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2025年浙江数学中考预测专项突破
专题08 二次函数综合解答压轴题（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题二次函数在选填题中的考法
解答题第23道：二次函数是浙江中考的主要考查内容，往往出现在解答题压轴或者选填题压轴上，难度偏上，本小节主要讲解二次函数在解答题中常考压轴题，综合性较强。需要考生熟练掌握二次函数的性质以及图象并进行扩展培优。
题型一：二次函数的性质综合与平移问题（高频考点）
1．（2025·浙江温州·一模）已知抛物线（a，b为常数）经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
(3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围．
2．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数
(1)若二次函数过点
①求此二次函数表达式．
②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与轴的两个交点之间的距离．
(2)如果，，都在这个二次函数上，且，求的取值范围．
3．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数解析式及其对称轴；
(2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
4．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数），
(1)当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式；
(2)当时，的最小值为1，求的值；
(3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围．
5．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（是常数）与一次函数（k是常数，）．
(1)若的图象与轴只有一个交点，求b，c的值；
(2)若的图象可由抛物线（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出的函数关系式；
(3)若，当时，恒成立，求的取值范围．
6．（2024·浙江台州·模拟预测）已知抛物线：经过点．
(1)求的函数表达式及其顶点坐标；
(2)若点和在抛物线上，且，．
①求A，B两点的坐标；
②将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最大值为p，最小值为q，若，求k的值．
7．（2023·浙江绍兴·一模）如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求二次函数的表达式．；
(2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点．
①若点在二次函数的图像上，求的最大值．
②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围．
8．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数．
(1)若函数图象经过点．
①求该二次函数的表达式．
②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值．
(2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
9．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求a和b的关系式；
(2)当时，函数y有最小值，求a的值；
(3)若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值．
10．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若抛物线，当时，有最大值，求的值．
(3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
11．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数．
(1)若，求二次函数的对称轴和顶点坐标．
(2)若二次函数图象向下平移个单位后，恰好与轴只有一个交点，求的值．
(3)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：．
题型二：二次函数的性质综合与最值问题（高频考点）
1．（2025·浙江湖州·一模）已知二次函数（a是常数且）．
(1)若，
①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；
②已知该函数图象经过和两点，求的值．
(2)若该函数图象经过点，当时，函数的最大值恰好是4t，求t的值．
2．（2025·浙江·一模）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点．
(1)求的值．
(2)若二次函数的图象经过点，求的最小值．
(3)若二次函数在时，，求的取值范围．
3．（2025·浙江衢州·一模）已知二次函数，
(1)若抛物线的对称轴为直线，
①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式；
②当时，函数的最小值为，求的最大值．
(2)若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围．
4．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）．
(1)若，当时，，求的函数表达式．
(2)当时，判断函数与轴的交点个数，并说明理由．
(3)当时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求的值．
5．（2025·浙江温州·模拟预测）已知二次函数的解析式为．
(1)若点在该二次函数的图象上，求的值；
(2)若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式；
(3)当时，函数有最大值和最小值，求证：．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中．
(1)当时．
①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？
②当和时，函数值相等，求的值．
(2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值．
7．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数的图象过点，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当时，y的最大值与最小值的差．
8．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且．
(1)当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
(2)若，求证：．
9．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系；
(3)若，且当时，y有最小值为，求a的值．
10．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上．
(1)若时，求该二次函数的顶点坐标．
(2)若时，求a的值．
(3)求的最小值．
11．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数（a为实数，）．
(1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）．
(2)设二次函数在时的最大值为p，最小值为q，，求a的值．
12．（2024·浙江温州·二模）已知抛物线（，a，b均为常数）过点．
(1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴．
(2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标．
(3)当自变量x满足时，记函数y的最大值为m，最小值为n，求证：．
题型三：二次函数的性质综合与取值范围问题（高频考点）
1．（2025·浙江嘉兴·一模）已知二次函数．
(1)求函数图象的对称轴；
(2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值；
(3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围．
2．（2025·浙江衢州·一模）对于二次函数．
(1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当时，该函数的最小值是，求m的值．
(2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围．
3．（2025·浙江金华·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 过点
(1)请用含 的代数式表示 ．
(2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式．
(3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围．
4．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数．
(1)当二次函数图象过点时，求二次函数的表达式，并求它与轴的交点坐标；
(2)若二次函数图象在直线的右侧随着的增大而增大，求的取值范围；
(3)若二次函数图象上存在两点和，若，求的取值范围．
5．（2023·浙江杭州·模拟预测）在直角坐标系中，设函数是常数，．
(1)已知点，，，若该函数图象只经过其中两点，求函数表达式；
(2)写出一组，的值，使函数的图象与轴只有个交点，并说明理由；
(3)已知，点，在函数图象上，且两点均在轴上方，若，求的取值范围．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线．
(1)抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2，求该抛物线的解析式；
(2)设，当时；当时．已知时，．
①求的值；
②当时，求a的取值范围．
7．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴．
(2)若，为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求a的值．
②若对于，都有，求a的取值范围．
8．（2024·浙江·一模）已知二次函数的图象与y轴相交于点．
(1)若，求该二次函数的最小值；
(2)若，点都在该函数的图象上，比较和的大小关系；
(3)若点都在该二次函数图象上，分别求的取值范围
9．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于x的二次函数
(1)若该函数的图像与x轴的交点坐标是，求的值；
(2)若该函数的图像的顶点纵坐标为3，
①用含b的代数式表示c；
②当时，y的取值范围是，求c的取值范围．
10．（2024·浙江台州·三模）已知二次函数图象的顶点坐标为．
(1)若函数图象经过点，求这个函数的解析式．
(2)若，求这个函数的解析式．
(3)若a，b，c满足，，求S的取值范围．
11．（2024·浙江杭州·三模）已知二次函数的图象经过点．
(1)若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值；
(2)若抛物线与轴交于，和，两点，且，直接写出的取值范围．
12．（2024·浙江金华·三模）已知二次函数（是常数，）的图像经过点．
(1)若抛物线的顶点为，求函数的表达式．
(2)在（1）的条件下，若函数图像过点，，求证：．
(3)若函数图像经过点，，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围．
13．（2024·浙江温州·一模）已知抛物线的图象经过点，．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
14．（2024·浙江温州·二模）设抛物线与直线交于点．
(1)求，的值及抛物线的对称轴；
(2)设，是抛物线上两点，且，在直线上．
①当时，求的值；
②当时，求的取值范围．
15．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数．
(1)若函数经过点，求抛物线的对称轴；
(2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）.
