2024-2025学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高一下学期4月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设，是向量，则“”是“或”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，，则，( )
A. B. C. D.
6.相看两不厌，只有敬亭山李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼如图，如图，为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度为( )
A. B. C. D.
7.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形如图所示，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知的半径为，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.下列命题正确的是( )
A. 复数的虚部为
B. 若，是复数，则
C. 若，是复数，，则
D. 复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，为半径的圆面．
11.下列命题错误的是( )
A. 用平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台．
B. 若向量，的夹角为钝角，则．
C. 若，且有两解，则的取值范围是
D. 设点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知长方体的长宽高分别为，，，则该长方体的外接球的表面积是 ．
13.已知正方形的边长为，点满足，则 ．
14.已知中，点在边上，当取得最小值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，
若，求实数
若，求实数．
16.本小题分
已知复数，是虚数单位．
若是纯虚数，求
若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值．
17.本小题分
如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面边长为，高为圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
求该几何体的体积
求该几何体的表面积．
18.本小题分
已知平行四边形中，，，，点为线段的中点．
设，，用，表示
求
点在线段上，，求的值．
19.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，B.
求
点在边上．
(ⅰ)若为中线且长为，，求的面积
(ⅱ)若平分，且，求面积的最小值．
参考答案
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15.解：，
由，
得，
解得
，
由，
得，
所以，
解得或．
16.解：因为，，
所以，
是纯虚数，
，且，解得，
所以
依题意，，即，
即且，
即或．
17.解：因为正三棱柱的底面积为，
所以正三棱柱的体积为，
设正三角形的内切圆半径为，
所以，解得，
所以圆锥的体积为，故该几何体的体积为；
因为正三棱柱的表面积为，
倒圆锥的底面圆面积为，倒圆锥的母线长为，
倒圆锥的侧面积为，
所以该几何体的表面积为．
18.解：
，
设
，
解得，
19.解：因为，，
所以，
所以，
所以．
因为，所以，即．
因为，所以．
，，解得，
因为平分，所以，
因为，所以，
即．
因为，所以，
所以当且仅当时等号成立．
所以，所以面积的最小值为．
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