湖南省衡阳市衡阳一中、八中、九中2025年联考一模数学试题
1．（2025·衡阳模拟）下列各实数中，最小的是（ ）
A．-2 B．0 C． D．3.14
2．（2025·衡阳模拟）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·衡阳模拟）在人工智能技术迅猛发展的浪潮中，DeepSeek作为一款新兴应用迅速崛起，根据数据分析平台QuestMobile的数据，自上线以来至2025年2月9日，DeepSeek App的累计下载量已突破110000000次，数据“110000000”用科学记数法表示为（ ）
A．1.1x107 B．11x107 C．11x108 D．1.1x108
4．（2025·衡阳模拟）如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
5．（2025·衡阳模拟）方程2x-1=5的解是（ ）
A．x =-2 B．x=-3 C．x=3 D．x=2
6．（2025·衡阳模拟） 如图，BD//AC，AB//CD，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
7．（2025·衡阳模拟）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·衡阳模拟）如图，在△ABC中，BA=BC，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度后得到△A'B'C，若AB的对应边A'B'恰好经过点A，且B'C与AB相交于点F（点F异于点A和点B)，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AC B．AA'=A'C C．∠1=∠2 D．∠A'=∠ACB'
9．（2025·衡阳模拟）随机抽取甲、乙两位同学一周内每天完成书面家庭作业的时间，并绘制了如下折线统计图，下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
10．（2025·衡阳模拟） 如图，在中，，，分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线交AB于点D，交AC于点E，再连接CD. 以下结论：①；②；③；④. 其中正确的结论序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
11．（2025·衡阳模拟）若在实数范围内有意义，则实数x的值可能为 （写出一个符合条件的实数即可）
12．（2025·衡阳模拟）某中学开展“新时代好少年”评选活动，其中一个评价标准是参与社区志愿服务的次数，校学生会从各班推选的学生中随机抽取了10名学生，统计他们过去一个月参与志愿服务的次数（单位：次），数据如下：3，5，2，4，3，6，4，5，3，1，则志愿服务次数是3的频率为 .
13．（2025·衡阳模拟）关于x的一元二次方程程x2+x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 .
14．（2025·衡阳模拟）一个正多边形每个外角的度数等于72°，则这个正多边形的内角和为 .
15．（2025·衡阳模拟） 化简的结果为 .
16．（2025·衡阳模拟） 如图，直线y=x+1与双曲线y=(k>0)在第一象限内交于点A，过点A作AB⊥x轴于点B，若OB=2，则k的值为 .
17．（2025·衡阳模拟） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，若DE=DC，则∠ADE的度数为 .
18．（2025·衡阳模拟）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆。”度方知圆，感悟数学之美，如图，正方形ABCD的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形EFGH，若AB：EF=3：2，则四边形EFGH的外接圆的半径为 .
19．（2025·衡阳模拟）计算：
20．（2025·衡阳模拟）先化简，再求值：(x+3)(x-2)+x(x-3)，其中x2-x=1.
21．（2025·衡阳模拟）如图，AB，CD为⊙O的直径，连接BD，∠BDC=45°，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE.
（1）求证：AE所在的直线与⊙O相切；
（2）若直径AB=4，求阴影部分的面积
22．（2025·衡阳模拟）《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦，在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场，已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问：
（1）哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元
（2）若小军现有200元，他想购买哪吒和敖丙玩具共8个，则小军最多可以购买哪吒玩具多少个
23．（2025·衡阳模拟）为了引导学生树立绿色生态文明的理念，3月12日植树节当天，某中学九年级（1）班开展了全员植树活动，该班因活动需要将学生分成挖坑、栽树、填土、浇水四个小组，并根据分组情况绘制了如下两幅不完整的统计图，
根据以上信息，解决下列问题.
（1）该班总人数为 人.
（2）请补全条形统计图和扇形统计图，
（3）活动结束后，学校团委小记者从浇水小组4人中随机抽取2人进行采访.浇水小组由2名男生2名女生组成.请用树状图法或者列表法求接受采访的恰好是1名男生和1名女生的概率.
