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2025年浙江数学中考预测专项突破
专题10 选填题中的几何综合（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题选填题中的几何综合
选择题第8道：本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质。难度中等，分值3分；
选择题第10道：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，位于选择题压轴的位置，难度中等偏上，分值3分；
填空题第13道：本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键，难度中等，分值3分；
填空题第15道：本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，难度中等，分值3分；
填空题第16道：此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．难度中等偏上，分值3分。
题型一：几何综合中求线段的长度（高频考点）
1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，，，在线段上，是的中点，连结，，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中，，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且是中点，与分别相交于点．当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．（2025·浙江·一模）如图，在△ABC中，点在边上，，，若，，则的长为（ ）
A．10 B． C．8 D．
7．（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，连接，点是线段上一点（），连接，过点作交于点，连接，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·浙江宁波·一模）在菱形中， 点E，F分别是， 的中点， 连接， ．若 ，， 则的长为（ ）
A． B． C． D．6
9．（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为 )
A．2 B． C．3 D．
10．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型二：几何综合中求角度（高频考点）
1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，将△ABC绕点顺时针旋转，得（与为对应点），若点刚好落在边上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠． 若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江湖州·一模）△ABC中，，点，分别在边，上，连结，，，若，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江·模拟预测）如图，图形在由完全相同的小正方形拼接而成的网格中，顶点，，，均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江丽水·三模）如图，点在射线上，直线，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江金华·一模）如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a按顺时针方向旋转的度数可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在正五边形内部作等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江宁波·三模）将正三角形、正方形、正六边形按如图方式摆放，正六边形和正方形的下底边共线，顶点在边上，顶点在边上，顶点在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：几何综合中的面积问题（高频考点）
1．（2025·浙江·模拟预测）如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若△APE的面积为，则的面积为（ ）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
2．（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（ ）
A．与的积 B．与的积
C．与的积 D．与的积
3．（2025·浙江湖州·一模）如图，在正方形中，线段绕点顺时针旋转至（点E在正方形内部），连结并延长至点F，使得，交于点G，连结，．若，则的面积与四边形的面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江杭州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点B作交于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A．30 B．24 C．15 D．12
5．（2025·浙江衢州·一模）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记△BEC的面积为s，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江宁波·一模）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
7．（2025·浙江金华·模拟预测）如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若正方形的面积为8，，则正方形的面积为（ ）
A．56 B．60 C．64 D．68
9．（2025·浙江·模拟预测）如图，△ABC的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
10．（2025·浙江湖州·一模）如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型四：几何综合中的比值问题（高频考点）
1．（2025·浙江温州·一模）如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，分别是等边三角形的边上的点，与相交于点，连结．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，，，延长到点D，使得，连结，过点D作的垂线交BC的延长线于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江·模拟预测）我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，△ABC中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交BE于点．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长交于点M，连结并延长交于点N．若，则正方形与正方形的面积的比值为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以点A为圆心，长为半径作弧交于点与相交于点，则的值为( )
A． B． C． D．
9．（2024·浙江·模拟预测）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点是正方形的中心，连接并延长交于点，连接，记的面积为，正方形的面积为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·浙江·模拟预测）四个全等的直角三角形按如图方式围成正方形，过各直角顶点作正方形各边的平行线得到正方形．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：几何综合中的坐标问题（高频考点）
1．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为．点在△ABC的边上，连接并延长交边于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点O．已知点，的坐标分别为，．若，则点的对应点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江衢州·一模）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为的位似图形，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江杭州·一模）如图．在平面直角坐标系中，△ABC与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则△ABC的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江·模拟预测）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为3的位似图形，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线，相交于点D，反比例函数经过点D，交的延长线于点E，且，则点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江台州·三模）如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形沿y轴翻折，此时点F的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将△ABC沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点，A与关于y轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点 B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·浙江·一模）如图，△ABC的顶点在y轴上，边轴，边，分别与轴相交于点，，原点正好是△ABC的内心，已知点，则的长是（ ）
