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2025年浙江数学中考预测专项突破
专题07 二次函数在选填题中的考法（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题二次函数在选填题中的考法
解答题第23道：二次函数是浙江中考的主要考查内容，往往出现在解答题压轴或者选填题压轴上，难度偏上，本小节主要讲解二次函数在选填题中常考压轴题，综合性较强。需要考生熟练掌握二次函数的性质以及图象并进行扩展培优。
题型一：二次函数中取值范围类问题（高频考点）
1．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数，当时，，则，值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数是常数且的图象与x轴的交点坐标是，当时，，当时，，则（ ）
A．至少有一个大于 B．都小于
C．至少有一个小于 D．都大于
3．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，其与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．或
5．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江·模拟预测）二次函数，若时，的取值范围为（为常数），则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
题型二：二次函数中多结论问题（高频考点）
1．（2024·浙江杭州·二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数图象的顶点坐标为
B．当时，的值随的增大而增大
C．当，时，的取值范围是
D．当时，的最大值为8，则或
3．（2023·浙江杭州·二模）已知抛物线交轴于点和，下列四个命题：
①；
②对于抛物线上的一点，当时，；
③若，则；
④抛物线上有两点，和，，若，且，则；其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．③④ D．②③④
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线与轴交点的横坐标为，，且，点是抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当 时，
C．方程的解为，
D．若，当时，则
5．（2024·浙江·模拟预测）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（ ）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当时，函数图象总过定点；
③当时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于；
④当时，函数在时，y随x的增大而减小．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
6．（2024·浙江·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，连接，．以下结论：①抛物线经过点；②；③；④当时，．其中正确的是（ ）（填序号）
A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
7．（2024·浙江杭州·三模）已知二次函数（m为常数）图象上两个不同的点，，且．有以下四个结论：①该二次函数图象与x轴一定有两个不同的交点；②若一次函数经过点A，B，则当时，总有；③当时，；④当时，；以上结论中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
8．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）．
A． B．的解为，
C． D．点在第三象限
9．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数经过点和点，交轴于，两点，交轴于．则：①；②该二次函数图象与轴交于负半轴；③存在这样一个，使得，，三点在同一条直线上；④若，则． 以上说法正确的有( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
10．（2024·浙江·一模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．若抛物线经过点，则必过点
B．若点和都在抛物线上，则
C．
D．
11．（2024·浙江杭州·一模）关于二次函数的三个结论：
①对任意实数，都有与对应的函数值相等；
②若，对应的的整数值有4个，则
③若抛物线与轴交于不同两点，，且，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知点，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点（点在点的左侧），有下列结论：
①；
②当时，一定有随的增大而增大；
③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3；
④关于的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型三：利用二次函数的性质比较大小（高频考点）
1．（2024·浙江杭州·二模）已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·浙江·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江宁波·三模）点，都在二次函数的图象上，若，则下列可能成立的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数图象上两点，且．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2024·浙江杭州·二模）已知，是函数与图象两个交点的横坐标，点在函数的图象上，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2024·浙江台州·二模）已知点，是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·浙江·三模）已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，若，则 B．当时，若，则
C．当时，若，则 D．当时，若，则
11．（2024·浙江宁波·一模）已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数（其中，，是常数，且）的图象过点，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
13．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数（，a，m是常数）的图象上有两点，（其中）（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
14．（2023·浙江金华·模拟预测）已知二次函数，点，是其图象上两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
15．（2024·浙江·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A．若恒成立，则 B．若恒成立，则
C．若恒成立，则 D．若恒成立，则
题型四：二次函数中的最值问题（高频考点）
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．12 D．
