浙江省舟山市2025年初中毕业生学业水平适应性考试数学试题（4月中考一模）
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。请选出各题中唯一的正确选项，不选，多选，错选，均不得分。）
1．（2025·舟山模拟）下图表示某天我国城市最低气温，这些城市中气温最高是（ ）
A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．武汉
【答案】C
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：
∴这些城市中气温最高是广州.
故答案为：C.
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可.
2．（2025·舟山模拟）如图是由4个相同的正方体组成的一个立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看从上边看有三列，每一列是一个小正方形，
故答案为：D.
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案.
3．（2025·舟山模拟）截止2025年4月2日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房累计约达15492000000元，数据15492000000用科学记数法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 15492000000用科学记数法可表示为 ，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数.
4．（2025·舟山模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，原计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、平方差公式的运算法则逐项判断解题即可.
5．（2025·舟山模拟）把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由，
解不等式组得：，
∴不等式组的解集为，
∴在数轴上表示得：
故答案为：A．
【分析】先求出不等式组的解集，表示在数轴上判断即可．
6．（2025·舟山模拟）一个布袋里装有3个只有颜色不同的小球，其中2个红球，1个白球。从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次摸到的球都是红球的结果有4种，
∴两次摸到的球都是白球的概率为
故答案为：A.
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸到的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可.
7．（2025·舟山模拟）如图，在平面直角坐标系中，将AC绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（ ）
A．（3，－1） B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C'作C'D⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
则∠CEA=∠ADC'=∠CAC'=90°，
∴∠CAE+∠C'AD=∠C'AD+∠ACD=90°，
∴∠CAE=∠C'AD，
又∵AC=AC'，
∴△ACE≌△C'AD，
∴AE=C'D=1，CE=AD=3，
∴OD=OA+AD=1+3=4，
又∵点C'在第四象限，
∴点C'的坐标为(4，-1)，
故答案为：D.
【分析】过点C'作C'D⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△ACE≌△C'AD，即可得到AE=C'D=1，CE=AD=3，求出点C'的坐标即可.
8．（2025·舟山模拟）如图是一把折扇，扇面ABDC是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，AC是OA的一半。已知，则扇面ABDC的周长为（ ）cm
A．30 B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，
弧 的长
弧 的长
∴扇面ABDC的周长
故答案为：B.
【分析】根据题意求出OC，根据弧长公式分别求出AB、CD的弧长，根据扇形周长公式计算.
9．（2025·舟山模拟）如图，点B，C在反比例函数的图象上，点在轴上，连结AB交轴于点，延长BC交轴于点。已知点，且。若面积为10，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AB交轴于点， AE=BE，
∴点B的横坐标为2，即点B的纵坐标为，
又∵BC=CD，
∴点C的纵坐标为，即点C的横坐标为4，
∴点D的横坐标为6，
∴，
解得：k=10，
故答案为：C.
【分析】根据中点坐标分别求出点B、C、D的坐标，再根据列出关于k的方程解题即可.
10．（2025·舟山模拟）如图，矩形ABCD周长为8，且。连结BD，作点关于BD的对称点，连结DE，连结BE交AD于点，作交BC于点，下列说法中正确的有个（ ）
①
②三角形ABP的周长为定值4
③当BC变大时，四边形PABG的面积先变大后变小
④当BC变大时，AP反而变小
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
∵矩形的周长为2(BC+CD)=8，
得到CD=4-BC，
∵BC>0，CD>0，BC>CD，
∴2由折叠可得∠EBD=∠CBD，
又∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠EBD=∠ADB，
∴PB=PD，
∴ 三角形ABP的周为AP+AB+PB=AP+PD+AB=AD+AB=4，故②正确；
∵ ，
∴PG过BD的中点，设交点为O，
则OD=OB，
又∵AD∥BC，
∴∠PDB=∠DBC，∠DPO=∠OGB，
∴△OPD≌△OGB，
∴ 四边形PABG的面积 为△ABD的面积，
即为，
∴ 当BC变大时，四边形PABG的面积变小 ，故③错误；
在Rt△ABP中，AP2=BP2-AB2=(BC-AP)2-AB2=BC2-2BC×AP+AP2-AB2，
整理得，
∴ 当BC变大时，AP反而变小，故④正确；
故答案为：C.
