2024—2025学年度第二学期北京市第三十五中学期中质量检测
初二数学答案
一、选择题
1题 2题 3题 4题 5题 6题 7题 8题
D D B D A D B A
二、填空题
9题 10题 11题 12题 13题 14题 15题 16题
x ≥ 5 y=--x 5 4 X>2 3 5 ②③④
（答案不唯一，k<0即可）
三、解答题
17.
（1）原式=2 5 2 5 + 3 5 = 3 5
（2 =4 3 ÷ 3 2）原式 × 2 2 = 4 2 = 2
2
18. 方法一：
∵BO是斜边 AC的中线
∴AO=CO
∴四边形 ABCD是平行四边形
∵∠ABC=90°
∴四边形 ABCD是矩形
∴AC=BD
∴BO= 1BD
2
BO= 1∴ AC
2
方法二：
∵点 O是 AC的中点，点 D是 BC的中点
∴DO是△ABC的中位线
∴DO//AB
∴∠ODC=∠ABC=90°
∴OD是 BC的垂直平分线
∴0B=OC
∵AO=CO= 1AC
2
∴BO= 1AC
2
19.（1）
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
三线合一，
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
20.（1）证明：∵D,E分别是 BC,AB 的中点
∴DE=AF=1AC
2
同理 DF//AB且 DF=AE=1AB
2
∵AB=AC
∴DE=DF =AF =AE
∴四边形 AEDF是菱形．
（2）∵AB=10,BC=16，点 D,E,F分别为 BC,AB,AC的中点
1 1
∴BD= BC=8,EF= BC=8,
2 2
∴ = 2 2 = 6
∴ 菱形 = ÷ 2 = 24
21．由翻折得 ABF AEF
∴AE=AB=5
在矩形 ABCD中，AD=BC=4
在 Rt ADE中，
2 + 2 = 2
∴DE=3,CE=CD-DE=2
设 FC=x，则
EF=BC-FC=4-x.
在 Rt ECF中，
2 = 2 + 2
即(4 )2 = 22 + 2
∴8x=12,x=3
2
:.FC=3
2
22（1）k=1,b=-1 （2）m≥1
23.（1）图略
（2）y = 2 + 6
5
（3） = 60
答：此时弹簧受到的拉力为 60N.
24. AF= 5 AP=2
2+( 5 2)2 = (2 )2 + 1
BM= = 5 1
25.（1）x ; 1;
（2）
（3）结合图像即可，如：当 x≥1时，y随 x的增大而增大；
（4）a≥1或 a<0.
26.（1）
①证明：连接 DE.
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°.
∵点 E在对角线 AC上，
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE.
∴BE=DE,∠ABE=∠ADE.
∵EF=BE,∴DE=EF.
∴∠F=∠ADE.
∴∠F=∠ABE.
②AB=AF+ 2 AE;
证明：过点 E作 EG⊥AE交 AB于点 G.
∴ ∠AEG=90°.
∵∠BAE=45°，
∴ ∠AGE=∠BAE=45°.
∴AG= 2 AE,∠EGB=135°.
∵∠FAE=∠FAB+∠BAE=135°,
∴ ∠EGB=∠FAE.
∵∠F=∠ABE,EF=EB,
∴△AEF≌△GEB. ∴BG=AF.
∴AB=BG+GA=AF+ 2 AE.
（2）正确补全图形；
AB+AF= 2 AE.
过点 E作 MN⊥AD于点 N，交 BC与点 M，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
AB＝BC＝AD，
∠DAC＝45°，
∵MN⊥AD，
∴四边形 ABMN是矩形，△ANE是等腰直角三角形，
∴AB＝MN，AN＝BM，AN＝NE，
AE＝ 2 NE，
∴NE＝BM，
又∵EF＝BE，
∴Rt△EFN≌△Rt△BEM
∴EM＝FN
∵AB＝MN＝NE＋EM
∴AB＝NE＋AN－AF＝２NE－AF＝ 2 AE－AF
四、选做：
27.
（1）35
（2）BCAD
28.