24．（2025·衡阳模拟）如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔 AB，塔尖点 A 到地面的距离为 AC. 红红站在离房子 DE 的底端 E 前方 30 米的点 F 处，眼睛 G 距离地面的高度 米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖 A，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为 . 红红家到山脚的水平距离 米，山坡的坡度为 （），山脚 H 到塔尖的仰角为
（1）若 米，则 米， 米（用含ａ的代数式表示）；
（2）求房子DE和塔AB的高度.（结果保留一位小数)(参考数据：，，）
25．（2025·衡阳模拟）抛物线与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点P是抛物线L上的一动点，设点P的横坐标为m(-4（1）求抛物线L1的表达式.
（2）如图1，连接AP，并延长AP交y轴于点D，连接BP，交y轴于点E.点P在运动过程中，OD+4OE的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由。
（3）将该抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线L2刚好经过点P，点M为抛物线L2对称轴上一点.在平面内确定一点N，使以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，并求出所有符合条件点N的坐标.
26．（2025·衡阳模拟）综合与实践
（1）【问题情境】
类比是人类认知世界的重要思维方式，它不仅能帮助我们更好地理解复杂概念，更能激发创新思维，为人类认知开辟新的疆域.如示意图，在矩形ABCD中，BF⊥AC于点F，点E是CF上一动点，连接BE，过点A作AG⊥BE于点G，交BF于点H.
如图1，当AB=BC时，求证： EF=HF.
（2）【类比探究】
点E运动到AE=AB时，连接DE.
①如图2，当B，E，D三点共线时，是否还成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出的值.
②如图3，当，时，求DE的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∴最小的数是：
故答案为：A.
【分析】根据有理数的比较大小解题即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.该图形不是轴对称图形，烨不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，烨是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为( 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴ 表示的点可能是 Q，
故答案为：D.
【分析】先估算的取值范围，然后得到点的位置即可.
5．【答案】C
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解： 2x-1=5
2x=6，
x=3，
故答案为：C.
【分析】利用移项、合并同类项、系数化为1解答即可.
6．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可求解.
7．【答案】A
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A：，因式分解正确；
B：，原式因式分解错误；
C：，原式因式分解错误；
D：，原式不是因式分解；
故答案为：A.
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式分解成几个因式的积”逐项判断解题即可.
8．【答案】C
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转可得△CAB≌△CA'B'，
∴AB=A'B'，CA=CA'，∠A'=∠1，
∴∠2=∠A'，
∴∠1=∠2，
故答案为：C.
【分析】根据旋转可得△CAB≌△CA'B'，即可得到CA=CA'，∠A'=∠1，进而求出∠2=∠A'，根据等量代换得到∠1=∠2解题即可.
9．【答案】A
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由折线统计图可知， 甲、乙两位同学一周内每天完成书面家庭作业的时间，甲同学比乙同学用的时间多，最能反映出这两组数据之间差异的是方差，
故答案为：A.
【分析】根据方差反应数据波动大小解答即可.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由作图可得DE垂直平分AC，
∴CD=AD，∠DCA=∠A=36°，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=72°-36°=36°，
∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-36°-72°=72°，故①正确；
∵∠DEC=90°，故②错误；
∵∠BDC=∠B，
∴CD=BC=AD，
∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
解得，故④正确；
∴，
又∵AE=CE，
∴，
∴，故③错误；
故答案为：B.
【分析】利用作图CD=AD，可得根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB=72°，进而计算得到∠BCD=36°，求出∠BDC的度数判断①；根据∠DEC=90°判断②；然后证明△BCD∽△BAC，得到，判断③④即可解题.
11．【答案】1(答案不唯一)
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：
∴x的值可以为1；
故答案为：1(答案不唯一).
【分析】根据根据被开方数为非负数，进行求解即可.
12．【答案】0.3
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：志愿服务次数是3的频率为：
故答案为：0.3.
【分析】根据频率=频数÷总数解答即可.
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 有两个相等的实数根，
则判别式 ，
即
解得，
故答案为：1.
【分析】根据方程根的情况得到，然后解方程求出c的值即可.
