则 a1可能有 4个不同的取值；
③ 对于任意的 a1 2，不一定存在正整数m，使得 n N
, an m an；
④ 对于任意的正整数m 2，一定存在实数 a1 1，使得 n N , an m an．
其中所有正确结论的序号是________.
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三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13分）
已知函数 f (x) x3 3x2 ．
（Ⅰ）求 f (x)在区间 [ 2 ,1]上的最值；
（Ⅱ）在直角坐标系内，画出 f (x)的大致图象；
（Ⅲ）直接写出一个 a值，使 f (x)在区间 (a , a 5)上存在最大值．
（17）（本小题 14分）
已知等差数列{an}满足 a2 a4 10， a4 a3 2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的前 n项和 Sn 的最大值；
（Ⅲ）若等比数列{bn}满足 b2 a4 ，b3 a6 ，问：{bn}是否存在最大值与最小值？说明理由．
（18）（本小题 14分）
已知无穷数列{an}满足 a 1 1， an 1 2an 1，令bn an 1．
（Ⅰ）求 b1 , b2 的值；
（Ⅱ）证明：数列{bn}是等比数列，写出数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）记数列{an}的前 n项和为 Sn ，求 Sn ，并判断数列： S1 , S2 , S3 , , Sn , 的单调性．
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（19）（本小题 14分）
已知函数 f (x) (x2 a)e x．
（Ⅰ）若 f (0) 1，求 a的值；
（Ⅱ）设 a R ，讨论函数 f (x)的极值点个数；
（Ⅲ）若 f (x)在区间 (1，2)上存在极值，求实数 a的取值范围．
（20）（本小题 15分）
已知函数 f (x) ln x．
（Ⅰ）设曲线 y f (x)在点 (1 , f (1))处的切线为 l．
（i）求切线 l的方程； （ii）证明：除切点外，曲线 y f (x)在切线 l的下方；
（Ⅱ）设m 0，令函数 g(x) f (x) f (m) ，求函数 g(x)的单调区间．
x m
（21）（本小题 15分）
给定项数为（n n 3）的数列{xn}，若数列{xn}满足 | xm 1 xm |≤| xm 1 xm 2 | (m 1, 2 , ,
n 2），则称数列{xn}具有性质 P，定义 ak | xk 1 xk |（ k 1, 2 , , n 1）．
（Ⅰ）判断数列1, 2 , 4 , 6是否具有性质 P，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{xn}具有性质 P，求证：{xn}为等差数列的必要不充分条件是{ak}为常数列；
（Ⅲ）已知数列{xn}共有 n项，各项互不相等，对于 i≤ n (i N )， xi {1, 2 , 3 , , n }，
若{xn}具有性质 P，记 Sn 1 a1 a2 an 1 ，且 Sn 1 n 2，求 n的所有取值．
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大兴区 2024~2025学年度第二学期期中检测
高二数学参考答案
一、选择题（共 10小题，每小题 4分，共 40分）
（1）D （2）C （3）B （4）D （5）C
（6）B （7）D （8）D （9）A （10）D
二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25分）
（11）5
（12） 1；在第3 h 附近，原油温度大约以1 C/ h的速率下降．
（13）1, 2 , 4（答案不唯一）
f (x) 1 x（14） ； ( , 4) (0 , )
ex
（15） ①③④
注：（12）（14）题第一问 3分，第二问 2分；
（15）题只写 1个且正确 3分，只写 2个且正确 4分。
三、解答题（共 6小题，共 85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由 f (x) x3 3x2 得
f (x) 3x2 6x 3x(x 2)． 1分
由 f (x) 0解得 x 2或 x 0． 1分
f (x)与 f (x)在区间 [ 2,1]上的情况如下：
x 2 ( 2 , 0) 0 (0 ,1) 1
f (x)
f (x) 4 ↘ 0 ↗ 4
2分
所以在区间 [ 2,1]上，