【分析】根据矩形的边长为正数和矩形的周长得到BC的取值范围判断①；根据矩形的性质和折叠得到PB=PD，然后表示△APB的周长判断②；设PG于BD交于点O，证明△OPD≌△OGB，即可得到四边形PABG的面积 为△ABD的面积，根据二次函数的性质判断③；在Rt△ABP中，利用勾股定理得到，根据函数的性质判断④解题即可.
二、填空题(本题有6小题,每题3分,共18分)
11．（2025·舟山模拟）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．（2025·舟山模拟）当时，分式 。
【答案】5
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：当x=3时，，
故答案为：5.
【分析】直接代入x的值计算解题.
13．（2025·舟山模拟）如表是小明参加科技创新比赛的得分表，则小明的综合成绩是 分。
姓名 小明 综合成绩 ▲
项目 理论知识 创新设计 现场展示
得分 85 88 90
权重 20% 50% 30%
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明的综合成绩是 (分)，
故答案为： 88.
【分析】根据加权平均数的定义求解即可.
14．（2025·舟山模拟）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径DC是直角边BC的两倍，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则的度数是 。
【答案】60
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：设半圆的圆心为O，连接OE，OA，
∵CD=2OC=2BC，
∴OC=BC，
∵∠ACB=90°， 即AC⊥OB，
∴OA=BA，
∴∠AOC =∠ABC，
∵∠BAC=30°，
∴∠AOC=∠ABC=60°，
∵AE是切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACO =90°，
∵在Rt△AOE和Rt△AOC中，
∴Rt△AOE≌Rt△AOC(HL)，
∴∠AOE =∠AOC =60°，
∴∠EOD=180°-∠AOE-∠AOC =60°，
∴点E所对应的量角器上的刻度数是60°.
故答案为：60.
【分析】首先设半圆的圆心为O，连接OE，OA， 由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC=∠ABC=60°， 又由AE是切线， 易证得Rt△AOE≌Rt△AOC， 继而求得∠AOE的度数， 则可求得答案.
15．（2025·舟山模拟）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如下表：
摄氏温度值 0 10 20 30 40 50
华氏温度值 32 50 68 86 104 122
请推算当摄氏温度为时，华氏温度为 。
【答案】95
【知识点】函数值；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格数据可得摄氏温度每升高10摄氏度，华氏温度值上升18°F，
即 当摄氏温度为时，华氏温度为，
故答案为：95.
【分析】根据表格得到摄氏温度每升高10摄氏度，华氏温度值上升18°F，然后列式计算解题.
16．（2025·舟山模拟）如图，在Rt中，，分别以Rt的三边向外作正方形ACFG，正方形BEDC，正方形ANMB，连结NC交AB于点。已知正方形ACFG的面积为4，若为AB中点，则正方形BEDC的面积为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；勾股树模型
【解析】【解答】解：过点A作AP⊥CN于点P，设AN=2a，则AH=BH=CH=a，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵AH=CH，
∴∠ACH=∠BAC，即tan∠ACH=tan∠CAB，
∴，即，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】过点A作AP⊥CN于点P，设AN=2a，求出AH和AP长，根据tan∠ACH=tan∠CAB，即可得到，然后求出BC2即可解题.
三、解答题（本题有8小题，第rId135题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．（2025·舟山模拟）计算：
【答案】解：原式=2+3-1=4.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算绝对值、算术平方根和零次幂，然后加减解题即可.
18．（2025·舟山模拟）解方程组：．
【答案】解：
由①×3得
6x-3y=15③
由②+③得
10x=5，
解之：x=0.5，
将x=0.5代入①得
1-y=5
解之：y=-4
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由由①×3+②，消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
19．（2025·舟山模拟）如图，在中，。
（1）尺规作图：请在图中的左侧作。（保留作图痕迹，不作写法）
（2）在（1）的条件下，在射线AE上取点，连结CD交AB于点，若点是AB的中点，求AD的长。
【答案】（1）解：如图，∠BAE即为所作；
（2）解：∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
又∵∠EAB=∠B，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC，
∴AD=BC=6.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据尺规作图—作一个叫等于已知角的作法解题即可；
（2）利用ASA得到△AOD≌△BOC，根据全等三角形的对应边相等解题即可.