14．【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正多边形的边数为
内角和为 .
故答案为：540°.
【分析】先根据外角求出正多边形的边数，然后根据内角和公式计算解题.
15．【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先把分式通分，然后约分化为最简分式解题即可.
16．【答案】6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：把x=2代入y=x+1得y=2+1=3，
∴点A的坐标为(2，3)，
代入 y= 得k=2×3=6，
故答案为：6.
【分析】先求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式即可.
17．【答案】75°
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠B=60°， ∠C=90°，
∴∠BAC=30°，
又∵ DE⊥AB ， DE=DC，
∴∠EAD=∠DAC=15°，∠DEA=90°，
∴∠EDA=90°-∠DAE=90°-15°=75°，
故答案为：75°.
【分析】先根据直角三角形的两锐角互余求出∠A的度数，然后根据角平分线的判定得到∠EAD=∠DAC=15°，进而求出∠EDA的度数解题即可.
18．【答案】2
【知识点】圆内接四边形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵ EFGH 与 正方形ABCD 位似，且 AB：EF=3：2，
∴正方形EFGH 与 正方形ABCD的面积比为4：9，
∴正方形EFGH的面积为8，
设 四边形EFGH的外接圆的半径为r，
则，
解得r=2，
故答案为：2.
【分析】先根据位似得到正方形EFGH的面积为8，然后根据正方形的面积是对角线乘积的一半解题即可.
19．【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算零次幂、负整数次幂，绝对值，代入特殊交的三角函数值，然后合并解答即可.
20．【答案】解：
当 原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的乘法展开，然后合并同类项化简，再整体代入解题即可.
21．【答案】（1）证明：∵∠BDC =45°，
∴∠COB=2∠D=90°，
∵OD=OB，
∴∠OBC =∠OCB=45°，
连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BE，
∵CE=BC，
∴AE= AB，
∴∠E=∠ABE =45°，
∴∠EAB=90°，
∴ AE所在的直线与⊙O相切
（2）解：∵AB=4，
∴AO=OC=2，
∵∠BOC=90°，
∴∠AOC=90°，
∴阴影部分的面积=四边形AOCE的面积-扇形AOC的面积
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理得到 根据等腰三角形的性质得到 ， 连接AC， 求得. 得到AE所在的直线与⊙O相切；
(2)根据扇形和梯形的面积公式即可得到结论
22．【答案】（1）解：设哪吒玩具的单价是x元和敖丙玩具的单价是y元.由题意可得：
解得：
答：哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元
（2）解：设小军可以购买哪吒玩具m个，则购进敖丙玩具 个，
由题意得：
解得
∴小军最多可以购买哪吒玩具4个
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设哪吒玩具的单价是x元和敖丙玩具的单价是y元.，根据题意列出方程组求解即可；
(2)设小军可以购买哪吒玩具m个，则购进敖丙玩具( 个，根据题意列出不等式求解即可
23．【答案】（1）40
（2）解：条形统计图和扇形统计图如下：
栽树人数为 (人) ，填土所占百分比为
（3）解：树状图如下
等可能出现的情况共12种，其中一男一女的情况有8种，
所以，恰好是1名男生和1名女生的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：该班总人数为 (人)；
故答案为：40；
【分析】(1)用浇水人数除以其所占百分比即可求出总人数；
(2)栽树人数可用总数减去挖坑、填土和浇水人数可得，填土人数所占百分比等于12除以总数乘100%可得，则可分别补全条形统计图和扇形统计图；
(3)利用树状图得出所有情况，所需情况除以所有情况即可得到概率.
24．【答案】（1）；
（2）解：作于点N， 交DE于点M，
则四边形GFCN和四边形GFCN是矩形，设 米，
在 中，
在矩形GFCN中，
在Rt△AGN中， ∠AGN = 31°，
即AN≈0.6GN，
∴(x-1.5)=0.6(x+80)，
解得x = 123.75，
由(1)得 米，
米，
∵四边形GFCN是矩形， GM =EF =30，
ME=GF=1.5，
在Rt△DGM中， ∠DGM =31°， GM =30，
，
∴DE=DM+ME=19.5米.