2．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
3．（2023·浙江宁波·三模）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
4．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．（2024·浙江嘉兴·三模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，m有最大值 B．若，m有最小值
C．若，m有最大值 D．若，m有最小值
7．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（ ）
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
8．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数， 当时，函数最大值为M，最小值为N．若，则的值为 （ ）
A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
9．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数的图象上有两点，若，则当时，函数（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
10．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2024·浙江衢州·一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：，，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值
C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值
13．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的图像经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·浙江衢州·模拟预测）关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则m的值为（ ）
A．7或 B．2或 C．3或7 D．2或
15．（2024·浙江杭州·一模）定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
16．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二次函数，当时，则（ ）
A．若时，函数有最小值 B．若时，函数有最小值
C．若时，函数有最小值 D．若时，函数有最小值
题型五：二次函数中交点问题（高频考点）
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（ ）
A．6 B．8 C． D．7
2．（2024·浙江·模拟预测）一次函数与二次函数的交点个数为（ ）．
A． B． C． D．不确定
3．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为( )
A． B． C． D．
4．（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
6．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（2024·浙江嘉兴·一模）抛物线（为常数，）满足条件，则（ ）
A．该抛物线与轴有1个或2个交点 B．该抛物线与轴一定有2个交点
C．该抛物线与轴只有1个交点 D．该抛物线与轴没有交点
8．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数与x轴只有一个交点，且图象经过两点，，则m、n满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于的二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．若，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知，，若关于的函数图象与轴有三个交点，横坐标分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·浙江台州·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为 ．
13．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ．
14．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数），当时，，若，且，则的最大值等于 ．
15．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
16．（2024·浙江·模拟预测）已知抛物线上有，，，四个点，某数学兴趣小组研究后得到三个命题：①若，则；②若，则；③若，则．属于真命题是 ．（填写序号）中小学教育资源及组卷应用平台
2025年浙江数学中考预测专项突破
专题07 二次函数在选填题中的考法（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题二次函数在选填题中的考法
解答题第23道：二次函数是浙江中考的主要考查内容，往往出现在解答题压轴或者选填题压轴上，难度偏上，本小节主要讲解二次函数在选填题中常考压轴题，综合性较强。需要考生熟练掌握二次函数的性质以及图象并进行扩展培优。
题型一：二次函数中取值范围类问题（高频考点）
1．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数，当时，，则，值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，二次函数的图象性质，先求出对称轴，再结合越靠近对称轴的横坐标所对应的纵坐标越大，分析得在对称轴的左边，然后建立方程组，进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵二次函数，
∴开口向下，对称轴为直线，
∵当时，，
∴
即，
故在对称轴的左边，
即把，分别代入，得
，
整理得，
即分别是一元二次方程的两个解，
得，
则，
∵，
∴，，
故选：B
2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数是常数且的图象与x轴的交点坐标是，当时，，当时，，则（ ）
A．至少有一个大于 B．都小于
C．至少有一个小于 D．都大于
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
设抛物线的交点式，表示出p和q，进而求出，进而求解．
【详解】解：令，
从而，
，
，
，
(使等号无法取到)，
因此至少有一个小于．
故选：C．
3．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，其与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据题意，得到直线与抛物线的交点坐标，代入二次函数解析式，得到，根据其与x轴的另一个交点的横坐标t满足，得到不等式组，得到结果．
【详解】解：∵二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，
∴当时，，当时，，
∴点，在抛物线上，
∵二次函数，
∴把，代入函数表达式，
得，
得，，
∴，
∵与x轴的其中一个交点的横坐标t满足，
