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2025年浙江数学中考预测专项突破
专题09 圆综合解答压轴题（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题圆综合解答题压轴题
解答题第24道：圆的综合题型出现在每年中考试卷中压轴题的位置，此题型往往结合全等三角形、相似三角形、平行四边形以及特殊平行四边进行考查，有时也会混入函数，以函数为桥梁进行考查，难度较大，综合性极强，需要考生在熟练使用基础知识和题型的前提下，进行培优提高。
题型一：圆与三角形综合（高频考点）
1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在中，直径，，是的切线，点为切点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长；
(3)如图3，线段交于点，连结，若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)3(3)
【分析】（1）由是的直径，且，可知是的切线．根据切线长定理可得．
（2）连结， 根据可得，则，又由及可得，进而可得，根据三角函数可求出，进而可得．
（3）连结，，，，易得，则可得．由同角的余角相等可得，又由圆周角定理及可得，进而可得．易得，则可求得，再根据勾股定理求出的长为，再根据，求出的长，进而可得的长．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴是的切线．
又∵是的切线，
∴．
（2）解：如图，连结，
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连结，，，，
∵，且，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（2025·浙江·模拟预测）在中，直径与弦相交于点，连结．
(1)如图1，求证：为等腰三角形．
(2)如图2，连结为的中点，连结，交于点．若，求的值．
(3)在（2）的条件下，如图3，连结，交于点，连结．求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)3(3)证明见解析
【分析】（1）设，则，先根据圆周角定理可得，，从而可得，再根据圆周角定理可得，根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先解直角三角形可得，再根据弧与圆周角的关系可得，从而可得，则，然后根据正切的定义求解即可得；
（3）过点作于点，先根据垂径定理可得垂直平分，再根据等腰三角形的三线合一可得，根据三角形的中位线定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得证．
【详解】（1）证明：设，则，
由圆周角定理得：，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴（圆周角定理），，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵是的直径，
∴，，
∵，
∴在中，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
（3）证明：如图，过点作于点，
由（1）已证：，
由对顶角相等得：，
∴，
∴，
∴（等腰三角形的三线合一），
∵为的中点，
∴垂直平分，，
∴点是的中点，，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴是的中位线，
∴，
∵是的直径，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，已知△ABC内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若直线与直线交于点，且，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)的度数为或．
【分析】（）连接，，设与交于点，由，，得，，垂直平分，所以，，设，然后由外角性质和角度和差即可求解；
（）连接，由勾股定理得，，然后证明，则，从而求出，再由勾股定理得，再通过垂径定理得，再通过圆内接四边形和平角定义证明，则，然后代入求值即可；
（）分当在线段上时和当在延长线上时两种情况分析即可
【详解】（1）解：连接，，设与交于点，
∵，，
∴，，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（）得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，当在线段上时，连接，
由上可得：，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，为半径，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
如图，当在延长线上时，
由上可得：，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，为半径，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
综上可知：的度数为或．
4．（2025·浙江·一模）如图，内接于，为直径，点在上运动，于点，交于点，连结，交于点，记．
(1)用含有的代数式表示．
(2)若，当时，求的值．
(3)如图，若，求证：．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【分析】（）由圆周角定理得，即得，即可求解；
（）过点作于点，设，则，利用三角形面积可得，即得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得，再证明即可求解；
（）设，则，由得，进而证明即可求证．
【详解】（1）解：是直径，
，
，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，则，
设，则，
，
，
∴，
，
∴，
又，
，
，
，
，
∴，，
∴，
∵，
，
又，
∴，
；
（3）证明：设，则，
∵，
，
∵，，
∴，
．
5．（2025·浙江·一模）如图，锐角△ABC内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点．
(1)若，请直接写出，的度数．
(2)求证：是的切线．
(3)若平分，求的长．
【答案】(1)，(2)见解析(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理解题即可；
（2）设，根据（1）的推理过程得到，然后根据角平分线得到，然后求出，即可得到结论；
（3）先根据角平分线的定义和三角形的外角得到，即可得到，然后证明，根据对应边成比例得到长，然后根据切线得到，然后证明，求出的值，再在Rt中利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：∵平分，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得，
在Rt中，，
∴．
6．（2025·浙江衢州·一模）如图1，在中，，是△ABC的外接圆，点D是的中点，连接交于点E．
(1)求的度数．
(2)如图2，过点A作，连接，若，．
①若，求．
②连接，求的长．
【答案】(1)(2)①；②或
【分析】（1）根据直径得到的度数为，中点得到的度数为，圆周角定理求出的度数即可；
（2）①根据，设，则，根据，求出的值，导角得到，进而求出的长，证明为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果；
②分和两种情况，画出图形，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，是的外接圆，
∴为直径，
∴的度数为，
∵D是的中点，
∴，
∴的度数为，
∴；
（2）①由（1）可知：，
∴，
设，则，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴；
②当时，
过点O作，由①可知：，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
当＞时，过点O作
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
7．（2025·浙江衢州·一模）如图，△ABC中．，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，求弧长：
（1）连接，证明，得到，平分，进而得到垂直平分，根据同角的余角相等，得到，即可得证；
（2）求出，进而求出，三角函数求出的长，利用弧长公式进行求解即可．
【详解】（1）解：连接，则，
∵以点为圆心，为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，，
∴的长为：．
8．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图1，为⊙的直径，点，在⊙上（位于同侧），，延长交的延长线于点，过点作的平行线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，当点为的中点时，
①若，求的面积；
②若，求与的面积之比．
【答案】(1)见解析(2)①50；②
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等及平行线同位角相等的性质，通过等量代换，即可证明．
（2）①由等弧对等弦可知 ．根据等腰三角形两底角相等，可得，进而推出．由等腰直角三角形性质及三角形面积公式得出面积为．②证明，，设出未知数，利用等腰直角三角形性质求相关线段关系， 然后证明，即可解答．
【详解】（1）解：证明：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）①当点为的中点时，
即．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴的面积为．
②若，
∵，，
∴，
∴，
∵．
连接，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
即
设，
则，，
∴，
作于点，
∵，
∴．
在中，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
9．（2025·浙江·模拟预测）如图1，是的直径，是圆上不同于的任意一点，延长到点，连结．过点作，交于点，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，若，求的值．
(3)若，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）如图，设交点为G，根据直径所对圆周角为得到，由，得到，利用同角的余角相等即可证明结论；
（2）根据平行线的性质可证，证明，推出，求出，再证明，推出，求出，根据正切的定义即可求解；
（3）过点作于点H，根据，求出，设，则，求出，，证明，推出，由，即，求出，由即可得解．
【详解】（1）解：如图，设交点为G，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作于点H，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．（2025·浙江宁波·一模）如图1，已知△ABC内接于，且是的中点，连接交直径于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长
(3)如图2，连接并延长交于点G，连接，
①设，，求y关于x的函数关系式；
②求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)①；②
【分析】（）由是的直径，得，由圆周角定理，再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可；
（）设交于点，连接，根据是的直径，得出，根据条件，得出，结合勾股定理解答即可；
（）①求解，可得，结合D为中点，O为中点，可得；
②先证明，如图，连接，设，则，，，可得，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设交于点，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
（3）解：①∵，则，
∴，
∵D为中点，O为中点，
∴
即：
②∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∵，经过圆心，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，连接，
设，则，，
在中，根据勾股定理可得，，
∴同理可得：，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
11．（2025·浙江湖州·一模）如图1，为圆O的直径，弦交于点G（不与O重合），C是的中点，分别过点A，B作的垂线，垂足为E，F，连结．
(1)求的度数；
(2)如图2，连结，猜想与的关系，并说明理由；
(3)如图3，连结交于点P，若，，求圆半径．
【答案】(1)(2)，，理由见解析(3)圆半径为9
【分析】对于（1），根据中点的定义得，可得，再结合可得答案；
对于（2），延长交于点H，先证明，可得，，再连结BD，可说明，进而得出，根据等腰三角形的性质得出答案；
对于（3），结合题意得，再说明，可得，然后设为x，则，作，即可得，根据相似三角形的性质得，可得，，，再根据平行线的性质得，代入数值可得出答案.