答：房子DE的高度约为19.5米；塔AB的高度约为74.3米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】(1) 解： ∵HC = a米，i = 1：2.5，
米，
在Rt△ACH中，∠AHC =45°，
米，
故答案为：
【分析】(1)利用i =1：2.5， 可求得 米，在Rt△ACH中，利用正切函数的定义求得AC =CH =a， 进一步计算即可求解；
(2)作GN⊥AC于点N， 交DE于点M， 在Rt△AGN中，利用正切函数的定义列式得到(x-1.5)=0.6(x+80)，求得x=123.75，在Rt△DGM中，利用正切函数的定义列式计算即可求解.
25．【答案】（1）解：把 B(1，0)代入 得：
，即
解得
把 代入 得：
所以抛物线 的表达式为 ；
（2）解：因为点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，
设
设直线AP的表达式为 把
代入得： ，
两式相减消去 得：
，
把 代入 得： ，
所以直线AP的表达式为
令 得 即
设直线BP的表达式为 把 代入得：
，
解得： ，
所以直线BP的表达式为
令 得 即 ，
则 ，
所以 的值是定值10
（3）解：抛物线 的表达式为 ，
∴顶点坐标为，
平移后，抛物线L2 的顶点坐标为，
∴抛物线L2 的解析式为，
∵解方程组，得，
∴点P的坐标为(-3，2)，
∴，
①当AP为边时，以A为圆心，AP长为半径作弧，与直线x=-的交点即为点M，设M点的坐标为(x，y)，
则，解得或，
∴点M的坐标为或，
∵AM∥PN，
∴点M的坐标为或；
②当AP为对角线时，AM=PM，设点M的坐标为()，
∵，
∴，
解得n=2，
∴点M的坐标为，点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为、或
【知识点】二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可将其代入抛物线的一般式 利用待定系数法求出b和c的值，进而得到抛物线表达式；
(2)先根据点P的横坐标m表示出它的纵坐标，再分别求出直线AP、BP的表达式，进而得到点D、E的坐标，最后计算( 的值并判断是否为定值；
(3)先根据平移规律求出抛物线 的表达式，再根据点P在. 上求出点P的坐标，然后分情况讨论以A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时N的坐标.
26．【答案】（1）证明：∵ABCD是矩形，AB=BC，
∴ABCD是正方形，
∴∠BAF=45°，
又∵BF⊥AC，AG⊥BE，
∴AF=BF，∠BFE=∠AFB=∠AGE=90°，
∴∠EAG+∠AEG=∠EBF+∠BEF=90°，
∴∠EAG=∠EBF，
∴△AFH≌△BFE，
∴EF=HF；
（2）解：①由题可知E为对角线的交点，即AE=BE，
∵AE=AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAF=60°，
在Rt△ABF中，∠BFA=90°，∠BAF=60°，
∴∠ABF=30°，
∴，
又∵∠EAG=∠EBF，∠AFH=∠BFE，
∴△AFH∽△BFE，
∴；
②∵，
∴，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF=∠BCA，
∴，即，
∴EF=12，
连接HE，则，
∵AB=AE，
∴AG为BE的垂直平分线，
∴BH=HE=15，
∴BF=BH+HF=15+9=24，
∴AF=BF=18，
∴AB=AE=AF+EF=18+12=30，
∴，，
∴EC=AC-AE=50-30=20，
过E点作EM⊥CD于点M，则EM∥BC，∠CEM=∠BCA，
∴，
设CM=3x，则EM=4x，
∴EC=5x=20，解得x=4，
∴CM=12，EM=16，
∴DM=DC-MC=30-12=18，
∴
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先得到四边形ABCD是正方形，然后根据AAS证明△AFH≌△BFE，即可得到结论；
（2）①先判断点E是对角线的交点，即可得到△ABE是等边三角形，进而根据△AFH∽△BFE解答即可；
②连接HE，根据，可得∠BAF的正切值，进而根据正切的定义和解直角三角形求出HE，AC的长，过E点作EM⊥CD于点M求出DM和EM长，根据勾股定理解题即可.
