广东省河源市河源中学2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题
1．（2025高二下·河源期中）曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2025高二下·河源期中）已知首项为1的数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·河源期中）已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．（2025高二下·河源期中）已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·河源期中）若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．（2025高二下·河源期中）已知是函数的极小值点，则（ ）
A． B．0 C． D．或
7．（2025高二下·河源期中）记为等差数列的前项和，且，，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
8．（2025高二下·河源期中）棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（ ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距）
A． B． C． D．
9．（2025高二下·河源期中）在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则（ ）
A．该玩具车位移的最大值为110
B．该玩具车在内的平均速度为12.5
C．该玩具车在时的瞬时速度为30
D．该玩具车的速度和时间的关系式是
10．（2025高二下·河源期中）记为首项为2的数列的前项和，已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高二下·河源期中）平行六面体的各棱长为1，且、、、分别为、、、中点．若、、两两垂直，则（ ）
A． B．
C． D．四面体的体积为
12．（2025高二下·河源期中）函数在上的最大值为 ．
13．（2025高二下·河源期中）已知正项等比数列满足，，则 ．
14．（2025高二下·河源期中）曲线与曲线公切线斜率的最小值为 ．
15．（2025高二下·河源期中）已知圆：，直线：．
（1）若与仅有一个交点，求；
（2）设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围．
16．（2025高二下·河源期中）已知数列的前项积为，为公差不为0的等差数列，且，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，记的前项和为，证明：．
17．（2025高二下·河源期中）已知曲线与曲线交于，两点．
（1）求；
（2）求的最小值．
18．（2025高二下·河源期中）直椭圆柱体是指上下底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图，已知某直椭圆柱体的底面椭圆离心率为，高为椭圆短轴长的一半，上底面椭圆的长轴为，下底面椭圆的长轴为，点为上一点，过点作直线交椭圆于，两点，设线段与线段的长度之比为．
（1）当点为底面椭圆的焦点时，求的值；
（2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值．
19．（2025高二下·河源期中）已知双曲线：的左顶点为，且过点．的右支上有三点满足，．
（1）求的方程；
（2）求的面积；
（3）求四边形面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：求导得：，
当时，切线斜率，
故答案为：A.
【分析】利用商的导数可得，再利用导数的几何意义求切线斜率即可求解.
2．【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：依题意，.
故答案为：A.
【分析】利用给定条件，再利用递推公式即可求解.
3．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：已知可得，
令可得，解得.
故答案为：C
【分析】先对函数两边同时求导可得，再由赋值法代入计算即可求解.
4．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知，解得，所以抛物线，
则的准线方程为，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得，再利用抛物线方程为，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
由于在上单调递增，
所以在上恒成立，
在上恒成立，在上单调递增，
所以在上的最小值为，
所以，故的最大值为，
故答案为：D
【分析】先利用导函数可得函数在上单调递增，转化为在上恒成立，分离参数转化恒成立即可求解.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：已知函数，可得，
因为是函数的极小值点，可得，解得或，
当时，，此时函数在上单调递增，不符合题意，舍去；
当时，，
令，解得或；令，解得，
所以在上单调递增，在上点单调递减，
所以是函数的极小值点，符合题意，
所以，此时，所以.
故答案为：A.
【分析】先对函数求导可得，再利用是函数的极小值点可得，即可得，代值即可求解.
7．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：由，则，解得或，
由，显然，解得.
故答案为：C.
【分析】先等差中项的性质可得或，再利用求和公式，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，
平面的截距式方程方程为，
，设的法向量，则，
令，得，令点关于平面的对称点为，
则，解得，即，
连接交平面于点，则在内，且，
因此的周长，
当且仅当与重合时取等号，所以周长的最小值为.
