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第三章 图形的平移与旋转 单元测试培优卷
一、选择题
1．垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．厨余垃圾 B．有害垃圾C．其他垃圾 D．可回收物
【答案】B．
【解析】A是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则A不符合题意；
B既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意；
C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则C不符合题意；
D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则D不符合题意；
故选B．
2．下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选A．
3．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列结论不正确的是（ ）
A．OB＝OB1 B．AC＝A1C1
C．∠AOC＝∠A1OB1 D．∠BAC＝∠B1A1C1
【答案】
【解析】根据中心对称图形的性质可得：OB＝OB1，AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠AOC与∠A1OB1不一定相等，
故选项A、B、D结论正确，不符合题意，选项C结论错误，符合题意，
故选C．
4．已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．（﹣3）2024
【答案】
【解析】∵点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，
∴a﹣1＝﹣2，b﹣1＝﹣1，
∴a＝﹣1，b＝0，
∴（a+b）2024
＝（﹣1+0）2024
＝1．
故选A．
5．在平面直角坐标系中，将点M（﹣3，4）向左平移2个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣1，4） C．（﹣3，2） D．（﹣3，6）
【答案】
【解析】将点M（﹣3，4）向左平移2个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是（﹣3﹣2，4），即（﹣5，4）．
故选A．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，若点E在AB上，则BD的长为（ ）
A． B．5 C．4 D．
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，点E在AB上，
∴AE＝AC＝3，DE＝BC＝4，∠AED＝∠C＝90°，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，∠BED＝90°，
∴BD2，
故选A．
7．风车山因其山顶的风车而得名，这些巨大的风车在山巅屹立，仿佛守护着这片净土．如图是罗定风车山的图片，图中风力发电装置的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n的值可以是（ ）
A．60 B．90 C．120 D．180
【答案】
【解析】由题意可知：正三角形的中心角为360°÷3＝120°，
故选C．
8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，若BD′＝7cm，则点D，B′之间的距离为（ ）
A．3cm B． C．4cm D．
【答案】
【解析】∵将正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A′B′C′D′，
∴BB′＝DD′＝2cm，
∵BD′＝7cm，
∴B′D＝7﹣2﹣2＝3（cm），
故选A．
9．在平面直角坐标系中，将点A（m+1，n﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′．若点A′位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．m＞1，n＜﹣2 B．m＞1，n＞﹣2 C．m＜1，n＜﹣2 D．m＜1，n＞﹣2
【答案】
【解析】∵将点A（m+1，n﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′，
∴A′（m﹣1，n+2），
∵A′（m﹣1，n+2）在第二象限，
∴m﹣1＜0，n+2＞0，
∴m＜1，n＞﹣2，
故选D．
10．如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过点A作AG⊥BD于点G，
∵∠ABD＝30°，∠A＝105°，
∴∠ADB＝45°，
设AE＝BE＝a，则AB＝2a，
∴，BG，
∴DG＝AG＝a，
∴AD，
∵，，
∴，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴∠ADE＝∠ABD＝30°，
∵∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝90°＝∠ADE+∠EDF+∠CDF，
∴90°＝30°+∠EDF+30°，
∴∠EDF＝30°＝∠ADE，
∵AD＝CD＝DF，DE＝DE，
∴△ADE≌△FDE（SAS），
∴EF＝AE＝BE＝1，
过点E作EH⊥BD于点H，
∴EH，BD，
∴△BED的面积，
故选A．
二、填空题
11．点M（4，﹣3）关于原点对称的点N的坐标是 ．
【答案】（﹣4，3）．
【解析】由M（4，﹣3）关于原点对称的点N的坐标是（﹣4，3），
故答案为：（﹣4，3）．
12．点M（m﹣1，m）向左平移3个单位，向上平移4个单位后，点M落在了y轴上，则m的值为 ．
【答案】4．
【解析】点M（m﹣1，m）向左平移3个单位，向上平移4个单位后坐标为（m﹣4，m+4），
又∵（m﹣4，m+4）在y轴上，
∴m﹣4＝0，
解得m＝4，
故答案为：4．
13．如图，在长为24m，宽为20m的矩形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2m，其他部分都是草地，则草地的面积为 平方米．
【答案】440．
【解析】由题可得，草地的面积是22×20＝440（平方米）．
故答案为：440．
14．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角a等于 °
【答案】20
【解析】∵△ABC绕点C顺时针旋转某个角度α得到△A′B′C，
∴∠A＝∠A′＝30°，
又∵∠1＝∠A′+∠ACA′＝50°，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°，
故答案为：20．
15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB＝6，BD＝10，则BC＝ ．
【答案】8．
【解析】连接BE，
由旋转得，AE＝BD＝10，BC＝CE，∠BCE＝60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠CBE＝60°，BC＝BE．
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE8，
∴BC＝8．
故答案为：8．
16．如图，在⊙O中，A，B为⊙O上两点，且∠AOB＝120°，分别以点A，B为圆心，OA长为半径画圆，将两圆相交的公共部分依次绕点O顺时针旋转72°得到如图所示的“五叶花瓣”（阴影图案）．若OA＝1，则图中“五叶花瓣”的面积为 .