1 / 1湖南省衡阳市衡阳一中、八中、九中2025年联考一模数学试题
1．（2025·衡阳模拟）下列各实数中，最小的是（ ）
A．-2 B．0 C． D．3.14
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∴最小的数是：
故答案为：A.
【分析】根据有理数的比较大小解题即可.
2．（2025·衡阳模拟）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.该图形不是轴对称图形，烨不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，烨是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
3．（2025·衡阳模拟）在人工智能技术迅猛发展的浪潮中，DeepSeek作为一款新兴应用迅速崛起，根据数据分析平台QuestMobile的数据，自上线以来至2025年2月9日，DeepSeek App的累计下载量已突破110000000次，数据“110000000”用科学记数法表示为（ ）
A．1.1x107 B．11x107 C．11x108 D．1.1x108
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为( 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．（2025·衡阳模拟）如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴ 表示的点可能是 Q，
故答案为：D.
【分析】先估算的取值范围，然后得到点的位置即可.
5．（2025·衡阳模拟）方程2x-1=5的解是（ ）
A．x =-2 B．x=-3 C．x=3 D．x=2
【答案】C
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解： 2x-1=5
2x=6，
x=3，
故答案为：C.
【分析】利用移项、合并同类项、系数化为1解答即可.
6．（2025·衡阳模拟） 如图，BD//AC，AB//CD，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可求解.
7．（2025·衡阳模拟）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A：，因式分解正确；
B：，原式因式分解错误；
C：，原式因式分解错误；
D：，原式不是因式分解；
故答案为：A.
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式分解成几个因式的积”逐项判断解题即可.
8．（2025·衡阳模拟）如图，在△ABC中，BA=BC，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度后得到△A'B'C，若AB的对应边A'B'恰好经过点A，且B'C与AB相交于点F（点F异于点A和点B)，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AC B．AA'=A'C C．∠1=∠2 D．∠A'=∠ACB'
【答案】C
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转可得△CAB≌△CA'B'，
∴AB=A'B'，CA=CA'，∠A'=∠1，
∴∠2=∠A'，
∴∠1=∠2，
故答案为：C.
【分析】根据旋转可得△CAB≌△CA'B'，即可得到CA=CA'，∠A'=∠1，进而求出∠2=∠A'，根据等量代换得到∠1=∠2解题即可.
9．（2025·衡阳模拟）随机抽取甲、乙两位同学一周内每天完成书面家庭作业的时间，并绘制了如下折线统计图，下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由折线统计图可知， 甲、乙两位同学一周内每天完成书面家庭作业的时间，甲同学比乙同学用的时间多，最能反映出这两组数据之间差异的是方差，
故答案为：A.
【分析】根据方差反应数据波动大小解答即可.
10．（2025·衡阳模拟） 如图，在中，，，分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线交AB于点D，交AC于点E，再连接CD. 以下结论：①；②；③；④. 其中正确的结论序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由作图可得DE垂直平分AC，
∴CD=AD，∠DCA=∠A=36°，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=72°-36°=36°，
∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-36°-72°=72°，故①正确；
∵∠DEC=90°，故②错误；
∵∠BDC=∠B，
∴CD=BC=AD，
∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
解得，故④正确；
∴，
又∵AE=CE，
∴，
∴，故③错误；
故答案为：B.
【分析】利用作图CD=AD，可得根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB=72°，进而计算得到∠BCD=36°，求出∠BDC的度数判断①；根据∠DEC=90°判断②；然后证明△BCD∽△BAC，得到，判断③④即可解题.
11．（2025·衡阳模拟）若在实数范围内有意义，则实数x的值可能为 （写出一个符合条件的实数即可）
【答案】1(答案不唯一)
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：
∴x的值可以为1；
故答案为：1(答案不唯一).
【分析】根据根据被开方数为非负数，进行求解即可.