A．9 B．10 C． D．12
题型六：几何综合中圆的相关问题（高频考点）
1．（2025·浙江湖州·一模）如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
2．（2025·浙江杭州·一模）如图，的直径与弦的夹角为，过点C的切线与的延长线交于点P，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过坐标原点且与两坐标轴分别交于A，B两点，点P为圆周上的一点，记若，那么的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2025·浙江·一模）如图，的切线交直径的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
5．（2025·浙江衢州·一模）如图，点O是正方形网格中的格点，点P，，，，是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点，则点P关于直线m的对称点是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江舟山·一模）如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，G是其中一顶点，连结，，交于点P，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江宁波·一模）如图，在中，△AOB是正三角形，点C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，是△ABC的内切圆，若，，则图中的面积为（ ）
A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025
9．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是的切线，切点为，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，△AOB和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型七：几何综合中的三角函数问题（高频考点）
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个 “赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为，大正方形面积为，直角三角形中较小的锐角为 ，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，将弧沿翻折，翻折后的弧交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
4．（2024·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，已知，，是△ABC的外心，是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P．则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，在“”正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C都在格点（即网格的交点）上，则的正切值是（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，以为边，在其右侧作正方形，分别交，于点E，I，以为边，在其下侧作正方形，已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江台州·三模）如图，是的直径，是弦，把沿着弦翻折交于点D，再把沿着翻折交于点．当是的中点时，的值是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
2025年浙江数学中考预测专项突破
专题10 选填题中的几何综合（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题选填题中的几何综合
选择题第8道：本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质。难度中等，分值3分；
选择题第10道：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，位于选择题压轴的位置，难度中等偏上，分值3分；
填空题第13道：本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键，难度中等，分值3分；
填空题第15道：本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，难度中等，分值3分；
填空题第16道：此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．难度中等偏上，分值3分。
题型一：几何综合中求线段的长度（高频考点）
1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，，，在线段上，是的中点，连结，，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了去全等三角形性质和勾股定理等知识点，延长、交于点，通过倍长类中线构造直角三角形，根据全等三角形的判定和性质证明，进而由勾股定理求可求解.
【详解】解：如图，延长、交于点，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中，，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质以及解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及锐角三角函数的应用是解题的关键．
根据直角三角形斜边中线的性质得出，再结合等腰三角形的性质解直角三角形即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了重心的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握相关知识是解题的关键．根据重心和等腰三角形的性质可得：，，，由可得，结合得到，推出，即可求解．
【详解】解：在△ABC中，，点是重心，
，，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
故选：B．
4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且是中点，与分别相交于点．当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理．过点E作，交点于点G，交于点H，证明，求出，，，再证明，，得出，，从而求出和，可得的长．
【详解】解：过点E作，交点于点G，交于点H，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∵，，且是中点，
∴，，，
∴，；
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
即，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
5．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】分两种情况：当时，作，根据矩形的性质得，根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质得，然后求出，接下来可得，最后根据勾股定理求，可根据得出答案；
当时，由上述可知，且，，根据等边三角形的性质求出，可得，然后根据，求出，
再根据，求出，接下来过呢据得出答案．
【详解】解：如图所示，当时，作于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
根据勾股定理，得.
∵，
∴．
在中，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴；
如图所示，当时，由上述可知，且，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
则，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴．
综上所述，的值是或．
故选：D．
6．（2025·浙江·一模）如图，在△ABC中，点在边上，，，若，，则的长为（ ）
A．10 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】根据，得到垂直平分，继而得到，得到，结合，，得到，于是，解答即可．
【详解】解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，连接，点是线段上一点（），连接，过点作交于点，连接，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，交于点，由四边形是正方形，得，，，，证明四边形是矩形，故有，再通过三角函数得，，，由勾股定理，得，然后证明，所以，则，所以．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．（2025·浙江宁波·一模）在菱形中， 点E，F分别是， 的中点， 连接， ．若 ，， 则的长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】延长，交于点M，证明，，可得，过E点作于N点，结合可得，，，再进一步可得答案.