(3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围．
题型四：二次函数的性质综合与交点问题（高频考点）
1．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围．
2．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（为实数）的顶点为．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标与对称轴．
(2)求证：无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点．
(3)若以为一个顶点作抛物线的内接等边三角形（点，均在抛物线上），直接写出的面积．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数．
(1)若顶点坐标为，求b和c的值．
(2)若．
①求证：函数图象上必存在一点，使得．
②若函数图象与x轴的两个交点间的距离小于1，求b的取值范围．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数）
(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）．
(2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值．
(3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围．
5．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数（m是常数）．
(1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点．
(3)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值．
6．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数 ，为常数，且．
(1)当，函数图象的对称轴为直线时，求该函数的表达式；
(2)求证：该函数图象与轴一定有交点；
(3)点，在该二次函数图象上，求的最小值．
7．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知二次函数，反比例函数
(1)当时，求这两个函数图象的交点坐标；
(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；
(3)若这两个函数的所有交点在直线的右侧，求a的取值范围．
8．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点为．
(1)求c的值；
(2)若二次函数的图象经过点，求a的值；
(3)已知点A，B的坐标分别为和，若二次函数的图象与线段恰有一个交点，直接写出a的取值范围．
9．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为二次函数上两点，若，．
(1)求该二次函数的对称轴以及其图象与x轴的交点个数．
(2)若该二次函数图象恰好经过，，，其中一点，求a的最大值．
10．（2023·浙江·三模）已知抛物线的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)当时，函数值的最大值与最小值的和为6，求的值；
(3)当时，抛物线与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
11．（2023·浙江·二模）在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．
(1)已知．
①若函数的图象经过和两点，求函数的表达式；
②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求的最小值．
(2)若函数图象经过和，且，求的取值范围．
题型五：二次函数实际问题之素材问题（高频考点）
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1∶ 某班级组织趣味弹弹珠游戏， 设计如下∶（1）距离水平地面米处有一带弹簧的装置；（2）每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1．
素材2∶某班进行试玩，发现∶ 当弹珠从点飞出后形成的路径是抛物线的一半， 并正好从挡板1的顶部经过， 此时带弹簧的装置距离水平地面的高度米，挡板1至点距离为米，挡板1的高度为米，如图2．
素材3∶ 弹珠游戏装置变化，如图3∶（1）在距离点米处新增长度为米的挡板2， 挡1与挡板2之间记为区域∶（2）在距离 点米处新增长度为米的挡板3， 挡板2 与挡板3之间记为区域．
问题解决
任务 1∶ 确定弹珠路径．请在图2中以点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式．
任务 2∶ 确定移动方案．要想让弹珠飞出后落入区域内，该弹簧装置向上移动的距离要满足什么条件？
任务 3∶灵活变通．根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整．现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动米， 再通过左右移动三块挡板（区域和区域的宽度不改变），让弹珠落入得分更高的区域 内， 请计算挡板3横坐标的取值范围．
2．（2025·浙江·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围．
3．（2025·浙江宁波·一模）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
(1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
(2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）请阅读信息，并解决问题：
优化产品分配方案
素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完．
素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．
素材3 优秀方案月总利润元（销售利润销售收入成本）良好方案44000元月总利润元合格方案40000元月总利润元
任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元．
任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．）
4．（2024·浙江宁波·二模）根据以下素材，探索完成任务．
校内小型植物园规划设计
素材1 学校拟在围墙边的一块空地上修建一个小型的矩形植物园，墙长18米，植物园一边靠墙，另三边用40米的栅栏围成．如图，矩形中，为米，矩形面积为平方米．
素材2 如图，拟在矩形植物园的中心位置（点为对角线交点）安装一个自动喷灌设备，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，喷水口的高度可升降，升降前后喷出的水流抛物线形状不变，经测量喷水口的高度为米时，喷出的水流最高点离地面距离为1米，离喷水口的水平距离为4米．
问题解决
任务1 确定矩形植物园修建方案 （1）求与的函数关系式，并直接写出的取值范围； （2）若矩形植物园面积为192平方米，则与各为多长？
任务2 确定自动喷灌设备调整方案 （3）在（2）的条件下，将喷水口的高度至少升高多少米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到？
5．（2024·浙江嘉兴·一模）根据以下素材，探索完成任务．
素材 如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米． 当喷射出水流距离喷水头米时，达到最大高度米．
素材 现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米．
问题解决
任务 请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务 当喷灌架底部位于点处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务 草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的树需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点处时，请通过计算说明树能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动米，若要使树被喷灌到，求的取值范围．
6．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图2所示，其中，．
素材2 已知大棚有200根长为的支架和200根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值．
7．（2023·浙江绍兴·一模）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下：
素材
内容
素材1
高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形．
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，．
根据以上素材内容，丵试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留)
(3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
8．（2024·浙江温州·一模）根据以下素材，探索完成任务
研究植物叶片的生长状况
背景素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数图象的一部分，且经过原点．
心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于、两点，直线分别交抛物线和直线于点、点，点、是叶片上的一对对称点，交直线与点．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点的坐标．
任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度．
9．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量如图是一个长米，宽米的大棚，如图，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为：，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．
素材 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在，花生的单位产量（）与垄宽（）有近似的二次函数关系如图所示，种植时，要求花生单位产量不低于．
问题解决
任务 确定函数关系 求花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式．
任务 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数：______； 木薯垄个数：______； 产量之和：______． 评价标准 优秀方案：； 良好方案：； 合格方案：． 注意：Q（）为产量之和!
10．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知，点，分别在和上，且，设．
素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1 确定关系 用x的代数式表示： 区域Ⅰ的面积______；区域Ⅱ的面积______．
任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内（包括两端）的整数时，此时的点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点的坐标．
11．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何制作简易风筝？
素材1 图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段作为骨架，垂直平分且，并按的比例固定骨架，骨架与共消耗竹条，四边形的面积为．
素材2 考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．如图2，现以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为，的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）．以下部分的蒙面设计为，点H在延长线上且．
素材3 从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）．
问题解决，完成以下任务：
(1)确定骨架长度：求骨架和的长度．
(2)确定蒙面形状：求抛物线的函数表达式．
(3)选择纸张大小：至少选择面积为多少的长方形纸片？
题型六：二次函数实际问题之探究问题（高频考点）
1．（2023·浙江宁波·三模）【背景介绍】
烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火．
【问题情境】
距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表：
d/m 0 10 20 30 40 50 60 70
h/m k
【探究过程】
小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整；
(1)k的值为______，
(2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结．
(3)请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？
(4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？
2．（2024·浙江宁波·一模）【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高为1.5米．
任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值．（仅结果保留整数）（参考数据：，，）
【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．
任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______．
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5
响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100
任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式．
【推理计算】
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．
3．（2024·浙江杭州·二模）问题：如何设计击球路线？
情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上．
击球方案：
扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为．
吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米．
高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间．
探究：
(1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式；
(2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少；
②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离；
(3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围．
4．（2024·浙江温州·模拟预测）【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣。当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度。如图1，当第一次大喊时，泉水从泉口B 竖直向上涌至最高点 C，在A 点测C点的仰角为．已知测角仪直立于地面，其高为1.65米，米．
任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值．
（参考数据：，，，）
【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．
任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为 ．
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5
响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100
任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，求出x关于t的函数关系式．
【推理计算】
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间（精确到0.1秒）．
5．（2024·浙江台州·二模）【背景素材】射击过程中，瞄准线和枪管并不是平行的，如图1，当瞄准线处于水平时，枪管略微上翘，子弹从枪膛中射出后，其飞行过程形成的轨迹（弹道轨迹）近似于抛物线，弹道轨迹与瞄准线有两个交点，分别称为第一归零点和第二归零点．射击靶靶面呈圆形，圆心即靶心，射击时，瞄准线对准靶心，且垂直于靶面，当靶心位于任意一个归零点时，子弹就能精准命中靶心，否则将偏离靶心．
【探究思考】
有一射击靶距甲种枪枪膛口水平距离为，射击队员调整瞄准镜，使其水平对准靶心，并使靶心刚好位于第二归零点，此时弹道轨迹已确定，如图2，以瞄准线为x轴，枪膛口竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，则子弹的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）满足函数关系，已知点为该枪枪膛口，其低于瞄准线（即）．
（1）求出的值，并解释点的实际意义．
（2）在不调整弹道轨迹的情况下，把射击靶向前移动到与枪膛口的水平距离为处，若射击靶半径为，问子弹能否命中靶面？请说明理由．
【理解应用】
如图3，同上建立平面直角坐标系，已知乙种枪弹道轨迹恒不变，且其两个归零点坐标分别为，，点是弹道轨迹上一点，有一移动电子靶在距枪膛口水平距离处启动加速，迎面驰来，在距枪膛口水平距离处以的速度开始匀速运动，当电子靶启动的同时，一队员开始水平瞄准靶心，瞄准后再连开两枪，随后都命中靶面，子弹落点分别位于靶心上方和处（该移动电子靶靶面半径大于），从电子靶启动到命中第二枪共用时，求这个队员瞄准靶心所用的时间．（子弹飞行所用时间忽略不计）
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为米的篱笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为米，鸭圈垂直于墙的一边的长为米．（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备）
设计方案 小成 小韩 小林
（米
的长（米） （ ） （ ） （ ）
(1)用含，的代数式表示鸭圈另一边长 米．
(2)若固定不变．
①若要求鸭圈面积为10平方米，求的值．
②小成、小韩和小林根据的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠谱．
③请通过上述探究，直接写出的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值．