∴，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，绝对值的性质，由点、点可得抛物线的对称轴为直线，即得，得，再根据二次函数解析式得抛物线与轴的交点坐标为，又根据抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，得到点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近，即得，最后根据绝对值的性质解不等式即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点，点在二次函数图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，
∵，
∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近，
∴，
即，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上， 的取值范围为或，
故选：．
5．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键．
根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案．
【详解】解：∵当时， 或，
∴抛物线开口向上，且对称轴是直线，
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，
∵，
又， 是抛物线上的两点， 且，
∴，
∴，
∴，
，
故选： A．
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象的开口，对称轴可得，求出二次函数解析式为，令可得一元二次方程中两根的关系，可得两根之间的最大距离，根据，可得当或时，有最小值，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，二次函数的对称轴为，
∴，且二次函数图象的开口向下，
把代入二次函数得，
，
解得，，
∴二次函数的解析式为：，
∴，即二次函数顶点坐标为，
∵，
∴当时，，即，
∴方程的两根的关系为：，
∴，
∴二次函数图象与直线的两个交点之间的距离为4，即的最大值为；
当时，是二次函数图象的顶点，即;
∵当时，总有，
∴或时，的最小值为；
∴的取值范围为：，
故选：C ．
7．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象及性质．
将二次函数的解析式配方成顶点式，可得出抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，当时，y取得最小值，由已知“当时，总有”根据抛物线的对称性和增减性分类讨论∶若时，若时，分别求出m的值，即可求出答案．
【详解】解：∵，
，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，
∴当时，取得最小值，
∵当时，总有，
∴，
若，则当时，，
即有，
解得：；
若，则当时，，
即有
解得：，不合题意，
∴这种情况不存在，
综上所述，当时，总有，则．
故选：D
8．（2024·浙江·模拟预测）二次函数，若时，的取值范围为（为常数），则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．根据题意可得对称轴为直线，推出，抛物线为，当时，，得到，进而得到二次函数为，又，结合函数的性质即可求解．
【详解】解：由题意，时，的取值范围为，且抛物线开口向下，
对称轴是直线，
，
抛物线为，
又当时，，
，
二次函数为，
抛物线开口向下，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
，，
又，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为．
当时，．
故选：B．
9．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵，
∵，
∴两点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，
解得：，
故选：．
题型二：二次函数中多结论问题（高频考点）
1．（2024·浙江杭州·二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案．
【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，
∴点关于原点对称，
∴，
∴，
将代入中，，
解得：，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴，即，
∴，
故④正确，符合题意，
∵，
∴，，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴③错误，不符合题意，
综上所述：正确的是①②④，
故选：C．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数图象的顶点坐标为
B．当时，的值随的增大而增大
C．当，时，的取值范围是
D．当时，的最大值为8，则或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可．
【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意；
B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意；
C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意；
D、抛物线对称轴是直线．
若，则时，的最大值为8，
∴，
∴；
若，则时，的最大值为8，
∴，
∴．
∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意；
故选：D．
3．（2023·浙江杭州·二模）已知抛物线交轴于点和，下列四个命题：
①；
②对于抛物线上的一点，当时，；
③若，则；
④抛物线上有两点，和，，若，且，则；其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．③④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系．
由抛物线与轴有两个交点可得，解得范围可判断①是假命题；由二次函数性质可知时，随的增大而减小，而时，故当时，，可判断②是假命题；由抛物线的对称轴为直线知，可判断③是真命题；由，且，，可得，即可判断④是真命题．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点，则判别式，
，
解得，故①是假命题；
抛物线，
抛物线对称轴为直线，
抛物线开口向下，
时，随的增大而减小，
时，
当时，，故②是假命题；
若，则，
由抛物线的对称轴为直线知，
，故③是真命题；
，
，，
，，
，即，故④是真命题；
真命题有③④，
故选：．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线与轴交点的横坐标为，，且，点是抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当 时，
C．方程的解为，
D．若，当时，则
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图像与性质，根据二次函数图象与性质逐项验证即可得到答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：，
抛物线经过，，
抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，则，选项A错误；
抛物线与轴的交点坐标为，，抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线经过，，选项B错误；
抛物线轴交点的横坐标为，，
，