【详解】解：延长，交于点M，
在菱形中，点E，F分别是，的中点，
，，，，
在和中
，
，
，
在和中
，
，
，，
过E点作于N点，
，，
，，
，
，
在中
，
即，
，
，
故选：A．
9．（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为 )
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
在与中，
，
，
，
，
故选：C．
10．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，根据直角三角形斜边上的中线求出，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出．熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：在中，，是的中点，，
则，
由勾股定理得：，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
故选：A．
题型二：几何综合中求角度（高频考点）
1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，将△ABC绕点顺时针旋转，得（与为对应点），若点刚好落在边上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，，，，则可得，进而可得答案．
【详解】解：由旋转得，，，，
，
．
故选：C．
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，利用邻补角求度数，根据平行线的性质，得到，再根据邻补角求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选B．
3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠． 若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据对折的性质可知，，由平行线性质得到，可得，根据对顶角相等可得到的度数，再利用三角形内角和定理可求出答案．
【详解】解：如图，
根据折叠的性质可知，
∵两边沿互相平行，
∴，
∴，
又，
∴．
故选：C．
4．（2025·浙江湖州·一模）△ABC中，，点，分别在边，上，连结，，，若，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
作于，取，交于，作于，通过等腰三角形三线合一，可知 ，，，，，那么可证，不妨设，，通过，可知，从而得到，那么，不妨设，那么，，，从而得到，推出
，，接着依次表示出，，你那么，最后求得．
【详解】解：如图，作于，取，交于，作于，如图所示：
，，
，，，
，，
，，
，
不妨设，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
不妨设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
5．（2025·浙江·模拟预测）如图，图形在由完全相同的小正方形拼接而成的网格中，顶点，，，均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟悉网格结构，证明全等三角形是解题的关键．
可得，，继而，那么，，即可求解．
【详解】解：如图：
由网格可得，，为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．（2024·浙江丽水·三模）如图，点在射线上，直线，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据图示可得，结合得到，由此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D ．
7．（2023·浙江金华·一模）如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a按顺时针方向旋转的度数可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法进行解答即可．
【详解】解：如图所示，
∵时，，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是．
故选：A．
8．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在正五边形内部作等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了等边三角形和正多边形的内角和问题，解题的关键是明确等边三角形的每个内角都是、多边形的内角和公式．
根据等边三角形的性质和多边形的内角和解答即可．
【详解】解：∵等边三角形，
∴，
∵正五边形，
∴，
∴，
故选：C．
9．（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．首先根据三角板的性质算出的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，在中，利用三角形内角和可求出的度数．
【详解】解： 在△ABC和△ADE中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故选：B．
10．（2023·浙江宁波·三模）将正三角形、正方形、正六边形按如图方式摆放，正六边形和正方形的下底边共线，顶点在边上，顶点在边上，顶点在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正三角形内角为，正方形为，正六边形内角为进行计算即可．
【详解】解：过点作底边，
由题意可知，，
，
正六边形内角为，
，
，
，
，
正三角形内角为，
，
，
，
．
故选D．
题型三：几何综合中的面积问题（高频考点）
1．（2025·浙江·模拟预测）如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若△APE的面积为，则的面积为（ ）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，再证出四边形、四边形、四边形和四边形都是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，，，则，由此即可得．
【详解】解： ∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形、四边形、四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为，
故选：B．
2．（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（ ）
A．与的积 B．与的积
C．与的积 D．与的积
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的运用，根据图形得到关于的方程，并用整体代入思想解答是解题关键．欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，可设小正方形的边长为，设，，在中，利用勾股定理建立关于的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出矩形的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，设，，则，，
，
在中，，即，
整理得：，
矩形的面积为：，
矩形的面积为，
一定能求出矩形面积的是与的积，
故选：A．
3．（2025·浙江湖州·一模）如图，在正方形中，线段绕点顺时针旋转至（点E在正方形内部），连结并延长至点F，使得，交于点G，连结，．若，则的面积与四边形的面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键；