（1）①设点 O和点 M分别是 PP1PP2 的中点，
∵M（2,2），点 P的坐标是（2，0），
∴P(-2,0)，P2(2,4)，
∵点 Q是 PP2的中点，
Q ( 2+2 0+4∴点 的坐标为 , ).即(0.2），
2 2
故答案为：(0，2).
②设点 O和点 M分别是 PP1，PP2的中点，
P(s,-1)(1≤s≤3)，
∴P1(-s,1)，P2(4-s,5)，
∵点 Q是 PP2的中点，
+4 1+5
∴点 Q的坐标为( ， ）.即（2 S,3），
2 2
∴PQ2=4( 1)2 + 16
∵1≤s≤3，
∴s-1>0，
当 s增大时，s-1的值也增大，则(s 1)2的值也增大，
∴当 s=1时，PQ2=16，即 PQ=4;
∴当 s =3时，PQ2=32，即 PQ=4 2，
∴4≤PQ≤4 2
(2)设 A(a,a+1),则 B(a+3,a+1),C(a+3,a+3)，D(a,a+3)，
当点 P在 AD上时，设 P(a,b) (a+1≤6≤a+3)，点 C和点 B分别是 PP1，PP2的中点，
∴P1(a+6,2a+6-b)，P2(a+6,2a+2-b)，
点 Q是P1P2的中点，
点 Q的坐标为(a+6,2a+4-b)，
∵a+1≤b≤a+3,
∴a+1≤2a+4-b≤a+3，
∴点Q在直线x=a+6上的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为E(a+6,a+3)，F(a+6,a-1)；
同理可得当点 P在 AB上时，点 Q在直线 y=a+4的一条线段上，该线段的两个端点坐标分
别为 J(a,a+4)，K(a+3,a+4)，
∴EF=2,JK =3;
∴当点 A在平移的过程中，点 Q覆盖的面积即为平行四边形 JKML和平行四边形 EFGH面
积之和的两倍（面积无重叠时）,
∵点 A在直线 y=x+1上,
∴当点 G沿着水平方向移动 个单位长度时，相当于平行四边形 JKML边 JK上的高为 ，
平行四边形 EFGH边 EF上的高为 ，
∴s=2（2 +3 )=10 （当且仅当面积没有重叠的时候)
当 m=±3时，如图，刚好点 Q覆盖的四个区域没有重合的部分，
故当 ≤3时，面积没有重叠的部分，
当 >3时，S>30，
:20≤S≤30，
.:20≤10 ≤30,
.:2≤ ≤3.2024—2025 学年度第二学期北京市第三十五中学期中质量检测
初 二 数学
1． 本试卷共 8 页，共四道大题，28 道小题，附加题计入总分，
总分不超过 100 分。
考生
2．考试时间 100 分钟。
须知
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
第一部分 选择题
一、选择题（每小题 2 分，共 16 分）.
1. 在下列四个式子中，最简二次根式为（ ）．
2 3
A. ( 2) B． 12 C． D． 7
4
2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）．
A. 2，3，4 B．6，8，11 C．5，12，14 D． 1，1， 2
3. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ）．
A. 4 = 2 B. ( 3)
2 = 3 C. 6 = 2 3 D． 8+ 2 = 10
4．如图，在□ABCD 中，∠A＋∠C=110°，则∠B 的度数为( )．
A.70° B.110° C.120° D.125°
5. 下列命题中正确的是（ ）．
B C
A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形 A D
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（ x1， y1 ），Q( x2 , y2 )都在函数 y＝-2x+3 的图
象上.若 x1＜x2＜0 ,则下列四个推断中错．误．的是（ ）．
A．点 P 在第二象限 B. 坐标原点不在此函数图象上
C． y1＞y2 D． y2＜3
7．如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，
点 E，F 分别是 BC、AD 的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，
∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是（ ）．
A.15° B. 25° C. 30° D. 35°
初二数学第 1 页 共 8 页
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8. 如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，F 分别是 AD，AB 边上的点，AE=AF，
且 0
交于点 O，连接 OB，OD，BD．设 AE=a，ED=b，BD=c，给出下面三个结论：
① a + b a2 + b2 ；
② 2 a2 + b2 c ；
2
③ a + b c．
2
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）.