【详解】（1）解：∵为直径，C是的中点，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：，．
延长交于点H，
∵，，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴，．
连结，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，．
（3）解：∵C是的中点，
∴．
∵，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴
设为，则．
过F作于点H，
∴
∵
∴，
∴，
∴，，
∴.
∵，
∴，
即，
解得或（舍去）．
所以，圆半径为9．
12．（2025·浙江·模拟预测）已知为的直径，弦于点，连结．在上截取，连结并延长，交于点，连结．
(1)如图1，当点与圆心重合时，求的度数．
(2)如图2，连结，交于点，过点作，交于点，连结．
①求证：平分．
②若与的面积相等，，求的长．
【答案】(1)(2)①见解析；②
【分析】（1）连接，由垂径定理以及等腰三角形的性质得到，可得为等腰直角三角形，则，由得，那么由直角三角形互余即可求解度数；
（2）①连接，由（1）得，，则设，那么，由，可得，则由三角形内角和定理得到，故，即平分；
②连接与交于点H，连接，，作，先证明，再证明，则，由得到，可得，根据面积相等得到，则，显然，则，设，则，由三线合一得到，故此时，由，得到，那么建立方程，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵弦于点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：①连接，
由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∴设，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
解：②连接与交于点H，连接，，作，
由上知平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
，
，
，
∴，
，
，
，
，
与的面积相等，
，
，
，，
，
∴，
∴，
设，
，
，
，
，
∵，
，
，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴
，
解得：（舍负）
∴．
13．（2025·浙江·模拟预测）如图，在圆心O的同侧有圆内接四边形，，．点E在上，且，线段、的延长线交于点F，连结、．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）先证明，则为中垂线，由中垂线的性质即可得出结论；
（2）设与相交于G，证明，即可由相似三角形的性质得出结论；
（3）证明，则，设，则，，所以，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴为的垂线平分线，
∴．
（2）证明：如图，连接，，设与相交于G，
∵，
∴G为中点，
∴，
∴；
∵，，
∴，
即，
又，
∴，
∴．
（3）解：连结，
由（2）知 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
记，
∴，，
∴，
∴．
14．（2025·浙江杭州·一模）如图1，在中，与是点异侧的两条弦，，且，连结，与交于点．
(1)求证：．
(2)如图2，连接并延长，与的延长线交于点，连接．求证：．
(3)在（2）的条件下，若，求的值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）如图，连接，记与交于，证明，可得，证明，可得，可得；
（3）证明， 故 ， 设， ，， 设， 代入求出，即可求出比值．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）证明：如图，连接，记与交点为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得：， ，
∴，
，
，
则设， ，
∴，
设，
故 解得，
故．
15．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
(1)求的度数；
(2)当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；（2）
【分析】（1）连接，证明是直径，从而可证，求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）①连接，求出可证，再证明可得，从而可证四边形是平行四边形；
②延长相较于点H，先求出，，再求出，证明得，代入数据即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知是的直径， C是上一点，是的切线，且 于点D， 延长交于点 M，连接交于点F，
(1)如图1，作于点E，
①求证
②若则的长
(2)若求
【答案】(1)①见解析；②(2)
【分析】（1）①切线的性质，得到，等边对等角得到，等角的余角相等，推出，利用，即可得证；②连接，，根据圆周角定理，同角的余角相等，推出，证明，推出，证明垂直平分，三线合一推出，进而得到，推出为等腰直角三角形，得到，证明，列出比例式求解即可；
（2）过点作，根据，得到，设设，，勾股定理求出的长，证明，推出，，进而求出的长，在中，利用正切的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
②连接，，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）过点作，由（1）知：，
∴，
由（1）②可知：，，
∴，，
∴设，，则：，
∵是直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在中，．
17．（2024·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦，连结，为上一点，，连结并延长交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，求．
(3)若，判断的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含的代数式表示．
【答案】(1)详见解析(2)(3)不会改变，
【分析】（1）如图1，连接，根据，得出，由同弧所对的圆周角相等得，根据垂径定理得出是的垂直平分线，得到，证出，再结合三角形内角和定理证出，根据三角形外角的性质即可证明；
（2）根据，求出，由（1）知：，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（3）设，则，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
，
，
由同弧所对的圆周角相等得，
是的直径，且，
，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
；
（2）解：∵，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
．
（3）解：的值不会改变，
设，则，
，
，
，
∴，
，
，
．
质和判定等知识，解题的关键是学会用相似三角形的性质列比例式解决问题，属于中考常考题型．
18．（2024·浙江宁波·二模）如图1，△ABC内接于，高经过圆心．若，的半径为5．
(1)求△ABC的面积．
(2)连接并延长，交于点，连接，且是的外角平分线，交延长线于点，如图2所示，求的长度．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据垂径定理得到，得到，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，，根据勾股定理得到，过F作于H，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
连接，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，，
∴，
过F作于H，