本题先设，然后等量变换得到，进而证得，然后证得是等腰直角三角形，再证明，得到、、三点共线，再证明，得到点、分别为和的中点，然后设正方形的边长为，分别求得，，然后即可求解；
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
设，则，由旋转可知，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在上取，连接， ，如图：
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴、、三点共线，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴点、分别为和的中点，
设正方形的边长为，
∴，，
在中，根据勾股定理，可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故选：C；
4．（2025·浙江杭州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点B作交于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A．30 B．24 C．15 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求，再由勾股定理确定，根据菱形面积对角线积的一半即可．
【详解】解：是菱形，
∴，，
，
∴为直角三角形，
．
∵，
∴，
∴，
，
故选：B．
5．（2025·浙江衢州·一模）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记△BEC的面积为s，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．作于M，作于N，根据证明得，然后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：作于M，作于N，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形的面积为．
故选B．
6．（2025·浙江宁波·一模）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
故选：C．
7．（2025·浙江金华·模拟预测）如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接、，，，过作于点，先证明、、、共线，再求出，，，利用勾股定理得，从而四边形是菱形，是等边三角形，进而得，，于是即可得解．
【详解】解：如图，连接、，，，过作于点，
由正六边形的性质得，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，即点、、共线，
同理：点、、共线，
∴、、、共线，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
同理：，
∴，，
∴，
同理可得，
∴四边形是菱形，是等边三角形，
∵，
∴，，
∴四边形的面积为．
故选∶．
8．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若正方形的面积为8，，则正方形的面积为（ ）
A．56 B．60 C．64 D．68
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理与三角函数的综合应用．解题关键是利用三角函数关系求出直角三角形的直角边长度，再结合图形面积关系求解正方形的面积．
根据全等三角形的性质得到，，，再利用直角三角形的三角函数关系求出两个直角边，再利用勾股定理求出正方形的边长，最后再利用正方形的面积计算公式即可得到答案．
【详解】解：∵正方形的面积为8，
∴，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴正方形的面积为．
故选：D．
9．（2025·浙江·模拟预测）如图，△ABC的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解．
【详解】解：∵的两条中线，相交于点，
∴点O是的重心，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：B．
10．（2025·浙江湖州·一模）如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，连接、，易证得，即可得到，求得，然后根据求得即可．
【详解】解：连接、，
∵过的中点C作交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
题型四：几何综合中的比值问题（高频考点）
1．（2025·浙江温州·一模）如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，得出，设，，表示出、、、、的长，逐项分析即可得解．
【详解】解：∵四边形为正方形，是对角线，
∴，，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，则，
∴，，
∴，，
∴；
如图，作于，
则由等腰直角三角形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，是定值，故A符合题意；
，不是定值，故B不符合题意；
，不是定值，故C不符合题意；
，不是定值，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，分别是等边三角形的边上的点，与相交于点，连结．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，正确找出两个全等三角形和相似三角形是解题关键．设，则，，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据三角形的外角性质可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得．
【详解】解：设，则，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
整理得：，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
故选：B．
3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，，，延长到点D，使得，连结，过点D作的垂线交BC的延长线于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角函数、相似三角形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形、三角函数的性质；过点B作，交于点F，根据三角函数性质和勾股定理的性质，得，从而得，过点E作，交于点G，再根据相似三角形的性质，得，结合勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】如图，过点B作，交于点F，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵过点D作的垂线交BC的延长线于点E，即
∴
∴，
过点E作，交于点G，
∴
∴
设
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴，
故选：D．
4．（2025·浙江·模拟预测）我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由正方形和全等三我的性质求得，，，再由勾股定理求得，，即可求解．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
由题意，得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，△ABC中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可.