故答案为：D
【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面的方程，再利用点关于平面的对称可得，即可求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；平均变化率；瞬时变化率
【解析】【解答】解：已知可得其导数，
A、由二次函数性质可知当时，位移取得最大值，其最大值为，故A正确；
B、该玩具车在内的平均速度为，
因此该玩具车在内的平均速度为，故B错误；
C、由可知当时的瞬时速度为，故C正确；
D、由于，所以该玩具车的速度和时间的关系式是，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用二次函数性质可判断A，利用平均速度计算公式即可判断B，利用瞬时速度概念以及导数定义即可判断CD.
10．【答案】A,C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意可得，可得下表如图所示：
所以数列的最小正周期，
，故A正确，，故B错误，
由，则，故C正确；
，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先利用数列的递推公式求得数列的前几项，可得数列的周期性为3，再逐项判断即可求解.
11．【答案】A,C
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：由题意可作图如下：
A，分别取的中点为，连接，如图所示：
在平行六面体中，易知，，，
因为，所以，即，故A正确；
BC、连接，如图所示：
在平行六面体中，易知，即共面，
因为，，，平面，
所以平面，易知，则平面，
因为平面，所以，
在中，，则，故C正确；
，易知的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
所以不是一个定值，若，
此时共面，显然不合题意，故B错误；
D、连接，如图所示：
由题意可得四面体的体积，
在中，为定值1，易知上的高随着的位置变化而变化，
所以四面体的体积不是定值，
易知当时，上的高，此时取得最大值，为，
即四面体的体积也取得最大值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意作图利用平行线的性质即可判断A；利用线面垂直的判定与性质即可判断点的轨迹，即可判断BC；利用四面体的体积公式结合图形的几何性质即可判断D.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：已知，求导可得，
在上，恒成立，
因此在上单调递增，所以的最大值为.
故答案为：
【分析】先对函数求导可得，再利用导函数和原函数单调性的关系可得在上单调递增，即可求解.
13．【答案】32
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设正项等比数列的公比为，可知；
因此可得，两式相除可得，
解得或；
可得或（舍）；
因此.
故答案为：32
【分析】先利用等比数列定义及其通项公式列方程组，可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为，
求导得，，则，且，
由，两边取对数整理得：，代入，可得，
令，求导得，
则当时，，当，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以斜率的最小值为.
故答案为：
【分析】先设出切点坐标，利用导数的几何意义可得，
令，再利用导数即可求解.
15．【答案】（1）解：圆心，半径，因与仅有一个交点，
则圆心到直线的距离，所以.
（2）解：设点，由，得，
化简得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
又点在直线上，则直线与圆存在公共点，
则，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式等于半径即可求解.
（2）利用求出点的轨迹圆的方程，则问题转化为该圆与直线存在公共点，再利用点到直线距离公式列式即可求解.
（1）圆心，半径，因与仅有一个交点，
则圆心到直线的距离，所以.
（2）设点，由，得，
化简得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
又点在直线上，则直线与圆存在公共点，
则，解得，
所以的取值范围为.
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，，因为成等比数列，所以，
所以，解得，因为，所以，
所以，
当时，，当时上式成立，
所以；
（2）证明：，
，得证.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，利用等差数列的通项公式可得，再利用递推关系，即可求解；
（2）由已知可得，根据裂项相消法求和即可证明.
（1）设等差数列的公差为，，因为成等比数列，所以，
所以，解得，因为，所以，
所以，
当时，，当时上式成立，
所以；
（2），
，得证.
17．【答案】（1）解：因为曲线与曲线交于两点，
所以，化简得，
即，所以，因为交点为，，所以或，
所以；
（2）解：因为，所以，所以，
设，所以，
当单调递减；当单调递增；
所以，所以.
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先利用交点列式可得，再利用对数运算计算即可求解；
（2）先根据交点坐标可得，参数分离再构造函数，再利用导函数得出函数单调性即可求出最小值.
（1）因为曲线与曲线交于两点，
所以，化简得，
即，所以，因为交点为，，所以或，
所以；
（2）因为，所以，所以，
设，所以，
当单调递减；当单调递增；
所以，所以.