∵是的外角平分线，交延长线于点F，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（2024·浙江·模拟预测）如图，是半径为的的直径，是的中点，连接交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图，作于点，交于点，射线交的延长线于点，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【分析】（）根据题意得出，即可证明，得到垂直平分，即可证明结论．
（）延长交于点，连结，证明，根据相似三角形的性质得到比例关系计算即可；
（）由勾股定理得，再证明和，可得，即得，设，利用勾股定理求出即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的中点
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
20．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点．
(1)如图①，已知，求的度数．
(2)如图①，已知，，求的长．
(3)如图③，延长交于点，连结．
①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由；
②若，．求的半径．
【答案】(1)(2)(3)①，见解析；②或
【分析】（1）根据垂直，平角的性质可得，因为，可得，所以，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）如图所示，延长交于，连结，，可证，在中由勾股定理可得，根据，，可得，由此即可求解；
（3）①根据圆周角定理可得，如图所示，连结并延长交的延长线于点，根据内接四边形的性质，三角形内角和定理可得， ，根据等角对等边可得，，由等腰直角三角形的性质可得，由此即可求解；②设，由①知，根据题意可证，可得，在中，根据勾股定理解得：或，当时，当时，由勾股定理可得的值，由此即可求解．
【详解】（1）解：，，，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图所示，延长交于，连结，，
是的直径，
，
∵，
∴，
，
，
，
，，
；
（3）解：①，
，
如图所示，连结并延长交的延长线于点，
为的直径，
，
∴，
在中，，
，
，，
，即；
②设，
，，
由①知，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，整理得，，
∴，
解得：或，
当时，，
∴，
∴的半径为；
当时，，
∴，
∴的半径为；
的半径为或．
题型二：圆与四边形综合（高频考点）
1．（2025·浙江湖州·一模）如图，在矩形中，E是边上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线于点F，交于点G，连结，．
(1)如图1，若，连结，
①求的度数；
②判断的形状，并说明理由．
(2)如图2，若，延长交直线于点H，连结．当是边的中点时，求的值．
(3)如图3，若（k是常数），延长交边于点，当时，求的值（用含k的代数式表示）．
【答案】(1)①；②是等腰直角三角形，理由见解析(2)(3)
【分析】（1）①先证出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理即可得；
②根据圆周角定理可得，，再根据等腰直角三角形的判定即可得；
（2）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，利用勾股定理可得，由此即可得；
（3）连接，先根据圆周角定理可得是图中圆的直径，再证出，根据垂径定理可得，然后设，则，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得．
【详解】（1）解：①在矩形中，，
四边形是正方形，，
，
由圆周角定理得：．
②是等腰直角三角形．理由如下：
由圆周角定理得：，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（2）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴是过三点的圆的直径，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵是边的中点，
∴ ，即，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是图中圆的直径，
由圆周角定理得：，
∵，
∴，
∴，
由（2）已得：，即，
∴，
又∵是图中圆的直径，是图中圆的弦，
∴垂直平分，
∴，
∵（是常数），
∴设，则，
∴，
∴，
又∵，
∴．
2．（2025·浙江绍兴·一模）如图1，已知是⊙O的直径，弦于点E，G是上的一点，连结交于点H，，的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)①连结，若，求的值；
②连结，若，，，求⊙O的半径r．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【分析】（1）如图，连接，利用垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理的推论得到，再利用圆内接四边形的性质得到，从而得到结论；
（2）①如图，连接，易得，根据，推出，证明经过点O， 即重合，为圆的直径，证明，即可得出结果 ；②连接，表示出，证明，推出，，，，再证明，得到，，进而得到，解方程结合题意取值即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，弦，
，
，
，
点、、、在上，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴经过点O，
∴重合，即为圆的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵的半径r，，
∴，
∵是的直径，弦，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意：，
∴，
∴的半径为．
3．（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结．
(1)若，B为的中点，求的度数．
(2)连结，当时．
①求证：四边形是平行四边形．
②若，求证：．
【答案】(1)(2)①见解析；②见解析
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键．
（1）根据弧、弦之间的关系和圆内接四边形的性质进行解答即可；
（2）①证明，，即可证明结论；
②过点B作交圆于点P，连结，证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
∵B为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）①如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
②如图2，过点B作交圆于点P，连结，
则，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
4．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在平行四边形 中，过 三点的 交 于点 ，连结 ．
(1)求证： ．
(2)如图 2 ，已知 为 的切线，连结 并延长交 于点 ．
①求证： ；
②若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据同角的补角相等得，可得最后根据等角对等边得出答案；
（2）①延长 交 于点 ，连结 ， 根据切线的性质和平行线的性质，及垂径定理得是的垂直平分线，得，再根据等腰三角形的性质得，进而得出，最后根据“弧，弦，圆心角的关系”得，即可得出结论；
②延长交的延长线于点M，设，则,进而得出再说明， 可求出，然后证明，可得，，接下来说明，再设，则，根据相似三角形的对应边成比例求出 ，最后根据得出答案.
【详解】（1）证明：
．
，
；
（2）①证明：如图，延长 交 于点 ，连结 ，
切 于点，
，
∵，
∴
，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
②如图3，延长交的延长线于点M，设，则．
由，
∴，
∴．
由，得，
，
解得．
由 得.