20．（2025·舟山模拟）某校为了调查学生对电影《哪吒之魔童闹海》教育意义的理解，对学生进行了抽样调査，调查内容见表格，调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题：
调查内容：你认为《哪吒》最重要的一项教育意义是什么？
选项 A.责任与担当：从叛逆到守护
B.真正的友情：跨越对立，携手同行
C.父母无私的爱：照亮成长的光
D.命运由自己决定：奋斗改写人生
四种教育意义选择调查情况的条形统计图
四种教育意义选择调查情况的扇形统计图
（1）本次调查共抽取了 名学生，其中认为具有最重要的教育意义的人数为 名；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）如果本校共有学生1800名，根据调查数据，估计有多少名学生认为具有最重要的教育意义？
【答案】（1）200；80
（2）解：B组人数为200×25%=50名，
补图为：
（3）解：1800×名，
答： 估计有90名学生认为具有最重要的教育意义.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：60÷30%=200名，
200×(1-30%-25%)-10=80名，
故答案为：200；80；
【分析】（1）利用D组的人数除以它的占比求出调查的总人数，然后用总人数减去其它组人数求出C组的人数解题；
（2）求出B组的人数，补全条形统计图即可；
（3）用1800×A组的占比解答即可.
21．（2025·舟山模拟）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼MN的高度．小聪在处测得钟楼顶端的仰角为，小明在处测得钟楼顶端的仰角为，并测得A，B两点之间的距离为27.3米．已知点A，M，B依次在同一直线上．
（1）求钟楼MN的高度．
（2）学校在钟楼顶端处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的处（点在线段AM上）．小聪测得点处的仰角等于，求CM的长为多少米？
（参考数据：，结果精确到0.1米）
【答案】（1）解：在Rt△ANM中， ∵∠NAM =45°，
∴AM=MN，
在Rt△BMN中， ∵∠MBN =60°，
∴MN=17.3米，
答：钟楼MN的高度为17.3米；
（2）解：在Rt△CNM中， ∵∠NCM =85.6°，MN=17.3，
.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1) 在Rt△ANM中， 根据已知条件得到AM=MN，在Rt△BMN中根据三角函数的定义即可得到结论；
(2)利用正切的定义解答即可.
22．（2025·舟山模拟）综合与实践有趣的“乘法运算”
小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究。
【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘。
【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数．
例：，前积是13，后积是16
（1），前积是 ，后积是 ；
（2）【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果。
= ，
（3）【推理算法】记两位数分别是和，且，其中
请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明。
【答案】（1）22；36
（2）100×(2×8+5）+52；2125
（3）证明：(10a+c)(10b+c)
=100ab+10ac+10bc+c2
=100ab+10c(a+b)+c2
=100ab+100c+c2
=100(ab+c)+c2.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）根据 【算法介绍】 可得 前积是22，后积是36，
故答案为：22，36；
（2），
故答案为：100×(2×8+5）+52，2125；
【分析】（1）根据【算法介绍】 解答即可；
（2）根据题目所给方法解答即可；
（3）根据多项式的乘法解答即可.