(3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？
题型七：二次函数与几何综合（高频考点）
1．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线 经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连结，，．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)求四边形的面积．
2．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
(3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点．
(1)试求此二次函数的解析式；
(2)试证明：（其中是原点）；
(3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P．
(1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线；
(2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式；
(3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围．
5．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，．
(1)填空：该二次函数的解析式为______．
(2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由．
(3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积．
6．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）．
(1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示）
(2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示）
(3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围．
7．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，矩形的两个顶点、在直线上，点在点右侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式；
(3)当点与点重合时，若矩形的邻边之比为，求点的坐标．
8．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值．
(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标．
(3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问：
①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
②当时，直接写出a的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
2025年浙江数学中考预测专项突破
专题08 二次函数综合解答压轴题（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题二次函数在选填题中的考法
解答题第23道：二次函数是浙江中考的主要考查内容，往往出现在解答题压轴或者选填题压轴上，难度偏上，本小节主要讲解二次函数在解答题中常考压轴题，综合性较强。需要考生熟练掌握二次函数的性质以及图象并进行扩展培优。
题型一：二次函数的性质综合与平移问题（高频考点）
1．（2025·浙江温州·一模）已知抛物线（a，b为常数）经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
(3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式计算解题即可；
（3）求出和时x的值，然后根据二次函数的增减性结合图象解题即可．
【详解】（1）解：把，代入，
得解得
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴解得
（3）令，则，解得．
令，则，解得．
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴由图象可得，的取值范围是或．
2．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数
(1)若二次函数过点
①求此二次函数表达式．
②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与轴的两个交点之间的距离．
(2)如果，，都在这个二次函数上，且，求的取值范围．
【答案】(1)①；②(2)或
【分析】（1）①直接把点代入，求出的值，再代回即可；
②先求出向下平移2个单位长度后的函数表达式，再令得到，然后解方程得，最后利用两个交点之间的距离公式求出即可；
（2）先根据点、的纵坐标相同可知这两点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求出对称轴，再利用对称性确定点关于对称轴的对称点为，最后对点分类讨论，根据函数的单调性列出不等式，解出的取值范围．
【详解】（1）解：①把点代入二次函数得：，解得，
二次函数表达式为；
②将二次函数向下平移2个单位，函数表达式为：，
令，得：，解得，
两交点间距离为：，
∴平移后二次函数与轴的两个交点之间的距离为；
（2）解：，在二次函数上，
对称轴为直线，点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧，
当时，，
点在二次函数上，
点关于对称轴直线的对称点为，
，
点在对称轴的左侧，
当在对称轴右侧时，
则，，都在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，
，
，解得；
当在对称轴左侧时，则，，都在对称轴左侧，y随着x的增大而增大，
，
，解得，
综上所述：或．
3．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数解析式及其对称轴；
(2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
【答案】(1)，对称轴为直线(2)(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键．
（1）代入点B坐标计算，求出b，再根据求出对称轴即可；
（2）设点、，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变来解出t，从而得出上移距离m．
（3）先求出抛物线的顶点为，再分和两种情况来讨论函数的最小值即可，注意求出的值和和得到的范围一致才是有解．
【详解】（1）解：将代入函数表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，
设点、，
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则，
则点、的坐标分别为：、，
则新抛物线的表达式为：，
即；
（3）解：由（1）知，抛物线的顶点为，
当，即时，
抛物线在顶点处取得最小值，即，则；
当时，即时，
则抛物线在时取得最小值，即，
解得：（舍去）或6（舍去），
综上，．
4．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数），
(1)当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式；
(2)当时，的最小值为1，求的值；
(3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围．
【答案】(1)(2)或．(3)
【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的性质；
（1）由二次函数的图象经过点，再建立方程求解即可；
（2）分两种情况讨论：如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1，当时，如图，当时，此时，函数取得最小值，再建立方程求解即可；
（3）先求解平移后的函数解析式为，把代入可得：，可得，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：；
∴二次函数为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1，
∴，
解得：，
当时，如图，当时，
此时，函数取得最小值，
∴，
解得：或（舍去）
综上：或．
（3）解：当时，抛物线为
把向下平移个单位长度得到新抛物线为，
把代入可得：
，
∴，
当时，的最小值为，
∵，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴．
5．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（是常数）与一次函数（k是常数，）．
(1)若的图象与轴只有一个交点，求b，c的值；
(2)若的图象可由抛物线（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出的函数关系式；
(3)若，当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）根据题意得到，求出，然后将代入表达式即可求出；
（2）首先根据平移规律得到平移后的解析式为，然后根据题意与比较求解即可；
（3）首先求出两个函数交点的横坐标分别为0和，根据题意得到，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵的图象与轴只有一个交点，
∴二次函数的对称轴为直线
∴
∴
∴
∴将代入得，
∴；
（2）∵（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到的解析式为，
∴
根据题意得，
∴，，
∴，
∴的函数关系式为；
（3）联立两个函数的表达式得，
∴
整理得：，
解得或
即两个函数交点的横坐标分别为0和，如图所示，
∵当时，恒成立，则，
∵，
∴，代入得，
解得：．
6．（2024·浙江台州·模拟预测）已知抛物线：经过点．
(1)求的函数表达式及其顶点坐标；
(2)若点和在抛物线上，且，．
①求A，B两点的坐标；
②将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最大值为p，最小值为q，若，求k的值．
【答案】(1)的函数表达式为，顶点坐标为
(2)①，；②或
【分析】本题主要考查二次函数的图像与几何变换，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把点把代入解析式求出，利用顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①由抛物线对称性得到，解得即可得到答案；
②分三种情况讨论，根据二次函数图像上点的坐标特征，表示出，根据题意得到关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
的函数表达式为．
顶点坐标为；
（2）解：①由得：，
，
，．
，；
②：的对称轴为：直线，
顶点为
由①得：，
Ⅰ．当时，，则：
，；，，
，
解得：（舍）．
Ⅱ．当时，，则：
，；，，
，
解得：（舍）．
Ⅲ．当时，，
，，
若，则：，即：，
此时，，
，
解得：（舍），（符合）
若，则：，即：，
此时，，
，
解得：（符合），（舍）
综上所述：或．
7．（2023·浙江绍兴·一模）如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求二次函数的表达式．；
(2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点．
①若点在二次函数的图像上，求的最大值．
②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)(2)①，②或
【分析】（1）待定系数法计算即可．
（2）①设点的坐标为，则点的坐标为，
把代入构造h为函数的二次函数计算即可．②当，点的坐标为代入解析式，确定m的值，结合图像计算即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，，
∴．
（2）①设点的坐标为，则点的坐标为．
把代入，得：
，
，
∵，当时，且满足，
∴．
②设点的坐标为，则点的坐标为．
当，点的坐标为，
把代入得：，
∴或．
∴或
8．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数．
(1)若函数图象经过点．
①求该二次函数的表达式．
②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值．
(2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
【答案】(1)①；②12(2)见解析
【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图像的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键．
（1）①直接将代入求得a即可解得；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答；
（2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可．
【详解】（1）解：（1）①将代入可得，解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，解得：，
∴，
∴．
（2）解：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
9．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求a和b的关系式；
(2)当时，函数y有最小值，求a的值；
(3)若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值．
【答案】(1)(2)或(3)5
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键．
（1）将点代入，即可求得a和b的关系式；
（2）根据第（1）问得到的结果，二次函数即为，对称轴为直线，分别讨论当时，对称轴直线在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出；当时，在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出；
（3）若时，则二次函数为，平移后的解析式为，设，则，则，可求出、坐标，代入即可求出m．
【详解】（1）∵ 的图象经过点．
，
；
（2）∵
对称轴为直线，
①当时，对称轴直线在范围内，
当时，函数取得最小值，即，
，
②当时，在范围内，
当时，函数取得最小值，即，
，
或
（3）若时，则二次函数为，将函数图象向下平移个单位长度，
平移后的函数解析式为，
设，则．
，
，
，，
将或代入，得，
解得．
10．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若抛物线，当时，有最大值，求的值．
(3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)或．
【分析】（）把点坐标代入抛物线用待定系数法解答即可求解；
（）根据函数的性质，分三种情况：、和，利用二次函数的性质解答即可求解；
（）根据二次函数图象的平移画出图象，结合图象分两种情况：新抛物线与直线相交且有一个交点和抛物线与直线相切，利用数形结合求取值范围即可；
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，掌握数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把点，代入抛物线得，
，
解得，
抛物线表达式为；
（2）解：由（）知，抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵时，有最大值，
最大值只能在或时取得，
当时，即，
此时，有最大值，
即，
解得，符合题意；
当时，即，
此时，有最大值，
即，
解得，不合，舍去；
当，即，
当时，有最大值，
即，
解得，不合，舍去；
当，有最大值，
即，
解得，不合，舍去；
综上，的值为；
（3）解：由题意得，新抛物线为是把抛物线平移个单位得到的，如图所示：
当时，新抛物线与直线相交且有一个交点时，
则
解得；
当抛物线与直线相切时，
就是把抛物线，向上平移10个单位，即，
的取值范围为或．
11．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数．
(1)若，求二次函数的对称轴和顶点坐标．
(2)若二次函数图象向下平移个单位后，恰好与轴只有一个交点，求的值．
(3)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：．
【答案】(1)函数的对称轴为直线，顶点坐标为(2)(3)见解析
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换；
（1）将代入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案；
（2）根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与轴只有一个交点建立方程，解方程即可得到答案；
（3）由题意可得为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为，从而计算出的值，再将，代入如抛物线的解析式得到，即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
二次函数为，
，
函数的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）二次函数图象向下平移1个单位后得，
与轴只有一个交点，
，
解方程得：；
（3）抛物线过点，且对于抛物线上任意一点，都有，
为抛物线的顶点，
抛物线的对称轴为，
，
，
抛物线为：，
，在抛物线上，
，，
，
，
，是这条抛物线上不同的两点，
，
．
题型二：二次函数的性质综合与最值问题（高频考点）
1．（2025·浙江湖州·一模）已知二次函数（a是常数且）．
(1)若，
①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；
②已知该函数图象经过和两点，求的值．
(2)若该函数图象经过点，当时，函数的最大值恰好是4t，求t的值．
【答案】(1)①，；②(2)或8
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）①将代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标；
②先求出二次函数的对称轴为直线，再根据点和关于该函数的对称轴对称，由此即可得；
（2）先将点代入求出二次函数的解析式为，再分两种情况：①和②，利用二次函数的增减性求解即可得．
【详解】（1）解：①当时，，即，
将二次函数的解析式化成顶点式为，
则该函数图象的顶点坐标为．
②二次函数的对称轴为直线，
∵该函数图象经过和两点，
∴点和关于该函数的对称轴对称，
∴，
∴．
（2）解：∵函数图象经过点，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，其对称轴为直线，
∴时的函数值与时的函数值相等，即为，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
则分以下两种情况：
由①当时，则在内，当时，的值最大，
∴，
解得，符合题设；
②当时，则在内，当时，的值最大，
∴，
解得或（不符合题设，舍去）；
综上，的值为或8．
2．（2025·浙江·一模）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点．
(1)求的值．
(2)若二次函数的图象经过点，求的最小值．
(3)若二次函数在时，，求的取值范围．
【答案】(1)(2)的最小值为(3)的取值范围是
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质.