【答案】．
【解析】连接AC，OC，BC，作AD⊥OC，
由题意可知，OA＝1，圆A，B均以OA长为半径长，
故AC＝BC＝OA＝OB＝1，
∴四边形AOBC为菱形，
即AC∥OB，
∴∠CAO＝180°﹣∠AOB＝60°，
可知扇形的面积为⊙O的，
即，
∵AC＝OA，
∴△ACO为等边三角形，
∴OC＝OA＝1，
∵AD⊥OC，
∴AD为△ACO在OC上的垂直平分线，
∴OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AD，
∴S△ACO OC AD，
故圆A，B相交部分面积为：
（）×2，
则图中“五叶花瓣”的面积为：
（）×2×5．
故答案为：．
三、解答题
17．已知点P的坐标为（2a﹣7，a+4），且2a﹣7和a+4是一个正数的两个平方根，求点P关于原点的对称点P1的坐标．
【解析】∵2a﹣7和a+4是一个正数的两个平方根．
∴2a﹣7+a+4＝0，解得：a＝1，
∴2a﹣7＝﹣5，a+4＝5，
∴点P的坐标为（﹣5，5）．
∵点P1与点P关于原点对称，
∴P1（5，﹣5）．
18．如图，将△BAC绕点B逆时针旋转，得到△BA′C′，此时点A′刚好落在AC边上，连接CC′，若∠A＝65°，∠ACB＝40°，求∠A′C′C的度数．
【解析】∵将△BAC绕点B逆时针旋转，得到△BA′C′，此时点A′刚好落在AC边上，
∴AB＝A′B，BC＝BC′，∠A＝∠BA′C′＝65°，∠ABA′＝∠CBC′，
∵∠A＝65°，
∴∠AA′B＝∠A＝65°，
∴∠ABA′＝CBC′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴∠CA′C′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴∠ACB＝∠AC′C＝65°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠A′CC′＝40°+65°＝105°，
∴∠A′C′C＝180°﹣∠C′A′C﹣∠A′CC′＝25°，
即∠A′C′C的度数为25°．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，1），B（4，1），C（5，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A、B、C分别对应A1、B1、C1；
（2）将△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°，点A、B、C分别对应A2、B2、C2，请画出旋转后的图形△A2B2C2．
【解析】（1）∵A（1，1），B（4，1），C（5，3）关于x轴对称的对称点坐标A1（1，﹣1），B1（4，﹣1），C1（5，﹣3），画图如下：
（2）∵A（1，1），B（4，1），C（5，3）旋转后的坐标A2（1，﹣1），B2（1，﹣4），C2（3，﹣5），（A1，A2重合）画图如下：
20．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+5，3m+3）．
（1）若点P在x轴上时，求点P的坐标；
（2）若点P在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标；
（3）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标．
【解析】（1）∵点P在x轴上，
∴P点的纵坐标为0，
∴3m+3＝0，
解得m＝﹣1，
把m＝﹣1代入2m+5中得2m+5＝3，
∴P点坐标为（3，0）；
（2）∵P点在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上，
∴P点的横坐标为﹣5，
∴2m+5＝﹣5，
解得m＝﹣5，
把m等于﹣5代入3m+3，3m+3＝﹣12，
∴P点坐标为（﹣5，﹣12）；
（3）由题意知M的坐标为（2m+5+2，3m+3+3），
∵M在第三象限，且M到y轴的距离为7，
∴点M的横坐标为﹣7，
∴2m+5+2＝﹣7，
解得m＝﹣7，
将m＝﹣7代入P（2m+5，3m+3）中得，P（﹣9，﹣18），
∴M（﹣7，﹣15）．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将Rt△ABC绕着点B逆时针旋转得到△DBE，A、C两点的对应点分别为D、E两点，点E落在边AB上．
（1）若∠BAC＝36°，请直接写出∠BAD的度数为 ；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AD的长．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝54°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△DBE，
∴∠EBD＝∠ABC＝54°，AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA63°，
故答案为：63°；
（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△DBE，
∴BE＝BC＝6，ED＝AC＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝4，
∴AD4．
22．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点E在线段AB上，DE的延长线与AC交于点F，连接DA、BF，∠ABC＝60°，BF＝AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）猜想线段AD、AE的数量关系，并证明你的猜想．