23．（2025·舟山模拟）已知二次函数
（1）当时
①求二次函数图象与轴的交点坐标；
②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值。
（2）若点和在二次函数图象上，且点在对称轴的左侧，求证：。
【答案】（1）解：①当 时，二次函数为
令 则
，
∴或
解得 或
所以二次函数图象与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)；
②因为 所以 ，
当 时，二次函数为 ，
，
)
整理后可得： ，
∵二次项系数 ，所以二次函数图象开口向上，
当 时， 取得最小值为 ；
（2）证明：∵抛物线的对称轴为直线， 点在对称轴的左侧，
∴a+1把和 代入解析式即可得到，
，
∴，
∴p【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)①要求二次函数与x轴的交点坐标，令 解一元二次方程即可；
②先根据 将b用a表示， 再把a、b代入二次函数求出 的表达式，最后根据二次函数的性质求最小值；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x=m得到a24．（2025·舟山模拟）如图1，内接于，其中。点在射线BC上，且满足交于点H，BD交AC于点。
（1）求证：为等腰三角形；
（2）如图2，连结AH，交BD于点，若为DE中点，求证：；
（3）如图3，若线段BD过圆心，求的值。
【答案】（1）证明：∵△ABC≌△BED，
∴∠E=∠ABC，∠ACB=∠D，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠E=∠D，
∴AC∥DE，
∴∠D=∠BPC=∠ACB，
∴BC=BP，
∴△BCP是等腰三角形；
（2）证明：连接BH，
∵H是DE中点，BD=BE，
∴BH⊥DE，∠DBH=∠EBH=∠CAH，即∠BHD=90°，
由（1）可得AC∥DE，
∴∠CAH=∠DHA，
∴∠DBH=∠DHA，
∵∠DBH+∠D=90°，
∴∠DHA+∠D=90°，
∴∠DKH=∠AKP=90°，
∴∠AKP=∠BHD=90°，
∴△AKP∽△BHD，
∴，即；
（3）解：连接OC，
则∠OBC=∠OCB=∠BAC=，
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCB=45°，
设BC=BP=a，则BO=OC=BC×sin∠OBC=，
∴OP=BP-OB=a-，
∴，
∵∠BCA=∠PCB，
∴△BCP∽△ACB，
∴.
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得到∠ACB=∠E=∠D，即可得到AC∥DE，进而求出∠D=∠BPC=∠ACB，证明结论；
（2）：连接BH，根据三线合一得到BH⊥DE，∠DBH=∠EBH=∠CAH，然后推导∠AKP=∠BHD=90°，即可得到△AKP∽△BHD，进而根据相似三角形的对应边成比例解答即可；
（3）连接OC，得到∠BOC=90°，∠OBC=∠OCB=45°，设BC=BP=a，求出BO长，再根据勾股定理求出PC2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.
1 / 1浙江省舟山市2025年初中毕业生学业水平适应性考试数学试题（4月中考一模）
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。请选出各题中唯一的正确选项，不选，多选，错选，均不得分。）
1．（2025·舟山模拟）下图表示某天我国城市最低气温，这些城市中气温最高是（ ）
A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．武汉
2．（2025·舟山模拟）如图是由4个相同的正方体组成的一个立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·舟山模拟）截止2025年4月2日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房累计约达15492000000元，数据15492000000用科学记数法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·舟山模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·舟山模拟）把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·舟山模拟）一个布袋里装有3个只有颜色不同的小球，其中2个红球，1个白球。从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·舟山模拟）如图，在平面直角坐标系中，将AC绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（ ）
A．（3，－1） B． C． D．
8．（2025·舟山模拟）如图是一把折扇，扇面ABDC是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，AC是OA的一半。已知，则扇面ABDC的周长为（ ）cm
A．30 B． C． D．
9．（2025·舟山模拟）如图，点B，C在反比例函数的图象上，点在轴上，连结AB交轴于点，延长BC交轴于点。已知点，且。若面积为10，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2025·舟山模拟）如图，矩形ABCD周长为8，且。连结BD，作点关于BD的对称点，连结DE，连结BE交AD于点，作交BC于点，下列说法中正确的有个（ ）
①
②三角形ABP的周长为定值4
③当BC变大时，四边形PABG的面积先变大后变小
④当BC变大时，AP反而变小
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本题有6小题,每题3分,共18分)
11．（2025·舟山模拟）因式分解： .