∵，
∴，
∴ ．
∴，
∴，
∴．
∵，且，
∴，
∴．
设，则，得 ，
解得，
∴，
∴．
5．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图 1，四边形 是 的内接四边形， 为对角线，且 为 的直径， ，已知 ， ．
(1)求 的长；
(2)如图 2， 为 上一点，过 作 ，其反向延长线交 于点 ，连结 、 、 ，若 ，
① 求 的值；
②试求 的长．
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）连结，设与交于点P，由垂径定理可得P为中点，结合O为圆心，可求出，求出，然后利用勾股定理即可求解；
（2）①先证明，再证明得，设，由，，，再利用勾股定理求出即可求解．
②证明得，求出，，再证明得，进而可求出 的长．
【详解】（1）解：连结，设与交于点P
∵，
∴，
∴，
∴P为中点，
∵O为圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）①∵，
∴．
∵ 为 的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又由①得，
∵，
∴，
∴，
解得．
6．（2025·浙江宁波·一模）已知△ABC内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点．
(1)若，_______，求的度数．
①；②．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．）
(2)若，求的长．
(3)若，求证：．
【答案】(1)若选择①，；若选择②，(2)(3)见详解
【分析】（1）当选择①时，由题意易得，，然后可得是直径，则有点M是圆心，且四边形是平行四边形，进而问题可求解；若选择②，由题意易得，，设，则有，然后可得方程，进而问题可求解；
（2）由题意易得，则可证，则有，进而问题可求解；
（3）先证明，，则有，，然后根据可得，进而问题可求证．
【详解】（1）解：当选择①时，
∵，平分，
∴，，
∴，
∴是直径，
∵，
∴，
∴点M是圆心，且四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴都为等边三角形，
∴，
∴；
若选择②，
∵，平分，
∴，，
由可设，则有，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形内接于圆，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．（2023·浙江台州·三模）如图①，在四边形中， ，∠B=90°．点在边上，，点是边上一动点．以为斜边作，若点在四边形的边上，则称点是线段的“勾股点”．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，当时，求的长度；
(3)是否存在点，使线段恰好有唯一“勾股点”？若存在，请直接写出的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明过程见详解(2)的长度(3)当时，存在点，使线段恰好有唯一“勾股点”
【分析】（1）根据题意，运用“边边边”即可求证；
（2）如图所示，连接，设、交于点，可证得，可得，，由此即可求解；
（3）根据题意，分类讨论，以为直径的经过点时，根据题意可得，此时线段恰好有个“勾股点”；当时，
当时，线段有一个“勾股点”；当以为直径的圆过点，，此时线段恰好有两个“勾股点”；由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，设、交于点，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴，且，，则，
∴，
∴，
∵点是线段的“勾股点”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：由（1）可知，，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
①如图所示，以为直径的经过点时，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴在中，，
∴；
如图所示，设以为直径的交与点，连接，则，过点作延长线于点，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，（与点重合），，
∴，则，即点在上，满足点是线段的“勾股点”；
∴此时线段恰好有个“勾股点”；
如图，当时，以为直径的圆与交于点，过点作于点，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，且，
在中，，
∴，
∴当时，线段有一个“勾股点”；
②如图所示，当以为直径的圆过点，
∵，
∴，此时线段恰好有两个“勾股点”；
综上所述，当时，存在点，使线段恰好有唯一“勾股点”．
8．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，，是直线上一动点，连结并延长至点，使，过点作于点，交直线于点，过点作交直线于点，以为直径的交直线于点．
(1)求证：；
(2)当点在点的右侧时，若，且四边形的面积等于，求的半径；
(3)若，在点的整个运动过程中，
①当为何值时，四边形是菱形？
②连结，当与某一边所在的直线相切时，求出所有满足条件的的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)①或；②或．
【分析】（1）如图中，设交于，连接只要证明，，即可解决问题；
（2）如图中，作于，设，则，，，利用面积公式求出即可解决问题；
（3）分两种情形如图中，当四边形是菱形时．如图中，当四边形是菱形时．分别求解即可；
分三种情形讨论：与相切，与相切，与相切，分别求解即可；
【详解】（1）证明：如图中，设交于，连接．
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（2）如图中，作于，设，
则，，，
由题意，
解得，
，
，
的半径为；
（3）如图中，当四边形是菱形时，
，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
．
如图中，当四边形是菱形时，
易知，，，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
如图中，当与相切时．
易知：，由可知，，．
如图中，当与相切时．易知，，
，
，，
．
如图中，当与相切时，由可知，，
，
综上所述，当与某一边所在的直线相切时，的长为或．
9．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，是△ABC的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T．
(1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证．
(2)在（1）的条件下，若，，求的半径．
(3)如图①，连结，若，，求的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质即可得证；
（2）连接，，连接并延长交于H，根据，得到为=的直径，根据圆周角定理求出，设的半径为r，利用勾股定理即可解答；
（3）连接，，过B作于K，设，证明，列出比例式，求出，，设，则，设，则，根据，代入数值，得到①，延长交的延长线于点G，②，由①得③，由②得④，求解即可．
【详解】（1）证明：菱形，
，，
．
，
．
（2）解：如图①，连结，，连结并延长交于，
，
为的直径．
，，
，
，，
，
．
设的半径为，则，
解得：．
（3）解：如图②，连结，，过B作于K，设，
，．
，
．
同理可得：，
．
，
．
，
，
．
同理．
为直径，
，
而．
，
，．
设，则，设，则．
，
，①
延长交的延长线于点，则，
在中，，，，则，
即，②
由①得：，③
由②得：，④
得：，代入③得：，
．
10．（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知．
(1)求证：；
(2)若M为的中点，求的半径；
(3)若的半径为3，求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，即可；
（2）连结，连结交于点H，作于点G．则，证明四边形是矩形，即可求解；
（3）连结，根据题意可得，再由矩形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形
，
又
（2）解：连结，连结交于点H，作于点G．则，
为的中点，
为的直径，
，四边形是矩形，
，
（3）解：连结．
的半径为3
∵四边形是矩形
∵四边形内接于，
∴，
∵，
11．（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点．
(1)证明：；
(2)若，求的度数；
(3)设交于点，若，，是的中点，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出，再利用线段垂直平分线的性质得出；
（2）利用圆内接四边形的性质得出，进而得出，即可得出答案；
（3）根据得出的长，即可求出的长，再判断，求出的值．
【详解】（1）证明：是的直径，
，即，
，
垂直平分，
；
（2）解：四边形是的内接四边形，
，
又，
，
又，
；
（3）解：连接，
，
，
在中，
，
是的中点，
，
，
是的中点，
，
，
即．
题型三：证明某直线是圆的切线（高频考点）
1．（2025·浙江杭州·一模）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，过点B作的平行线交于点E．
①求的长；
②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值．
【答案】(1)见解析(2)①7；②
【分析】（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到再利用等量代换得到，即可证明是的切线；
（2）①连结，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据 求解，即可解题；
②过点D作于H，连结，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，， 连结，证明，利用相似三角形性质求解即可．
【详解】（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①在中，，，，如图2， 连结，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
则，
解得，
，
，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
②过点D作于H，连结，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
连结，
，
，
，
，
，
．
2．（2023·浙江台州·三模）如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若F是的中点，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键
（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，从而可得结论
【详解】（1）证明：连接
∵是的直径，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
3．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接．
(1)证明：是的切线．
(2)若，求的半径．（结果精确到）
【答案】(1)见解析(2)
【分析】主要考查了切线的判定方法、解直角三角函数、圆周角定理等知识点．灵活运用相关性质成为解题的关键．
（1）如图1，连接，然后根据圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质可得，即可证明结论；
（2）根据直角三角形两锐角互余得，根据，然后代入数据可求得，进而确定的半径．
【详解】（1）证明：如图1，连接；
∵是的直径，
∴，
∴．
∵E为边上的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
∵D为上的点，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
∴的半径为．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）直角三角板的斜边的两个端点在上，已知，直角边与相交于点D，且点D是劣弧的中点．
(1)如图1，判断直角边所在直线与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，点P是斜边上的一个动点（与A、B不重合），的延长线交于点Q，连接．在下列三个条件中选择两个作为已知条件，求出的长度；
①，②，③，你选择的是 ，并写出求解过程．
(3)若，当点P在斜边上从A运动到B的过程中，求点Q的运动路径长．
【答案】(1)所在的直线与相切，见解析(2)选择①③，求解见解析，(3)
【分析】（1）如图1所示，连接，，，，根据，证明是等边三角形，是等边三角形，利用角度得运算，可得，再根据是的半径，得到是的切线，即所在直线与相切；
（2）设与相交于点，由（1）可知，，都是等边三角形，且，，是的半径，可得四边形是菱形，则有，，；根据，点是劣弧的中点，可证，得，即有，可求得；
