2024-2025学年江苏省无锡市江阴一中、青阳高中高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省江阴一中、青阳高中高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.在中，若，则是( )
A. B. 或 C. 或 D.
3.如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则( )
A. B. C. D.
4.一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知点，，则在上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
7.在中，角、、的对边分别为，、，若，是的角平分线，点在上，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，已知，，分别是三边的，，的四等分，如果，，以下向量表示正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列结论中正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若复数满足，则的最大值为
D. 若，，则
11.如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有( )
A. 平面 B. 平面
C. 存在点，满足 D. 三棱锥的体积不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则__________
13.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为__________
14.斯特瓦尔特定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数其中，．
若是实数，求的值；
若是纯虚数，求的虚部以及
16.本小题分
已知向量，．
若，求
若向量，，求与夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量、满足：，，且．
Ⅰ求角；
Ⅱ若是锐角三角形，且，求的取值范围．
18.本小题分
九章算术中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点．
证明：平面；
证明：平面；
求直线与平面所成角的大小．
19.本小题分
古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
若，，，图，求线段长度的最大值
若，，图，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；
在满足条件下，若点是外接圆上异于，的点，求的最大值．
参考答案
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是实数，
，
；
是纯虚数，
且，故，
故的虚部为，．
16.解：因为， ，
所以 ， ．
由 ，可得 ，
即，
解得，
所以 ，
故 ．
因为向量， ，
所以，所以．
则， ，
所以，
所以与 夹角的余弦值为．
17.解：Ⅰ因为，
所以，，
由正弦定理得：，
因为，所以，
又，所以或．
Ⅱ因为，
所以由正弦定理得，
得：，，
所以
，
因为是锐角三角形，
所以，且，可得，
所以，可得，
所以．
18.解：证明：作的中点，连接，
由得分别为的中点，
所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面
证明：因为，所以，
因为底面，而底面，所以，
又因为平面，且，
所以平面，而平面，
所以，
因为，，所以，，
又因为平面，
所以平面；
连接交于点，连接，
因为点分别为的中点，
所以，
所以平面，
所以为在平面中的射影，
所以与平面所成角为，
由已知得
所以，
因为为锐角，所以，
所以与平面所成角为．
19.解：设 ，则 ，
由材料可知， ，
即 ，
解得 ，
所以线段 长度的最大值为 ．
由材料可知，当 四点共圆时，四边形 的面积达到最大．
连接 ，在 中，由余弦定理，得
，
在 中，由余弦定理，得
，
因为 四点共圆，所以 ，从而 ，
由，解得 ，
因为 ，所以 ．
从而 ，
，
所以 ．
由可得，
当点在弧与同侧时，，
则
，当且仅当时等号成立，
当点在弧与异侧时，，
则
，当且仅当时等号成立，
综上的最大值为．
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