12．（2025·衡阳模拟）某中学开展“新时代好少年”评选活动，其中一个评价标准是参与社区志愿服务的次数，校学生会从各班推选的学生中随机抽取了10名学生，统计他们过去一个月参与志愿服务的次数（单位：次），数据如下：3，5，2，4，3，6，4，5，3，1，则志愿服务次数是3的频率为 .
【答案】0.3
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：志愿服务次数是3的频率为：
故答案为：0.3.
【分析】根据频率=频数÷总数解答即可.
13．（2025·衡阳模拟）关于x的一元二次方程程x2+x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 有两个相等的实数根，
则判别式 ，
即
解得，
故答案为：1.
【分析】根据方程根的情况得到，然后解方程求出c的值即可.
14．（2025·衡阳模拟）一个正多边形每个外角的度数等于72°，则这个正多边形的内角和为 .
【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正多边形的边数为
内角和为 .
故答案为：540°.
【分析】先根据外角求出正多边形的边数，然后根据内角和公式计算解题.
15．（2025·衡阳模拟） 化简的结果为 .
【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先把分式通分，然后约分化为最简分式解题即可.
16．（2025·衡阳模拟） 如图，直线y=x+1与双曲线y=(k>0)在第一象限内交于点A，过点A作AB⊥x轴于点B，若OB=2，则k的值为 .
【答案】6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：把x=2代入y=x+1得y=2+1=3，
∴点A的坐标为(2，3)，
代入 y= 得k=2×3=6，
故答案为：6.
【分析】先求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式即可.
17．（2025·衡阳模拟） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，若DE=DC，则∠ADE的度数为 .
【答案】75°
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠B=60°， ∠C=90°，
∴∠BAC=30°，
又∵ DE⊥AB ， DE=DC，
∴∠EAD=∠DAC=15°，∠DEA=90°，
∴∠EDA=90°-∠DAE=90°-15°=75°，
故答案为：75°.
【分析】先根据直角三角形的两锐角互余求出∠A的度数，然后根据角平分线的判定得到∠EAD=∠DAC=15°，进而求出∠EDA的度数解题即可.
18．（2025·衡阳模拟）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆。”度方知圆，感悟数学之美，如图，正方形ABCD的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形EFGH，若AB：EF=3：2，则四边形EFGH的外接圆的半径为 .
【答案】2
【知识点】圆内接四边形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵ EFGH 与 正方形ABCD 位似，且 AB：EF=3：2，
∴正方形EFGH 与 正方形ABCD的面积比为4：9，
∴正方形EFGH的面积为8，
设 四边形EFGH的外接圆的半径为r，
则，
解得r=2，
故答案为：2.
【分析】先根据位似得到正方形EFGH的面积为8，然后根据正方形的面积是对角线乘积的一半解题即可.
19．（2025·衡阳模拟）计算：
【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算零次幂、负整数次幂，绝对值，代入特殊交的三角函数值，然后合并解答即可.
20．（2025·衡阳模拟）先化简，再求值：(x+3)(x-2)+x(x-3)，其中x2-x=1.
【答案】解：
当 原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的乘法展开，然后合并同类项化简，再整体代入解题即可.
21．（2025·衡阳模拟）如图，AB，CD为⊙O的直径，连接BD，∠BDC=45°，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE.