抛物线经过，，
或时，，
的解为，，选项C错误；
时，抛物线开口向上，
由抛物线经过，可得时，，选项D正确；
故选：D．
5．（2024·浙江·模拟预测）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（ ）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当时，函数图象总过定点；
③当时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于；
④当时，函数在时，y随x的增大而减小．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】A
【分析】①把代入，再化为顶点式即可；②求得与轴的交点，进而求得的值，即可判断；③由，可知当时，的值与无关，然后求出，的对应值即可；依据题意，由抛物线与轴交点为，，结合对称轴是直线，又，故，抛物线开口向下，进而可得当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，从而可以判断④．本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【详解】解：①当时，，
顶点坐标为，
故①正确；
②当时，，
当时，的值与无关，
此时，，
当，；当时，，
函数图象总经过两个定点，，
故②正确；
③当时，由得： ，
，
，，
，
函数图象截轴所得的线段长度大于，
故③正确；
由题意，抛物线与轴交点为，，
对称轴是直线．
，
，抛物线开口向下．
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
当，时，随的增大而减小，这个说法不正确，故④错误．
故选：A
6．（2024·浙江·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，连接，．以下结论：①抛物线经过点；②；③；④当时，．其中正确的是（ ）（填序号）
A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，根据题目找出抛物线的解析式是解题的关键，再利用其性质求解．
根据抛物线与y轴交于点，可以求得m的值，从而可以判断②是否正确；然后将代入求得的函数解析式，即可判断①是否正确；然后令，求出x的值，即可得到点A的坐标，再根据抛物线解析式可以得到点M的坐标，从而可以求得的面积，从而可以判断③是否正确；再根据二次函数的性质，即可判断④是否正确．
【详解】解：∵抛物线与y轴交于点，
∴，得，故②错误；
∴抛物线，
当时，，
即抛物线过点，故①正确；
当时，，
解得，，
∴点A的坐标为，
∴，
∵抛物线，顶点为M，
∴点M的坐标为，
∴，故③错误；
∵抛物线与x轴的交点为，
∴当时，，
∴当时，，故④正确；
综上：正确的有①④，
故选：A．
7．（2024·浙江杭州·三模）已知二次函数（m为常数）图象上两个不同的点，，且．有以下四个结论：①该二次函数图象与x轴一定有两个不同的交点；②若一次函数经过点A，B，则当时，总有；③当时，；④当时，；以上结论中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，根据题意求出与x轴交点坐标为 ，然后确定对称轴为直线，是解题的关键．根据二次函数的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：由题意，∵二次函数为，
∴令，故．
∴或，
当时，
∴，即当时，二次函数图象与x轴仅有一个交点，故①错误．
∵一次函数经过点A，B，且，，且，
∴当时，总有，故②正确．
由题意，当时，对称轴是直线，
∴，故③正确．
∵抛物线开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
又时，，
∴或，
当时，
∴，
当时，
∵抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
又，
∴，
∴，故④错误．
故选：B．
8．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）．
A． B．的解为，
C． D．点在第三象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象的性质成为解题的关键．
根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A、由图象可得：对称轴，即，即A选项正确，不符合题意；
B、由函数图象可知：的解为，另一个解为：，即B选项正确，不符合题意；
C、由函数图象可知：且，则有；又当时，，即，即，即C选项正确，不符合题意；
D、由意义可知：，则，又，则，可得点在第二象限，故D选项错误，符合题意．
故选D．
9．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数经过点和点，交轴于，两点，交轴于．则：①；②该二次函数图象与轴交于负半轴；③存在这样一个，使得，，三点在同一条直线上；④若，则． 以上说法正确的有( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，根据二次函数经过点和点，代入可得、、的关系，然后通过变形可以得到的值，即可判断①②是否正确；③求出过点、的直线解析式，然后令，求出相应的的值，然后将的值代入二次函数的解析式，看是否有的值使得二次函数的值等于，注意的值必须大于，从而可以判断③是否正确；④根据的值可以得到二次函数的解析式，从而可以推出结论是否正确．
【详解】解：二次函数经过点和点，
②①，得，
解得，故①正确；
②①，得，
，
，
，故②正确；
设过点，点的直线的解析式为
，
解得，
，
，
，
当时，，
将代入，得，
令，得，
，不符题意，故③错误；
当时，二次函数的解析式为：，
当时，设的两根为，，
，
，故④正确；
故选：C．
10．（2024·浙江·一模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．若抛物线经过点，则必过点
B．若点和都在抛物线上，则
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与的交点情况逐项判定即可，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：A、由图象可知，抛物线对称轴为直线，若经过点，则经过点，故选项不符合题意；
B、由图象可知，图象开口向下，
∴，
由离对称轴越近的值越大，
∵，
∴，故选项不符合题意；
C、∵抛物线对称轴为直线，且过点，
∴与的另一个交点为，
∴，故选项不符合题意；
D、∵抛物线的顶点为，且经过点，，
∴代入抛物线得：，则，
，则，
由得：，故选项符合题意；
故选：D．
11．（2024·浙江杭州·一模）关于二次函数的三个结论：
①对任意实数，都有与对应的函数值相等；
②若，对应的的整数值有4个，则
③若抛物线与轴交于不同两点，，且，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键．根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为：，
．
与关于对称轴对称．
对任意实数，都有与对应的函数值相等．
①正确．
当时，若，则随的增大而增大，
当时，，
当时，．
．
的整数值有4个，
．
．
②正确．
设，且．
是方程数的根．
，．
．
．
．
或（舍去）．
又抛物线与轴有两个不同的交点，
．
或（舍去）．
综上：，
③不正确．
故答案为：A．
12．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知点，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点（点在点的左侧），有下列结论：
①；
②当时，一定有随的增大而增大；
③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3；