当 x 0时， f (x)取得最小值 f (0) 0； 2分
当 x 2或1时， f (x)取得最大值 f ( 2) f (1) 4． 2分
（Ⅱ）如图，过点 ( 3 , 0)， ( 2 ,4)， (0 ,0)， (1 ,4)，
在 ( 2 , 0)上单调递减，在 ( , 2)和 (0 , )
上单调递增，且 x轴下方有图象． 3分
（Ⅲ） a 4 2分
（注：答案不唯一，满足 7 a≤ 4即可）
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（17）（共14分）
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，
a1 d a1 3d 10 ,
由题意知
(a1 3d ) (a1 2d ) 2 ,
解得 a1 9 , d 2． 2分
所以{an}的通项公式为 an 2n 11． 3分
（Ⅱ）{a } n S
n(9 11 2n)
n 的前 项和 n n
2 10n ． 4分
2
所以当 n 5时， Sn 取得最大值 S 5 25． 2分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知， a4 3， a6 1
因为等比数列{bn}满足 b2 a4 ， b3 a6 ，
所以 b2 3 , b3 1．
b 1
所以等比数列{bn}的公比为 q
3 ， b1 9b 3 ．2
1
所以 bn 9( )
n 1
．
3
所以 b1 b3 b5 b2 n 1 b2 n 1 0，
b2 b4 b6 b2 n b2 n 2 0． 1分
故当 n 1时，{bn}取得最小值b1 9． 1分
当 n 2时，{bn}取得最大值 b2 3． 1分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为 a 1 1， an 1 2an 1，bn an 1，
所以 b1 a1 1 2， 1分
b2 a2 1 2a1 1 1 4 ． 1分
（Ⅱ）因为 bn an 1，
bn 1 an 1 1
所以 1分bn an 1
2an 1 1
a 1 1分n
2(a
n
1)
2
a 1 ． 1分n
由（Ⅰ）知 b1 2 ,
所以{bn}是以 2为首项， 2为公比的等比数列． 1分
所以{bn}的通项公式为 bn 2
n． 1分
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（Ⅲ）由（Ⅱ）知， b 2nn ．
所以 a nn bn 1 2 1．
故数列{an}的通项公式为 an 2
n 1． 1分
数列{an}的前 n项和 Sn a1 a2 a3 an 1 an
2 1 22 1 2n 1 1 2n 1 1分
(2 22 2n 1 2n) (1 1 1 1) 1分
2(1 2n )
n
1 2
2n 1 2 n． 2分
因为当 n 2时， S n 1 n n n Sn 1 2 2 n (2 2 n 1) 2 1 0， 1分
所以数列： S1 , S2 , S3 , , Sn 1 , Sn 是递增数列． 1分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由函数 f (x) (x2 a)e x得
f (x) (x2 2x a)e x ． 2分
因为 f (0) 1，
所以 a 1． 2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x) (x2 2x a)e x ，令 f (x) (x2 2x a)e x 0，
由 ex 0，解得 x2 2x a 0． 1分
①当 a≤ 1时，即 4 4a≤0，此时 x2 2x a 0，则 f (x) 0，
所以 f (x)在 ( , )上单调递增，故没有极值点． 1分
②当 a 1时，即 4 4a 0， x2 2x a 0有两个不等的实根
x 1 1 a ， x 1 1 a ． 1 2 1分
所以在 ( , 1 1 a)和 ( 1 1 a , )上， f (x) 0， f (x)单调递增；
在 ( 1 1 a , 1 1 a) 上， f (x) 0， f (x)单调递减． 1分
所以 x 1 1 a 是 f (x)1 的极大值点， 1分
x2 1 1 a 是 f (x)的极小值点． 1分
综上，当 a 1时， f (x)没有极值点；当 a 1时， f (x)有 2个极值点．
（Ⅲ）若 f (x)在区间 (1，2)上存在极值，由（Ⅱ）知，
需满足1 1 1 a 2， 2分
解得 3 a 8． 1分
所以 a的取值范围是 (3，8)． 1分
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（20）（共15分）