（1）求证：AE所在的直线与⊙O相切；
（2）若直径AB=4，求阴影部分的面积
【答案】（1）证明：∵∠BDC =45°，
∴∠COB=2∠D=90°，
∵OD=OB，
∴∠OBC =∠OCB=45°，
连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BE，
∵CE=BC，
∴AE= AB，
∴∠E=∠ABE =45°，
∴∠EAB=90°，
∴ AE所在的直线与⊙O相切
（2）解：∵AB=4，
∴AO=OC=2，
∵∠BOC=90°，
∴∠AOC=90°，
∴阴影部分的面积=四边形AOCE的面积-扇形AOC的面积
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理得到 根据等腰三角形的性质得到 ， 连接AC， 求得. 得到AE所在的直线与⊙O相切；
(2)根据扇形和梯形的面积公式即可得到结论
22．（2025·衡阳模拟）《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦，在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场，已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问：
（1）哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元
（2）若小军现有200元，他想购买哪吒和敖丙玩具共8个，则小军最多可以购买哪吒玩具多少个
【答案】（1）解：设哪吒玩具的单价是x元和敖丙玩具的单价是y元.由题意可得：
解得：
答：哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元
（2）解：设小军可以购买哪吒玩具m个，则购进敖丙玩具 个，
由题意得：
解得
∴小军最多可以购买哪吒玩具4个
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设哪吒玩具的单价是x元和敖丙玩具的单价是y元.，根据题意列出方程组求解即可；
(2)设小军可以购买哪吒玩具m个，则购进敖丙玩具( 个，根据题意列出不等式求解即可
23．（2025·衡阳模拟）为了引导学生树立绿色生态文明的理念，3月12日植树节当天，某中学九年级（1）班开展了全员植树活动，该班因活动需要将学生分成挖坑、栽树、填土、浇水四个小组，并根据分组情况绘制了如下两幅不完整的统计图，
根据以上信息，解决下列问题.
（1）该班总人数为 人.
（2）请补全条形统计图和扇形统计图，
（3）活动结束后，学校团委小记者从浇水小组4人中随机抽取2人进行采访.浇水小组由2名男生2名女生组成.请用树状图法或者列表法求接受采访的恰好是1名男生和1名女生的概率.
【答案】（1）40
（2）解：条形统计图和扇形统计图如下：
栽树人数为 (人) ，填土所占百分比为
（3）解：树状图如下
等可能出现的情况共12种，其中一男一女的情况有8种，
所以，恰好是1名男生和1名女生的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：该班总人数为 (人)；
故答案为：40；
【分析】(1)用浇水人数除以其所占百分比即可求出总人数；
(2)栽树人数可用总数减去挖坑、填土和浇水人数可得，填土人数所占百分比等于12除以总数乘100%可得，则可分别补全条形统计图和扇形统计图；
(3)利用树状图得出所有情况，所需情况除以所有情况即可得到概率.
24．（2025·衡阳模拟）如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔 AB，塔尖点 A 到地面的距离为 AC. 红红站在离房子 DE 的底端 E 前方 30 米的点 F 处，眼睛 G 距离地面的高度 米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖 A，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为 . 红红家到山脚的水平距离 米，山坡的坡度为 （），山脚 H 到塔尖的仰角为
（1）若 米，则 米， 米（用含ａ的代数式表示）；
（2）求房子DE和塔AB的高度.（结果保留一位小数)(参考数据：，，）
【答案】（1）；
（2）解：作于点N， 交DE于点M，
则四边形GFCN和四边形GFCN是矩形，设 米，
在 中，
在矩形GFCN中，
在Rt△AGN中， ∠AGN = 31°，
即AN≈0.6GN，
∴(x-1.5)=0.6(x+80)，
解得x = 123.75，
由(1)得 米，
米，
∵四边形GFCN是矩形， GM =EF =30，
ME=GF=1.5，
在Rt△DGM中， ∠DGM =31°， GM =30，
，
∴DE=DM+ME=19.5米.
答：房子DE的高度约为19.5米；塔AB的高度约为74.3米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】(1) 解： ∵HC = a米，i = 1：2.5，
米，
在Rt△ACH中，∠AHC =45°，
米，
故答案为：
【分析】(1)利用i =1：2.5， 可求得 米，在Rt△ACH中，利用正切函数的定义求得AC =CH =a， 进一步计算即可求解；
(2)作GN⊥AC于点N， 交DE于点M， 在Rt△AGN中，利用正切函数的定义列式得到(x-1.5)=0.6(x+80)，求得x=123.75，在Rt△DGM中，利用正切函数的定义列式计算即可求解.
25．（2025·衡阳模拟）抛物线与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点P是抛物线L上的一动点，设点P的横坐标为m(-4（1）求抛物线L1的表达式.
（2）如图1，连接AP，并延长AP交y轴于点D，连接BP，交y轴于点E.点P在运动过程中，OD+4OE的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由。
（3）将该抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线L2刚好经过点P，点M为抛物线L2对称轴上一点.在平面内确定一点N，使以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，并求出所有符合条件点N的坐标.