（1）先求出的图象顶点坐标，再代入即可求出的值；
（2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值.
（3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围.
【详解】（1）解：∵，
的图象顶点坐标为，
的图象经过，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得
的图象经过，
，
，
∴的最小值为；
（3）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为.
∵时，，
∴，
当时， ，
解得，
∴，
∴的取值范围是．
3．（2025·浙江衢州·一模）已知二次函数，
(1)若抛物线的对称轴为直线，
①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式；
②当时，函数的最小值为，求的最大值．
(2)若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围．
【答案】(1)①②(2)或
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据解析式得到当时，有最小值为，根据当时，函数的最小值为，得到，进行求解即可；
（2）根据时，取值范围是，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，求出的取值的范围即可．
【详解】（1）解：①由题意，得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为：；
∵时，，函数的最小值为，
∴，
解得：，
∴的最大值为；
（2）解：∵当时，取值范围是，
∴当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大，
∵二次函数图象经过，两点，且，
∴，
解得：或；
故或．
4．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）．
(1)若，当时，，求的函数表达式．
(2)当时，判断函数与轴的交点个数，并说明理由．
(3)当时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求的值．
【答案】(1)(2)两个，理由见解析(3)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质：
（1）用待定系数法求解即可；
（2）求出根的判别式即可判断；
（3）分3种情况求解：当时；当时；当时.
【详解】（1）解：把代入得，，
当时，，
，
，
二次函数的关系式为；
（2）解：，
∴
函数的图象与轴有两个交点；
（3）解：的对称轴为直线：，
当时，
函数最大值为：，
函数最小值为，
，即，
解得：（舍去），
；
当时，
函数最大值为：，
函数最小值为，
，不符合题意；
当时，
函数最大值为：，
函数最小值为，
，即，
（两个都不符合题意，舍去）；
的值为.
5．（2025·浙江温州·模拟预测）已知二次函数的解析式为．
(1)若点在该二次函数的图象上，求的值；
(2)若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式；
(3)当时，函数有最大值和最小值，求证：．
【答案】(1)或(2)(3)证明见解析
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）代入，求解一元二次方程即可；
（2）先得出顶点式，求出顶点坐标，当顶点坐标的纵坐标为零时即在轴上，求解即可；
（3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可．
【详解】（1）解：∵点在该二次函数的图象上，
∴将代入，
得：，
解得：或；
（2）解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵该二次函数图象的顶点在轴上，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（3）解：∵，
其中，对称轴为直线，
∴在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大；
∴当时函数取得最小值；
当时函数取得最大值；
∴，
即．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中．
(1)当时．
①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？
②当和时，函数值相等，求的值．
(2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值．
【答案】(1)①；时，有最大值，最大值为；②(2)，
【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）①当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题；
②根据和时，函数值相等，列得方程，解方程即可求解；
（2）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解．
【详解】（1）①解：当时，则，
把和分别代入可得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为： ，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为；
②解：当和时，函数值相等，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴的值为；
（2）∵二次函数的图象经过原点，
∴，
∴二次函数，
∴对称轴为直线，
∵二次函数过点和，
∴，
当时，对称轴，
∵，
∴时，有最大值，
整理可得：，
∴或，
∵，
∴，
∴，
当时，对称轴，
∵，
∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值，
即，
解得：，
∴，
∴，
综上，，．
7．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数的图象过点，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当时，y的最大值与最小值的差．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）将、代入求解．
（2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得时，y取最小值，时y取最大值，进而求解．
【详解】（1）解：将、代入得，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴时，y最小值为，
∵，
∴时，为最大值，
∴当时，y的最大值与最小值的差为．
8．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且．
(1)当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
(2)若，求证：．
【答案】(1)①，；②(2)见解析
【分析】本题考查了二次函数的性质；
（1）①依题意，，解方程组即可求解；
②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解；
（2）由题意得：，，将代入，得出 ，得出，代入得，进而，即可得证．
【详解】（1）解：①依题意，，
解得，；
②，
对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
依题意，，
方程无解；
当时，
最小值为，
最大值为，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，；
（2）∵，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴把，代入，
得；
∴．
9．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系；
(3)若，且当时，y有最小值为，求a的值．
【答案】(1)(2)当时，；当时，(3)或
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）把代入可得，然后根据对称轴公式计算即可；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，然后把和代入得到，然后对于a分为和两种情况讨论即可；
（3）分为和两种情况，利用最值讨论即可解题．
【详解】（1）解：把代入得，
解得：，
∴对称轴为；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
把点和点代入得：
，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，则；
当时，，则；
（3）解：∵，
∴抛物线的解析式为，
当时，即时，有最小值，即，解得；
当时，即时，有最小值，即，解得；
综上所述，a的值为或．
10．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上．
(1)若时，求该二次函数的顶点坐标．
(2)若时，求a的值．
(3)求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答．
（2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答．
（3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可
【详解】（1）解：依题意，把代入
得出
则对称轴，
把代入，
得出，
∴该二次函数的顶点坐标为；
（2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上
∴，
，
∵，
∴，
则，
解得；
（3）解：由（2）知，
∴，
∵，
∴该函数的开口向上，
∴该函数的对称轴为，
则把代入，
得出，
∴的最小值为．
11．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数（a为实数，）．
(1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）．
(2)设二次函数在时的最大值为p，最小值为q，，求a的值．
【答案】(1)对称轴直线，顶点坐标为(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）将两点式转化为一般式，再转化为顶点式，即可得出结果；
（2）根据二次函数的对称性和增减性，求出的值，进一步求出的值即可．
【详解】（1）解：∵
∴对称轴直线，顶点坐标为．
（2）令，则：，
∴点关于对称轴对称，
∴和在对称轴的两侧，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，抛物线开口向上，
∴当时，函数取得最大值．
当时，函数取得最小值．
∵，
∴．
解得：（不合题意，舍去）
∴．
12．（2024·浙江温州·二模）已知抛物线（，a，b均为常数）过点．
(1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴．
(2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标．
(3)当自变量x满足时，记函数y的最大值为m，最小值为n，求证：．
【答案】(1)，(2)(3)见解析
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）把点代入函数解析式即可得到a，b之间的数量关系，再根据二次函数的对称轴求解即可；
（2）把二次函数化为顶点式，根据函数y的最大值为5求出a的值，即可得到与y轴的交点坐标；
（3）根据二次函数的性质求出当自变量x满足时，函数y的最大值为当时的函数值，故，函数y的最小值为当时的函数值，故，代入即可求出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线（，a，b均为常数）过点．
∴
整理得，，
∴
∵．
即该抛物线的对称轴为．
（2）∵，
∴
∵函数y的最大值为5，与y轴的交点坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为．
（3）证明：∵，
∴抛物线开口向下，
∴当自变量x满足时，函数y的最大值为当时的函数值，故，
函数y的最小值为当时的函数值，故，
∴
题型三：二次函数的性质综合与取值范围问题（高频考点）
1．（2025·浙江嘉兴·一模）已知二次函数．
(1)求函数图象的对称轴；
(2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值；
(3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)2(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质即可得出答案．
（1）根据对称轴公式求解即可．
（2）由得出抛物线开口向上，根据抛物线对称直线为，结合二次函数的图像和性质可得出时，函数取最大值即可得出关于m的一元二次方程求解并舍去的值即可．
（3）把代入抛物线得出，再得出仅当时，即时，此时最小值为，最大值为时，即，
进而结合二次函数图像即可求出实数的取值范围．
【详解】（1）解：对称轴直线为：
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称直线为，
∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值，
即，
解得：，负值舍去
（3）解：当时，则，顶点坐标为：
当时， ，
则在时，最小值为，
即，
解得：，或（舍去），
∴仅当时，即时，此时最小值为，
最大值为时，即，
∵当时，总有，
∴当时，即时，，
令，
解得：，，
∴．
2．（2025·浙江衢州·一模）对于二次函数．
(1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当时，该函数的最小值是，求m的值．
(2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围．
【答案】(1)①，见解析；②(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值．
（1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可；
②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是；
（2）由，得到，因为，所以，解得．
【详解】（1）解：①当时，，不合题意，舍去；
当时，，
∴，符合题意，
这时二次函数的表达式是；
当时，，
∴，不合题意，舍去；
∴二次函数的图象应经过；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，
∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为，
∵当时，该函数的最小值是，
∴；
（2）解：当时代入：，
当时代入：，
∴，
∴，
∵，
∴即．
3．（2025·浙江金华·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 过点
(1)请用含 的代数式表示 ．
(2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式．
(3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图像的性质，
（1）将两个点的坐标代入关系式，整理可得答案；
（2）先求出对称前该抛物线经过点，再设抛物线的关系式为，然后将点代入可得答案；
（3）由（1）可得，进而得出 ，接下来求出抛物线的对称轴，再分两种情况：当 时，当 时，随的增大而增大，再将时代入关系式，可得答案；当时，当时，随的增大而减小，将代入关系式，可得答案.