（3）先求出的长，再用圆的周长减去的长即可．
【详解】（1）如图1所示，连接，，，，
∵，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∵点是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，即所在直线与相切；
（2）选择①和③，如图2所示，
与相交于点，
由（1）可知，，都是等边三角形，且，，是的半径，
∴四边形是菱形，
∴与垂直平分，
∵
∴，，
∴；
∵，点是劣弧的中点，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（2）知，是等边三角形，
∴，
∴的长
∴圆的周长等于，
∴，
∴点Q的运动路径长为：
5．（2024·浙江台州·二模）如图，D为上一点，点A在直径的延长线上，过点B作交的延长线于点C，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)2
【分析】此题考查了切线的判定、等边对等角、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，证明．则．又由是半径，即可证明直线是的切线；
（2）设的半径为r，在中，即可求出的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵是半径，
∴直线是的切线；
（2）解：由（1），得．
设的半径为r，
∴．
在中，
解得．
∴的半径为2．
6．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解题的关键．
（1）连接，则，由，可得，再根据可得，可推出，即可证明；
（2）由，，可得，设半径为，在中，由勾股定理列方程，即可求解．
【详解】（1）（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2），，
利用勾股定理求得，
，
设半径为，
在中，由勾股定理得：，
即
解得：，
的半径为．
7．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)与相切，理由见解析(2)
【分析】（1）如图，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于是得到结论；
（2）连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）解：与相切，
理由如下：
连接，如图所示：
，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；
（2）解：连接，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，即，
．
8．（2024·浙江·一模）如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【分析】（1）连接，由角平分线的意义及等腰三角形性质得，再由垂直条件即可完成；
（2）易得，得的长度，再证是等边三角形，即可求解；
（3）设，则可得，则由勾股定理得；证明，由相似三角形的性质求出x的值，即可求得结果．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：是直径，
，
，
，
在中，，
，
，，
为等边三角形，
，
．
（3）解：设，则，，
在中，，
为直径，
，
而，
，
，
即，
，
．
题型四：求不规则图形的面积（高频考点）
1．（2023·浙江宁波·一模）如图，分别与相切于E，F，G三点，且为的直径．
(1)延长交于点P，若，，求图中阴影部分的面积；
(2)连接，与交于点M，若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）连接．根据切线的性质和切线长定理可知，，即易证，，得出，，，从而可求出
∴．再根据，即可证明，说明O、B、P、C四点共圆，由圆内接四边形的性质可知，即可求出，易证，得出，从而可求出，进而可求出，，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出，．由扇形的面积公式可求出．又易求出，，从而可求出，最后由求解即可；
（2）连接，过点B作于点H，交于点P．由（1）可知，．设，则，由所作辅助线结合题意可知四边形为矩形，即得出，，从而可求出．再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出，，．易证，得出，代入数据即可求出．又易证，即得出．
【详解】（1）解：如图，连接．
∵分别与相切于E，F，G三点，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，，，
∴．
∵，
∴，
∴O、B、P、C四点共圆，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接，过点B作于点H，交于点P．
∵分别与相切于E，F，G三点，
∴，．
设，则
由所作辅助线结合题意可知四边形为矩形，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，，．
∵，，
∴，
∴，即，
解得：．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
2．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，四边形，经过A、B、D三点，为的直径，于点E，且．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连接，由可得，由可得，从而得到，即可得证；
（2）根据可得，，由圆周角定理可得，根据求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：为的直径，
，
在中，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
，，
则．
3．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，△ABC内接于，是的直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)6(3)
【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的判定与性质得出，由切线的判定可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出，可得出，则可求出答案；
（3）证明是等边三角形，求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为圆O切线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵为圆O的半径，
∴为圆O的切线；
（2）∵，
∴，
∵，
∴E为中点，
即，
∵∠，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
4．（2024·浙江湖州·二模）如图，在平行四边形中，，，且．
(1)求证：平行四边形为菱形；
(2)以点为圆心，长为半径作，交于点．若，，求图中阴影部分面积．（结果保留）
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定及性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，进而可证明，得，即可证明结论；
（2）根据菱形的性质可得，结合题意可知，得，则，再根据阴影部分面积即可求解．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：∵，，
∴，
在菱形中，，
∴，则，
∴阴影部分面积．
5．（2024·浙江杭州·一模）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析(2)平方厘米
【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可；
（2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，理由如下：
如图，连接，，，，则，
由题意可知，，
，，
，
，
四边形是正方形；
（2）解：在中，，，
，
平方厘米．
答：阴影部分面积为平方厘米．
6．（2023·浙江金华·二模）如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆．
(1)如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长；
(2)如图②，当时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查切线的性质，扇形的面积，不规则图形面积的求法，
（1）当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，由题意可得，、关于直线对称，即可得是等腰直角三角形，从而求出的长，
（2）作关于的对称点，连接、，则阴影部分的面积等于即可解答．
正确作出辅助线是解题关键．
【详解】（1）解：当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，如图：
，、关于直线对称，
平分，
，
，
是等腰直角三角形．
，
，
，
（2）作关于的对称点，连接、，如图：
，
，
则阴影部分的面积等于与弦所围成的图形的面积，即，
，，
过点作，
，
，
，
，
阴影部分的面积为，
7．（2023·浙江·一模）如图，已知，，为上的三点，为的直径，，为弦，平分，是延长线上一点，连结，，使得．
(1)求证：为的切线．
(2)若，的半径为3，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解答；(2)．
【分析】（1）由为的直径，得，由，，得，即可证明为的切线；
（2）由，根据圆周角定理得，所以，即可由求得阴影部分的面积是．
【详解】（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
为的切线．
（2）解：平分，，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积是．
8．（2023·浙江杭州·三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论；
（2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直径，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
9．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论；
（2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直线，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，连结，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴．
10．（2023·浙江杭州·一模）如图，以等腰△ABC的底边为直径作半圆，交、于点D、E．
(1)证明：；
(2)若，，求阴影部分面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）如图，连接，，证明，，可得，从而可得结论；
（2）如图，连接，，，过作于，证明为等边三角形，，而，，为等边三角形，分别求解，，，同理可得：，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，连接，，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接，，，过作于，
∵，，，
∴为等边三角形，，而，
∴，，
∴，为等边三角形，
∴，，，
∴，，
同理可得：，
∴，
，，
同理可得：，
∴．
11．（2023·浙江衢州·一模）如图，在等腰△ABC中，， 以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E．
(1)求证: ．
(2)若，，求阴影部分面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）连接，，如图，
∵为直径，
∴，
∵，
∴D为的中点，
∴为中位线，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴， ，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
即：，
∴，，，
∵O点为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
题型五：圆综合其他题型（高频考点）
1．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）．
【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）的值为
【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，掌握构造相似三角形，并应用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题的关键.