12．（2025·舟山模拟）当时，分式 。
13．（2025·舟山模拟）如表是小明参加科技创新比赛的得分表，则小明的综合成绩是 分。
姓名 小明 综合成绩 ▲
项目 理论知识 创新设计 现场展示
得分 85 88 90
权重 20% 50% 30%
14．（2025·舟山模拟）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径DC是直角边BC的两倍，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则的度数是 。
15．（2025·舟山模拟）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如下表：
摄氏温度值 0 10 20 30 40 50
华氏温度值 32 50 68 86 104 122
请推算当摄氏温度为时，华氏温度为 。
16．（2025·舟山模拟）如图，在Rt中，，分别以Rt的三边向外作正方形ACFG，正方形BEDC，正方形ANMB，连结NC交AB于点。已知正方形ACFG的面积为4，若为AB中点，则正方形BEDC的面积为 。
三、解答题（本题有8小题，第rId135题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．（2025·舟山模拟）计算：
18．（2025·舟山模拟）解方程组：．
19．（2025·舟山模拟）如图，在中，。
（1）尺规作图：请在图中的左侧作。（保留作图痕迹，不作写法）
（2）在（1）的条件下，在射线AE上取点，连结CD交AB于点，若点是AB的中点，求AD的长。
20．（2025·舟山模拟）某校为了调查学生对电影《哪吒之魔童闹海》教育意义的理解，对学生进行了抽样调査，调查内容见表格，调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题：
调查内容：你认为《哪吒》最重要的一项教育意义是什么？
选项 A.责任与担当：从叛逆到守护
B.真正的友情：跨越对立，携手同行
C.父母无私的爱：照亮成长的光
D.命运由自己决定：奋斗改写人生
四种教育意义选择调查情况的条形统计图
四种教育意义选择调查情况的扇形统计图
（1）本次调查共抽取了 名学生，其中认为具有最重要的教育意义的人数为 名；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）如果本校共有学生1800名，根据调查数据，估计有多少名学生认为具有最重要的教育意义？
21．（2025·舟山模拟）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼MN的高度．小聪在处测得钟楼顶端的仰角为，小明在处测得钟楼顶端的仰角为，并测得A，B两点之间的距离为27.3米．已知点A，M，B依次在同一直线上．
（1）求钟楼MN的高度．
（2）学校在钟楼顶端处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的处（点在线段AM上）．小聪测得点处的仰角等于，求CM的长为多少米？
（参考数据：，结果精确到0.1米）
22．（2025·舟山模拟）综合与实践有趣的“乘法运算”
小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究。
【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘。
【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数．
例：，前积是13，后积是16
（1），前积是 ，后积是 ；
（2）【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果。
= ，
（3）【推理算法】记两位数分别是和，且，其中
请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明。
23．（2025·舟山模拟）已知二次函数
（1）当时
①求二次函数图象与轴的交点坐标；
②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值。
（2）若点和在二次函数图象上，且点在对称轴的左侧，求证：。
24．（2025·舟山模拟）如图1，内接于，其中。点在射线BC上，且满足交于点H，BD交AC于点。
（1）求证：为等腰三角形；
（2）如图2，连结AH，交BD于点，若为DE中点，求证：；
（3）如图3，若线段BD过圆心，求的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：
∴这些城市中气温最高是广州.
故答案为：C.
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可.
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看从上边看有三列，每一列是一个小正方形，
故答案为：D.
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 15492000000用科学记数法可表示为 ，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，原计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、平方差公式的运算法则逐项判断解题即可.
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由，
解不等式组得：，
∴不等式组的解集为，
∴在数轴上表示得：
故答案为：A．
【分析】先求出不等式组的解集，表示在数轴上判断即可．
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次摸到的球都是红球的结果有4种，
∴两次摸到的球都是白球的概率为
故答案为：A.
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸到的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C'作C'D⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
则∠CEA=∠ADC'=∠CAC'=90°，
∴∠CAE+∠C'AD=∠C'AD+∠ACD=90°，
∴∠CAE=∠C'AD，
又∵AC=AC'，
∴△ACE≌△C'AD，
∴AE=C'D=1，CE=AD=3，
∴OD=OA+AD=1+3=4，
又∵点C'在第四象限，
∴点C'的坐标为(4，-1)，
故答案为：D.
【分析】过点C'作C'D⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△ACE≌△C'AD，即可得到AE=C'D=1，CE=AD=3，求出点C'的坐标即可.
8．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，
弧 的长
弧 的长
∴扇面ABDC的周长
故答案为：B.