解：（Ⅰ）（i）因为 f (x) ln x，
1
所以 f (x) ． 1分
x
所以 f (1) 0， f (1) 1． 2分
所以切线 l的方程是 y x 1． 1分
（ii）因为 f (x) ln x，
令 g(x) x 1 f (x)，则除切点之外，曲线 y f (x)在直线 l的下方等价于
g(x) 0（ x 0， x 1）． 1分
g (x) 1 f (x) x 1 ． 1分
x
当 0 < x <1时， x 1< 0， x 0，所以 g (x) < 0，故 g(x)单调递减；
当 x >1时， x 1> 0， x > 0，所以 g (x) > 0，故 g(x)单调递增．
所以 g(x) g(1) 0（ x 0， x 1）． 2分
所以除切点之外，曲线 y f (x)在直线 l的下方． 1分
ln x lnm
（Ⅱ）由 g(x) 知， g(x)的定义域为 (0 , m) (m , )
x m
x m x ln x x lnm
所以 g (x) x(x m)2 ． 1分
设 h(x) x m x ln x x lnm ，
则 h (x) lnm ln x． 1分
当 0 < x < m时， ln x lnm，，所以 h (x) 0，故 h(x)单调递增；
当 x > m时， ln x lnm，所以 h (x) 0，故 h(x)单调递减．
所以 h(x) h(m ) 0（ x 0， x m）． 2分
故对于 x (0 ,m) (m , ) ， g (x) 0． 1分
所以 g(x)的单调减区间为 (0 , m)和 (m , )，无增区间． 1分
（21）（共 15分）
解：（Ⅰ）因为 | 2 1|≤| 2 4 |≤| 4 6 |，
所以数列1, 2 , 4 , 6具有性质 P． 2分
（Ⅱ）先证必要性．
若{xn}是等差数列，设公差为 d，
则 ak | xk 1 xk | | d | (k 1, 2 , , n 1) ，所以{ak}为常数列．
所以“{ak}为常数列”是“{xn}为等差数列”的必要条件． 2分
再证不充分性．
若{ak}是常数列，设 ak c(c 0)，
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则当 c 0时，摆动数列{xn}： x1 , x1 c , x1 , x1 c , , x1 c 具有性质 P，
且 (x1 c) x1 x1 (x1 c) ，故 x1 , x1 c , x1 , x1 c , , x1 c 不是等差数列．
所以“{ak}为常数列”不是“{xn}为等差数列”的充分条件． 2分
因此，{xn}为等差数列的必要不充分条件是{ak}为常数列．
（Ⅲ）当 n 3时，因为 | xm 1 xm |≤2(m 1, 2)，
所以 S2 a1 a2 | x2 x1 | | x2 x3 | 5，不符合题意． 1分
当 n 4时，数列{xn}： 3 , 2 , 4 ,1．
此时 S3 | x2 x1 | | x3 x2 | | x4 x3 | 1 2 3 6 ，符合题意． 1分
当 n 5时，
数列{xn}： 2 , 3, 4 , 5 ,1．此时
S4 | x2 x1 | | x3 x2 | | x4 x3 | | x5 x4 | 1 1 1 4 7 ，符合题意．1分
以下证当 n 6时，不存在满足题意的 n．
因为 ak | xk 1 xk |（ k 1, 2 , , n 1），且数列{xn}具有性质 P，
所以1≤ a1 ≤ a2 ≤a3 ≤ ≤an 1，且 Sn 1 a1 a2 an 1 n 2，
所以 ak有以下三种可能：
1, k 1, 2 , , n 2,
① ak
4 , k n 1.
1, k 1, 2 , , n 3,
② a k 2 , k n 2 ,

3 ,k n 1.
1, k 1, 2 , , n 4,
③ ak 3分
2 , k n 3 , n 2 , n 1.
1, k 1, 2 , , n 2,
当 ak 时，
4 , k n 1
因为 a1 a2 an 2 1，且数列{xn}各项互不相等， xi {1, 2 , 3 , , n }
所以 x1 , x2 , , xn 1 是公差为1（或 1）的等差数列．
当公差为1时，由 an 1 4，得 xn xn 1 4或 xn xn 1 4，
xn xn 1 4 x1 n 2 n或 xn xn 1 4 xn 5与已知矛盾．
当公差为 1时，同理得出与已知矛盾．
1, k 1, 2 , , n 2,
所以当 ak 时，不存在 n满足题意． 2分
4 , k n 1
其他情况同理，不存在 n满足题意．
综上， n的所有取值为 4或 5． 1分
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