（1）根据切线可得到，根据直径得到，可推出，再由同弧对应的圆周角相等得到，然后证明得到结论
（2）延长交于点， 连结， ，可以得到，由（1）的结论代入可得到关于的方程，解方程即可求出的值.
【详解】（1）证明： 连接，并延长交于点，连接，
∵与相切于点，
∴， 即，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，即；
（2）如图， 延长交于点， 连结， ，
∵的半径为，，
，
由（1）可知，
，
，
整理得 ，
解得或(舍去)，
∴的值为.
2．（2025·浙江舟山·一模）如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点．
(1)填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______；
(2)如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点．
①当时，求的值；
②设，，求y与x的函数关系式．
【答案】(1)5，，2，2(2)①；②y与x的函数关系式为
【分析】（1）利用直线解析式求出点E和点F坐标，进而得到和的长度，再根据边角关系可得，继而得到和；
（2）①易证，从而求出的长，进而即可得解；
②构造8字型相似，作轴于点K，轴于点J，则，，解直角三角形可得，进而得到、和，再在中，，进而建立等式求解．
【详解】（1）解：直线交x轴于点E，交y轴于点F，
令得，，
解得，
；
令得，，
；
，
，
连接，则，
，
，
，
，即的半径为2；
，，
是等边三角形，
；
故答案为：5，，2，2；
（2）解：①连接、，
，
，
，
，
，
，
，
为直径，
，，
，
；
②由①知，
，
如图，作轴于点K，轴于点J，则，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，即，
整理得，
与x的函数关系式为．
3．（2025·浙江·一模）如图1，是等腰△ABC的外接圆，，点是所对弧上的任意一点，连结，将绕点逆时针旋转，交于点，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，若，
①求的值．
②当的度数与的度数之比为3时，求的值．
【答案】(1)证明见解析(2)①；②
【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）证明可得结论；
（2）①由平行线的性质得，由圆周角定理得，可证明得，得，进一步得出是正三角形，故可得出结论；
②先求出，作于点，设，求出,在上取点，使，求得即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：①如图，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是正三角形，
；
②的度数与的度数之比为3，
，
，
作于点，
设，
∴,
在上取点，使，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴，
．
4．（2025·浙江·一模）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(1)如图，△ABC的顶点、在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使；
(2)如图，在△ABC中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；
若，则 ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析，．
【分析】（）延长交圆于，连接并延长，交圆于，根据相似三角形的判定方法即可求证；
（）过点，作的垂线即可；
由，，可得，而点在以为直径的圆上，为的切线，可得，证明 ，即可作答．
【详解】（1）解：延长交圆于，连接并延长，交圆于，
如图，
理由：∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图：过点，作的垂线，
∴直线即为所求直线；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为的直径，
∴，，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
5．（2024·浙江嘉兴·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，△ABC中，点是边上一点，连接，若，则称点是△ABC中边上的“中项点”．
(1)如图，△ABC的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”．
(2)△ABC中，，点是边上的“中项点”，求线段的长．
(3)如图，△ABC是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”．
①求证：；
②若，的半径为，且，求的值．
【答案】(1)作图见解析(2)(3)①证明见解析；②
【分析】（）如图，取格点，连接交于，点即为所求；
（）过作于，由可得，，设，则，，可得，即得，得到，，，设，则，，由可得，进而即可求解；
（）①证明可得，再根据点是中边上的“中项点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证；②连接，由可得，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解．
【详解】（1）解：取格点，连接交于，如图：
则点即为边上的一个“中项点” ，理由如下：
由图可知，，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
即，
∴为边上的一个“中项点”；
（2）解：过作于，如图：
∵，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
设，则，，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)，
∴，
∴线段的长为；
（3）①证明：由圆周角定理得，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是中边上的“中项点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，如图：
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴为的直径，
∵，设，则，，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴的值为．
6．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求的值．
(2)已知点，D是射线上的动点（不与点A重合），过A，C，三点的圆与轴交于点，求证：．
(3)在（2）的条件下，设D，两点的横坐标分别为，m．
①求m与n的数量关系；
②当时，求m，n的值．
【答案】(1)(2)见详解(3)①；②
【分析】（1）由题意易得，然后根据勾股定理及余弦的定义可进行求解；
（2）作轴交于H，则有，由题意易得，然后可得，进而问题可求证；
（3）①过点D作于点N，交的延长线于点M，连接，由题意易得，，，然后可得，进而问题可求解；②由题意易得，则有，然后根据①中结论可进行求解．
【详解】（1）解：由直线可知：当时，；当时，；
∴，
∴，
∴；
（2）证明：作轴交于H，如图所示：
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①过点D作于点N，交的延长线于点M，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
7．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题：
(1)已知点．
①若点，则 ；
②若点，且，则 ；
③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围；
(2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足，
①若点在图象上，求点的坐标；
②若点在直线上，求的取值范围．
(3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围．
【答案】(1)①；②或；③(2)①或；②
(3)或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握函数的图象及性质，正方形性质，圆的性质，根据定义确定点在正方形边界上是解题的关键．
（1）①根据定义直接求解即可；
②根据定义可得方程，求出的值即可；
③由定义可得，分类讨论求值即可；
（2）①设，由题意可得，整理得，分别讨论当时和当时求解即可；
②点在以，，，的正方形上，再结合图象即可求解；
（3）由题可知点在以为中心，边长为的正方形上，根据题意得出，讨论当时，满足即可；当时，只需即可；再利用对称性得出的情况．
【详解】（1）解：①，
故答案为：；
②由题意得：，
，
解得：或，
故答案为：或；
③点是直线上的一个动点，
，
，
当时，，
解得：，
则；
当时，恒成立，
当时，，
解得：，
则；
综上，当时，；
（2）解：①点在图象上，
设，
，
，
，
，即，
当时，，解得或，
当时，，解得（舍)或（舍)；
或；
②由，，
可知点在以，，，的正方形上，
如图1，当点为时，有最小值，
当点为时，有最大值，
；
（3）解：，
点在以为中心，边长为的正方形上，
，圆的半径为1，
，
，
，
当时，如图2，，
，
；
当时，如图3，只需即可，
，
；
由对称性，同理可得；
综上所述：或．
8．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在正方形中，，的边分别与对角线相交于点P，Q，请说明．
尝试解决：
（1）小明给出了以下思路：将绕点A逆时针旋转得到，使与重合，连结，请帮小明完成解题过程．
类比探究：
（2）如图2，在正方形内作，使与相交于点与相交于点Q，连结．已知，，求的面积．
拓展应用：
（3）如图3，在长方形中，，，，P是上一点，Q是上一点，连结，求的面积的最小值．
【答案】（1）见详解；（2）15；（3）
【分析】（1）可证明，，则，由于在中，，故；
（2）延长至点G，使得，连接，则可得，
同（1）可证明，故，设正方形边长为a，则，在中，由勾股定理得，，解得，，故；