【答案】（1）解：把 B(1，0)代入 得：
，即
解得
把 代入 得：
所以抛物线 的表达式为 ；
（2）解：因为点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，
设
设直线AP的表达式为 把
代入得： ，
两式相减消去 得：
，
把 代入 得： ，
所以直线AP的表达式为
令 得 即
设直线BP的表达式为 把 代入得：
，
解得： ，
所以直线BP的表达式为
令 得 即 ，
则 ，
所以 的值是定值10
（3）解：抛物线 的表达式为 ，
∴顶点坐标为，
平移后，抛物线L2 的顶点坐标为，
∴抛物线L2 的解析式为，
∵解方程组，得，
∴点P的坐标为(-3，2)，
∴，
①当AP为边时，以A为圆心，AP长为半径作弧，与直线x=-的交点即为点M，设M点的坐标为(x，y)，
则，解得或，
∴点M的坐标为或，
∵AM∥PN，
∴点M的坐标为或；
②当AP为对角线时，AM=PM，设点M的坐标为()，
∵，
∴，
解得n=2，
∴点M的坐标为，点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为、或
【知识点】二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可将其代入抛物线的一般式 利用待定系数法求出b和c的值，进而得到抛物线表达式；
(2)先根据点P的横坐标m表示出它的纵坐标，再分别求出直线AP、BP的表达式，进而得到点D、E的坐标，最后计算( 的值并判断是否为定值；
(3)先根据平移规律求出抛物线 的表达式，再根据点P在. 上求出点P的坐标，然后分情况讨论以A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时N的坐标.
26．（2025·衡阳模拟）综合与实践
（1）【问题情境】
类比是人类认知世界的重要思维方式，它不仅能帮助我们更好地理解复杂概念，更能激发创新思维，为人类认知开辟新的疆域.如示意图，在矩形ABCD中，BF⊥AC于点F，点E是CF上一动点，连接BE，过点A作AG⊥BE于点G，交BF于点H.
如图1，当AB=BC时，求证： EF=HF.
（2）【类比探究】
点E运动到AE=AB时，连接DE.
①如图2，当B，E，D三点共线时，是否还成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出的值.
②如图3，当，时，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵ABCD是矩形，AB=BC，
∴ABCD是正方形，
∴∠BAF=45°，
又∵BF⊥AC，AG⊥BE，
∴AF=BF，∠BFE=∠AFB=∠AGE=90°，
∴∠EAG+∠AEG=∠EBF+∠BEF=90°，
∴∠EAG=∠EBF，
∴△AFH≌△BFE，
∴EF=HF；
（2）解：①由题可知E为对角线的交点，即AE=BE，
∵AE=AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAF=60°，
在Rt△ABF中，∠BFA=90°，∠BAF=60°，
∴∠ABF=30°，
∴，
又∵∠EAG=∠EBF，∠AFH=∠BFE，
∴△AFH∽△BFE，
∴；
②∵，
∴，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF=∠BCA，
∴，即，
∴EF=12，
连接HE，则，
∵AB=AE，
∴AG为BE的垂直平分线，
∴BH=HE=15，
∴BF=BH+HF=15+9=24，
∴AF=BF=18，
∴AB=AE=AF+EF=18+12=30，
∴，，
∴EC=AC-AE=50-30=20，
过E点作EM⊥CD于点M，则EM∥BC，∠CEM=∠BCA，
∴，
设CM=3x，则EM=4x，
∴EC=5x=20，解得x=4，
∴CM=12，EM=16，
∴DM=DC-MC=30-12=18，
∴
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先得到四边形ABCD是正方形，然后根据AAS证明△AFH≌△BFE，即可得到结论；
（2）①先判断点E是对角线的交点，即可得到△ABE是等边三角形，进而根据△AFH∽△BFE解答即可；
②连接HE，根据，可得∠BAF的正切值，进而根据正切的定义和解直角三角形求出HE，AC的长，过E点作EM⊥CD于点M求出DM和EM长，根据勾股定理解题即可.
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