④关于的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了根的判别式、二次函数的性质．由于抛物线顶点在线段上运动，抛物线开口向上，所以，则可对①进行判断；根据二次函数的性质，当对称轴为轴左侧时，随的增大而增大，从而可对②进行判断；当抛物线的顶点在点时，点的横坐标最小，利用抛物线的对称轴为直线，此时点横坐标为得到点的横坐标为，所以，然后求出抛物线的顶点在点时的点的横坐标，从而可对③进行判断；利用抛物线与直线只有一个公共点可对④进行判断．
【详解】解：抛物线顶点在线段上运动，
而点，，
顶点的纵坐标为，抛物线开口向上，
，所以①正确；
只有当顶点的横坐标小于或等于0时，随的增大而增大，所以②错误；
当抛物线的顶点在点时，点的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为直线，
点横坐标为，
点的横坐标为，
，
当抛物线的顶点在点时，点的横坐标最大，此时抛物线的对称轴为直线，
，
点的横坐标为3，
即点横坐标的最大值为3，所以③正确；
抛物线与直线只有一个公共点，
关于的方程有两个相等的实数根，所以④错误．
故选：B
题型三：利用二次函数的性质比较大小（高频考点）
1．（2024·浙江杭州·二模）已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，依题意画出函数和的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．
【详解】解：依题意，画出函的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为，
方程的两根是抛物线与直线的两个交点．
由，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．
由图象可知，，
故选：C．
2．（2025·浙江·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，故A选项不符合题意；
∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∴或或或，
故B选项不符合题意；
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，故C选项不符合题意；
∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∴或或或，
故D选项符合题意；
故选：D．
3．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
由题意得，然后分两种情况讨论：①当时；②当时；分别利用不等式的性质进行推导即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
分两种情况讨论：
①当时，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，，
故选：．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，首先得出函数的图像开口向上，再分为点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且，两种情况讨论并进行判断，本题得以解决．
【详解】解：，
函数的图像开口向上，
若且满足，
点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且，
当点B在点A的左侧时，，，，
当点B在点A的右侧且时，，，，
综上所述，选项D不正确，
故选：D
5．（2024·浙江宁波·三模）点，都在二次函数的图象上，若，则下列可能成立的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，先把点的坐标分别代入解析式得到，，再由得到，则，然后依次对各选项进行判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：把，代入中得，，，
∵，
∴，
即，故选项不符合题意；
∵，
∴，，
当时，，，
∴，，故、选项不符合题意；
∵，
∴，
当时，，
∴可能成立，故选项符合题意；
故选：．
6．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数图象上两点，且．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知对称轴为直线，当时，图象开口向下，点离对称轴越远，函数值越小，即若，则，然后判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当时，图象开口向下，点离对称轴越远，函数值越小，
∴当时，，
∴若，则，
故选：D．
7．（2024·浙江杭州·二模）已知，是函数与图象两个交点的横坐标，点在函数的图象上，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，得到当时，在对称轴的两侧，二次函数的函数值的范围为：，判断即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∵，是函数与图象两个交点的横坐标，
∴两个交点为，，
当时，随着的增大而增大，在对称轴的两侧，
∴，
∴当时，二次函数的函数值的范围为：，
∴当时，；
当时，可能大于，等于或小于；
故选D．
8．（2024·浙江台州·二模）已知点，是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征和求表达式等．依据题意，由点，是二次函数函数图象上的两个点，结合，则点在其第一象限的图象上，则，，点在其第二象限的图象上，则，且，即，则，进而求解．
【详解】解：点，是二次函数函数图象上的两个点，
又，
点在其第一象限的图象上，点在其第二象限的图象上．
，，，，，
．
、异号，，
设，即，
即，则，
故，
，，
．
由得，，．
故选：C．
9．（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依据题意，由抛物线经过点和，从而可得①，②，又②①得，，即，故，最后即可判断得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【详解】解：由题意，抛物线经过点和，
①，②．
②①得，．
，即．
．
．
．
．
故选：C．
10．（2024·浙江·三模）已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，若，则 B．当时，若，则
C．当时，若，则 D．当时，若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，由点，在函数，为常数）的图象上，从而，，进而根据和分别进行分析即可得解．
【详解】解：由题意，点，在函数，为常数）的图象上，
，．
当时，
A、若，
．
．
．
．
，故A错误，故本选项不符合题意；
B、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故B错误，故本选项不符合题意；
当时，
C、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故C错误，故本选项不符合题意；
D、若，
．
．
．
．
，故D正确，故本选项符合题意．
故选：D．
11．（2024·浙江宁波·一模）已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可．
【详解】解：，
正比例函数的图象经过一、三象限，
点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且，
在第三象限，在第一象限，
由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
在第一象限，
，，