（3）延长至点，使得，连接，先证明，则，，同上可得，，过点P作，故，可得，作的外接圆，记为，连接，作，则，设的半径为r，则，，由，得到，故，因此，故，则．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
（2）解：延长至点G，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
同（1）可证明，
∴，
设正方形边长为a，则，
∴在中，由勾股定理得，，
解得，，
∴；
（3）解：延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
同上可得，，
过点P作，
∴，
∴，
作的外接圆，记为，连接，作，
∵，
∴，
设的半径为r，
∴在中，由勾股定理可得，，
∵，，
∴点H为的中点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
9．（2024·浙江·模拟预测）【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，，点P从点A向点D运动，速度为，运动时间为t秒（）．过点P作的垂线交直线于点Q，为的外接圆，交菱形对角线于点G，连接，．
(1)求证：．
(2)当t为何值时，与相切？
(3)当t为何值时，为等腰三角形？
【答案】(1)见解析(2)当时，与相切
(3)当或 时，为等腰三角形
【分析】（1）由四边形是菱形，，得，而，可得，即得，故即可得；
（2）连接，当与相切时，，结合，得到
，继而得到，结合，得到，结合，列式计算即可．
（3）连接交于点M，连接交于点H，过点G作于点N，连接，则，证明，得四边形为菱形，可求出，，求出；分三种情况列方程可解得答案．
【详解】（1）证明：由四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，当与相切时，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
（3））解：连接交于点M，连接交于点H，过点G作于点N，连接，如图：
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴于点H，
∴；
∴，，
∴，
∴，
在菱形中，
AC＝2AM＝2ABcos∠MAB＝2×6，
∴；
又，
①若，则，
解得；
②若，则，
解得（舍去）或（舍去）；
③若，则t，
解得；
综上所述，当或时，为等腰三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
2025年浙江数学中考预测专项突破
专题09 圆综合解答压轴题（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题圆综合解答题压轴题
解答题第24道：圆的综合题型出现在每年中考试卷中压轴题的位置，此题型往往结合全等三角形、相似三角形、平行四边形以及特殊平行四边进行考查，有时也会混入函数，以函数为桥梁进行考查，难度较大，综合性极强，需要考生在熟练使用基础知识和题型的前提下，进行培优提高。
题型一：圆与三角形综合（高频考点）
1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在中，直径，，是的切线，点为切点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长；
(3)如图3，线段交于点，连结，若，求的长．
2．（2025·浙江·模拟预测）在中，直径与弦相交于点，连结．
(1)如图1，求证：为等腰三角形．
(2)如图2，连结为的中点，连结，交于点．若，求的值．
(3)在（2）的条件下，如图3，连结，交于点，连结．求证：．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，已知△ABC内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若直线与直线交于点，且，求的度数．
4．（2025·浙江·一模）如图，内接于，为直径，点在上运动，于点，交于点，连结，交于点，记．
(1)用含有的代数式表示．
(2)若，当时，求的值．
(3)如图，若，求证：．
5．（2025·浙江·一模）如图，锐角△ABC内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点．
(1)若，请直接写出，的度数．
(2)求证：是的切线．
(3)若平分，求的长．
6．（2025·浙江衢州·一模）如图1，在中，，是△ABC的外接圆，点D是的中点，连接交于点E．
(1)求的度数．
(2)如图2，过点A作，连接，若，．
①若，求．
②连接，求的长．
7．（2025·浙江衢州·一模）如图，△ABC中．，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
8．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图1，为⊙的直径，点，在⊙上（位于同侧），，延长交的延长线于点，过点作的平行线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，当点为的中点时，
①若，求的面积；
②若，求与的面积之比．
9．（2025·浙江·模拟预测）如图1，是的直径，是圆上不同于的任意一点，延长到点，连结．过点作，交于点，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，若，求的值．
(3)若，求的值（用含的代数式表示）．
10．（2025·浙江宁波·一模）如图1，已知△ABC内接于，且是的中点，连接交直径于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长
(3)如图2，连接并延长交于点G，连接，
①设，，求y关于x的函数关系式；
②求的值．
11．（2025·浙江湖州·一模）如图1，为圆O的直径，弦交于点G（不与O重合），C是的中点，分别过点A，B作的垂线，垂足为E，F，连结．
(1)求的度数；
(2)如图2，连结，猜想与的关系，并说明理由；
(3)如图3，连结交于点P，若，，求圆半径．
12．（2025·浙江·模拟预测）已知为的直径，弦于点，连结．在上截取，连结并延长，交于点，连结．
(1)如图1，当点与圆心重合时，求的度数．
(2)如图2，连结，交于点，过点作，交于点，连结．
①求证：平分．
②若与的面积相等，，求的长．
13．（2025·浙江·模拟预测）如图，在圆心O的同侧有圆内接四边形，，．点E在上，且，线段、的延长线交于点F，连结、．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
14．（2025·浙江杭州·一模）如图1，在中，与是点异侧的两条弦，，且，连结，与交于点．
(1)求证：．
(2)如图2，连接并延长，与的延长线交于点，连接．求证：．
(3)在（2）的条件下，若，求的值．
15．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
(1)求的度数；
(2)当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
16．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知是的直径， C是上一点，是的切线，且 于点D， 延长交于点 M，连接交于点F，
(1)如图1，作于点E，
①求证
②若则的长
(2)若求
17．（2024·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦，连结，为上一点，，连结并延长交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，求．
(3)若，判断的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含的代数式表示．
18．（2024·浙江宁波·二模）如图1，△ABC内接于，高经过圆心．若，的半径为5．
(1)求△ABC的面积．
(2)连接并延长，交于点，连接，且是的外角平分线，交延长线于点，如图2所示，求的长度．
19．（2024·浙江·模拟预测）如图，是半径为的的直径，是的中点，连接交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图，作于点，交于点，射线交的延长线于点，若，求的长．
20．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点．
(1)如图①，已知，求的度数．
(2)如图①，已知，，求的长．
(3)如图③，延长交于点，连结．
①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由；
②若，．求的半径．
题型二：圆与四边形综合（高频考点）
1．（2025·浙江湖州·一模）如图，在矩形中，E是边上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线于点F，交于点G，连结，．
(1)如图1，若，连结，
①求的度数；
②判断的形状，并说明理由．
(2)如图2，若，延长交直线于点H，连结．当是边的中点时，求的值．
(3)如图3，若（k是常数），延长交边于点，当时，求的值（用含k的代数式表示）．
2．（2025·浙江绍兴·一模）如图1，已知是⊙O的直径，弦于点E，G是上的一点，连结交于点H，，的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)①连结，若，求的值；
②连结，若，，，求⊙O的半径r．
3．（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结．
(1)若，B为的中点，求的度数．
(2)连结，当时．
①求证：四边形是平行四边形．
②若，求证：．
4．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在平行四边形 中，过 三点的 交 于点 ，连结 ．
(1)求证： ．
(2)如图 2 ，已知 为 的切线，连结 并延长交 于点 ．
①求证： ；
②若 ，求 的值．
5．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图 1，四边形 是 的内接四边形， 为对角线，且 为 的直径， ，已知 ， ．
(1)求 的长；
(2)如图 2， 为 上一点，过 作 ，其反向延长线交 于点 ，连结 、 、 ，若 ，
① 求 的值；
②试求 的长．
6．（2025·浙江宁波·一模）已知△ABC内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点．
(1)若，_______，求的度数．