18．【答案】（1）解：设椭圆半焦距为，由椭圆离心率为，得该椭圆的长半轴长，短半轴长，
点为底面椭圆的焦点，则，，
或，，
所以的值是或.
（2）解：由（1）知底面椭圆对应的标准方程为，设，由，
得，解得，，由，
得直线，与椭圆方程联立，得，则，
由，平面平面，平面平面，平面，
得平面，则点关于平面对称，过作于，连接如图所示：
于是≌，，即，是二面角的平面角，
连接，由平面，平面，得，，
而，则，，
而，则，，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】椭圆的标准方程；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）设椭圆半焦距为c，利用椭圆的离心率可得，结合椭圆焦点与长圆两个端点的距离即可求解.
（2）利用椭圆方程求出，由题意求出，借助对称性利用几何法求出为二面角的平面角，再利用夹角公式即可求余弦值.
（1）令椭圆半焦距为，由椭圆离心率为，得该椭圆的长半轴长，短半轴长，
点为底面椭圆的焦点，则，，
或，，
所以的值是或.
（2）由（1）知底面椭圆对应的标准方程为，设，由，
得，解得，，由，
得直线，与椭圆方程联立，得，则，
由，平面平面，平面平面，平面，
得平面，则点关于平面对称，过作于，连接，
于是≌，，即，是二面角的平面角，
连接，由平面，平面，得，，
而，则，，
而，则，，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：已知左顶点为，则，则双曲线方程为，
将点代入得，解得，
故的方程为.
（2）解：设，其中，且，
因为，所以直线的斜率为，方程为，
与双曲线联立，解得，
同理可知直线的方程为，
与双曲线联立，解得，
则中点为，
故直线的方程为，由
即
则点到直线的距离，
而，
故.
（3）解：设坐标原点，为弦的中点，如图所示：
则由（2）知，
故为线段中点.
则点到直线的距离等于点到直线距离和的一半，
又，
由几何关系与面积公式可得，，
同理，由为中点，
可得，
所以，
因此，四边形的面积，
下面求的最小值.
由直线的方程为，
故点到直线的距离，而是定值，
所以取最小值当且仅当取到最小值.
记，与联立得，
关于的二次方程，
设，
函数开口向上，对称轴为，
由点在双曲线右支上，故方程在内有解，
故，解得，或.
当时，，且，
故方程在内无解，在不满足题意；
当时，，则方程在内恒有解.
综上，要使关于的二次方程在内有解，
则，且当时，等号成立，
所以当时，四边形面积取得最小值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，再把点代入方程待定系数即可求解；
（2）设出点，由平行关系分别求出坐标，求得直线方程，再利用弦长公式与点线距离求解面积可得；
（3）取弦中点F，由几何关系探求出四边形的面积，再由为定值，借助方程有解求解点线距离最小值即可求解.
（1）由左顶点为可得，则双曲线方程为，
将点代入得，解得，
故的方程为.
（2）设，其中，且，
因为，所以直线的斜率为，方程为，
与双曲线联立，解得，
同理可知直线的方程为，
与双曲线联立，解得，
则中点为，
故直线的方程为，由
即
则点到直线的距离，
而，
故.
（3）设坐标原点，为弦的中点，
则由（2）知，
故为线段中点.
则点到直线的距离等于点到直线距离和的一半，
又，
由几何关系与面积公式可得，，
同理，由为中点，
可得，
所以，
因此，四边形的面积，
下面求的最小值.
由直线的方程为，
故点到直线的距离，而是定值，
所以取最小值当且仅当取到最小值.
记，与联立得，
关于的二次方程，
设，
函数开口向上，对称轴为，
由点在双曲线右支上，故方程在内有解，
故，解得，或.
当时，，且，
故方程在内无解，在不满足题意；
当时，，则方程在内恒有解.
综上，要使关于的二次方程在内有解，
则，且当时，等号成立，
所以当时，四边形面积取得最小值.