【详解】解：固定，则，
∴A点的运动轨迹为阿氏圆O，
设，则，，则，
∵，，
∴C点的运动轨迹为阿氏圆，
∴，
∴，
∴当最小时，的值最大，
，
∴，
故选：D．
6．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交BE于点．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长，交的延长线于，延长，交的延长线于，由四边形是矩形，得，，，则，又平分可证，设，则，由勾股定理得，则，，再证明，，最后由相似三角形的性质即可求解．
【详解】如图，如图所示，延长，交的延长线于，延长，交的延长线于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，，
∴，
∴，
故选：．
7．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长交于点M，连结并延长交于点N．若，则正方形与正方形的面积的比值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的判定与性质，由四边形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形得设得证明可得从而可求出结论
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴
∵，
∴；
∵四边形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
∴
设
∴
∴，
由题意得，
∴
∴，即，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
解得，
∴
∴，
故选：A
8．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以点A为圆心，长为半径作弧交于点与相交于点，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，延长，交于点，设，则，先计算出，则表示出，由平行得到，利用比例式求出比值．
【详解】解：延长，交于点，
矩形，
，，，，
，为中点，
设，
则，
在 中，，
由题意得：，
则，
，
，，
，
，
，
．
故选：A．
9．（2024·浙江·模拟预测）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点是正方形的中心，连接并延长交于点，连接，记的面积为，正方形的面积为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形．正方形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．连接，设，则是，则，则，
可得，最后可得答案．
【详解】解：如图，连接，
点是正方形的中心，
过点，
过点，
点在上，
设，则是，则，
，
，
，，
．
故选：B
10．（2024·浙江·模拟预测）四个全等的直角三角形按如图方式围成正方形，过各直角顶点作正方形各边的平行线得到正方形．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识．设得到，证明，利用相似三角形的性质得到，进一步得到，证明，则，得到，得到，进一步即可求出答案．
【详解】解：设则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四个全等的直角三角形按如图方式围成正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴,
∵，，
∴
∴，
∴
∴，
∴．
故选：D
题型五：几何综合中的坐标问题（高频考点）
1．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为．点在△ABC的边上，连接并延长交边于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查位似的性质，先求出与△ABC的位似比为2，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵△ABC与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，
∴与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为2，
∵，
∴，即，
故选D．
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点O．已知点，的坐标分别为，．若，则点的对应点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据位似关系得到，得到相似比再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵线段与线段是位似图形，位似中心为点O．点，的坐标分别为，．
∴，，与x轴平行，
∵，
∴，
∴相似比为，
∵点，
∴点的对应点A的坐标是，即
故选：A．
3．（2025·浙江衢州·一模）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为的位似图形，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求位似图形的对应点的坐标，根据关于原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标关系，进行求解即可．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为的位似图形，，
∴点坐标为，即：；
故选C．
4．（2025·浙江杭州·一模）如图．在平面直角坐标系中，△ABC与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则△ABC的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题．
【详解】解：∵点，，
∴，，
∵△ABC与位似，位似中心为点O，
∴，
∴，
∴△ABC的面积与积之比．
故选：C．
5．（2025·浙江·模拟预测）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为3的位似图形，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似，相似三角形折判定与性质，点的坐标，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．作轴于，轴于，证明，得，从而求得，的长，继而由点C在第二象限内，即可得出其坐标．
【详解】解：作轴于，轴于，如图，
∵与以点O为位似中心，相似比为3，
∴，，
∵轴于，轴于
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴，，
∵点C在第二象限内，
∴．
故选：C．
6．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线，相交于点D，反比例函数经过点D，交的延长线于点E，且，则点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形、反比例函数的图象与性质，作轴于，由菱形的性质可得，得出，由题意可得，，解直角三角形得出，从而可得，待定系数法求出反比例函数解析式为，即可得解．
【详解】解：如图，作轴于，
，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵反比例函数经过点D，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，即，
