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2025年浙江数学中考预测专项突破
专题06 几何中的相关证明（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题几何中的相关证明分析
解答题第19道：本题主要考查的是几何中常见的证明问题，其中包含了全等三角形的证明、平行四边形的证明、特殊平行四边形的证明（矩形、菱形、正方形）以及相似三角形的证明（圆的相关证明在本书籍其他专题另外讲解）。在近几年的浙江中考中都有考查，分值8分，难度中等；
题型一：全等三角形在解答题中相关证明（高频考点）
1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在等边△ABC中，点、分别是边、上的点，与交于点．
(1)求证：；
(2)求的值．
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，在△ABC中，，D是△ABC内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接．
(1)求证：．
(2)当时，求与的度数和．
3．（2025·浙江杭州·二模）如图，为等边三角形，分别延长，到点使，连接，连接并延长交于点G．
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若，求的长．
4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．
(1)求的度数．
(2)求证：．
5．（2025·浙江·一模）如图，在四边形中，，在上取两点，，使，连接，，且．
(1)试说明；
(2)连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC和中，B，E，C，F在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求．
7．（2024·浙江台州·二模）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
8．（2025·浙江杭州·一模）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交与点O、与交于点P、与交于点Q．
求证：
(1)；
(2)是等边三角形
9．（2023·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
10．（2023·浙江温州·一模）在中，，D是边上一点，于点F，．
(1)求证：．
(2)当，求的长．
11．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，四边形为菱形，过点D分别作的垂线，垂足为．
(1)求证△ADE≌△CDF；
(2)若，求的值．
12．（2023·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，，点是边上一点（点不与点、重合），点在的延长线上，且，连结交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
题型二：平行四边形在解答题中相关证明（高频考点）
1．（2025·浙江舟山·一模）已知：在△ABC中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求四边形的周长和面积．
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接．
(1)证明：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
3．（2023·浙江温州·一模）如图，O是的对角线的交点，E，F，G分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当时，求四边形的周长．
4．（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形中，对角线，相交于点，为的中点．连结，，，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)求的值．
5．（2024·浙江·模拟预测）在△ABC中，，点为上一点且，连接．分别为的中点，连结与交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
6．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，在中，E，F分别是边，的中点，且平分.连结，，.
(1)判断四边形的形状，并说明理由.
(2)若，求的长度.
7．（2024·浙江温州·三模）如图，在△ABC中，中线，交于点，，分别是，的中点，连结，，，．
(1)证明：四边形是平行四边形．
(2)当，，时，求四边形的面积．
8．（2024·浙江杭州·三模）如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，顺次连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的度数．
9．（2024·浙江杭州·二模）如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明．
10．（2024·浙江温州·二模）如图，△AOB绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求四边形的周长．
12．（2024·浙江杭州·二模）在四边形中，．连结对角线交于点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，已知，，求的长．
13．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
题型三：特殊平行四边形在解答题中相关证明（高频考点）
1．（2023·浙江杭州·二模）如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，．
(1)求证：平行四边形为菱形；
(2)若，，
①求的值．
②求的长．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，是平行四边形的对角线的交点，，，分别是，，的中点．连结，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的值．
3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，点D是中点，分别过点A，D作，的平行线交于点E，且交于点O，连结、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知：如图，在中，对角线相交于点O，．
(1)求证：是矩形．
(2)若，求对角线的长．
5．（2024·浙江台州·一模）如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且．连接，，，．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形的周长为 且 求正方形的边长．
6．（2024·浙江台州·二模）如图，，，，为上顺次四点，为直径，平分，过点作的切线交延长线于点，连接，设．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
(3)若．
①求证：四边形是菱形．
②直接写出的值．
7．（2024·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，分别以点A，点C为圆心，大于长为半径在线段的两侧分别画弧，得交点G，H，作经过点G，H的直线与线段的延长线分别交于点E，F，且与交于点O，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若，，求的长．
8．（2024·浙江宁波·一模）如图，已知△ABC和均是等边三角形，F点在上，延长交于点D，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当点D在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
9．（2024·浙江宁波·一模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交于点F，交于点G，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若，，，求线段的长．
10．（2024·浙江·一模）如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，．
(1)求证：；
(2)作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形．
11．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在△ABC中，，，分别为，的中点，四边形的一边经过点，，对角线分别与，交于点、．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)当，时，求的长．
12．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
13．（2023·浙江绍兴·一模）如图，同一平面内三条不同的直线，，，直线平行直线，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)四边形可以为菱形吗？若可以，求出；若不可以，请说明理由．
题型四：相似三角形中相关证明（高频考点）