1 / 1广东省河源市河源中学2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题
1．（2025高二下·河源期中）曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：求导得：，
当时，切线斜率，
故答案为：A.
【分析】利用商的导数可得，再利用导数的几何意义求切线斜率即可求解.
2．（2025高二下·河源期中）已知首项为1的数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：依题意，.
故答案为：A.
【分析】利用给定条件，再利用递推公式即可求解.
3．（2025高二下·河源期中）已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：已知可得，
令可得，解得.
故答案为：C
【分析】先对函数两边同时求导可得，再由赋值法代入计算即可求解.
4．（2025高二下·河源期中）已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知，解得，所以抛物线，
则的准线方程为，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得，再利用抛物线方程为，即可求解.
5．（2025高二下·河源期中）若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
由于在上单调递增，
所以在上恒成立，
在上恒成立，在上单调递增，
所以在上的最小值为，
所以，故的最大值为，
故答案为：D
【分析】先利用导函数可得函数在上单调递增，转化为在上恒成立，分离参数转化恒成立即可求解.
6．（2025高二下·河源期中）已知是函数的极小值点，则（ ）
A． B．0 C． D．或
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：已知函数，可得，
因为是函数的极小值点，可得，解得或，
当时，，此时函数在上单调递增，不符合题意，舍去；
当时，，
令，解得或；令，解得，
所以在上单调递增，在上点单调递减，
所以是函数的极小值点，符合题意，
所以，此时，所以.
故答案为：A.
【分析】先对函数求导可得，再利用是函数的极小值点可得，即可得，代值即可求解.
7．（2025高二下·河源期中）记为等差数列的前项和，且，，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：由，则，解得或，
由，显然，解得.
故答案为：C.
【分析】先等差中项的性质可得或，再利用求和公式，即可求解.
8．（2025高二下·河源期中）棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（ ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，
平面的截距式方程方程为，
，设的法向量，则，
令，得，令点关于平面的对称点为，
则，解得，即，
连接交平面于点，则在内，且，
因此的周长，
当且仅当与重合时取等号，所以周长的最小值为.
故答案为：D
【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面的方程，再利用点关于平面的对称可得，即可求解.
9．（2025高二下·河源期中）在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则（ ）
A．该玩具车位移的最大值为110
B．该玩具车在内的平均速度为12.5
C．该玩具车在时的瞬时速度为30
D．该玩具车的速度和时间的关系式是
【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；平均变化率；瞬时变化率
【解析】【解答】解：已知可得其导数，
A、由二次函数性质可知当时，位移取得最大值，其最大值为，故A正确；
B、该玩具车在内的平均速度为，
因此该玩具车在内的平均速度为，故B错误；
C、由可知当时的瞬时速度为，故C正确；
D、由于，所以该玩具车的速度和时间的关系式是，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用二次函数性质可判断A，利用平均速度计算公式即可判断B，利用瞬时速度概念以及导数定义即可判断CD.
10．（2025高二下·河源期中）记为首项为2的数列的前项和，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意可得，可得下表如图所示：
所以数列的最小正周期，
，故A正确，，故B错误，
由，则，故C正确；
，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先利用数列的递推公式求得数列的前几项，可得数列的周期性为3，再逐项判断即可求解.
11．（2025高二下·河源期中）平行六面体的各棱长为1，且、、、分别为、、、中点．若、、两两垂直，则（ ）
A． B．
C． D．四面体的体积为
【答案】A,C
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：由题意可作图如下：
A，分别取的中点为，连接，如图所示：
在平行六面体中，易知，，，
因为，所以，即，故A正确；
BC、连接，如图所示：
在平行六面体中，易知，即共面，
因为，，，平面，
所以平面，易知，则平面，
因为平面，所以，
在中，，则，故C正确；
，易知的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
所以不是一个定值，若，
此时共面，显然不合题意，故B错误；
D、连接，如图所示：
由题意可得四面体的体积，
在中，为定值1，易知上的高随着的位置变化而变化，
所以四面体的体积不是定值，
易知当时，上的高，此时取得最大值，为，
即四面体的体积也取得最大值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意作图利用平行线的性质即可判断A；利用线面垂直的判定与性质即可判断点的轨迹，即可判断BC；利用四面体的体积公式结合图形的几何性质即可判断D.
