2024-2025学年湖南省部分校高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省部分校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个几何体由个面围成，则该几何体可能是
A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥
2.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则( )
A. B. C. D.
3.若，均是单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知复数，则在复平面内对应的点位于
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
5.把函数的图象向右平移个单位长度后得到偶函数的图象，则的最小正值为( )
A. B. C. D.
6.在正四棱台的条棱所在的直线及直线，，中，与直线是异面直线的直线共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
7.已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则( )
A. B. C. D.
8.在平行四边形中，，，，为线段上靠近的三等分点，线段与相交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 质量是向量
B. 相等向量的起点不一定相同
C. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
D. 若某质点受到，，的作用且处于平衡状态，则
10.的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为
A. B. C. D.
11.如图，正方体的棱长为，是的中点，是正方体的表面及其内部一动点，则下列说法正确的是
A. 正方体内切球的表面积为
B. 若，则动点的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为
C. 若点是的外心，则
D. 若动点满足，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值为 ．
13.如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为，则梯形的高为 ．
14.某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是 取，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，
若为实数，求
若为虚数，求的取值范围
若为纯虚数，求．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，，，．
用，表示，；
若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求
若，，求的面积．
18.本小题分
如图，长方体的长、宽、高分别为，，，且，．
当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积
求三棱锥体积的最大值
记三棱锥外接球的表面积为，底面的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
设为非空数集，实数满足以下两个条件：，；(ⅱ)对任意给定的，总存在，使得这时，称为集合的上确界．
直接写出集合的上确界．
在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为．
求；
求集合的上确界，并证明你的结论．
参考答案
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15.解：由题意得，
得或．
由题意得，
得且
由题意得
得故．
16.解：由题意得，，
则，
．
是直角三角形．
证明如下：由题意得，，
则，
所以，故是直角三角形．
17.解：由，可得．
因为，所以．
又，且，
所以．
由余弦定理可知
因为，，，所以，
整理得，解得或舍去．
由，可得，
则的面积．
18.解：因为底面为正方形，所以，
则长方体的表面积为，
体积为．
由图可知
，
当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积的最大值为．
由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球，
设该外接球的半径为，则，
所以，，
则．
令，则，．
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以的取值范围为
19.解：的上确界为．
由，得，则．
不妨假设距离最短的这两个交点为，，
则，
两式相减得，即．
由，
得．
由，得．
由题意得
由，得，
所以，即
，
对任意给定的，若，则可取，使得，
若，则可取，使得．
故的上确界为．
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