1．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知正方形的对角线相交于点，平分交于点，，交于点，交于点．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求证：．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在△ABC中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将△ABC沿直线对折使点落在处，交边于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
3．（2025·浙江·一模）如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
4．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在矩形中， ，点 分别在边 上，满足 ．
(1)求证∶ ．
(2)若 ，求的长．
5．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，与相交于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．分别以点为圆心，一定长度为半径画弧，两弧相交于点，连结，交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
6．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结．
(1)若，则应该满足什么条件？
(2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值．
7．（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点．
(1)求证： ；
(2)连接，．
①求菱形的周长；
②若，求的长．
8．（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 △ABC 中， ，是的三等分点且靠近点， 是的中点，过点作交延长线于点 ．
(1)求 的值；
(2)连接 ，若 ，，求的值．
9．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，过点作，垂足为．
(1)若，，，求的长；
(2)连接，若，且，，求的长．
10．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连结．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)求的值．
(3)若E为的中点，，求的长．
11．（2024·浙江·一模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．
(1)若，求线段，的长．
(2)若四边形的面积为48，求△ABC的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
2025年浙江数学中考预测专项突破
专题06 几何中的相关证明（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题几何中的相关证明分析
解答题第19道：本题主要考查的是几何中常见的证明问题，其中包含了全等三角形的证明、平行四边形的证明、特殊平行四边形的证明（矩形、菱形、正方形）以及相似三角形的证明（圆的相关证明在本书籍其他专题另外讲解）。在近几年的浙江中考中都有考查，分值8分，难度中等；
题型一：全等三角形在解答题中相关证明（高频考点）
1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在等边△ABC中，点、分别是边、上的点，与交于点．
(1)求证：；
(2)求的值．
【答案】(1)见解析(2)16
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．
（1）证明，即可得到结论；
（2）证明，再证明，则，即可得到答案
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：为等边三角形，
，
由（1）知，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，在△ABC中，，D是△ABC内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接．
(1)求证：．
(2)当时，求与的度数和．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质：
（1）利用证明即可；
（2）证明△ABC为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果．
【详解】（1）解：∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴△ABC为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
3．（2025·浙江杭州·二模）如图，为等边三角形，分别延长，到点使，连接，连接并延长交于点G．
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明；
（1）根据和为等边三角形，证明即可；
（2）作交延长线于点H，证明，利用比例关系求解即可．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：作交延长线于点H，
∵，由（1）可知，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
．
4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．
(1)求的度数．
(2)求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理：
（1）由三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明，得出．
【详解】（1）解：∵．
∴．
∵，
∴；
（2）证明：在△ABC中，，，
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
5．（2025·浙江·一模）如图，在四边形中，，在上取两点，，使，连接，，且．
(1)试说明；
(2)连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可得，，，再根据线段的和差，可得，由可证明．
（2）根据全等三角形的性质，可得，由可证明，即可得出．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵，
，
∵，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
理由如下：如图：
∵，
，
在和中，
，
，
．
6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC和中，B，E，C，F在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理等；
（1）由平行线的性质得，由即可得证；
（2）由全等三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解；
掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）证明（1）∵，
，
，
∴，
，
在和中，
，
（）．
（2）解：∵，
，
．
7．（2024·浙江台州·二模）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)2
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．
（1）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明；
（2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代值求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵在菱形中，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：∵在菱形中，，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
是斜边上的中线，
．
8．（2025·浙江杭州·一模）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交与点O、与交于点P、与交于点Q．
求证：
(1)；
(2)是等边三角形
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过等边三角形的性质找出三角形全等的条件．
（1）由等边三角形的性质得，，
由等式性质推出，从而证明出，根据全等三角形的对应边相等得；
（2）由全等三角形的对应角相等得，根据平角定义可推出，从而证明，根据全等三角形的对应边相等得，从而根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形可得结论．
【详解】（1）证明：，是等边三角形，
，
，即，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
又，
是等边三角形．
9．（2023·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析(2)为
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：射线平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为．
10．（2023·浙江温州·一模）在中，，D是边上一点，于点F，．
(1)求证：．
(2)当，求的长．
【答案】(1)见解析(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）先证明，推出，再利用可证明；
（2）由，推出，再在中，利用勾股定理即可求解.