12．（2025高二下·河源期中）函数在上的最大值为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：已知，求导可得，
在上，恒成立，
因此在上单调递增，所以的最大值为.
故答案为：
【分析】先对函数求导可得，再利用导函数和原函数单调性的关系可得在上单调递增，即可求解.
13．（2025高二下·河源期中）已知正项等比数列满足，，则 ．
【答案】32
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设正项等比数列的公比为，可知；
因此可得，两式相除可得，
解得或；
可得或（舍）；
因此.
故答案为：32
【分析】先利用等比数列定义及其通项公式列方程组，可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.
14．（2025高二下·河源期中）曲线与曲线公切线斜率的最小值为 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为，
求导得，，则，且，
由，两边取对数整理得：，代入，可得，
令，求导得，
则当时，，当，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以斜率的最小值为.
故答案为：
【分析】先设出切点坐标，利用导数的几何意义可得，
令，再利用导数即可求解.
15．（2025高二下·河源期中）已知圆：，直线：．
（1）若与仅有一个交点，求；
（2）设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围．
【答案】（1）解：圆心，半径，因与仅有一个交点，
则圆心到直线的距离，所以.
（2）解：设点，由，得，
化简得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
又点在直线上，则直线与圆存在公共点，
则，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式等于半径即可求解.
（2）利用求出点的轨迹圆的方程，则问题转化为该圆与直线存在公共点，再利用点到直线距离公式列式即可求解.
（1）圆心，半径，因与仅有一个交点，
则圆心到直线的距离，所以.
（2）设点，由，得，
化简得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
又点在直线上，则直线与圆存在公共点，
则，解得，
所以的取值范围为.
16．（2025高二下·河源期中）已知数列的前项积为，为公差不为0的等差数列，且，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，记的前项和为，证明：．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，，因为成等比数列，所以，
所以，解得，因为，所以，
所以，
当时，，当时上式成立，
所以；
（2）证明：，
，得证.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，利用等差数列的通项公式可得，再利用递推关系，即可求解；
（2）由已知可得，根据裂项相消法求和即可证明.
（1）设等差数列的公差为，，因为成等比数列，所以，
所以，解得，因为，所以，
所以，
当时，，当时上式成立，
所以；
（2），
，得证.
17．（2025高二下·河源期中）已知曲线与曲线交于，两点．
（1）求；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：因为曲线与曲线交于两点，
所以，化简得，
即，所以，因为交点为，，所以或，
所以；
（2）解：因为，所以，所以，
设，所以，
当单调递减；当单调递增；
所以，所以.
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先利用交点列式可得，再利用对数运算计算即可求解；
（2）先根据交点坐标可得，参数分离再构造函数，再利用导函数得出函数单调性即可求出最小值.
（1）因为曲线与曲线交于两点，
所以，化简得，
即，所以，因为交点为，，所以或，
所以；
（2）因为，所以，所以，
设，所以，
当单调递减；当单调递增；
所以，所以.
18．（2025高二下·河源期中）直椭圆柱体是指上下底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图，已知某直椭圆柱体的底面椭圆离心率为，高为椭圆短轴长的一半，上底面椭圆的长轴为，下底面椭圆的长轴为，点为上一点，过点作直线交椭圆于，两点，设线段与线段的长度之比为．
（1）当点为底面椭圆的焦点时，求的值；
（2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）解：设椭圆半焦距为，由椭圆离心率为，得该椭圆的长半轴长，短半轴长，
点为底面椭圆的焦点，则，，
或，，
所以的值是或.