9. 函数 y = x 5 ，自变量 x 的取值范围是 ．
10. 已知正比例函数 y = kx（k≠0）的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条
件的函数解析式______．
11. 直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为 cm．
12．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AB＝2，∠AOB＝60 ，则 BD
的长为 .
13. 一次函数 y = kx + b 的图象如图所示，当 y 0时，x的取值范围为 .
y
A D
3
O
x
B C O 2
第 12题图 第 13题图 第 14题图
14. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，P 为 AB 边上一动点（不与
点 A，B 重合），PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F，若 AB=4，∠BAD=60°，
则 EF 的最小值为 ．
15.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，
绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”
如图 1 所示.在图 2 中，若正方形 ABCD 的
边长为 7，正方形 IJKL 的边长为 1，且 IJ∥AB，
则正方形 EFGH 的边长为 .
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16. 甲车与乙车同时从 M 地出发去往 N 地，如图所示，折线 O-A-B-C 和线段 OC
分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留 36 分钟
后再继续前往 N 地，两车同时到达 N 地，则下列说法：①乙车的速度为 70 千米/
时；②甲车再次出发后的速度为 100 千米/时；③两车在到达 N 地前不会相遇；
④甲车再次出发时，两车相距 60 千米．其中正确的有 ．
第 16 题图
三、解答题（本题共 68分，17题 10分，19、26每题 8分，18、20-25每题 6分）.
17. 计算：
1
（1） 2 5 20 + 45 ； （2） 48 3 8 ．
2
18.下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，
完成证明.
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知：如图，Rt△ABC 中，∠ABC =90°，BO 是斜边 AC 的中线.
1
求证：BO= AC.
2
方法一 方法二
证明：如图，延长 BO 至点 D，使得 证明：如图，取 BC 中点 D，连接 OD.
OD=OB，连接 AD，CD.
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19. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC.
求作：以 AC 为对角线的矩形 ADCE.
作法：①以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 M，N; 分
别以点 M，N 为圆心，大于 1 MN 的长为半径作弧，两弧在 BAC 的内部相
2
交于点 P，作射线 AP 与 BC 交于点 D；
②分别以点 A 为圆心，CD 的长为半径画弧;再以点 C 为圆心，AD 的长为半
径画弧，两弧在 AC 的右侧交于点 E;
③连接 AE，CE. A
四边形 ADCE 为所求的矩形.
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
B C
（2）完成以下证明。
证明：∵AE=CD ， CE=AD，
∴四边形 ADCE 为平行四边形（________________________）（填推理的依据）
由作图可知，AD 平分∠BAC，
又∵AB=AC ，
∴AD⊥BC （________________________）.（填推理的依据）
∴∠ADC=90°
∴平行四边形 ADCE 是矩形.(________________________) .（填推理的依据）
20. 如图，在△ABC 中， AB = AC ，点D ，E ， F 分别为BC ， AB ， AC 的中点．
（1）求证：四边形 AEDF 是菱形；
（2）若 AB=10，BC=16，求四边形 AEDF 的面积．
21.如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，将矩形 ABCD 翻折，使得点 B 落在 CD
边上的点 E 处，折痕 AF 交 BC 于点 F，求 FC 的长．
A D
E
B C
F
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22. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = kx +b (k 0)与 y = kx + 3的图象交于
点 (2,1) .
（1）求 k ，b 的值；
（2）当 x 2时，对于 x的每一个值，函数 y = mx (m 0)的值既大于函数 y = kx + b
的值，也大于函数 y = kx + 3的值，直接写出m的取值范围.