【详解】（1）证明：∵
∴，
∴
∴
又∵
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
在 中，
11．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，四边形为菱形，过点D分别作的垂线，垂足为．
(1)求证△ADE≌△CDF；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由菱形的性质证明，然后由可得出结论；
（2）先由四边形内角和求出，再解，求出，即可由菱形的性质求解．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
．
（2）解：，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
．
12．（2023·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，，点是边上一点（点不与点、重合），点在的延长线上，且，连结交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据菱形的性质以及可得，都是等边三角形．可得出，，利用即可得出结论；
（2）过点作，交于点．证明是等边三角形，可得，由得．根据平行线的性质得．，可得出，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明： 四边形是菱形，
．
，
∴，都是等边三角形
，，
，
在和中：
，
；
（2）解：过点作，交于点．
，
又，
是等边三角形，
，
，
．
．
．，
在与中，
，
．
题型二：平行四边形在解答题中相关证明（高频考点）
1．（2025·浙江舟山·一模）已知：在△ABC中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求四边形的周长和面积．
【答案】(1)见解析(2)四边形的周长和面积分别为20和
【分析】由于，从而易证，所以，从而可证四边形是平行四边形；
由平行四边形的性质得，，四边形的周长，又因为，所以，所以，再根据勾股定理及直角三角形的性质求出平行四边形的周长．
本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
【详解】（1）证明：，
，
点E是的中点，
，
在与中，
，
故
，
点D是的中点，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，四边形的周长，
又，
，
，
，，，
，，
，
，点D是的中点，
，
四边形的周长
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接．
(1)证明：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)的长为4
【分析】（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质，得到，进而得到，结合，求出的长，进而求出的长，利用求出的长，再用即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，点G是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3．（2023·浙江温州·一模）如图，O是的对角线的交点，E，F，G分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当时，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了几何构图能力、平行四边形的相关性质、三角形相似、勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据平行四边形的判定方法进行证明．
（2）分析四边形的四条边，先通过已知数据利用图形的相关性质算出的值，然后通过构造延长线段所在的三角形间接求出，从而算出周长．
【详解】（1）证明：∵E，F分别是的中点，
∴
∵G是的中点，
∴
又∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴四边形是平行四边形;
（2）解：作于点H，
在中，
∴
∵，
∴是矩形
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，在中，
∴周长=
4．（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形中，对角线，相交于点，为的中点．连结，，，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）证明，又由即可证明；
（2）根据等腰直角三角形性质，延长构造中位线即可解题．
【详解】（1）证明：延长，交于点Q，
∵
∴
在中，点M为中点
∴
∵在中，，
∴
∴
∴
∵
∴，
∵
∴四边形是平行四边形
（2）延长，交于点Q，
由（1）得
∵M是中点，点Q是的中点，
∴
又∵
∴，
∴
∵中，
∴
∴
5．（2024·浙江·模拟预测）在△ABC中，，点为上一点且，连接．分别为的中点，连结与交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用相关性质定理是解决问题的关键．
（1）根据三角形中位线定理结合已知条件证得，，根据平行四边形的判定定理即可证的结论；
（2）由平行四边形的性质理结合已知条件求出，由直角三角形斜边的中线得到，利用得到，，，依据勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：，分别为、的中点，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形是平行四边形，
，，
，
，
为的中点，
，，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，
．
6．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，在中，E，F分别是边，的中点，且平分.连结，，.
(1)判断四边形的形状，并说明理由.
(2)若，求的长度.