（2）解：由（1）知底面椭圆对应的标准方程为，设，由，
得，解得，，由，
得直线，与椭圆方程联立，得，则，
由，平面平面，平面平面，平面，
得平面，则点关于平面对称，过作于，连接如图所示：
于是≌，，即，是二面角的平面角，
连接，由平面，平面，得，，
而，则，，
而，则，，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】椭圆的标准方程；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）设椭圆半焦距为c，利用椭圆的离心率可得，结合椭圆焦点与长圆两个端点的距离即可求解.
（2）利用椭圆方程求出，由题意求出，借助对称性利用几何法求出为二面角的平面角，再利用夹角公式即可求余弦值.
（1）令椭圆半焦距为，由椭圆离心率为，得该椭圆的长半轴长，短半轴长，
点为底面椭圆的焦点，则，，
或，，
所以的值是或.
（2）由（1）知底面椭圆对应的标准方程为，设，由，
得，解得，，由，
得直线，与椭圆方程联立，得，则，
由，平面平面，平面平面，平面，
得平面，则点关于平面对称，过作于，连接，
于是≌，，即，是二面角的平面角，
连接，由平面，平面，得，，
而，则，，
而，则，，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．（2025高二下·河源期中）已知双曲线：的左顶点为，且过点．的右支上有三点满足，．
（1）求的方程；
（2）求的面积；
（3）求四边形面积的最小值．
【答案】（1）解：已知左顶点为，则，则双曲线方程为，
将点代入得，解得，
故的方程为.
（2）解：设，其中，且，
因为，所以直线的斜率为，方程为，
与双曲线联立，解得，
同理可知直线的方程为，
与双曲线联立，解得，
则中点为，
故直线的方程为，由
即
则点到直线的距离，
而，
故.
（3）解：设坐标原点，为弦的中点，如图所示：
则由（2）知，
故为线段中点.
则点到直线的距离等于点到直线距离和的一半，
又，
由几何关系与面积公式可得，，
同理，由为中点，
可得，
所以，
因此，四边形的面积，
下面求的最小值.
由直线的方程为，
故点到直线的距离，而是定值，
所以取最小值当且仅当取到最小值.
记，与联立得，
关于的二次方程，
设，
函数开口向上，对称轴为，
由点在双曲线右支上，故方程在内有解，
故，解得，或.
当时，，且，
故方程在内无解，在不满足题意；
当时，，则方程在内恒有解.
综上，要使关于的二次方程在内有解，
则，且当时，等号成立，
所以当时，四边形面积取得最小值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，再把点代入方程待定系数即可求解；
（2）设出点，由平行关系分别求出坐标，求得直线方程，再利用弦长公式与点线距离求解面积可得；
（3）取弦中点F，由几何关系探求出四边形的面积，再由为定值，借助方程有解求解点线距离最小值即可求解.
（1）由左顶点为可得，则双曲线方程为，
将点代入得，解得，
故的方程为.
（2）设，其中，且，
因为，所以直线的斜率为，方程为，
与双曲线联立，解得，
同理可知直线的方程为，
与双曲线联立，解得，
则中点为，
故直线的方程为，由
即
则点到直线的距离，
而，
故.
（3）设坐标原点，为弦的中点，
则由（2）知，
故为线段中点.
则点到直线的距离等于点到直线距离和的一半，
又，
由几何关系与面积公式可得，，
同理，由为中点，
可得，
所以，
因此，四边形的面积，
下面求的最小值.
由直线的方程为，
故点到直线的距离，而是定值，
所以取最小值当且仅当取到最小值.
记，与联立得，
关于的二次方程，
设，
函数开口向上，对称轴为，
由点在双曲线右支上，故方程在内有解，
故，解得，或.
当时，，且，
故方程在内无解，在不满足题意；
当时，，则方程在内恒有解.
综上，要使关于的二次方程在内有解，
则，且当时，等号成立，
所以当时，四边形面积取得最小值.
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