故选：D．
7．（2023·浙江台州·三模）如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形沿y轴翻折，此时点F的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，根据正方形的性质求出点坐标，的长，根据菱形的性质，求出点的坐标，根据关于y轴对称的点的特点，求出点F的对应点的坐标即可．
【详解】解：∵点B的坐标为，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，，
∵菱形，
∴轴，，
∴，
∴将菱形与正方形组成的图形沿y轴翻折，此时点F的对应点的坐标为；
故选B．
8．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将△ABC沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，坐标与图形变化平移．先根据勾股定理求出，再由平移的性质得出，把代入，求出，再把代入，解得，即可求出点的坐标．
【详解】解：点、的坐标分别为，，
，
轴，，
．
将△ABC沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），
．
直线经过点，
，解得，
直线经过点，
把代入，解得，
点的坐标为．
故选：A．
9．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点，A与关于y轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点 B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，坐标与图形．过点作轴于点C，证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵点，A与关于y轴对称，
∴，
如图，过点作轴于点C，
∵将线段以点为中心顺时针旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点 B的对应点的坐标为．
故选：A
10．（2024·浙江·一模）如图，△ABC的顶点在y轴上，边轴，边，分别与轴相交于点，，原点正好是△ABC的内心，已知点，则的长是（ ）
A．9 B．10 C． D．12
【答案】B
【分析】设交轴于点，连接，作于点，由原点是的内心，得，，从而推出，根据轴，可推出，则，再由，利用勾股定理求得，得到，由，求得，最后由即可得到答案．
【详解】解：设交轴于点，连接，作于点，则
，分别与轴相交于点，
原点是的内心
平分，平分
，
轴
，
，
，
故选：B．
题型六：几何综合中圆的相关问题（高频考点）
1．（2025·浙江湖州·一模）如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，切线的性质，含30度的直角三角形，掌握圆的切线的性质是解题关键．连接，，根据切线的性质得到，再根据等边对等角的性质推出，进而得到，则，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，，
，分别切于点A，B，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
2．（2025·浙江杭州·一模）如图，的直径与弦的夹角为，过点C的切线与的延长线交于点P，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理．连接，如图，根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过坐标原点且与两坐标轴分别交于A，B两点，点P为圆周上的一点，记若，那么的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理的推论，余弦的定义，垂径定理和勾股定理，根据直角所对的弦是直径得到，利用勾股定理求出长，过点P作于点H，当最大时，比值最大，解题即可．
【详解】解：∵，
∴，，
连接，
∵，
∴是圆O的直径，即，
∴，
过点P作于点H，
则，
∴的最大值为当最大，
∴当与圆相切时，最大，如图，连接并延长交y轴于点G
∴，
∵轴，
∴轴，
∴轴，
∴，，四边形是矩形，
∴，
的最大值是，
故选：B．
4．（2025·浙江·一模）如图，的切线交直径的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算长，最后根据勾股定理解题．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．（2025·浙江衢州·一模）如图，点O是正方形网格中的格点，点P，，，，是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点，则点P关于直线m的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理的性质解题的关键．
由网格线可知直线，由垂径定理可得直线平分线段，即可确定点P关于直线m的对称点是点．
【详解】解：由网格线可知直线，
∵直线经过圆心，
∴直线平分线段，
∴点P关于直线m的对称点是点，
故选：D．
6．（2025·浙江舟山·一模）如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，G是其中一顶点，连结，，交于点P，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正六边形外接圆的圆心为O，连接，于是得到，由题意得，，，过A作于H，推出是等腰直角三角形，得到，求得，根据弧长的计算公公式即可得到结论．
本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键．
【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为O，
连接，,则，，
故，是等边三角形，
由题意得，，，，
过A作于H，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的长，
故选：D．
7．（2025·浙江宁波·一模）如图，在中，△AOB是正三角形，点C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据正三角形的性质求出，根据圆周角定理可求解的度数，根据角的和差求出，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，是△ABC的内切圆，若，，则图中的面积为（ ）
A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025
【答案】D
【分析】本题考查与圆内切三角形．熟练掌握圆内切三角形性质，切线性质，切线长定理，正方形判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键．
设的半径为r，分别切的三边于D、E、F，连接，证明四边形是正方形，得，得，，由，得，解得，即得．
【详解】解：设分别切的三边于D、E、F，半径为r，连接，
则，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：D．
9．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是的切线，切点为，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得，即可求出，由切线长定理得，即可求得结果．