．
故选：D．
12．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数（其中，，是常数，且）的图象过点，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及通过不等式的性质确定式子的范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由与轴的交点坐标为，又因为图象过，根据抛物线的对称性求得对称轴为，得到，将，代入二次函数，得到，，从而得到，，通过的范围，推出的范围以及的范围，从而推出的范围．
【详解】将代入得到，
与轴交点为，
又该图像过，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
将，三个点代入二次函数，得
， ，
，，
若，则，
，
若，则，
又，
，
．
故选：A．
13．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数（，a，m是常数）的图象上有两点，（其中）（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，可知对称轴为，当时，抛物线开口向上，当时，取，此时，即可判断A；当时，，此时，即可判断B；当时，抛物线开口向下，当时，取，此时，即可判断C；当时，，此时，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵（，a，m是常数），
∴时，，，
∴二次函数（，a，m是常数）的对称轴为直线，
当时，当时，
当，即时，，则；
故A选项错误，不合题意；
当时，当时，
∴，
∴，
∴，
∴；故B选项正确，符合题意；
当时，当时，
∴当时，
则；故选项C错误，不合题意；
当时，当时，
∴，
∴，
则；故选项D错误，不合题意．
故选：B．
14．（2023·浙江金华·模拟预测）已知二次函数，点，是其图象上两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线及抛物线开口方向，再通过判断点与点到对称轴的距离求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
【详解】解：，
抛物线对称轴为直线，开口向下，
当时，点，关于抛物线对称轴对称，即，
当时，点到抛物线对称轴的距离小于点到抛物线对称轴的距离，
，故选项B错误．
当时，点到抛物线对称轴的距离大于点到抛物线对称轴的距离，
，
当时，点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，
，故选项D错误；
由选项B的判定可知，当时，，
∴当时，不一定成立，故选项C错误．
故选：A．
15．（2024·浙江·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A．若恒成立，则 B．若恒成立，则
C．若恒成立，则 D．若恒成立，则
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．先判断出抛物线开口方向下，求出对称轴范围即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
，即，
解得：，
，，
，
，
，，
抛物线的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
点和也在此抛物线上，
若恒成立，则；
若恒成立，则；
故选：A．
题型四：二次函数中的最值问题（高频考点）
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可．
【详解】解：，
，
解得：或 (舍去)，
，
，
∴抛物线的对称轴为直线：，
，
，
当时，有最大值，，
当时，有最小值， ，
∴函数的最大值与最小值的差为，
故选：D．
2．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得．
【详解】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，函数有最小值，
∵y的最小值为，
∴，
∴；
当时，在，当时，函数有最小值，
∴，
解得；
综上所述：a的值为4或，
故选：B．
3．（2023·浙江宁波·三模）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即，当时，，求出，即可得到答案.
【详解】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
∵当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，
∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即，如图，
∴当时，，
解得，
∴，
故选：D
4．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．先分析和时导出，根据最小值可得最小值为，通过配方得到，再根据确定的取值．
【详解】解：当时，，，当，，
，
当时，，，当，，
，
的最小值为2，
最小值为，
，
当时，取得最小值，即，
，
由题意知，所以，
当时，，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
故选：D
5．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由，可得当时，取最大值是，又当时，函数的最大值是，故，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，，
当时，取最大值是．
又当时，函数的最大值是，
．
．
故选：C．
6．（2024·浙江嘉兴·三模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，m有最大值 B．若，m有最小值
C．若，m有最大值 D．若，m有最小值
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数与一次函数，一元二次方程的综合应用，先联立两个函数解析式可得，再进一步建立二次函数的关系式结合二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵直线与抛物线相交于，且，如图，
∴，，，，
∴，
当时，
∴，
当时，的最小值为，
此时，不符合题意，故A，B不符合题意；
当，
∴，
当时，的最小值为，
此时，符合题意，故C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
7．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（ ）
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为轴是解题的关键．
由题意可知对称轴为轴，则函数为，利用待定系数法求得，由当时，该函数有最大值和最小值，即可得出，，进一步求的，
得到的最小值为，无最大值．
【详解】二次函数的图象经过点，，，
对称轴为直线，
，，
，
把，代入得，
解得：．
当时，该函数有最大值和最小值，
时，取最大值，
时，取最小值，
，
又，
的最小值为，无最大值．
故选B．
8．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数， 当时，函数最大值为M，最小值为N．若，则的值为 （ ）
A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．①当时，时，取最大值2，时，取最小值，代入，无解；②当时，时，取最大值2，时，取最小值1，不满足；③当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为2，不满足；④当时，时，取最小值1，时，取最大值，代入，求出值．