【详解】（1）解：由题意得 ，
解得，
∴；
（2）解：该抛物线关于y轴对称后的图象经过，则对称前该抛物线经过点．
设 ，
将代入，得
，
解得,
该抛物线的函数表达式为；
（3）解：由（1），得，
∴．
由，得，记作 ，
抛物线的对称轴为直线 .
当 时，如图 1，当 时，随的增大而增大．
当时，，则 成立，
即 ，
解得，
所以．
当时，如图2，当时，随的增大而减小，
当时，，则成立，
即 恒成立．
所以或时，始终成立．
4．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数．
(1)当二次函数图象过点时，求二次函数的表达式，并求它与轴的交点坐标；
(2)若二次函数图象在直线的右侧随着的增大而增大，求的取值范围；
(3)若二次函数图象上存在两点和，若，求的取值范围．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）把点代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得对称轴为直线，进而根据二次函数图象开口向上，且当时随着的增大而增大，即可求解．
（3）将，，代入解析式得出，，根据得出的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线为，
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
（2）∵二次函数，
∴对称轴为直线．
∵二次函数图象开口向上，且当时随着的增大而增大，
∴．
（3）∵函数过，，且，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
5．（2023·浙江杭州·模拟预测）在直角坐标系中，设函数是常数，．
(1)已知点，，，若该函数图象只经过其中两点，求函数表达式；
(2)写出一组，的值，使函数的图象与轴只有个交点，并说明理由；
(3)已知，点，在函数图象上，且两点均在轴上方，若，求的取值范围．
【答案】(1)函数表达式为(2)，答案不唯一，理由见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
（1）由二次函数解析式可得抛物线经过，再通过待定系数法求解．
（2）由抛物线与x轴只有一个交点可得方程的判别式．
（3）将代入函数解析式，由可得，用含的代数式表示，进而求解．
【详解】（1），
抛物线经过，
抛物线不经过，
将，代入得，
解得，
函数表达式为．
（2），，理由如下：
令，
当抛物线与轴只有一个交点时，，
，
当，时符合题意答案不唯一．
（3）当时，，
∵点，两点均在轴上方，
∴，，
即，
∴，即，，
，
，
∴，
解得：
∵
，
∵， 开口向下，
∴当时，有最大值，其最大值为，
∵，
∴当或时，，
∴当时，，
∴的取值范围是：．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线．
(1)抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2，求该抛物线的解析式；
(2)设，当时；当时．已知时，．
①求的值；
②当时，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)①，②或
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是解题的关键：
（1）依题意，由抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2，从而可得两个交点为，，再将，代入，得，计算即可得解；
（2）①依据题意，由，又当时，，可得的对称轴是直线
，计算即可得解；
②依据题意，，代入得，再代入得，进而两式相减得，化简得，进而可以判断得解
【详解】（1）解：由题意，抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2，
∴把分别代入得，，
∴两个交点为，，
代入，得，
解得，
故．
（2）解：①∵，且，
∴，
又当时，，所以y的对称轴是直线，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∴．
代入得，
代入得，
两式相减得，
化简得，
故或．
7．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴．
(2)若，为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求a的值．
②若对于，都有，求a的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线(2)①；②
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的对称轴公式，
（1）把代入，求得，，从而可得，再代入对称轴公式求解即可；
（2）①根据对称轴为直线，进行求解即可；
②根据二次函数的图象与性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，，．
∵n是正整数，a为整数，
（舍去），．则，
∴对称轴为直线．
（2）解：①时，，
，两点关于抛物线的对称轴对称，
则对称轴为直线，
．
②由题意可知，对于任意的，y随x的增大而增大，
可得，
解得．
8．（2024·浙江·一模）已知二次函数的图象与y轴相交于点．
(1)若，求该二次函数的最小值；
(2)若，点都在该函数的图象上，比较和的大小关系；
(3)若点都在该二次函数图象上，分别求的取值范围
【答案】(1)(2)(3)，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由二次函数的图象与轴相交于点，从而求出，又，可得二次函数的解析式，再化成顶点式，进而可得最小值得解；
（2）依据题意，由，从而可得对称轴直线，再结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解；
（3）依据题意得，由点都在该二次函数图象上，代入解析式可得，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点，
∴．
又，
∴二次函数为．
又，
∴当时，取最小值为．
（2）∵，
∴对称轴直线．
，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又，
．
（3）由题意得，①，②，
∴得，，
则；
得，，
则，可得或(舍去)．
综上可得，．
9．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于x的二次函数
(1)若该函数的图像与x轴的交点坐标是，求的值；
(2)若该函数的图像的顶点纵坐标为3，
①用含b的代数式表示c；
②当时，y的取值范围是，求c的取值范围．
【答案】(1)(2)①；②
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质等等：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①把解析式化为顶点式求出顶点坐标，再根据顶点纵坐标为3进行求解即可；②分当时，当时，两种情况根据二次函数开口向上，离对称轴越远函数值越大进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数与x轴的交点坐标是，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵二次函数解析式为，
∴二次函数顶点坐标为，
∵该函数的图像的顶点纵坐标为3，
∴，
∴；
②∵二次项系数大于0，
∴二次函数开口向上，
∵当时，y的取值范围是，
∴当时，，
∴或（舍去），
则；
当时，或（舍去），
综上：，
∴．
10．（2024·浙江台州·三模）已知二次函数图象的顶点坐标为．
(1)若函数图象经过点，求这个函数的解析式．
(2)若，求这个函数的解析式．
(3)若a，b，c满足，，求S的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及不等式的性质．
（1）设二次函数的解析式为．将代入求解，即可解题；
（2）根据题意可知图象经过点，把代入求解，即可解题；
（3）设二次函数解析式为．根据题意可知当时，．据此建立不等式求解，得到的取值范围，进而可得S的取值范围．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为．
由题意得，．
把代入，得．
．
（2）解： ，
图象经过点．
把代入，得．
．
（3）解：设二次函数解析式为．
，
即当时，．
．
．
，
．
11．（2024·浙江杭州·三模）已知二次函数的图象经过点．
(1)若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值；
(2)若抛物线与轴交于，和，两点，且，直接写出的取值范围．
【答案】(1)或；(2)的取值范围为或．
【分析】本题考查的重点是用待定系数法求二次函数的解析式，利用根与系数之间的关系解题．
（1）将点代入抛物线，可以推导出系数，直接的关系；因为直线与抛物线有两个交点，所以利用两点之间的距离公式和根与系数之间的关系可以求出的值；
（2）抛物线与轴有两个交点，所以首先利用根的判别式可以推导出的范围，在分类讨论在不同取值范围内是否符合要求．
【详解】（1）解：抛物线的图象经过点，
，
，
，
直线与抛物线相交所得的线段长为，
，
，
设两个交点为和，线段长为，
，，
，
，
或者，经检验，符合题意；
答：或；
（2）解：抛物线与轴有两个交点，
当时，△，
或，
①当时，
抛物线恒经过点和，
，
恒成立，
②当时，
抛物线与轴交于，和两点，
，，
，
，
当时，，
，
答：的取值范围为或．
12．（2024·浙江金华·三模）已知二次函数（是常数，）的图像经过点．
(1)若抛物线的顶点为，求函数的表达式．
(2)在（1）的条件下，若函数图像过点，，求证：．
(3)若函数图像经过点，，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)(2)见详解(3)
【分析】（1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，函数图像过点，，易得，，进而可得，结合，即可获得答案；
（3）根据二次函数的图像经过点，易得，结合方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得，进而可得①．时，即该二次函数图像经过点时，易知②，联立①②并求解，可得函数解析式为，令，可得，求解可知此时；当逐渐增大时，该函数图像与轴的另一交点逐渐向左运动，函数图像与轴的交点逐渐向下运动，结合，结合图像即可获得答案．
【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴该函数的表达式为；
（2）根据题意，函数图像过点，，
分别将点，代入函数解析式，
可得，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵二次函数的图像经过点，
∴可有，
∴，
将方程整理可得，
∵该方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴可有，即有①，
该二次函数解析式为，
当时，即该二次函数图像经过点时，
若，即该函数图像开口向下，如下图，
此时该函数图像与轴交点在轴的正半轴上，此时，
故不符合题意；
若，即该函数图像开口向上，如下图，
可有，即②，
联立①②，可得，
解得，
∴该函数解析式为，
令，可得，
解得，，
∴此时；
当逐渐增大时，该函数图像与轴的另一交点逐渐向左运动，函数图像与轴的交点逐渐向下运动，
∵该函数图像开口向上，，
∴函数图像与轴的交点在轴的正半轴上，
∴函数图像与轴的交点在轴的正半轴上，
∴当逐渐增大时，可有．
综上所述，的取值范围为．
13．（2024·浙江温州·一模）已知抛物线的图象经过点，．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据二次函数的最值得到当时，函数的最大值为．再结合二次函数图像，二次函数增减性，以及，得到当时，最大值在处取得，最后根据二次函数性质即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：将代入，得；
将代入，得到，解得，
所以函数解析式为．
（2）解：当时，，
，可知函数顶点为，
即当时，函数的最大值为．
∴
，
∴，
∴时函数值都是
当时，最大值在处取得，
的取值范围为．
14．（2024·浙江温州·二模）设抛物线与直线交于点．
(1)求，的值及抛物线的对称轴；
(2)设，是抛物线上两点，且，在直线上．
①当时，求的值；
②当时，求的取值范围．
【答案】(1)，；(2)①4；②
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，把分别代入和，即可求出，，从而求得抛物线的对称轴；
（2）①依据题意，由和关于对称，且，从而和到对称轴的距离都为1，可得，，又将代入抛物线解析式，可得，再由直线为，即可得解；
②依据题意，可得，故，再结合，故可得，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意，把分别代入和，
，．
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：①和关于 对称，且，
和到对称轴的距离都为1，
，．
又将代入抛物线解析式，
．
又直线为，
．
②由题意，，
．
，
．
，即．
15．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数．
(1)若函数经过点，求抛物线的对称轴；
(2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）.