【分析】根据题意求出OC，根据弧长公式分别求出AB、CD的弧长，根据扇形周长公式计算.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AB交轴于点， AE=BE，
∴点B的横坐标为2，即点B的纵坐标为，
又∵BC=CD，
∴点C的纵坐标为，即点C的横坐标为4，
∴点D的横坐标为6，
∴，
解得：k=10，
故答案为：C.
【分析】根据中点坐标分别求出点B、C、D的坐标，再根据列出关于k的方程解题即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
∵矩形的周长为2(BC+CD)=8，
得到CD=4-BC，
∵BC>0，CD>0，BC>CD，
∴2由折叠可得∠EBD=∠CBD，
又∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠EBD=∠ADB，
∴PB=PD，
∴ 三角形ABP的周为AP+AB+PB=AP+PD+AB=AD+AB=4，故②正确；
∵ ，
∴PG过BD的中点，设交点为O，
则OD=OB，
又∵AD∥BC，
∴∠PDB=∠DBC，∠DPO=∠OGB，
∴△OPD≌△OGB，
∴ 四边形PABG的面积 为△ABD的面积，
即为，
∴ 当BC变大时，四边形PABG的面积变小 ，故③错误；
在Rt△ABP中，AP2=BP2-AB2=(BC-AP)2-AB2=BC2-2BC×AP+AP2-AB2，
整理得，
∴ 当BC变大时，AP反而变小，故④正确；
故答案为：C.
【分析】根据矩形的边长为正数和矩形的周长得到BC的取值范围判断①；根据矩形的性质和折叠得到PB=PD，然后表示△APB的周长判断②；设PG于BD交于点O，证明△OPD≌△OGB，即可得到四边形PABG的面积 为△ABD的面积，根据二次函数的性质判断③；在Rt△ABP中，利用勾股定理得到，根据函数的性质判断④解题即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】5
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：当x=3时，，
故答案为：5.
【分析】直接代入x的值计算解题.
13．【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明的综合成绩是 (分)，
故答案为： 88.
【分析】根据加权平均数的定义求解即可.
14．【答案】60
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：设半圆的圆心为O，连接OE，OA，
∵CD=2OC=2BC，
∴OC=BC，
∵∠ACB=90°， 即AC⊥OB，
∴OA=BA，
∴∠AOC =∠ABC，
∵∠BAC=30°，
∴∠AOC=∠ABC=60°，
∵AE是切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACO =90°，
∵在Rt△AOE和Rt△AOC中，
∴Rt△AOE≌Rt△AOC(HL)，
∴∠AOE =∠AOC =60°，
∴∠EOD=180°-∠AOE-∠AOC =60°，
∴点E所对应的量角器上的刻度数是60°.
故答案为：60.
【分析】首先设半圆的圆心为O，连接OE，OA， 由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC=∠ABC=60°， 又由AE是切线， 易证得Rt△AOE≌Rt△AOC， 继而求得∠AOE的度数， 则可求得答案.
15．【答案】95
【知识点】函数值；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格数据可得摄氏温度每升高10摄氏度，华氏温度值上升18°F，
即 当摄氏温度为时，华氏温度为，
故答案为：95.
【分析】根据表格得到摄氏温度每升高10摄氏度，华氏温度值上升18°F，然后列式计算解题.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；勾股树模型
【解析】【解答】解：过点A作AP⊥CN于点P，设AN=2a，则AH=BH=CH=a，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵AH=CH，
∴∠ACH=∠BAC，即tan∠ACH=tan∠CAB，
∴，即，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】过点A作AP⊥CN于点P，设AN=2a，求出AH和AP长，根据tan∠ACH=tan∠CAB，即可得到，然后求出BC2即可解题.
17．【答案】解：原式=2+3-1=4.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算绝对值、算术平方根和零次幂，然后加减解题即可.
18．【答案】解：
由①×3得
6x-3y=15③
由②+③得
10x=5，
解之：x=0.5，
将x=0.5代入①得
1-y=5
解之：y=-4
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由由①×3+②，消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
19．【答案】（1）解：如图，∠BAE即为所作；
（2）解：∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
又∵∠EAB=∠B，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC，
∴AD=BC=6.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据尺规作图—作一个叫等于已知角的作法解题即可；
（2）利用ASA得到△AOD≌△BOC，根据全等三角形的对应边相等解题即可.