【详解】
对称轴为，顶点坐标为，
将代入，，所以该二次函数过
将代入，，所以该二次函数过
画出的图象，，开口向上，如图所示
①当时，时，取最大值，最大值为2，时，取最小值，最小值为
，
该方程无解；
②当时，时，取最大值，最大值为2，时，取最小值，最小值为1
，
不满足
③当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为2
，
不满足
④当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为
，
解得，
舍去
故选：C．
9．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数的图象上有两点，若，则当时，函数（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由得二次函数与轴的交点为，由当时得，由得在第一象限，越大越小即可判断．
【详解】解：
令，则或
即二次函数与轴的交点为
当时，
，且在第一象限，越大越小
其图象大致如下：
该函数有最大值，无最小值．
故选：B．
10．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小值的求法．根据对称轴公式求出和的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，进而得出，，结合条件，列出方程求解逐一判断即可．
【详解】解：由两函数表达式可知，
函数的对称轴 为，
函数的对称轴为，且两函数图象均开口向上，
即，否则不存在最小值，两函数均在对称轴上取到最小值，
则有，，
A、若，则有，即，
解得：或（舍去），
当时，则，
，故符合题意；
B、若，则有，即，
解得：或，
当时，则，
，
当时，则，
，但不一定为0，故不符合题意；
C、若，则有，
当时，才有，才有，故不符合题意；
D、若，则有，
当且仅当时，才有，
此时，则，与题干矛盾，故不符合题意；
故选：A．
11．（2024·浙江衢州·一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式求出抛物线开口向上，顶点坐标为，再根据当时，函数的最小值是可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴y的最小值即为，
∵当时，函数的最小值是，
∴，
∴，
故选：C．
12．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：，，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值
C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值；
【详解】由题意得，，
，
当时，m 有最小值，当时，m有最大值，
，
，，
当时，n随着b的增大而减小，
当时，n 有最小值1，
当时，n有最大值4，
，
，
，
，
解得：，
，
，
n有最大值3，最小值1；
故选：C．
13．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的图像经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在之间、确定函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点，两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，求解即可．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
图象开口向上，对称轴为直线
∵对称轴为直线，
∴
，
∴
，即，
当时，函数的最小值是时所对应的函数值，
且为
函数的最大值是时所对应的函数值，
，，
故选：C．
14．（2023·浙江衢州·模拟预测）关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则m的值为（ ）
A．7或 B．2或 C．3或7 D．2或
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，分三种情况讨论，即，，，再根据最小值为列出方程，求出符合条件的答案即可.
【详解】解：当时，y最小值为1，
而函数有最小值，
∴，不符合题意；
当时，，函数有最小值，
即，
解得，
∵，
∴；
当时，，函数有最小值，
即，
解得或7，
∵，
∴，
∴m的值为2或.
故选：B.
15．（2024·浙江杭州·一模）定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，新定义，一次函数的性质，当时，则，可求出当时，，据此利用一次函数的性质求解即可；当或时，，则，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：当时，则，
∴，
∴，
∴或，
解不等式组，可知不等式组无解；
解不等式组得，
∴当时，，
∴此时的最大值为；
当或时，，则，
∴；
综上所述，的最大值为2，
故选：B．
16．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二次函数，当时，则（ ）
A．若时，函数有最小值 B．若时，函数有最小值
C．若时，函数有最小值 D．若时，函数有最小值
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握根据二次函数的性质求二次函数最值的取值范围是解题的关键．
先将二次函数解析式化成顶点式，然后根据各选项m的取值范围，确定对称轴和m的关系，最后分别求最值即可解答．
【详解】解：因为二次函，
A. 若时，即时，当函数有最小值，故A选项正确，符合题意；
B. 若时，即时，当函数有最小值，故B选项错误，不符合题意；
C. 若，即时，当函数有最小值，故C选项错误，不符合题意；
D. 若，即时，当函数有最小值，故D选项错误，不符合题意．
故选A．
题型五：二次函数中交点问题（高频考点）
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（ ）
A．6 B．8 C． D．7
【答案】A
【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，．
首先根据一次函数 的图像交于点 ，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，解得：，
当时，，，
当时，，
∵函数 的图像与 轴仅有一个交点，
的图象与轴的交点为，
∴
又∵，
∴
，
∴，解得：
∴，
故选：A．
2．（2024·浙江·模拟预测）一次函数与二次函数的交点个数为（ ）．
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，求出方程的的值，据此即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一次函数和二次函数的交点个数的关系是解题的关键．
【详解】当时，
整理得，，
∵，
∴一次函数与二次函数的交点有个交点，
故选：．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，由点的纵坐标相同，可得，即得，再由二次函数与轴只有一个交点可得，即得，最后把代入二次函数解析式得，即可得，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵二次函数与轴只有一个交点，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
故选：．
4．（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，由题意得出，且，结合为正整数，得出，从而得出二次函数为，再结合二次函数的性质分两种情况讨论：当时；当时，分别计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，且，