(3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围．
【答案】(1)直线 (2) (3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由经过点，可得，再由对称轴是，进而可以判断得解；
（2）依据题意，抛物线的对称轴是直线，结合的开口向上，从而抛物线上点离对称轴越近函数值就越小，又，故可判断得解；
（3）依据题意，令，又当时，始终成立，即当时，恒成立，再结合抛物线的对称轴为直线，进行分类讨论即可判断得解．
【详解】（1）解：经过点，
．
．
抛物线的对称轴是直线．
（2）解：由题意，抛物线的对称轴是直线．
的开口向上，
抛物线上点离对称轴越近函数值就越小．
，
．
故答案为：．
（3）解：由题意，令，
又当时，始终成立，
当时，恒成立．
又抛物线的对称轴为直线，
可分以下情形讨论．
①当时，即．
，
当时，随的增大而减小．
当时，．
．
此时无解．
②当时，即．
，
．
．
．
此时．
③当时，即．
，
当时，随的增大而增大．
当时，．
．
故此时无解．
综上，．
题型四：二次函数的性质综合与交点问题（高频考点）
1．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意，作出图象，结合二次函数图象与性质，由得到、和，解不等式即可得到的取值范围；
（2）根据题意，由一元二次方程根与系数关系得到，从而求出新抛物线的表达式，作出图象，数形结合，可知，当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，求出此时的值；当直线与抛物线只有一个交点，求出此时的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的开口向上，点 和点 是该抛物线与轴的交点，，如图所示：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，的取值范围为；
（2）解：令，则，
由一元二次方程根与系数关系可得，
，
，解得，
，则，即，
解得或，
抛物线与轴的交点为，
现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，如图所示：
抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折后得到的抛物线表达式为，
根据抛物线关于轴对称时，，则此时抛物线的表达式为，
当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，
将代入，解得；
联立方程组 ，消去得，
将直线向上平移，根据直线与新抛物线恰好有3个交点，
直线与抛物线只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，解得，则，
，
综上所述，当直线与新得到的函数图象至少有三个交点时，的取值范围为 ．
2．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（为实数）的顶点为．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标与对称轴．
(2)求证：无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点．
(3)若以为一个顶点作抛物线的内接等边三角形（点，均在抛物线上），直接写出的面积．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线(2)证明见解析(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、等边三角形的性质、一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）将可得抛物线的解析式，化成顶点式，由此即可得；
（2）当时，，利用一元二次方程根的判别式即可得证；
（3）画出图形（见解析），先根据二次函数的对称性和等边三角形的性质可得点关于这个抛物线的对称轴对称，再求出，设点的横坐标为，则，，，从而可得的长，然后利用等边三角形的性质和勾股定理也可得的长，建立方程，解方程求出的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得．
【详解】（1）解：当时，
抛物线为，
则抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
（2）证明：当时，，
这个方程根的判别式
，
∴无论取任何实数，这个方程都有两个不相等的实数根，
∴无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点．
（3）解：由题意，画出图形如下：
抛物线化成顶点式为，
∴顶点的坐标为，其对称轴为直线，
∵是等边三角形，
∴，
∴点关于这个抛物线的对称轴对称，
如图，不妨设点在对称轴左侧的抛物线上，点在对称轴右侧的抛物线上，与对称轴的交点为点，则垂直平分，
设点的横坐标为，则点的横坐标为，
∴，，
当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵在等边中，，，，
∴，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，，
∴的面积为．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数．
(1)若顶点坐标为，求b和c的值．
(2)若．
①求证：函数图象上必存在一点，使得．
②若函数图象与x轴的两个交点间的距离小于1，求b的取值范围．
【答案】(1)， (2)①见解析；②
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、将二次函数化为顶点式等知识，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
（1）由对称轴，求出b的值，再将把点代入，
即可得出c的值．
（2）①由已知条件可得出，然后代入二次函数，然后将二次函数化为顶点式，则可得出．
②令，求出，．然后利用已知条件得出不等式，化简即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得：，
把点代入，
得，解得．
（2）①证明：∵，∴
∴，
∴顶点坐标为．
由，
∴函数图象上必存在一点，使得
②解：令，则，
∴，．
又∵函数图象与x轴的两个交点间的距离小于1，
∴，
∴，
∴．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数）
(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）．
(2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值．
(3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．
（2）利用根与系数的关系即可判断；
（3）求得直线的解析式为，即可得到抛物线的顶点在直线上，分别求得抛物线过、点时的的值，结合图象即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：，
抛物线顶点坐标为．
（2）证明：由题意可知，，是方程，即的两个根，
，，
．
是个定值．
（3）解：设所在直线解析式为，
将，代入得，
解得，
直线解析式为．
抛物线顶点坐标为，
抛物线的顶点在直线上，
当时，抛物线与线段有1个交点，当时，抛物线与线段有2个交点，
将代入得，
解得，，
时，抛物线与线段有1个交点，
将代入得，
解得，，
时，抛物线与线段有1个交点，
综上所述，该二次函数图象与线段只有一个交点，的取值范围是或．
5．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数（m是常数）．
(1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点．
(3)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点：
（1）将代入解析式，将一般式转化为顶点式，即可得出结果；
（2）令，求出判别式，进行判断即可；
（3）利用二次函数图象的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为：；
（2）令，
则：，
所以无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点．
（3）把代入解析式得：，
∴，
∴当时，有最大值为．
6．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数 ，为常数，且．
(1)当，函数图象的对称轴为直线时，求该函数的表达式；
(2)求证：该函数图象与轴一定有交点；
(3)点，在该二次函数图象上，求的最小值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出的值，即得出该函数的表达式；
（2）当时，，求得，即可得证；
（3）将，代入该二次函数解析式，得出，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴该函数解析式为.