【答案】(1)菱形，理由见解析(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，，即可得到，且，判定是平行四边形，再推导，得到是菱形；
（2）先得到是等边三角形，然后得到，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）四边形是菱形，理由：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵E，F分别是边，的中点，
∴，，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）∵，，
∴，
∴是等边三角形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
7．（2024·浙江温州·三模）如图，在△ABC中，中线，交于点，，分别是，的中点，连结，，，．
(1)证明：四边形是平行四边形．
(2)当，，时，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，继而得到，，即可得证；
（2）证明四边形是矩形，得到，证明，得，继而得到，可得，证明，得，推出，，连接并延长交于点，连接，可得为的边上的中线，根据等腰三角形三线合一及中线定义性质得，，则，根据勾股定理，从而可得，证明，求出，再根据三角形中位定理得，利用矩形的面积公式可得结论．
【详解】（1）证明：∵、分别为的中线，
∴点、分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
连接并延长交于点，连接，
∵、分别为的中线且交于点，
∴为的边上的中线，即点为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
8．（2024·浙江杭州·三模）如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，顺次连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
（1）根据平行四边形的性质得出，进而利用全等三角形的判定与性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据直角三角形的性质得出，进而利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
9．（2024·浙江杭州·二模）如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明．
【答案】(1)见解析(2)①，见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各判定定理并正确应用是解题的关键．
（1）利用证明，得出，然后证明，即可得证；
（2）由（1）知：四边形是平行四边形，则要证四边形为菱形，只需证明一组邻边相等或对角线互相垂直即可，如添①平分，则可证；如添③，则可证．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：选①平分，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形 ；
选③，
∵平行四边形，
∴O为中点，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形．
10．（2024·浙江温州·二模）如图，△AOB绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据，得出，根据平行四边形的判定即可得出结论；
（2）作于点H．根据等腰三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，，求出，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：∵绕点O旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，作于点H．
根据解析（1）可知：，
∵，
∴，
∴·，
∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
则，
∴，
∴四边形的周长为：
．
12．（2024·浙江杭州·二模）在四边形中，．连结对角线交于点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，已知，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（）根据平行线的性质及三角形全等判定可知，再利用三角形全等的性质即可解答；
（）根据勾股定理及全等三角形的判定与性质可知，再利用平行四边形的判定与性质可知，，最后利用平行四边形的性质及勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵在四边形中，，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵在四边形中，，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
∴，，
∴，
∴在中，，
∴．
13．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．
（1）先利用矩形的性质以及已知条件得到、，再根据全等三角形的性质可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）先根据矩形的性质得到，即，再由勾股定理可得；再根据直角三角形的性质可得，进而求得可得，然后根据三角形中位线的性质可得、，最后根据图形即可解答．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴,
∴，
∵，，
∴,，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴,
∴
∵，
∴，
∴,
∵，
∴
∴,
∴,
∵的中点，
∴；同理可得：，
∴四边形的面积为
题型三：特殊平行四边形在解答题中相关证明（高频考点）
1．（2023·浙江杭州·二模）如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，．
(1)求证：平行四边形为菱形；
(2)若，，
①求的值．
②求的长．
【答案】(1)见解析(2)①，②
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等；
（1）先利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，再根据菱形的判定可证得结论；
（2）①利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例得到，设，则，，则有，进而求解即可；②设，则，利用勾股定理列方程求解x值，再根据、求解即可．
掌握平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：①∵平行四边形对角线的交点为O，
，，，
，
，
∵P为的中点，
，
设，
则，，
，
解得：，
，
，
；
②设，则，，
在中，
，
在中，
，
，
解得：，
，
．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，是平行四边形的对角线的交点，，，分别是，，的中点．连结，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理得到，求得，根据矩形的判定定理得到结论；
（2）延长交于，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到结论．
【详解】（1）证明：，分别是， 的中点，
，
四边形为平行四边形，是中点，
，
，
四边形是平行四边形，
又，是中点，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：延长交于，
，分别是， 的中点，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，点D是中点，分别过点A，D作，的平行线交于点E，且交于点O，连结、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形 边角关系．
（1）结合已知直角三角形斜边中线及平行四边形的判定进而证出菱形；
（2）利用菱形的面积计算公式，由已知中的三角函数值及一边求出，进而求出菱形的对角线，即其面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵点D是中点
∴
∴．
∴四边形是平行四边形．
在中，为边上的中线，
∴．
∴平行四边形是菱形；
（2）解：中，为边上的中线，，，
∴．
由（1）得四边形是平行四边形．
∴,
∴．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知：如图，在中，对角线相交于点O，．
(1)求证：是矩形．
(2)若，求对角线的长．
【答案】(1)证明见解析(2)8
【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的判定和性质：
（1）根据等角对等边可得，结合平行四边形对角线互相平分，可得，即可证明是矩形；