∵为正整数，
∴，
∴二次函数为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，当时，，
∵当时，对应函数值的取值范围是，
∴，
∴当时，函数在上随着的增大而增大，
∴当时，，即，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
当时，当时，取到最小值，为，即，
解得：（符合题意）；
故选：B．
5．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于数形结合的思想的运用．
当直线与抛物线相切时符合题意，则有，根据，求出m的值；当抛物线过，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入，求出此时的m的值，以及抛物线继续向左平移，仍符合题意．
【详解】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意，如图：
∴，即．
∴．
∴．
令，则，
∴，
记直线与y轴交于点，
又当抛物线过，且对称轴在y轴右侧，
∴．
∴，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图：
又继续向左平移符合题意，符合题意，如图：
∴．
综上，或．
故选：D．
6．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握并能灵活运用是解题的关键．依据题意，由抛物线过，，从而可得抛物线的对称轴，且有，用表示和，进而用m表示抛物线的顶点，再结合一次函数过和二次函数的顶点，即可求出．
【详解】解：抛物线过，，
抛物线的对称轴是直线，，
，
，
顶点为，
又一次函数过和二次函数的顶点，
，且，
，
或（舍去），
．
故选：B．
7．（2024·浙江嘉兴·一模）抛物线（为常数，）满足条件，则（ ）
A．该抛物线与轴有1个或2个交点 B．该抛物线与轴一定有2个交点
C．该抛物线与轴只有1个交点 D．该抛物线与轴没有交点
【答案】A
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点及二次函数的性质，依据题意，由，从而，故可得，进而可以判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】解：由题意，，
．
．
该抛物线与轴有1个或2个交点．
故选：A．
8．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数与x轴只有一个交点，且图象经过两点，，则m、n满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．点A、B的纵坐标相同，可以根据对称轴求出b和m的关系，再根据二次函数与x轴只有一个交点，由判别式，得出c和m的关系，再把A点坐标代入函数解析式即可．
【详解】解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为，
解得，
∵二次函数与x轴只有一个交点，
则，
解得，
当时，，
即．
故选：C．
9．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于的二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．若，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，先求出抛物线与的交点，再分与两种情况，进行讨论即可得出答案．
【详解】解： ，则，
解得：，，
关于的二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，且，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上所述，的取值范围是或，
故选：A．
10．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点问题，先分情况求解函数与轴的交点坐标，再结合图象列不等式组求解即可．
【详解】解：∵，
当时，，
当时，，
解得：，，
当时，，
解得：，，
显然当时，，
∴函数过定点，如图，
显然图象与轴有3个交点，不符合题意；
如图，
此时满足且，
解得：，
故选B
11．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知，，若关于的函数图象与轴有三个交点，横坐标分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征．根据题意可知时，或，说明函数与轴一定有两个交点，再根据二次函数的性质，可以得到这两个交点在原点的左侧，从而可以得到．
【详解】解：，
该函数图象的对称轴在轴左侧，与轴交于正半轴，
，关于的函数图象与轴有三个交点，
时，；时，，
函数，与轴有两个交点，且这两个交点都在轴的负半轴上，
关于的函数图象与轴有三个交点，横坐标分别为，，，
，
故选：C．
12．（2024·浙江台州·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等．灵活运用这些知识是关键．当时，易得，则可求得b的值；再由，由判别式非负即可求得a的值，从而求得c的值，最后求得函数解析式．
【详解】解：当时，，即；
；
当时，，即，则有；
即，
解得：，则；
，
由于对一切x的值有成立，即，
则，
即，
而，
，
解得：，
则，
；
故答案为：．
13．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得到，即得，又根据二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为，得到，由即可得到，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小，
又∵当时，二次函数随增大而减小，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴在中，
当时，有最大值，最大值为，
当时，有最小值，最小值为，
∴当，时，
，
∵恒成立，
∴，
画出函数和的图象如图所示，
由图象可得，当时，，
∵，
∴，
故答案为：．
14．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数），当时，，若，且，则的最大值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由二次函数开口向上得当时，随的增大而增大，结合得，故，则最小，即，然后求出即可．
【详解】解：二次函数开口向上
当时，随的增大而增大
要使最大
最小
，则
或（舍去）
．
故答案为：．
15．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
【答案】或/4或0
【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得，画出函数的图象即可求解
【详解】解：∵，
∴
∴
∵
如图所示，画出该函数的函数图象：
可知：当或时，，则；
∴的值是或
故答案为：或
16．（2024·浙江·模拟预测）已知抛物线上有，，，四个点，某数学兴趣小组研究后得到三个命题：①若，则；②若，则；③若，则．属于真命题是 ．（填写序号）
【答案】①③
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，将各点坐标代入求出，再逐个命题进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线上有，，，四个点，
∴
∵，
∴
∴，故①是真命题；
∵，
∴，
∴
而，故②不是真命题；
∵，
∴
当时，即时，，
∵，
∴；
当时，即时，，
∵，
∴；
因此，若，则，故③是真命题；
故答案为：①③．
