2024-2025学年上海嘉定二中高二下学期期中数学试卷（2025.04）（含答案）

嘉定二中2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若函数的导函数存在，且，则 ．
2．若，则的值是 ．
3．某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ．
4．随机变量服从二项分布，则 ．
5．已知随机变量的分布为，则 ．
6．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为，，则事件“”的概率为 ．
7．已知函数，则 ．
8．小张、小王两家计划五一假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，南翔老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ．
9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育：“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．嘉定二中国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 ．（用数字作答）
10．设，则 ．
11．已知函数在区间上严格增，则实数的取值范围
是 ．
12．已知集合，且，则集合、、所有可能的情况有 种．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13．若为正整数，且，则（ ）.
A． B． C． D．
14．设、是两个事件，以下说法正确的是（ ）．
A．若，则事件与事件对立
B．若，则事件与事件互斥
C．若，则事件与事件互斥且不对立
D．若，则事件与事件相互独立
15．函数的导函数的图象如图所示，以下关于判断正确的
是（ ）.
A．在区间上是严格减函数
B．在区间上是严格增函数
C．是极小值点
D．是极小值点
16．已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则实数的最大值为（ ）.
A．0 B． C．1 D．2
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在集合中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不相等的零点”．
（1）观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率；
（2）记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展．小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品．经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元．已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价8元．通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（年利润年销售收入年固定成本流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）若，其中是正整数，求展开式的常数项；
（2）若展开式中第2项系数为，求的展开式中的系数．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：
方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元：
方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元．
（1）若用方案一，求的分布列与数学期望；
（2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；
（3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（计算结果保留到整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）令，求的单调区间；
（3）已知在处取得极大值，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知函数在区间上严格增，则实数的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】由于函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即恒成立，
令，可得在上单调递增，则，．所以实数勺取值范围为．故答案为：．
12．已知集合，且，则集合、、所有可能的情况有 种．
【答案】
【解析】设初始状态为：中元素：,中元素：，为空集，现在将往三个集合中放，
：两种放法：放在或者不放在中；：同，也是2种；
：分两种情况：放在中或者不放在中；
放在中：可以不放在或中，也可以放在其中一个集合，
但是不能同时放在中：3种，
不放在中：必须放在或者中：2种，总数：种，
：同种，：同：5种，由乘法原理可得，共有：种情况．
故答案为：500．
二、选择题
13.C 14.D 15.B 16.D
15．函数的导函数的图象如图所示，以下关于判断正确的
是（ ）.
A．在区间上是严格减函数
B．在区间上是严格增函数
C．是极小值点
D．是极小值点
【答案】B
【解析】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误；
对于B，由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确；
对于C，由图象知在某个上取负值，这里，
所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误；
对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，
所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误．
故选：B．
16．已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则实数的最大值为（ ）.
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为对任意两个不相等的实数，都有
即
令，则有，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，令，得，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；所以，
所以，即的最大值为2．故选D．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1）
（2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元
19.（1） （2）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：
方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元：
方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元．
（1）若用方案一，求的分布列与数学期望；
（2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；
（3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（计算结果保留到整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则
【答案】（1）见解析 （2）方案二 （3）28万元
【解析】（1）对于方案一，根据题意可得，
又,
的分布列为：
；
（2）对于方案二，根据题意可得，
又
方案二员工获得奖金数额的数学期望值更高；
（3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖学金的数学期望的最大值为，
则给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献的数额为，
获得奖金的职工数约为
获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）令，求的单调区间；
（3）已知在处取得极大值，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）
【解析】（1）若，则，从而，故，
从而曲线在点处的切线斜率为0，故所求切线为直线．
又，故所求切线方程为．
（2）由，知．
当时，，故在上单调递增；
当时，；
从而的解集是的解集是．
这表明在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）首先我们有．
当时，由上一问结论，知在上单调递增，在上单调递减．
这意味着当时，；当时，．
故在和上均单调递减，从而不是的极值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知在上单调递增，
而，故在上单调递增．
这表明当时，有，从而在上单调递增，
故不可能是的极大值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知在上单调递增，
故在上单调递增．
这表明当时，有，从而在上单调递增，
故不可能是的极大值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知在上单调递减．
注意到此时，故当时，；
当时，．
从而在上单调递增，在上单调递减，
这说明是的极大值点，满足条件．
综上，的取值范围是．