23.数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度
内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，
他们得到了 6 组拉力 x(N )与弹簧长度 y(cm )之间的数据，如表所示：
弹簧受到的拉力 x(单位：N) 0 5 10 15 20 25
弹簧的长度 y(单位:cm) 6 8 10 12 14 16
（1）在平面直角坐标系中描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线；
（2）结合表中数据，求出弹簧长度 y 关于弹簧受到的拉力 x 的函数表达式；
（3）若弹簧的长度为 30cm,求此时弹簧受到的拉力 x 的值.
5 1
24. 邻边比为 的矩形叫做“黄金矩形”．黄金矩形给我们以协调、匀称的美
2
感．若要将一张边长为 2 的正方形纸片 ABCD 剪出一个以 AB 为边的黄金矩形
ABMN，小松同学的作法如下：
①作 AB 的垂直平分线分别交 AB，CD 于点 E，F；
N
②连接 AF，作∠BAF 的角平分线，交 BC 于点 M； A D
③过点 M 作 MN⊥AD 于点 N.
矩形 ABMN 即为所求． E F
小松证明四边形 ABMN 是黄金矩形的思路如下，
请补全小松的证明.
作 MP⊥AF 于点 P，连接 MF，设 BM=x， B M C
根据角平分线的性质，可知 MP=BM=x．
根据条件，可求得 AF 的长度为 ，AP 的长度为 ．
在 Rt△MPF 和 Rt△CMF 中，由勾股定理可得 MP2+PF2=MF2=MC2+CF2．
由此可列关于 x 的方程为 ．
解得 BM=x= ．
所以矩形 ABMN 为黄金矩形．
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x 1 + x +1
25.有这样一个问题，探究函数 y = 的图象与性质．小范根据学习函数
x 1 + x +1 2
的经验，对函数 y = 的图象与性质进行了探究．下面是小范的探究过
2
程，请补充完成：
（1）化简函数解析式：当 x≥1时，y＝ ，当 x＜1 时，y＝ ；
x 1 + x +1
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数 y = 的图象；
2
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ；
x 1 + x +1
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于 x 的方程 ax+1 =
2
只有一个实数解，直接写出实数 a 的取值范围： ．
26. 在正方形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，点 E 在对角线 AC 上，连接
EB，点 F 在直线 AD 上（点 F 与点 D 不重合），且 EF = EB.
（1）如图 1，当点 E 在线段 AO 上（不与端点重合）时，
①求证：∠AFE = ∠ABE；
②用等式表示线段 AB，AE，AF 的数量关系并证明；
（2）如图 2，当点 E 在线段 OC 上（不与端点重合）时，补全图形，用等式表
示线段 AB，AE，AF 的数量关系并证明
F A D
A D
E
O O
B C
B C
图 1 图 2
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四、选做题（共 10 分，第 27 题 4 分，第 28 题 6 分）
27. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作 A、B、C、D 四个游戏道具，每个
道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后
再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分
钟）如下表所示：
A B C D
甲 9 5 6 8
乙 7 7 9 3
（1）如果按照 A → B → C → D 的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具
的总时长最少为 分钟；
（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是
．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于线段 MN 和点 P 作出如下定义：若点 M，N
分别是线段 PP1，PP2的中点，连接 P1P2，我们称线段 P1P2 的中点 Q 是点 P 关
于线段 MN 的“关联点”.
（1）已知点 M（2,2），点 P 关于线段 OM 的“关联点”是点 Q.
①若点 P 的坐标是（2,0），则点 Q 的坐标是 ；
②若点 E 的坐标是（1,-1），点 F 的坐标是（3,-1）.点 P 是线段 EF 上任意一点，
求线段 PQ 长的取值范围；
（2）点 A 是直线 l:y=x+1 上的动点.在矩形 ABCD 中，边 AB∥x 轴，AB＝3，
BC＝2. 点 P 是矩形 ABCD 边上的动点，点 P 关于其所在边的对边的“关联点”是
点 Q.过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 G.设点 G 的坐标是（t，0）.当点 A 沿着直
线 l 运动到点 A '时，点 G 沿着 x 轴运动到点G '（t+m，0），点 Q 覆盖的区域的
面积 S 满足 20≤S≤30，直接写出 m 的取值范围.
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