20．【答案】（1）200；80
（2）解：B组人数为200×25%=50名，
补图为：
（3）解：1800×名，
答： 估计有90名学生认为具有最重要的教育意义.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：60÷30%=200名，
200×(1-30%-25%)-10=80名，
故答案为：200；80；
【分析】（1）利用D组的人数除以它的占比求出调查的总人数，然后用总人数减去其它组人数求出C组的人数解题；
（2）求出B组的人数，补全条形统计图即可；
（3）用1800×A组的占比解答即可.
21．【答案】（1）解：在Rt△ANM中， ∵∠NAM =45°，
∴AM=MN，
在Rt△BMN中， ∵∠MBN =60°，
∴MN=17.3米，
答：钟楼MN的高度为17.3米；
（2）解：在Rt△CNM中， ∵∠NCM =85.6°，MN=17.3，
.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1) 在Rt△ANM中， 根据已知条件得到AM=MN，在Rt△BMN中根据三角函数的定义即可得到结论；
(2)利用正切的定义解答即可.
22．【答案】（1）22；36
（2）100×(2×8+5）+52；2125
（3）证明：(10a+c)(10b+c)
=100ab+10ac+10bc+c2
=100ab+10c(a+b)+c2
=100ab+100c+c2
=100(ab+c)+c2.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）根据 【算法介绍】 可得 前积是22，后积是36，
故答案为：22，36；
（2），
故答案为：100×(2×8+5）+52，2125；
【分析】（1）根据【算法介绍】 解答即可；
（2）根据题目所给方法解答即可；
（3）根据多项式的乘法解答即可.
23．【答案】（1）解：①当 时，二次函数为
令 则
，
∴或
解得 或
所以二次函数图象与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)；
②因为 所以 ，
当 时，二次函数为 ，
，
)
整理后可得： ，
∵二次项系数 ，所以二次函数图象开口向上，
当 时， 取得最小值为 ；
（2）证明：∵抛物线的对称轴为直线， 点在对称轴的左侧，
∴a+1把和 代入解析式即可得到，
，
∴，
∴p【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)①要求二次函数与x轴的交点坐标，令 解一元二次方程即可；
②先根据 将b用a表示， 再把a、b代入二次函数求出 的表达式，最后根据二次函数的性质求最小值；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x=m得到a24．【答案】（1）证明：∵△ABC≌△BED，
∴∠E=∠ABC，∠ACB=∠D，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠E=∠D，
∴AC∥DE，
∴∠D=∠BPC=∠ACB，
∴BC=BP，
∴△BCP是等腰三角形；
（2）证明：连接BH，
∵H是DE中点，BD=BE，
∴BH⊥DE，∠DBH=∠EBH=∠CAH，即∠BHD=90°，
由（1）可得AC∥DE，
∴∠CAH=∠DHA，
∴∠DBH=∠DHA，
∵∠DBH+∠D=90°，
∴∠DHA+∠D=90°，
∴∠DKH=∠AKP=90°，
∴∠AKP=∠BHD=90°，
∴△AKP∽△BHD，
∴，即；
（3）解：连接OC，
则∠OBC=∠OCB=∠BAC=，
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCB=45°，
设BC=BP=a，则BO=OC=BC×sin∠OBC=，
∴OP=BP-OB=a-，
∴，
∵∠BCA=∠PCB，
∴△BCP∽△ACB，
∴.
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得到∠ACB=∠E=∠D，即可得到AC∥DE，进而求出∠D=∠BPC=∠ACB，证明结论；
（2）：连接BH，根据三线合一得到BH⊥DE，∠DBH=∠EBH=∠CAH，然后推导∠AKP=∠BHD=90°，即可得到△AKP∽△BHD，进而根据相似三角形的对应边成比例解答即可；
（3）连接OC，得到∠BOC=90°，∠OBC=∠OCB=45°，设BC=BP=a，求出BO长，再根据勾股定理求出PC2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.
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