【解析】（1）证明：∵AB＝BD，∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴AD∥BC；
（2）解：AD＝2AE．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SSS），
∴∠ADF＝∠BDF＝30°，
∴DF⊥AB，
∴AD＝2AE．
23．如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB＝CD，AB∥CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）将△ABC沿射线AC方向平移得到△A'B'C'，边BC与边CD的交点为F，连接EF，若EF将△CDE分为面积相等的两部分，请用直尺和圆规作出点F（不写作法，保留作图痕迹）．
【解析】（1）证明：∵点C为AE的中点，
∴AC＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCB，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS）；
（2）解：连接BE，交CD于点F，点F即为所求．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知A（a，﹣2），B（b，4），C（c，0），D（a+8，6），
其中a，b，c满足关系式（a﹣b）2+|c﹣a+3|＝0．
（1）当a＝3时，△ABC的面积等于 ；
（2）若线段CD，AB相交于点E，求线段AE的长；
（3）将线段BC先向下平移1个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度得到线段B′C′．若线段B′C′与线段AD有公共点，请直接写出m的取值范围．
【解析】（1）∵（a﹣b）2+|c﹣a+3|＝0，
∴a﹣b＝0，c﹣a+3＝0，
整理得：a＝b，c＝a﹣3，
当a＝3时，A（3，﹣2），B（3，4），C（0，0），
∴△ABC的面积6×3＝9，
故答案为：9；
（2）∵a＝b，c＝a﹣3，
∴B（a，4），C（a﹣3，0）
过点D作DH⊥AB于点H，连接CH．
则，
∴，
∵AH＝8，
∴AE＝AH﹣EH＝8；
（3）平移线段BC，记C向下平移1个单位长度后的点为C1，再向右平移m个单位落在AD上时，记为C2．
，
，
∴4m＝16．解得m＝4．
∵线段B′C′与线段AD有公共点，
∴m≥4．
平移线段BC，
记B向下平移1个单位长度后的点为B1，再向右平移m个单位落在AD上时，记为B2．
，得m＝5．
∵线段B′C′与线段AD有公共点，
∴m≤5．
综上：4≤m≤5．
25．如图1，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．
（1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD；
（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，设∠DFH＝x，求∠AHF的度数；
②如图3，若∠AEC＝90°，HF平分∠CFG，设∠GFD＝y，请直接写出∠AHF的度数．
【解析】（1）如图①，过点E作直线EN∥AB，
∴∠BAE＝∠AEN，
∵AB∥CD，
∴EN∥CD，
∴∠DCE＝∠CEN，
∴∠AEC＝∠AEN+∠CEN＝∠BAE+∠ECD．
（2）①∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH＝∠EAH，
∵FH平分∠DFG，
∴∠GFH＝∠DFH＝x，
∵将线段CE沿CD平移至FG，
∴CE∥FG，
∴∠ECD＝∠GFD＝2x，
又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝90°，
∴，
如图②，过点H作l∥AB，由（1）可得：∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝45°﹣x+x＝45°．
②过点H作HM∥AB，如图所示：
∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH＝∠EAH，
∵FH平分∠CFG，
∴，
∵将线段CE沿CD平移至FG，
∴CE∥FG，
∴∠ECD＝∠GFD＝y，
又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝90°，
∴，
根据解析（1）可知，
∠AHF＝∠BAH+∠HFD
＝135°．
试卷第2页，共36页中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 图形的平移与旋转 单元测试培优卷
一、选择题
1．垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．厨余垃圾 B．有害垃圾C．其他垃圾 D．可回收物
2．下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列结论不正确的是（ ）
A．OB＝OB1 B．AC＝A1C1
C．∠AOC＝∠A1OB1 D．∠BAC＝∠B1A1C1
4．已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．（﹣3）2024
5．在平面直角坐标系中，将点M（﹣3，4）向左平移2个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣1，4） C．（﹣3，2） D．（﹣3，6）
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，若点E在AB上，则BD的长为（ ）
A． B．5 C．4 D．