∵该函数图象的对称轴为直线，
∴，
解得：．
∴该函数解析式为；
（2）∵该函数解析式为，
当时，
∵
∴方程有两个相等的实数解，
即该函数图象与轴一定有交点；
（3）∵点，在该二次函数图象上，
∴，，
即，
∴，
∴．
7．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知二次函数，反比例函数
(1)当时，求这两个函数图象的交点坐标；
(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；
(3)若这两个函数的所有交点在直线的右侧，求a的取值范围．
【答案】(1)或或(2)(3)
【分析】
本题主要考查二次函数与一次函数综合问题，包括两个函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，二次函数的增减性，解不等式组等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）把代入两函数解析式，然后联立方程组求解即可；
（2）两函数解析式，联立方程组可得出，从而求出一根为，然后根据方程有一个到两个的根，则，根据交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为k)，整理得：，即：，一一代入求解即可；
（3）分无解和有解讨论即可．
【详解】（1）
解：联立，并整理得：
①
时，上式为：，
解得：x=1或或，
故函数交点坐标为：或或；
（2）
解：①式中含有的因式，即：，
故其中一个根：，
a为正整数，方程有一个到两个的根，
，
交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为k)，
即(k为非负整数)，整理得：，
即：，
而，
当，时，解得： (舍去)；
当，时，解得：；
当，时， (舍去)；
故；
（3）
解：对于，
①当无解时，则，
解得；
②当时，两个根均大于，
即和均为正数，
则
∵，，
代入上式得：，解得，
故：a的取值范围为：．
8．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点为．
(1)求c的值；
(2)若二次函数的图象经过点，求a的值；
(3)已知点A，B的坐标分别为和，若二次函数的图象与线段恰有一个交点，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)当或时，二次函数的图象与线段恰有一个交点．
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
（1）把代入即可求解；
（2）把和代入即可求解；
（3）分三种情况讨论，当二次函数图象与轴只有一个交点时，当和，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴的交点为，
∴；
（2）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得；
（3）解：由题意得，对称轴，
解得，
当二次函数的图象与轴只有一个交点时，
，
解得（舍去），，
当时，，
∴二次函数的图象与轴的交点为，符合题意；
当时，；
当时，；
即二次函数的图象经过点，，
当，解得，不等式无解，
∴当，解得，不等式的解集为，
综上，当或时，二次函数的图象与线段恰有一个交点．
9．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为二次函数上两点，若，．
(1)求该二次函数的对称轴以及其图象与x轴的交点个数．
(2)若该二次函数图象恰好经过，，，其中一点，求a的最大值．
【答案】(1)对称轴为直线，其图象与x轴有1个交点(2)a的最大值为1
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出．
（1）根据，，先确定抛物线的对称轴为直线，然后得出，代入得出函数解析式为：，令，根据一元二次方程根的判别式，判断根的情况，即可得出答案；
（2）将四个点的坐标分别代入函数解析式中求出a的值，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴该二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
把代入得：，
令，
∵，
∴有一个解，
∴该二次函数图象与x轴有1个交点．
（2）解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴a的最大值为1．
10．（2023·浙江·三模）已知抛物线的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)当时，函数值的最大值与最小值的和为6，求的值；
(3)当时，抛物线与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）根据对称轴公式，进行计算即可解答；
（2）由函数的开口方向和对称轴可得函数的最大值为，最小值为，由函数值的最大值与最小值的和为6，可得，求解即可得到答案；
（3）分①，②当时，抛物线与轴有且只有一个交点，则当时，，当时，；分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，
，
；
（2）解：，对称轴为，
当时，，当时，，
函数值的最大值与最小值的和为6，
，
解得：，
（3）解：由（1）得抛物线为：，
抛物线与轴有且只有一个交点，
①，
解得：，
②当时，抛物线与轴有且只有一个交点，
，
解得：，
的取值范围为或．
11．（2023·浙江·二模）在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．
(1)已知．
①若函数的图象经过和两点，求函数的表达式；
②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求的最小值．
(2)若函数图象经过和，且，求的取值范围．
【答案】(1)①；②1(2)
【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②先求出平移后的抛物线解析式为，再根据与x轴只有一个交点，求出，由此得到，根据二次函数的性质即可求出答案；
（2）先求出抛物线对称轴为直线；当，即抛物线开口向上时，可推出抛物线对称轴在直线的左侧，此时，这与已知条件矛盾；，离对称轴越远，函数值越小，则，解得．
【详解】（1）解：①把和，代入得：，
∴，
∴函数的表达式为；
②由题意得，平移后的抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线与x轴恰好有一个交点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最小，最小为1；
（2）解：在中，当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
∵抛物线经过点，
∴抛物线对称轴为直线；
当，即抛物线开口向上时，
∵函数图象经过，且，
∴离直线比直线离抛物线对称轴更近，
∴抛物线对称轴在直线的左侧，
∴此时，这与已知条件矛盾，
∴，
∴离对称轴越远，函数值越小
∵，
∴，
∴，
解得．
题型五：二次函数实际问题之素材问题（高频考点）
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1∶ 某班级组织趣味弹弹珠游戏， 设计如下∶（1）距离水平地面米处有一带弹簧的装置；（2）每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1．
素材2∶某班进行试玩，发现∶ 当弹珠从点飞出后形成的路径是抛物线的一半， 并正好从挡板1的顶部经过， 此时带弹簧的装置距离水平地面的高度米，挡板1至点距离为米，挡板1的高度为米，如图2．
素材3∶ 弹珠游戏装置变化，如图3∶（1）在距离点米处新增长度为米的挡板2， 挡1与挡板2之间记为区域∶（2）在距离 点米处新增长度为米的挡板3， 挡板2 与挡板3之间记为区域．
问题解决
任务 1∶ 确定弹珠路径．请在图2中以点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式．
任务 2∶ 确定移动方案．要想让弹珠飞出后落入区域内，该弹簧装置向上移动的距离要满足什么条件？
任务 3∶灵活变通．根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整．现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动米， 再通过左右移动三块挡板（区域和区域的宽度不改变），让弹珠落入得分更高的区域 内， 请计算挡板3横坐标的取值范围．
【答案】任务1：（）；任务2：；任务3：
【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解一元二次方程，理清题中的数量关系，掌握待定系数法及二次函数的图象与性质是解题关键．
任务1：设此抛物线的解析式为，由题意得顶点，对称轴，且经过，分别代入，即可求解；
任务2：设抛物线为，把、分别代入，即可求解；
任务3：根据题意，得知，可得，通过挡板2的高度解得其横坐标为，因区域和区域的宽度不改变，推出挡板1的横坐标和纵坐标，得抛物线不被挡板1挡住，将挡板3的高度代入抛物线，得横坐标，结合区域的宽度即可求解．
【详解】解：任务1：根据题意，得：抛物线的顶点，对称轴，
设此抛物线为，即，
此抛物线经过挡板1顶部，
即过点，代入，
解得：，
此抛物线的解析式为（）．
任务2：该弹簧装置向上移动，
设，
想让弹珠飞出后落入区域内，且挡板2，
把代入，
解得：．
把挡板1代入，
解得：，
．
任务3：装置向上移动米，
，
得．
当时，解得：（负值舍去），
区域和区域的宽度不改变，
此时挡板1的横坐标为，，不会被挡板1挡住．
当时，解得：（负值舍去），
挡板2的横坐标为，
，
．
2．（2025·浙江·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围．
【答案】任务一：；任务二：不能实现，理由见解析；任务三：
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，正确理解题意， 建立函数模型是解题的关键．
任务一：利用待定系数法即可求解；
任务二：由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为，可求直线解析式为，当时，，故不能实现；
任务三：求出弹起后抛物线的表达式为：，而弹起时最大高度为，则弹起高度范围为时，当时，，解得：，即可确定取值范围．
【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：
设抛物线的解析式为，
将代入可得，解得：，
所以抛物线的解析式为；
任务二：不能实现，理由如下：
由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为，
则设直线解析式为：，
则
解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
所以不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：，
对于，
当时，
解得：或，
∴，
将代入得：，
解得：，
∴弹起后抛物线的表达式为：，
∵，
∴弹起时最大高度为，
∴弹起高度范围为，
当时，，
解得：，
∵时，，，
∴击球点与发球机水平距离的取值范围为．
3．（2025·浙江宁波·一模）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
(1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
(2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
【答案】(1)(2)①不能，见解析；②不成功，见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可解答；
（2）①先将单位转换，再将代入解析式即可解答；
②根据解直角三角形的应用即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：
由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）请阅读信息，并解决问题：
优化产品分配方案
素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完．
素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．
素材3 优秀方案月总利润元（销售利润销售收入成本）良好方案44000元月总利润元合格方案40000元月总利润元
任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元．
任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．）
【答案】任务一：①；；②；任务二：①；②线上160件，线下640件为优秀方案．线下不在优秀方案区间内，但在508（含）-772（含）为良好方案；线下不在优秀和良好方案区间内，但在222（含）-800（含）为合格方案
【分析】本题考查二次函数的应用，得到超过400件的线下销售的销售利润是解决本题的难点；
任务一：①，这件产品的销售利润（定价成本礼品价格）；
，这件产品的销售利润为（定价成本礼品价格）（定价成本）超过400的件数；
②件产品的销售利润（销售价格成本）销售量；
任务二：①800件产品的销售总利润线下销售400件的利润线上销售400件的利润；
②设线上销售件，则线下销售件，根据线下销售的件数不超过400和超过400两种情况得到相应的二次函数，求得最大的值可设计出相应的方案．
【详解】解：任务一：①，这件产品的销售利润为：元，
，这件产品的销售利润为：元．
故答案为：，；
②线上旗舰店的月销售量为件，则这件产品的销售利润为：；
故答案为：；
任务二：①设销售总利润为元．
元．
答：这800件产品的销售总利润为44000元；
②设线上销售件，则线下销售件．
Ⅰ、．
．
时，利润最大，为44000元，不符合题意．
Ⅱ、．
．
当时，利润最大，为46200．
设计的方案为：线上销售160件，线下销售640件，为优秀方案．
线上在120件（含）-200件（含），线下在600（含）-680（含）为优秀方案；
线下不在优秀方案区间内，但在508（含）-772（含）为良好方案；
线下不在优秀和良好方案区间内，但在222（含）-800（含）为合格方案．
4．（2024·浙江宁波·二模）根据以下素材，探索完成任务．
校内小型植物园规划设计
素材1 学校拟在围墙边的一块空地上修建一个小型的矩形植物园，墙长18米，植物园一边靠墙，另三边用40米的栅栏围成．如图，矩形中，为米，矩形面积为平方米．
素材2 如图，拟在矩形植物园的中心位置（点为对角线交点）安装一个自动喷灌设备，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，喷水口的高度可升降，升降前后喷出的水流抛物线形状不变，经测量喷水口的高度为米时，喷出的水流最高点离地面距离为1米，离喷水口的水平距离为4米．
问题解决
任务1 确定矩形植物园修建方案 （1）求与的函数关系式，并直接写出的取值范围； （2）若矩形植物园面积为192平方米，则与各为多长？
任务2 确定自动喷灌设备调整方案 （3）在（2）的条件下，将喷水口的高度至少升高多少米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到？
【答案】（1），；（2）米，米；（3）至少升高米
【分析】该题主要考查了二次函数应用以及矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意．
（1）由题意得，为米，则为米，再根据矩形面积公式即可求解；
（2）根据面积为192平方米，令，解答即可；
（3）根据勾股定理得求出，再根据矩形性质求出则．如图建立平面直角坐标系，由题意设，将代入，即可求出解析式，设将喷水口的高度至少升高米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到，则抛物线过点，求出即可解答；
【详解】解：（1）由题意得，为米，则为米，
矩形面积，
即．
墙长18米，则．
（2）面积为192平方米，则，
解得：，
由，则取，此时米，米．
（3）矩形中，，
由勾股定理得，．
点为对角线交点，则．
如图建立平面直角坐标系，
由题意设，
将代入，得，
则．
设将喷水口的高度至少升高米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到，
则抛物线过点，得，
答：将喷水口的高度至少升高米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到．
5．（2024·浙江嘉兴·一模）根据以下素材，探索完成任务．
