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海口市2009年高中数学课堂教学优质课评比教学实录
1.1.3 导数的几何意义
李明（湖南师大附中海口中学）
12月4日于海南华侨中学
一、创设情境、导入新课
师：上节课我们学习了导数的概念，请回答：函数在处的导数的含义？
生：函数在处的瞬时变化率.
师：那么，用定义求导数分哪几个步骤？同学们可参考教材第6页例1.
生：第一步：求平均变化率；
第二步：求瞬时变化率，即
师：非常好，并且我们从求导数的步骤中发现：导数就是求平均变化率当趋近于O时的极限.明确了导数的概念之后，今天我们来学习导数的几何意义.
二、引导探究、获得新知
师：观察函数y=f(x)的图象，平均变化率在图中有
什么几何意义？
生：平均变化率表示的是割线AB的斜率.
师：是的，平均变化率的几何意义就是割线的斜率.
师：请看教材第7页图1.1-2： P是一定点，当动点沿着曲线y=f(x)趋近于点时，观察割线 的变化趋势图. （多媒体显示【动画1】）
生：当点沿着曲线y=f(x)趋近于点时，割线趋近于在P处的切线PT.
师：看来这位同学已经预习了，他说的很对，“当点沿着曲线y=f(x)逼近点时，即，割线趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.”这就是切线的概念.
师：观察图①，曲线y=f(x)与它的割线有2个交点，与它的切线PT有1个交点. 那么，能否根据直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系？
生：若曲线与直线有2个公共点，则它们相交；若曲线与直线有1个公共点，则它们相切.
① ②
师：观察图②，请指出（1）直线l1与曲线L是什么位置关系？（2）直线l2与曲线L是什么位置关系？
生：直线l1与曲线L相交，直线l2与曲线L相切.
师：直线l1与曲线L有唯一公共点但它不是曲线的切线，l2与曲线L不只一个公共点，但它是曲线在A处的切线.所以，今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系，应该从定义出发.
师：由切线的定义可知，
当时，割线趋近于切线PT .
那么，割线的斜率趋近于……？
生：切线PT的斜率.
师：割线的斜率，当时，切线PT的斜率就是……？
生：
师： 即. 至此，请同学们总结，导数有什么几何意义？
生：是PT的斜率.
师：直线PT是曲线的……？
生：直线PT是曲线在处的斜率.
师：同学们说的非常好！（教师板书）
导数的几何意义：
函数在处的导数就是切线PT的斜率，即
师：那么，通过导数的几何意义，我们可以通过函数在某点处的导数，来得到其图像在该点处切线的斜率.
师：说出曲线在处的切线的倾斜角.
（1）；（2）（3）
生：、、
四、知识应用、巩固理解
师：例1：求出曲线在处的切线方程.你们想怎样求切线方程呢
生：求出函数在处的导数，就知道了所求切线的斜率.
师：求切线的斜率之后呢？
生：（摇头，回答不出）
师：好，那我们不妨先求出斜率（教师板书）
那么，关于直线我们还知道哪些信息？
生：是切点的坐标
师：是切点的横坐标，那纵坐标呢？也是1
生：也是1，切点的坐标为（1，1）
师：知道直线上一点的坐标和斜率，那么直线方程……？
生：点斜式 ，即（学生回答，教师板书）
师：今后我们如何求曲线在处的切线方程？
生：（1）求出，则就是曲线在切线的斜率；（2）求切点；(3)写出切线的点斜式方程，
师：同学们很棒！例2. 如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像.据图回答问题.请描述、比较曲线在，，附近的变化情况.
生：作出曲线在这些点处的切线.
师：曲线在处有怎样的变化趋势？
生：不知道怎么表达.
师：我们观察在处附近曲线几乎与切线重合，所以，我们可以用切线的变化趋势刻画曲线在该点附近的变化情况，这种思想方法叫“以直代曲”.那么，平行于x轴，即，说明曲线在附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
师：在，处呢？
生：在，切线斜率，，所以，在，附近曲线下降，即函数在，附近单调递减.
师：曲线在，处都是下降的，下降的速率一样吗？
生：不一样，在处都是下降的快.
师：你们如何得知的？
生：图像在处的切线倾斜程度小于在处切线的倾斜程度，说明曲线在附近比在附近下降得缓慢.
五、分层练习、提升能力（看学案）
师：曲线 上有一点P，过P的切线平行于直线y=4x-5，求P的坐标.
生：设P的坐标为，
即
所以，P的坐标为
六、课堂小结
师：非常好！这节课我们学习了哪些内容？
生：（齐声回答）
一、切线的定义：
当点沿着曲线逼近点时，即，割线趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.
二、导数的几何意义：
导数就是函数的图象在处的切线的斜率，即
三、导数几何意义的应用.
（1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程；
（2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.（“以直代曲”）
七、作业布置
完成学案！
附：板书设计
1.1.3 导数的几何意义
一、切线的定义
二、导数的几何意义
导数就是函数的图象在处的切线的斜率，即
三、导数几何意义的应用.
（1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程；
（2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.
例1：求出曲线在处的切线方程.
解：曲线在处的切线斜率
因为，即切点的坐标为（1，1），所以
切线方程为 ，即
学案
一.例题部分
例1.求曲线在处的切线方程.
例2.如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像，请描述、比较曲线在，，附近的变化情况.
二.练习 （A组）
1. 曲线 上有一点P，过P的切线平行于直线，求P的坐标.
2.若曲线与直线相切，则
（B组）
1.求曲线在处的切线方程.
2.如图，请描述在附近的变化情况.
三.小结
这节课我学到了：
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