7．风车山因其山顶的风车而得名，这些巨大的风车在山巅屹立，仿佛守护着这片净土．如图是罗定风车山的图片，图中风力发电装置的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n的值可以是（ ）
A．60 B．90 C．120 D．180
8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，若BD′＝7cm，则点D，B′之间的距离为（ ）
A．3cm B． C．4cm D．
9．在平面直角坐标系中，将点A（m+1，n﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′．若点A′位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．m＞1，n＜﹣2 B．m＞1，n＞﹣2 C．m＜1，n＜﹣2 D．m＜1，n＞﹣2
10．如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．点M（4，﹣3）关于原点对称的点N的坐标是 ．
12．点M（m﹣1，m）向左平移3个单位，向上平移4个单位后，点M落在了y轴上，则m的值为 ．
13．如图，在长为24m，宽为20m的矩形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2m，其他部分都是草地，则草地的面积为 平方米．
14．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角a等于 °
15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB＝6，BD＝10，则BC＝ ．
16．如图，在⊙O中，A，B为⊙O上两点，且∠AOB＝120°，分别以点A，B为圆心，OA长为半径画圆，将两圆相交的公共部分依次绕点O顺时针旋转72°得到如图所示的“五叶花瓣”（阴影图案）．若OA＝1，则图中“五叶花瓣”的面积为 .
三、解答题
17．已知点P的坐标为（2a﹣7，a+4），且2a﹣7和a+4是一个正数的两个平方根，求点P关于原点的对称点P1的坐标．
18．如图，将△BAC绕点B逆时针旋转，得到△BA′C′，此时点A′刚好落在AC边上，连接CC′，若∠A＝65°，∠ACB＝40°，求∠A′C′C的度数．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，1），B（4，1），C（5，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A、B、C分别对应A1、B1、C1；
（2）将△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°，点A、B、C分别对应A2、B2、C2，请画出旋转后的图形△A2B2C2．
20．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+5，3m+3）．
（1）若点P在x轴上时，求点P的坐标；
（2）若点P在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标；
（3）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将Rt△ABC绕着点B逆时针旋转得到△DBE，A、C两点的对应点分别为D、E两点，点E落在边AB上．
（1）若∠BAC＝36°，请直接写出∠BAD的度数为 ；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AD的长．
22．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点E在线段AB上，DE的延长线与AC交于点F，连接DA、BF，∠ABC＝60°，BF＝AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）猜想线段AD、AE的数量关系，并证明你的猜想．
23．如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB＝CD，AB∥CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）将△ABC沿射线AC方向平移得到△A'B'C'，边BC与边CD的交点为F，连接EF，若EF将△CDE分为面积相等的两部分，请用直尺和圆规作出点F（不写作法，保留作图痕迹）．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知A（a，﹣2），B（b，4），C（c，0），D（a+8，6），
其中a，b，c满足关系式（a﹣b）2+|c﹣a+3|＝0．
（1）当a＝3时，△ABC的面积等于 ；
（2）若线段CD，AB相交于点E，求线段AE的长；
（3）将线段BC先向下平移1个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度得到线段B′C′．若线段B′C′与线段AD有公共点，请直接写出m的取值范围．
25．如图1，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．
（1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD；
（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，设∠DFH＝x，求∠AHF的度数；
②如图3，若∠AEC＝90°，HF平分∠CFG，设∠GFD＝y，请直接写出∠AHF的度数．
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