素材 如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米． 当喷射出水流距离喷水头米时，达到最大高度米．
素材 现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米．
问题解决
任务 请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务 当喷灌架底部位于点处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务 草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的树需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点处时，请通过计算说明树能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动米，若要使树被喷灌到，求的取值范围．
【答案】任务1：见解析，；任务2：水流无法喷灌到草坡最远处,理由见解析；任务3：树可以被灌溉到，理由见解析；的取值范围．
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，解直角三角形的应用，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
任务1：根据题意建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为，将点、代入求出、的值，即可得到抛物线的函数表达式；
任务2：设草坡最远处为点，过点作轴于点，结合坡度解直角三角形，求出，，得到，再求出当时，的值，比较即可得到答案；
任务3：延长交轴于点，结合坡度解直角三角形，得到，再求出当时，的值，比较即可得到答案．由题意可知，移动后的解析式为，求出，将点代入解析式求出的值，即可得到的取值范围．
【详解】解：任务1：
如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数表达式为，
由图象可知，抛物线过点、，
则，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
任务2：
水流无法喷灌到草坡最远处,理由如下：
如图，设草坡最远处为点，过点作轴于点，
由题意可知，喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米，
∴，，
设，，
由题意得：，
∴，
∴，，
∴，
在抛物线中，当时，，
∵，
∴水流无法喷灌到草坡最远处；
任务3：
树能否被灌溉到，理由如下：
由题意可知，延长交轴于点，
由题意可知，，，
∵坡度为，
∴，
∴，
∴，，
在抛物线中，当时，，
∵，
∴树可以被灌溉到，
由题意可知，将喷灌架向正后方向移动米，则移动后的解析式为，
当时，，
若要使树被喷灌到，则，
解得：，（舍），
∴．
6．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图2所示，其中，．
素材2 已知大棚有200根长为的支架和200根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】（1）；（2）能；（3）时，的值最大，为1.6米
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，方案选择问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意得到函数的对称轴为5，再利用待定系数法得到函数的解析式；
（2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（3）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）如图，以O为原点，建立如图所示的坐标系，
，，
设抛物线解析式为，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，将代入解析式得，，
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
，
为，
改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为，
将代入解析式得，
，
为，
∴为，
，
∴为，
∴
共需改造经费，
能完成改造．
（3）如图，设改造后抛物线解析式为，
则为，为，
由题意可列不等式，，解得，
，
时，的值最大，为1.6米．
7．（2023·浙江绍兴·一模）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下：
素材
内容
素材1
高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形．
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，．
根据以上素材内容，丵试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留)
(3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
【答案】(1)抛物线；抛物线(2)(3)或
【分析】本题考查二次函数的实际应用
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，分别求出，，即可得出结果；
（3）分和进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，
点在抛物线上，点在抛物线上，
，，
，，
抛物线；抛物线；
（2）解：设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，
在抛物线中：当时，
，
，
，
则，
；
（3）解：当时，由抛物线解析式可得：， ，
，
即，
解得；
则最深度为；
当时，由图象可得：， ，
可列方程：，
则，
解得；
则最深度为．
综上：杯中液体最深度为或．
8．（2024·浙江温州·一模）根据以下素材，探索完成任务
研究植物叶片的生长状况
背景素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数图象的一部分，且经过原点．
心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于、两点，直线分别交抛物线和直线于点、点，点、是叶片上的一对对称点，交直线与点．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点的坐标．
任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度．
【答案】（1）抛物线解析式为：，顶点的坐标为；（2）
【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及一次函数，二次函数，轴对称等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质和轴对称的性质．
（1）把代入抛物线解析式求出，即可得到抛物线的解析式，再把抛物线的解析式配方成顶点式，即可求出顶点的坐标；
（2）分别根据解析式求出，，，，得到，推出是等腰直角三角形，进而求出，最后根据对称性即可求出．
【详解】解：（1）把代入得：，
解得：，
抛物线解析式为：，
顶点的坐标为；
（2）直线的解析式为，
令，则，令，则，
，，
，
，
在中，当时，，
，
在中，当时，，
，
，
，
，
点、是叶片上的一对对称点，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
9．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量如图是一个长米，宽米的大棚，如图，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为：，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．
素材 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在，花生的单位产量（）与垄宽（）有近似的二次函数关系如图所示，种植时，要求花生单位产量不低于．
问题解决
任务 确定函数关系 求花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式．
任务 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数：______； 木薯垄个数：______； 产量之和：______． 评价标准 优秀方案：； 良好方案：； 合格方案：． 注意：Q（）为产量之和!
【答案】任务：花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；任务：花生垄宽范围为大于等于米，小于等于米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；任务：方案：花生垄，木薯垄，总产量为；，，．
【分析】任务1：用待定系数法可得花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；
任务2：当时，得，，故要使，需满足，即可得花生垄宽范围为大于等于米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；
任务3：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，结合任务2可知，由，，可知有3种方案，即可得到答案．
【详解】解：任务1：设，把、、代入得，
，解得，
花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；
任务2：当时，，
解得，，
要使，需满足，
，即花生垄宽范围为大于等于米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；
任务3：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，
，
，
，，
共3种方案：
方案一：花生6垄，木薯6垄，此时，解得：，
则，，
此时花生垄宽，单位产量为，
∴总产量为；
方案二：花生5垄，木薯6垄，此时，解得：，
则，，
此时花生垄宽，单位产量为，
∴总产量为；
方案三：花生6垄，木薯5垄，此时，解得：，
则，，
此时花生垄宽，单位产量为，
∴总产量为；
10．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知，点，分别在和上，且，设．
素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1 确定关系 用x的代数式表示： 区域Ⅰ的面积______；区域Ⅱ的面积______．
任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内（包括两端）的整数时，此时的点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点的坐标．
【答案】任务1：区块Ⅰ的面积：，区块Ⅱ的面积：，区块Ⅲ的面积：；
任务2：或；
任务3：有2个最佳定位点，分别为，．
【分析】任务1：结合图形，根据正方形的面积性质和三角形面积公式即可求出答案．
任务2：由题意知，将区块划分两种区域的有两种情况，根据两种情况即可求出面积或者函数表达式．
任务3：由任务2和任务3的面积取值范围排除面积为50的情况，再根据即可求出值，从而求得最佳定位点的坐标．
【详解】解：任务1：
，
区块Ⅰ的面积：．
，
，
区块Ⅱ的面积：．
区块Ⅲ的面积：．
任务2：①如图1若连接，
，
不可能为等腰三角形，
，
为等腰三角形，
．
②如图2连接，
．
任务3：
且面积范围为，
结合函数图像得整数解为，这两个E的定位坐标满足题意．
有2个最佳定位点，分别为，．
故答案为：任务1：区块Ⅰ的面积：，区块Ⅱ的面积：，区块Ⅲ的面积：；
任务2：或；
任务3：有2个最佳定位点，分别为，．
11．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何制作简易风筝？
素材1 图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段作为骨架，垂直平分且，并按的比例固定骨架，骨架与共消耗竹条，四边形的面积为．
素材2 考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．如图2，现以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为，的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）．以下部分的蒙面设计为，点H在延长线上且．
素材3 从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）．
问题解决，完成以下任务：
(1)确定骨架长度：求骨架和的长度．
(2)确定蒙面形状：求抛物线的函数表达式．
(3)选择纸张大小：至少选择面积为多少的长方形纸片？
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数的解析式，平行线分线段成比例，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设的长为，则的长为．列式，解出即可作答．
（2）先得出，结合“过距离A，B，D三点分别为，的E，F，G三点绘制抛物线”，得出，根据图象性质，设，再运用待定系数法求解，即可作答．
（3）先由平行线分线段成比例，得出，代入数值进行计算，得出，，即可作答．
【详解】（1）解：设的长为，则的长为．
由题意，得，
解得，．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
∵过距离A，B，D三点分别为，的E，F，G三点绘制抛物线
∴，
设所求抛物线表达式为．
把代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式是．
（3）解：∵，
∴，
即，
∴，
∵
∴，
∴所求长方形面积为．
题型六：二次函数实际问题之探究问题（高频考点）
1．（2023·浙江宁波·三模）【背景介绍】
烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火．
【问题情境】
距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表：
d/m 0 10 20 30 40 50 60 70
h/m k
【探究过程】
小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整；
(1)k的值为______，
(2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结．
(3)请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？
(4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？
【答案】(1)(2)见解析(3)士兵射出的箭没有掉进圣火台里．
(4)射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键．
（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解；
（2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可；
（3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可；
（4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解．
【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据和二次函数图像的对称的性质可得：对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
（2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图：
（3）解：设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，
，
∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里．
（4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为，
∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且