【详解】解：连接，则，
又∵，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，△AOB和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查位似图形的性质，圆的性质，熟练掌握位似图形的对应边成比例相等是解题的关键．利用位似图形得出，再结合，，得出，即可求解．
【详解】解：∵和是位似图形，位似中心为点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
题型七：几何综合中的三角函数问题（高频考点）
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个 “赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为，大正方形面积为，直角三角形中较小的锐角为 ，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
由题意知，小正方形的边长为，大正方形的边长为，设直角三角形中较小的边的边长为，然后列出方程，然后解方程即可求解．
【详解】解：由题意知，小正方形的边长为，大正方形的边长为，
设直角三角形中较小的边的边长为，
∴，
解得（负值不合题意，舍去），
∴，
故选：．
2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求正切，正方形的性质，勾股定理；连接，设交于点，则，证明三点共线，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，设交于点，则，
∵四边形，是正方形，
∴
又∵
∴
∴三点共线，
又∵
∴，
∵
∴
∴
故选：C．
3．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，将弧沿翻折，翻折后的弧交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查圆的综合及三角函数，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点C作于H，然后根据圆的基本性质可得，则有，进而根据三角函数及割补法可进行求解．
【详解】解：如图，连接，过点C作于H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴设，
根据勾股定理，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2024·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，已知，，是△ABC的外心，是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外接圆，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，连接，，以点为圆心，以为半径作△ABC的外接圆，根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点可得，，结合等腰三角形底边上的中线与顶角的角平分线重合可得，根据锐角三角函数可求得，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，，以点为圆心，以为半径作△ABC的外接圆，如图所示：
∵是△ABC的外心，是的中点，，
∴，，，
∵，
∴，
故，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
即，
解得：（负值舍去）；
故答案为：．
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线，应用转化思想求．连接，，由等腰直角三角形的性质推出，得到，求即可．
【详解】解：连接，，设小正方形的边长是1，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：C
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，在“”正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C都在格点（即网格的交点）上，则的正切值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，求正切值，连接，由勾股定理可得，，，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，其中，根据正切的定义即可求出答案.
【详解】解：连接，
由勾股定理可得，，，，
∵，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，其中，
∴，
即的正切值是2，
故选：B
7．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，特殊角的三角函数值，连接，由勾股定理可得，，进而由勾股定理的逆定理可得△ABC为等腰直角三角形，即得，再根据特殊角的三角函数值即可求解，得出为等腰直角三角形是解题的关键．
【详解】解：连接，
由勾股定理可得，，，
∵，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：．
8．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，以为边，在其右侧作正方形，分别交，于点E，I，以为边，在其下侧作正方形，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、求锐角三角函数值、相似三角形的判定和性质等知识，由四边形、都是正方形得到，，设正方形的边长为a，根据解得，由求得，得到，再由勾股定理求出，即可求出.
【详解】解：∵四边形、都是正方形，
∴，，
设正方形的边长为a，
∴
∵，
∴，
解得
∵，
∴，
∴,
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：C
9．（2024·浙江台州·三模）如图，是的直径，是弦，把沿着弦翻折交于点D，再把沿着翻折交于点．当是的中点时，的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，过点作于点，设，首先根据是的中点，易得，进而可得，，再结合，易得，进而可得，，根据“直径（半圆）所对的圆周角为直角”可得，即可解得，设，证明为等腰直角三角形，易得，，然后在中，利用正切的定义求解即可．
【详解】解：如下图，连接，过点作于点，
设，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵在同圆或等圆中，所对的弧有，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
解得，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
故选：A．
10．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算方法，掌握全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法，合理构造三角形全等是解题的关键．
过点作于点，过点作于点，可证，可得，再证，可得，设，则，，，，
，在中，运用勾股定理可得，根据等面积法，可求出的值，在中，可求出的值，再根据正切值的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：D ．