①；②．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．）
(2)若，求的长．
(3)若，求证：．
7．（2023·浙江台州·三模）如图①，在四边形中， ，∠B=90°．点在边上，，点是边上一动点．以为斜边作，若点在四边形的边上，则称点是线段的“勾股点”．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，当时，求的长度；
(3)是否存在点，使线段恰好有唯一“勾股点”？若存在，请直接写出的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．
8．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，，是直线上一动点，连结并延长至点，使，过点作于点，交直线于点，过点作交直线于点，以为直径的交直线于点．
(1)求证：；
(2)当点在点的右侧时，若，且四边形的面积等于，求的半径；
(3)若，在点的整个运动过程中，
①当为何值时，四边形是菱形？
②连结，当与某一边所在的直线相切时，求出所有满足条件的的长．
9．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，是△ABC的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T．
(1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证．
(2)在（1）的条件下，若，，求的半径．
(3)如图①，连结，若，，求的值．
10．（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知．
(1)求证：；
(2)若M为的中点，求的半径；
(3)若的半径为3，求的值．
11．（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点．
(1)证明：；
(2)若，求的度数；
(3)设交于点，若，，是的中点，求的值．
题型三：证明某直线是圆的切线（高频考点）
1．（2025·浙江杭州·一模）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，过点B作的平行线交于点E．
①求的长；
②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值．
2．（2023·浙江台州·三模）如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若F是的中点，求的度数．
3．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接．
(1)证明：是的切线．
(2)若，求的半径．（结果精确到）
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）直角三角板的斜边的两个端点在上，已知，直角边与相交于点D，且点D是劣弧的中点．
(1)如图1，判断直角边所在直线与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，点P是斜边上的一个动点（与A、B不重合），的延长线交于点Q，连接．在下列三个条件中选择两个作为已知条件，求出的长度；
①，②，③，你选择的是 ，并写出求解过程．
(3)若，当点P在斜边上从A运动到B的过程中，求点Q的运动路径长．
5．（2024·浙江台州·二模）如图，D为上一点，点A在直径的延长线上，过点B作交的延长线于点C，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的半径．
6．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
7．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的长．
8．（2024·浙江·一模）如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)若，，，求的长．
题型四：求不规则图形的面积（高频考点）
1．（2023·浙江宁波·一模）如图，分别与相切于E，F，G三点，且为的直径．
(1)延长交于点P，若，，求图中阴影部分的面积；
(2)连接，与交于点M，若，求的值．
2．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，四边形，经过A、B、D三点，为的直径，于点E，且．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
3．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，△ABC内接于，是的直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
4．（2024·浙江湖州·二模）如图，在平行四边形中，，，且．
(1)求证：平行四边形为菱形；
(2)以点为圆心，长为半径作，交于点．若，，求图中阴影部分面积．（结果保留）
5．（2024·浙江杭州·一模）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π）
6．（2023·浙江金华·二模）如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆．
(1)如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长；
(2)如图②，当时，求阴影部分的面积．
7．（2023·浙江·一模）如图，已知，，为上的三点，为的直径，，为弦，平分，是延长线上一点，连结，，使得．
(1)求证：为的切线．
(2)若，的半径为3，求图中阴影部分的面积．
8．（2023·浙江杭州·三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
9．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
10．（2023·浙江杭州·一模）如图，以等腰△ABC的底边为直径作半圆，交、于点D、E．
(1)证明：；
(2)若，，求阴影部分面积．
11．（2023·浙江衢州·一模）如图，在等腰△ABC中，， 以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E．
(1)求证: ．
(2)若，，求阴影部分面积．
题型五：圆综合其他题型（高频考点）
1．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）．
【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值．
2．（2025·浙江舟山·一模）如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点．
(1)填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______；
(2)如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点．
①当时，求的值；
②设，，求y与x的函数关系式．
3．（2025·浙江·一模）如图1，是等腰△ABC的外接圆，，点是所对弧上的任意一点，连结，将绕点逆时针旋转，交于点，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，若，
①求的值．
②当的度数与的度数之比为3时，求的值．
4．（2025·浙江·一模）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(1)如图，△ABC的顶点、在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使；
(2)如图，在△ABC中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；
若，则 ．
5．（2024·浙江嘉兴·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，△ABC中，点是边上一点，连接，若，则称点是△ABC中边上的“中项点”．
(1)如图，△ABC的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”．
(2)△ABC中，，点是边上的“中项点”，求线段的长．
(3)如图，△ABC是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”．
①求证：；
②若，的半径为，且，求的值．
6．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求的值．
(2)已知点，D是射线上的动点（不与点A重合），过A，C，三点的圆与轴交于点，求证：．
(3)在（2）的条件下，设D，两点的横坐标分别为，m．
①求m与n的数量关系；
②当时，求m，n的值．
7．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题：
(1)已知点．
①若点，则 ；
②若点，且，则 ；
③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围；
(2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足，
①若点在图象上，求点的坐标；
②若点在直线上，求的取值范围．
(3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围．
8．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在正方形中，，的边分别与对角线相交于点P，Q，请说明．
尝试解决：
（1）小明给出了以下思路：将绕点A逆时针旋转得到，使与重合，连结，请帮小明完成解题过程．
类比探究：
（2）如图2，在正方形内作，使与相交于点与相交于点Q，连结．已知，，求的面积．
拓展应用：
（3）如图3，在长方形中，，，，P是上一点，Q是上一点，连结，求的面积的最小值．
9．（2024·浙江·模拟预测）【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，，点P从点A向点D运动，速度为，运动时间为t秒（）．过点P作的垂线交直线于点Q，为的外接圆，交菱形对角线于点G，连接，．
(1)求证：．
(2)当t为何值时，与相切？
(3)当t为何值时，为等腰三角形？