（2）根据已知条件证明为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
5．（2024·浙江台州·一模）如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且．连接，，，．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形的周长为 且 求正方形的边长．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析(2)
【分析】（1）连接，交于点，由正方形的性质可得，，，然后根据菱形的判定方法可得答案；
（2）根据菱形的性质可得，设，则，利用勾股定理及正方形的性质可得答案．
此题考查的是正方形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）知，四边形是菱形，
菱形的周长，
，
设，则，
在中，，
，
，（舍去），
，
，
故正方形的边长为．
6．（2024·浙江台州·二模）如图，，，，为上顺次四点，为直径，平分，过点作的切线交延长线于点，连接，设．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
(3)若．
①求证：四边形是菱形．
②直接写出的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)①见解析；②
【分析】（1）连接 根据是的直径，得出，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，进而根据切线的性质得出，即可得证；
（2）连接 ，根据题意得出，设，则，，证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）①根据题意得出四边形 是平行四边形，进而证明，进而得出，即可得证；
②设 得出，在中，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接
是的直径
平分
，
，
是 的切线
，
，
；
（2）解：如图，连接
，
，
，
，
，
设，则，，
是 的直径，
，
，
，，
，
；
（3）①证明：连接，
，
四边形 是平行四边形
，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形 是菱形；
②解：，
连接 ，
设 ，
，，
，，
在中，，
，
．
7．（2024·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，分别以点A，点C为圆心，大于长为半径在线段的两侧分别画弧，得交点G，H，作经过点G，H的直线与线段的延长线分别交于点E，F，且与交于点O，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析(2)
【分析】本题考查菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理：
（1）有作图可知是的中垂线，证明，推出四边形为平行四边形，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可得证；
（2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）四边形为菱形，理由如下：
由作图可知：，．
∵矩形，
∴，
∴．
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴平行四边形为菱形．
（2）在菱形中，，设，则，
在中，，
∴，
解得．
∴．
8．（2024·浙江宁波·一模）如图，已知△ABC和均是等边三角形，F点在上，延长交于点D，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当点D在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)当点D在中点时，四边形是矩形，见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键．
（1）由和均是等边三角形，可得，则，进而可证四边形是平行四边形；
（2）由，点D在中点，可得，则，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵和均是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当点D在中点时，四边形是矩形，理由如下；
∵，点D在中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
9．（2024·浙江宁波·一模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交于点F，交于点G，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若，，，求线段的长．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析(2)
【分析】（1）先证明，进而由三线合一定理得到，然后证明，得，证出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）过点F作于点M，由菱形的性质得出，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下；
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，
∴四边形AEGB是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
过点F作于点M，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
．
10．（2024·浙江·一模）如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，．
(1)求证：；
(2)作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形性质得到，，利用线段中点的性质得到，证明，得到，利用等量的和差关系即可证明；
（2）由（1）可得，四边形是平行四边形，利用角平分线性质得到，利用平行线的性质得到，，利用等量代换和等腰三角形性质得到，即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
是对角线的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
四边形是平行四边形，
为的角平分线，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形．
11．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在△ABC中，，，分别为，的中点，四边形的一边经过点，，对角线分别与，交于点、．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）证明，则易得四边形为平行四边形，再证即可；
（2）设，由菱形的性质及，得，从而有；由得，由此求得a的值，再由勾股定理即可求得结果．
【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形；
∵，，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：设，
∵四边形为菱形，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得．
12．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查菱形的判定及性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质．
（1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论；
（2）由求出，进而，，在中，根据勾股定理构造方程，即可求得的长，根据面积公式即可解答．
【详解】（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∵在菱形中，，
∴．
13．（2023·浙江绍兴·一模）如图，同一平面内三条不同的直线，，，直线平行直线，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)四边形可以为菱形吗？若可以，求出；若不可以，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)可以，
【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（1）由角平线的性质及平行线的性质证出，由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质证明为等边三角形，进而可得出结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：四边形可以为菱形．
∵，
∴，
由（1）知，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
【点睛】∴．
题型四：相似三角形中相关证明（高频考点）
