2024-2025学年云南省保山市高二下学期期中质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省保山市高二下学期期中质量监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. 或 D. 或
2.已知复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，含的项的系数是( )
A. B. C. D.
5.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的，那么该同学所选的函数最有可能是( )
A. B.
C. D.
6.年春节期间，国产电影哪吒之魔童闹海凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想票房一路攀升，如图截至年月日，哪吒之魔童闹海全球总票房已达亿元人民币，正式超越星球大战：原力觉醒亿元，跃居全球影史票房榜第五位下表为某平台向公众征集该电影的评分结果满分分，根据表格可以估计其得分的上四分位数约为( )
评分分
人数占比
A. B. C. D.
7.已知等比数列满足，，记为其前项和，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的偶函数，，且，都有，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. B. 有两个极值点
C. 点是曲线的对称中心 D. 有个零点
10.已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上不存在点使得
C. 直线的方程为 D. 的周长为
11.如图，在棱长为的正方体中，点为底面的中心，点在侧面内运动包含边界若，则( )
A. 点的运动轨迹长度为
B. 面积的最大值为
C. 存在点，使得
D. 与平面所成角的正弦值的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.安排甲、乙、丙共名志愿者完成项服务工作，每人至少完成项工作，每项工作由人完成，则不同的安排方式有 种用数字作答．
14.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第行第个数是 若，是的前项和，则 用含的代数式作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，函数在处的切线方程为．
求的值
求函数的极值
16.本小题分
从C.这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答．
问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，且 ．
求角
若，且面积为，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点．
证明：平面
求平面与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
设为数列的前项和，已知，．
求和的值
求数列的通项公式
记表示不超过的最大整数，设，求数列的前项和．
19.本小题分
法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”如图，已知椭圆的蒙日圆方程为，离心率为．
求椭圆的标准方程
点是第一象限内椭圆上一点，，的延长线分别交于，两点，设，分别是，的内切圆半径．
(ⅰ)若点的横坐标为，求内切圆的方程
(ⅱ)求的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：由题意，得，
因为函数在处的切线方程为．
则，解得
由得，则，
则，，
当或时，，递增，当时，，递减，
故，
16.解：选择，，
由正弦定理，得，
即，
因为，所以，
所以，
又，则
选择，，
由正弦定理，得，
因为，则，
则，
所以，
所以，即
选择，，
由正弦定理，得，
所以，
所以，
因为，
所以，即，
又，所以；
由知，，
因为，
又，所以，
则，
由正弦定理，得，
则，
因为面积为，
所以，
即，则．
17.证明：如图：
取线段的中点，连接、．
因为为线段的中点，所以，而，
因此，所以．
因为平面，平面，所以平面．
解：因为平面，、平面，所以、，
而，因此、、两两垂直．
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系如下图：
因为，，，所以、、、．
因为平面，所以是直线与平面所成角，因此，
而，所以，因此．
因为为线段的中点，所以．
因为，，、平面，，所以平面，
因此是平面的一个法向量．
因为，，
所以若平面的法向量为，则，即
取得，，因此是平面的一个法向量．
设平面与平面所成角为，由图形知：为锐角，
因此，
即平面与平面所成角的正弦值．
18.解：当时，，即，解得．
当时，，即，解得舍去．
由题，时，，
作差可得，，整理得，
所以，即，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以．
由题，，
当时，，
则，
所以
当且时，不是整数，
可设，
则，
可得．
在中，，，，共项满足，其余项，
所以．
19.解：由题知，，解得
故椭圆的方程为；
(ⅰ)点的横坐标为，，
又轴，由对称性，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，
，又的周长为，
，
，内切圆的圆心为，
内切圆的方程为．
(ⅱ)设，，，，，
点在椭圆上，，即，
由，即，
解得，同理可得，，
，
，直线的方程为，
由，
化简得，
，得，
同理可得，，，分别是，的内切圆半径，
，
由
，
当且仅当，时，等号成立，
的最大值为．
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