2024-2025学年四川省成都市郫都区高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都市郫都区高一下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.““是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移单位：千米：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知，若将它的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为( )
A. B. C. D.
4.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移单位：与时间单位：之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知角终边在第二象限，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图圆中若，则的值等于( )
A. B. C. D.
8.已知为坐标原点，向量，，点，，不重合满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则或
C. 若，则
D. 若，则
10.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则( )
A.
B.
C. 点的坐标为
D. 点的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13. ．
14.已知，满足，则当 ______时，取最大值．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面内三点，，．
求中边中线长；
若点是线段上靠近点的三等分点，试求点坐标．
16.本小题分
已知，，其中．
求和的值；
求的值．
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式及对称中心坐标；
将的图象将图象先向上平移个单位，再向右平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求的解析式及函数的值域．
18.本小题分
现定义一种新的运算：，已知两个不共线向量与的夹角为，，且．
求的值；
若与垂直，求的值；
若，当时，求的最小值，并求出此时与的夹角．
19.本小题分
如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记．
当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积；
已知条件不变，连接，如图，求四边形面积的最大值；
若过点，的扇形的切线与过点的切线分别交于点，如图，求五边形面积的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设的中点为，则，
则；
若点是线段上靠近点的三等分点，
则，
则
16.解：因为，所以，即，
平方得，所以，
则，
又，所以，，
所以，
故；
因为，所以，
由于，所以，
因为，，
则，
所以
．
17.解：由图象可得，解得，．
由图象可知，
，
则，即，
又，故，则，结合，可得，
，
令，得，，
曲线的对称中心为，．
把曲线向上平移个单位后的曲线为，再向右平移个单位后的曲线为，
把曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，得到曲线；
最后把曲线上每一点的纵坐标缩短到原来的，得到曲线，
则，
令且，所以，
则，所以，
所以，因为，
所以当时取得最大值为，当时取得最小值，
所以函数的值域为．
18.解：由题意可得：
，
因此得；
由可知，又与的夹角为，
则有，
由与垂直，
可得
，
解得；
由，可得，
所以，
易知当时，，
此时，
所以，
则，
又因为，
所以与的夹角为．
19.解：在 中，，．
在 中，．
所以，
．
设矩形 的面积为，则
．
因为，
所以当，即 时，取最大值．
当 时，矩形 的面积最大为．
由已知，．
过点 作，，垂足分别为点，．
则，，
所以四边形 的面积
．
由，得，
所以当，即 时，四边形 的面积．
连接，，设，
由已知，，
所以≌，
同理可得≌，
则，．
所以，，
所以五边形 的面积，
所以
令，则，
所以，
当且仅当，即， 时，等号成立，．
第1页，共1页