1．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知正方形的对角线相交于点，平分交于点，，交于点，交于点．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）由正方形的性质，结合特殊角的三角函数值求解即可得到答案；
（2）由正方形性质得到，再结合角平分线定义、垂直定义得到，利用两个三角形相似的判定定理即可得证；
（3）过点作交延长线于点，如图所示，由中位线判定与性质得到，再由正方形性质及已知条件，根据两个三角形全等的判定与性质得到即可得证．
【详解】（1）解∵正方形的对角线相交于点，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过点作交延长线于点，如图所示：
，
，
∴，，
由（2）可得，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在△ABC中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将△ABC沿直线对折使点落在处，交边于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查翻折的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到，然后根据翻折得到，，然后利用三角形的外角和角的和差解题即可；
（2）先证明两个对应角相等得到，即可得到，然后代入计算解题．
【详解】（1）证明：由作图可得，
∴，
由折叠可得：，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，
又∵,，
∴，
∴．
3．（2025·浙江·一模）如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由得出，再运用夹角相等，两边成比例进行证明，即可作答．
（2）结合，则，然后把分别代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
4．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在矩形中， ，点 分别在边 上，满足 ．
(1)求证∶ ．
(2)若 ，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用矩形的性质和已知条件即可证明；
（2）证明，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴
∵
∴．
（2）在中，
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴．
∴，
∴，
∴．
5．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，与相交于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．分别以点为圆心，一定长度为半径画弧，两弧相交于点，连结，交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）由菱形的性质得出．，由作图知为的中垂线，
可知，即可得出 ，则可得出．
（2）由菱形的性质得出，，由相似三角形的性质得出，等量代换可知，进而可得出为的黄金分割点，最后根据正弦的定义以及黄金分割点的定义求解即可．
【详解】（1）证明四边形是菱形，
．，
由作图知为的中垂线，
，
，
．
（2）解：由作图知为的中垂线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在菱形中，．
又，
，
∴，
．
又，
，
为的黄金分割点，
．
6．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结．
(1)若，则应该满足什么条件？
(2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)应该满足(2)6
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，难度较大，解题的关键是理清字母表示的线段．
（1）由平行四边形得到，则，，那么得到比例式，继而得到，化简即可求解满足的关系；
（2）当，则，而，则，那么，而，由于点是对角线上的等分点，则，即可得到，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
化简得：，
∴或（舍）
∴当，则应该满足；
（2）解：当，
由（1）得：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，为中心对称图形，
∴，
∵点是对角线上的等分点，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或（舍）．
7．（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点．
(1)求证： ；
(2)连接，．
①求菱形的周长；
②若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)①16；②
【分析】（1）连接，根据菱形的性质可得，，结合可得，根据点E是的中点可得点M为的中点，据此证明；
（2）①根据中点的概念可得，根据菱形以及平行线的性质可得，，证明，得到，结合以及的值可得，据此不难求出菱形的周长；
②连接，记与交点为点G，易得，，根据等腰三角形的性质可得，结合外角的性质可得，已知，则，则，易得，，，则为直角三角形，据此求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
点是的中点，
∴，，
点是的中点，
，
；
（2）解：由（1）得，点是的中点，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，，
，
菱形的周长为；
如图，连接，记与交点为点，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
∴，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
，，
，
．
8．（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 △ABC 中， ，是的三等分点且靠近点， 是的中点，过点作交延长线于点 ．
(1)求 的值；
(2)连接 ，若 ，，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
（）作交于点，则，所以，而，求得，再证明，得，所以的值为；
（）连接，由，，得，，由，得，而，所以，可证明，得 ，则，，再证明，得 ，所以，则，所以，，求得 ；
【详解】（1）解：作交于点，
∵是的三等分点且靠近点，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的值为；
（2）解：连接，
，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵都是正数，
∴，
∴，，
∴，
∴的值为．
9．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，过点作，垂足为．
(1)若，，，求的长；
(2)连接，若，且，，求的长．
【答案】(1)4(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（）证明即可求解；
（）由得到，求得，利用勾股定理可得，再证明即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连结．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)求的值．
(3)若E为的中点，，求的长．
【答案】(1)，见解析(2)(3)6
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）由，可得，由，可得，则，证明，则，进而可证；
（2）证明，则，证明，则，可得，可求，证明，，则，计算求解即可；
（3）由（1）知，，由E为的中点，可得，由（1）可知，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
同理，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（1）知，，
∵E为的中点，
∴，
由（1）可知，
∴，即，
解得，，
∴的长为6．
11．（2024·浙江·一模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．
(1)若，求线段，的长．
(2)若四边形的面积为48，求△ABC的面积．
【答案】(1)，(2)125
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．
（1）根据平行四边形的性质得出，，，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
∴，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
四边形的面积为48，
，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
